Matemáticas V - Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec
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1
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELEMÁTICA
PRÁCTICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES Y
TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
CON APLICACIONES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS V
REALIZÓ:
ANTONIO SILVA MARTÍNEZ
2
PRESENTACIÓN
El presente manual de prácticas fue realizado, para la asignatura de Matemáticas V, el
cual, intenta proporcionar a los docentes y estudiantes un material de apoyo que facilite el
proceso enseñanza-aprendizaje, a través del trabajo en el laboratorio de cómputo,
reforzando de esta manera, la teoría mostrada en el salón de clases.
Las prácticas de este manual, son presentadas para que el estudiante logre un
aprendizaje significativo, debido a que están diseñadas de forma que el docente actúe
como guía y el alumno participe activamente, haciendo ejercicios de forma habitual y con
el software Matemático denominado Scientific WorkPlace, versión 5.0, comparando
ambos resultados.
Con lo anterior, se pretende brindar a los alumnos un manual que los encamine a la
aplicación de los conceptos teóricos, permitiendo profundizar más en los casos prácticos.
3
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICE
Página
1.
Introducción al Scientific WorkPlace
1.1 Una Breve descripción del programa
6
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
7
2.
1.21.Editor de Scientific WorkPlace
7
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
8
1.2.3 Exportación y importación de contenidos y figuras
11
1.2.4 Presentación de resultados.
11
1.2.5 Scientific WorkPlace. Una sesión de trabajo
12
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2.1 Definición y Clasificación
14
2.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de Primer Orden
16
2.2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
16
2.2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables con Scientific WorkPlace
18
2.2.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
19
2.2.4 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace
21
2.2.5 Ecuaciones Diferenciales Exactas
23
2.2.6 Ecuaciones Diferenciales Exactas con Scientific WorkPlace
25
2.2.7 Ecuaciones Diferenciales Lineales
27
2.2.8 Ecuaciones Diferenciales Lineales con Scientific WorkPlace
30
2.2.9 Ecuación de Bernoulli
31
2.2.10 Ecuación de Bernoulli con Scientific WorkPlace
34
2.2.11 Aplicaciones. Circuitos RC y RL
35
4
3.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
3.1 Definición y Propiedades
41
3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes
42
3.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace
46
3.4 Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas con Coeficientes Constantes
47
3.5 Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas con Scientific WorkPlace
53
3.6 Aplicaciones. Circuitos RCL en Serie
54
4
La Transformada de Laplace
4.1 Definición y Propiedades
58
4.2 La Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace
62
4.3 La Transformada Inversa de Laplace
4.3.1 Definición y Propiedades
64
4.4 La Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace
68
4.5 Aplicaciones de la Transformada de Laplace
4.5.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
69
4.5.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace
76
4.5.3 Circuitos RCL en Paralelo
78
5 Prácticas de Ecuaciones Diferenciales y Transformadas de Laplace con Scientific
WorkPlace
Práctica No. 1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
6.
89
Práctica No. 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
91
Práctica No. 3 La Transformada de Laplace y la Transformada Inversa de Laplace
93
Práctica No. 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
95
Práctica No. 5 Aplicaciones. Circuitos RC, RL y RCL en serie y en paralelo
97
Apéndices
Apéndice A. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales
99
Apéndice B. Tablas Transformadas de Laplace
101
Apéndice C. Reporte de Práctica
103
7. Bibliografía
105
5
1. SCIENTIFIC WORKPLACE
1.1 Una Breve Descripción del Programa
Scientific Workplace es un software creado en la Universidad de New México, E.E. U.U.,
con antecedentes desde 1984, formalizado y patentado por MacKichan Software, Inc., en
el año de 1994. Con este software se pueden editar textos, graficar ecuaciones y resolver
problemas matemáticos de gran variedad y con notable facilidad. El programa está
basado en un sencillo procesador de textos que integra completamente matemáticas
complejas y textos técnicos en un único entorno de trabajo. Además, con el sistema de
álgebra computacional integrado en el propio programa, puede también realizarse
cálculos precisos desde el mismo editor. Finalmente, el software cuenta con tópicos
relevantes de Física y Química en una librería al final de la sección que describe el
contenido del software.
Scientific WorkPlace combina la facilidad de edición de expresiones matemáticas en su
notación natural, sin notaciones complejas, con la posibilidad de realizar cálculos desde
el mismo entorno de trabajo, gracias a la inclusión del potente motor de álgebra
computacional MuPAD 2.5, mediante el cual se pueden editar documentos y realizar
cálculos sin la necesidad de utilizar algún programa externo. Las prestaciones y
capacidades disponibles son muy amplias.
Con Scientific WorkPlace se pueden realizar cálculos simbólicos y numéricos, integrar,
diferenciar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas, resolver problemas
de álgebra matricial, Transformadas y Transformadas Inversas de Laplace y Fourier, etc.
Además, sencillas instrucciones, es posible crear gráficas en dos dimensiones y en tres
dimensiones en varios estilos, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y
esféricas, y en diferentes orientaciones.
Este software permite además componer complejos documentos técnicos con LaTex, la
aplicación estándar en composición matemática. Gracias a su enorme precisión y calidad,
se puede utilizar de manera confiable en el desarrollo de trabajos de investigación y
profesionales. En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos
RTF para ser importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en
sus documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se
pueden generar presentaciones en formatos PDF.
6
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace
La intención de los creadores de Scientific WorkPlace es la de poder usar la
computadora para cálculos matemáticos de forma casi natural, con notación matemática
estándar, sin la necesidad de otro lenguaje más complejo. Por ejemplo, permite graficar
una ecuación en dos dimensiones o en tres dimensiones, editar una expresión
matemática, simplificarla o factorizarla, resolver un sistema de ecuaciones lineales,
evaluar límites, derivadas e integrales de funciones, etc. Además de resolver ecuaciones
diferenciales, sistemas de ecuaciones diferenciales, Transformadas y Transformadas
Inversas de Laplace. Esto último parte del trabajo a realizar.
Con Scientific WorkPlace se puede editar y realizar cálculos matemáticos de manera
casi familiar a como lo realiza un editor de texto actualidad. Con la ayuda del mouse de la
computadora, para elegir los símbolos del panel principal del editor, haciendo un “clic”
sobre los necesarios para el documento, ver Figura 1.
“click” mouse,
botón izquierdo
Figura 1. Panel principal del editor Scientific WorkPlace
7
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
En ciertos sistemas y programas de cómputo, es necesario determinado arreglo de
comandos y notaciones para representar una entrada para un cálculo o evaluación de
expresiones matemáticas. En algunos de ellos, se necesitan más de 2000 operadores,
por ejemplo, para integrar la expresión:
Se necesita editar, en un sistema tradicional de computación, la expresión:
int(x^3/ (x^4-3),x)
La cual es de forma más compleja, lo que puede generar con mayor posibilidad, un error
en su sintaxis y resultado, lo cual se evita obviamente con la sencilla notación que utiliza
Scientific WorkPlace, como se verá en seguida con los siguientes ejemplos:
1. Para la edición de una integral a evaluar mediante Scientific WorkPlace, como la
anterior, se lleva a cabo mediante los siguientes pasos:
Paso
1
2
3
Acción
Resultado
Click
Click
Click
, después 3
4
Click en el denominador
5
Repetir el paso 3
6
Escribir dx
Finalmente, se pueden adicionar límites a la integral, aplicando subscript y superscript al
operador.
8
2. Entre otra gran variedad de usos en las matemáticas y como parte fundamental de este
trabajo, puede escribir una ecuación diferencial ordinaria con Scientific WorkPlace y
obtener su solución. Mostrando su resultado, de la siguiente forma:
Editar la expresión:
dy
dx
xy xy 2
Elegir la operación factor del menú compute ODE, dando como resultado:
y
1
C8 e
1 x2
2 1
En el caso de una ecuación diferencial con condiciones iniciales o de frontera, se sigue el
proceso anterior, insertando la ecuación a resolver y sus condiciones iniciales en un
formato matricial, dando como resultado:
d 2y
dx 2
dy
dx
6y 0
y0 7
y 0 1
Dando como resultado:
y 4e 2x 3e 3x
3. Para graficar expresiones como la anterior, elegir plot 2D del menú compute. Scientific
WorkPlace creará una gráfica como la siguiente:
Para variar los rangos de x y y de la gráfica, (
hacer “click” en Edit / Properties.
y
) de la gráfica
9
4. Para expresiones matemáticas más complejas, se pueden utilizar radicales, paréntesis y
corchetes, contenidos en la siguiente ventana, figura 2:
Figura 2. Ventana de corchetes para expresiones matemáticas
5. Para operadores matemáticos más complejos, por ejemplo de integración, se pueden
utilizar los contenidos en la siguiente ventana figura 3:
Figura 3. Ventana de operadores para expresiones matemáticas
6. Para aplicar decoraciones a una expresión matemática, se tiene la siguiente ventana,
Figura 4.
10
Figura 4. Ventana de decoraciones para expresiones matemáticas
1.2.3 Exportación e importación de contenidos y figuras.
Debido a su compatibilidad con Windows, textos, ecuaciones y gráficas y cálculos
matemáticos en general, creados en Scientific WorkPlace, se pueden importar y
exportar directamente a otros programas de Windows.
1.3 Presentación de resultados
Se puede editar e imprimir su trabajo en pantalla e impresión con una gran variedad de
colores, con ayuda de la siguiente ventana, figura 5:
Figura 5. Ventana de colores para expresiones del Scientific WorkPlace
11
Estas aplicaciones son sólo algunas de la gran versatilidad que ofrece el Scientific
WorkPlace, las cuales se pueden ir conociendo en detalle y profundizando a medida que
se practique con el mismo.
En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos RTF para ser
importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en sus
documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se
pueden generar presentaciones en formatos PDF.
Como se puede apreciar, la sencillez y utilidad del Scientific WorkPlace es muy notoria,
lo que genera un alto grado de confianza y satisfacción en el estudiante. Mediante
instrucciones sencillas y prácticamente iguales al lenguaje matemático común y corriente
que se utiliza desde cursos básicos de matemáticas. Como se verá a detalle en las
aplicaciones que se le den al programa en los ejemplos y ejercicios a tratar en este
trabajo.
Finalmente, para imprimir un documento del Scientific WorkPlace, el programa utiliza
prácticamente la misma rutina que un programa en Windows.
1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo
Para comenzar a trabajar en el Scientific WorkPlace, se deben llevar a cabo los siguientes
pasos:
1. Activar Scientific WorkPlace del menú de programas, o bien del escritorio de su PC
2. Hacer “click” el ícono New de la barra:
New
Save
Open
Preview
Print
Spelling
Cut
Copy
Paste
Properties Math/Text
Undo
Show/Hide
Zoom Factor
Table
Del menú principal para generar una sesión de trabajo
3. Del menú principal de Scientific WorkPlace, elegir la sección view y activar las
siguientes barras de trabajo:
12
Fraction Superscript Parentheses Sum
Radical Subscript Square Integral
Brackets
Math Templates
Unit
Name
Big
Operators Matrix Binomial Decoration
Display Brackets Math Label
Name
Math Objects
Lowercase Binary Negated Miscellaneous General
Greek Operations Relations Symbols Latin-1 Punctuation
Uppercase Binary Arrows Special Latin
Greek Relations
Delimiters Extended-A
Evaluate
Solve
Exact
Plot 3D
Show
Expand Rectangular Definitions
Evaluate Simplify Plot 2D
New
Numerically
Rectangular Definition
4. En la sección view del menú principal se localizan más barras, que se podrán activar
de acuerdo a las necesidades de trabajo, siendo las anteriores las más elementales.
13
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
2.1 Definición y Clasificación
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si
una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice
que es Ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este
capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones
diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema
sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las
matemáticas.
2.1.1 Orden de la Ecuación
Una ecuación en la que aparecen x, y, y´, y´´,..., y(n) , donde y es una función de x y y (n) es
la n-esima derivada de y con respecto a x, es una Ecuación Diferencial Ordinaria de
orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:
Orden 1: y´=2x
Orden 2: d²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0
Orden 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex
Orden 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx
2.1.2 Grado de la Ecuación
Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación
debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
2.1.3 Linealidad de la Ecuación
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma
a n ( x)
dny
dx
n
a n1 ( x)
d n1 y
dx
n1
............. a1 ( x)
dy
a0 ( x) y g ( x) , es decir:
dx
a) Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o
cero.
b) En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable
independiente.
c) Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
2.1.4 Tipo de la Ecuación
El tipo de la ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma:
derivada total o derivada parcial
14
2.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función
incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay
tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.
La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su
cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita,
dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea
lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas
como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el
término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución
particular de la ecuación completa.
2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(x0,y0) por donde debe pasar
necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por
lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, este recibirá el nombre de
solución particular de la ecuación en el punto P(x0,y0) recibe el nombre de condición
Inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o
constantes) recibe un valor específico.
Y
yo
P(xo,yo)
X
xo
Fig. 2.1 Familia de curvas que representan la solución general de una ecuación
diferencial. Por un punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de
la familia, generando la solución particular de la ecuación diferencial.
15
3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene
particularizando la solución general.
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Para emprender la tarea de hallar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden de la forma:
a1 ( x)
dy
a 0 ( x) y g ( x )
dx
Se deben conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende
de la forma particular que presente la ecuación. Las formas más comunes son: variables
separables, ecuaciones homogéneas, Ecuaciones exactas, ecuaciones lineales y la
ecuación de Bernoulli. Las cuales tienen como fundamento los siguientes conceptos
importantes.
a) Problema de valor inicial: cuando se va a resolver una ecuación diferencial ordinaria
de primer orden sujeta a la condición inicial y(x0)=y0, donde x0 ϵ I (I: intervalo de
valores posibles para x) y y0 es un número real arbitrario, se dice que se va a resolver
un problema de valor inicial. En la práctica, lo que se hace es sustituir los valores
iniciales dados en la familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial y
encontrar el valor particular correspondiente del parámetro Figura 2.1)
b) Existencia y unicidad de las soluciones: un problema con condiciones iniciales de
la forma y’= f(x,y), y=y0 puede tener o no solución, o tener varias soluciones. Por eso,
antes de abordar un problema con valor inicial es bueno saber si la solución existe y
es única.
2.2.1. Ecuación Diferencial de Variables Separables.
Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma
dy g( x )
dx h( y )
es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:
h( y )dy g( x )dx
e integrado de ambos lados se tiene:
h( y)dy g ( x)dx C
16
Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual
queda expresada de manera explícita o de manera implícita.
Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de
integración, ya que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante C.
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
1)
dy
x3
dx
x3
dy
dx
2x 3
x3
dy 2 x 3 dx
u 2x 3
(2 x 3)
x
x3
u 3
2
dx
3)
sec 2 xdy csc ydx 0
u 3
2
3
u 3
2
du
2
u 3
1
du 14 du 34 du
u
u
y ( x) 14 u 34 ln u C
dy
1
4
y ( x) (2 x 3) ln 2 x 3 C
1
4
3
4
y ( x) 12 x 34 Ln2 x 3 C
2)
dy
3 cos 2 x
dx
dy 3 cos 2 xdx
dy 3 cos 2 xdx
u 2x
du 2dx
du
2
3
3
3
y ( x) cos udu senu C sen2 x C
2
2
2
dx
sec 2 xdy csc ydx
dy
dx
csc y
sec 2 x
senydy cos 2 xdx
senydy cos
2
xdx
1 cos 2 x
dx
2
1
1
cos y x sen 2 x C
2
4
1
1
y cos 1 ( x sen 2 x) C
4
2
cos y
4)
dy
2y 0
dx
dy
dx
2
y
x
dy
dx
y 2 x
Lny 2( Lnx C ) 2 Lnx C
x
e Lny e Lnx
2
C
e Lnx e c x 2 C
2
y ( x) Cx 2
17
2.2.2. Ecuación Diferencial de Variables Separables con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria de Variables Separables con Scientific
WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma:
, sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
c) Cuando vaya a resolver una ecuación diferencial ordinaria, con condiciones iniciales o
de frontera. Se editarán cada una de ellas en campos de en un espacio matricial de
una columna y dos renglones.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
dy
1) 2x 3 dx x 3, Exact solution is: C 2
2)
dy
dx
3)
dy
1
cos 2 x dx
3 cos 2x, Exact solution is: C 4
3
2
1
2
x
3
4
ln x
3
2
sin2x
sin1 y , Exact solution is: arccos C 2 12 x
1
4
sin2x
dy
4) x dx 2y 0, Exact solution is: C 8 x 2
18
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO VARIABLES. SEP.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
2.2.3. Ecuación Diferencial Homogénea.
Definición. Si una función tiene la siguiente propiedad:
f(tx,ty)= tn f(x,y)
Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.
Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede
ser resuelta por medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:
ó
y=ux
x=vy
con sus respectivas diferenciales:
dy = u dx +x du
ó
dx = v dy + y dv
Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en
una ecuación diferencial de primer orden con variables separables.
19
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
1)
( x y ) dx xdy 0
y ux dy udx xdu
y
u
x
( x ux ) dx x (udx xdu ) 0
xdx uxdx uxdx x 2 du 0
2)
yxdy ( x 2 y 2 ) dx 0
y ux dy udx xdu
u
y
x
( x ux ux ) dx x 2 du 0
xdx x 2 du 0
ux 2 (udx xdu ) ( x 2 u 2 x 2 ) dx 0
xdx x 2 du
u 2 x 2 dx ux 3du x 2 dx u 2 x 2 dx 0
1
dx du
x
1
dx du
x
Lnx u C
2u 2 x 2 dx x 2 dx ux 3du 0
y
C
x
y Cx xLnx
Lnx
x 2 ( 2u 2 1) dx ux 3du
1
u
dx 2
du
x
2u 1
1
u
dx
du
2
x
2u 1
w 2u 1
2
dw
4u
dw
1
1
Lnw Ln( 2u 2 1) C
w
4
4
dw 4udu du
Lnx
1
4
e Lnx e Ln ( 2u
2
1)
x C ( 2u 2 1)
x C(
1 C
4
1
4
2
1)
1
4
y2
1
4
1
)
x2
1
x2
C( 2
) 4
2
2y x
C (2
2 y 2 x 2 14
)
x2
x4 C (
Ce Ln ( 2u
x2
)
2 y 2 x2
2 x 4 y 2 x 6 Cx 2
2x2 y 2 x4 C
20
3)
4)
( x y ) dy ydx 0
dy
y2 0
dx
x 2 dy y 2 dx 0
x2
y ux dy udx xdu
u
y
x
y ux dy udx xdu
u
( x ux)(udx xdu ) uxdx 0
xudx u 2 xdx x 2 du ux 2 du uxdx 0
x 2 (udx xdu ) ux dx 0
2 xudx u 2 xdx x 2 du ux 2 du 0
y
x
2
x 2u u 2 dx x 2 (1 u ) du 0
ux 2 dx x 3 du u 2 x 2 dx 0
xu ( 2 u ) dx x (1 u ) du
2
x 2 u u 2 dx x 3 du
1
1 u
dx
du
x
u (2 u )
int egrando :
1
1
dx
du
x
u (u 1)
Por fracciones parciales .
1
1
1
1 u
1
1
Lnx
du
du
du
du
x u (2 u )
2u
u (2 u )
u u 1
Lnx Lnu Ln(u 1)
La última parte, por fracciones parciales :
Lnu Lnx Ln(u 1) C
Lnx Ln( 2 u ) 1 Lnu 1 Ln(u 2)
2
2
ux
Ln
LnC
u 1
Lnx 12 Ln( 2 u ) 12 Lnu C
ux
Lnx 12 Ln( 2 xy ) 12 Ln xy C
C
u 1
2 x y
y
2 x y
y
1
1
Lnx 2 Ln( x ) 2 Ln x LnC Ln C x x y
y
x x
y x C yx C ( y x) Cy Cx
y
x 2 xx y xy
C 2 xx y xy
x 1
x
se obtiene :
x2 C
x2
y 2 x y
1
2
x
yx 2 x y ) C
1
1
2
2
C
y 2 x y
y x 2 yx C
2
2
yx Cy Cx y ( x C ) Cx
y
Cx
x
C x 1 Cx
2.2.4 Ecuación Diferencial Homogénea con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Homogénea con Scientific WorkPlace,
seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma:
, sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
21
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
dy
1) yx dx x 2 y 2 , Exact solution is: 12
2
x
2C 3 x 4 ,
1
2
2
x
2C 3 x 4
dy
2) x dx x y 0, Exact solution is: C 5 x x lnx
3)
dy
dx
dy
y
xy
0, Exact solution is: x x 2 C 3 , x 2 C 3 x
4) x 2 dx y 2 0, Exact solution is: 0,
x
C 5 x1
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO HOMOGENEAS.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clik” en el botón izquierdo del
mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
Es importante aclarar que las soluciones de las EDO Homogéneas en Scientific
Work Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable
dependiente (y) de las independientes (x).
22
2.2.5. Ecuación Diferencial Exacta.
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
M ( x, y)dx N ( x, y)dy
Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total
de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial
exacta, donde se debe cumplir a su vez:
M N
y
x
Método de solución. Si se cumple la última condición, entonces:
f
M ( x, y )
x
ó también
f
N ( x, y )
y
Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta,
respectivamente:
f ( x, y )
x
N ( x, y )dy h( x)
&
f ( x, y )
M ( x, y)dy g ( y )
Donde:
h' ( y ) M ( x, y)
N ( x, y )dx
&
g ' ( y) N ( x, y)
y
M ( x, y )dy
23
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas
1)
( x 3) dx ( 4 y 2) dy 0
2)
M
( 2 y 2 x 1) dx ( 2 x 2 y 2) dy 0
y
N
y
( x 3) 0
( 4 y 2) 0
x
M N
Es exacta
y
x
x
f
x 3 f ( x 3)x
x
f ( x 3)x
2
f ( x, y ) x 3 x g ( y )
2
f
x2
(
3 x g ( y )) g ' ( y )
y y 2
g ' ( y) 4 y 2
g ( y ) ( 4 y 2) dy 2 y 2 2 y
2
f ( x, y ) x 3 x 2 y 2 2 y
2
x 2 3x 2 y 2 2 y C
2
x 2 6x 4 y 2 4 y C
M
( 2 y 2 x 1) 4 xy
y
y
N
( 2 x 2 y 2) 4 xy
x x
M N
Es exacta
y
x
f
2 y 2 x 1 f ( 2 y 2 x 1)x
x
2
f ( 2 y x 1)x
f ( x, y ) x 2 y 2 x g ( y )
f
2 2
( x y x g ( y ))
y y
f
2 yx 2 g ' ( y )
y
2 yx 2 g ' ( y ) 2 x 2 y 2
g ' ( y) 2
g ( y ) 2dy 2 y
f ( x, y ) x 2 y 2 x 2 y
x2 y2 x 2y C
24
3)
( y x2 )
dy
2 xy
dx
( y x 2 ) dy 2 xydx 0
M
( 2 xy ) 2 x
y
y
N
( y x 2 ) 2 x
x
x
M
N
Es exacta
y
x
f
2 xy f ( 2 xy )x
x
f ( 2 xy )x
f ( x, y ) x 2 y g ( y )
f
( x 2 y g ( y ))
y y
f
x 2 g ' ( y)
y
x 2 g ' ( y) y x 2
g ' ( y) y
( x 2 y 2 )dx ( y 2 xy )dy 0
M
2
( x y 2 ) 2 y
y
y
N
( y 2 xy ) 2 y
x x
M N
Es exacta
y
x
f
x 2 y 2 f ( x 2 y 2 )x
x
x3
f ( x, y )
xy 2 g ( y )
3
f
x3
( xy 2 g ( y ))
y y 3
f
2 xy g ' ( y )
y
2 xy g ' ( y ) y 2 xy
g ' ( y) y
g ( y ) ydy
y2
2
x3
y2
xy 2
3
2
3
2
x
y
xy 2
C
3
2
f ( x, y )
g ( y ) ydy 12 y 2
f ( x, y ) x 2 y
x2 y
1
2
1
2
y2
y2 C
4)
2.2.6 Ecuación Diferencial Exacta con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Exacta con Scientific WorkPlace, seguir
el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma:
, sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
25
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
dy
1) 4y 2 dx 3 x, Exact solution is:
2)
dy
dx
3)
dy
dx
4)
dy
dx
2y 2 x1
2x 2 y2
2xy
yx 2
0, Exact solution is:
, Exact solution is:
x 2 y 2
y2xy
1
x2
1
2
1
2
x 2 6x 4C 2 1 ,
x 3 C 39 x 2 1 1 ,
1
2
1
x2
x 2 6x 4C 2 1
1
2
x 3 C 39 x 2 1 1
x 4 2C 84 x 2 , x 2 x 4 2C 84
0, Exact solution is:
6
6x3
6
2x 4 x 3 6C 5 x 3C 5 , 6x3 2x 4 x 3 6C 5 x 3C 5
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO EXACTAS.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
Es importante aclarar que las soluciones de las EDO Exactas en Scientific Work
Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable dependiente
(y) de las independientes (x).
26
2.2.7. Ecuación Diferencial Lineal.
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
a1 ( x)
dy
a0 ( x) y g ( x)
dx
Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .
Método de solución. Despejando y simplificando:
dy a0 ( x)
g ( x)
y
dx a1 ( x)
a1 ( x)
Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
dy
P( x) y f ( x)
dx
La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la
forma:
( x) e
P ( x ) dx
Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante
(x) e integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:
P ( x ) dx
P ( x ) dx f ( x)dx ce P ( x ) dx
y ( x) e
e
La cual constituye una familia uniparamétrica de soluciones.
27
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales
1)
3)
dy
y
dx
dy
y0
dx
dy 2
x y 2 x2
dx
P ( x ) 1, ( x ) e
P ( x) x 2 , ( x ) e
dx
e x
e x
dy
e x y 0
dx
e x dy e x ydx 0 e x dx
d ( ye x ) 0dx
d ( ye
3
x
3
3
x
3
3
(
d ( ye
ye x C
e
x
dy 2
x y) 2 x 2e 3
dx
3
3
3
x
x
dy 2 x3
2
3
3
e
x e y 2x e
dx
3
3
3
x dy
x
x
2
2
3
3
3
dx(e
x e y) (2 x e )dx
dx
e
3
x
3
e dy
x ) 0dx
x 2 dx
3
x
3
x 2e
x3
3
) 2 x 2e
x3
ydx 2 x 2e 3 dx
3
x
3 dx
x3
x3
2
d ( ye 3 ) 2 x e 3 dx
y ( x) C e x
x3
du x 2dx
3
du
dx
x2
u
2)
3
x3
x
u
u
ye 3 2 e du 2e C 2e 3 C
x3
y ( x) 2 C e 3
dy
y3
dx
P ( x ) 1, ( x ) e
dx
e x
e x
dy
ye x y 3e x
dx
e x dy e x ydx 3e x dx
d ( ye x ) 3e x dx
d ( ye
x ) 3 e x dx
ye x 3e x C
y ( x) 3 C e x
28
4)
5)
dy
xy 1
dx
dy 1
1
y 2
dx x
x
x2
1
dx
1
P( x) , ( x) e x
e ln x x
x
dy
1
1
x yx 2
dx
x
x
dy
1
x
y
dx
x
1
xdy ydx dx
x
1
d ( xy ) dx
x
x
1
d ( xy) x dx
x y Lnx C
y ( x)
Lnx C
x
x
dy
3 y e 3 x
dx
dy 3
e 3 x
y
dx x
x
x
1
3
dx
3
3
x
P( x) , ( x) e
e 3 ln x e Lnx x 3
x
3 x
dy 3 3
3 e
x
x yx
x 2 e 3 x
dx
x
x
dy
x 3 3 x 2 y x 2 e 3 x
dx
d ( x 3 y ) x 2 e 3 x
3
d (x
3
y ) x 2 e 3 x dx
int egrando por partes :
x 2 3 x 2 3 x 2 3 x
x y e xe e C
3
9
27
1 1
2 1
2 3 x C
y ( x) 2 e 3 x 3 e 3 x
e 3
3x
9x
27 x 3
x
3
29
2.2.8 Ecuación Diferencial Lineal con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal con Scientific WorkPlace, seguir
el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma:
, sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1)
dy
dx
y 0, Exact solution is: C 3 e x
2)
dy
dx
y 3, Exact solution is: C 6 e x 3
3)
dy
dx
x 2 y 2x 2 , Exact solution is: C 8 e 3 x 2
1
dy
4) x 2 dx xy 1, Exact solution is:
dy
5) x dx 3y e 3x , Exact solution is:
C 12
x
C2
x3
3
1
x
lnx
1
27x 3 e 3x
9x 2 6x 2
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO LINEALES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
30
2.2.9. Ecuación de Bernoulli.
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
dy
P( x) y f ( x) y n
dx
Donde n es cualquier número real, se le llama ecuación de Bernoulli.
La cuál, con la sustitución:
w( x) y1 n
y su respectiva derivada, da como resultado:
dw
dy
(1 n) y n
dx
dx
Método de solución. La ecuación de Bernoulli se simplifica a una ecuación diferencial lineal de
la forma:
dw
(1 n) P( x) w (1 n) f ( x)
dx
La cual podrá resolverse por el Método del Factor Integrante e P ( x ) dx para Ecuaciones
Diferenciales Lineales
31
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
1)
dy
1
y 2 .....
dx
y
dy 1
1
y 2
dx x
y x
dy 1
1
y y2
dx x
x
n 2
x
y2(
( 1)
dy 1
1
y ) y2( 2 )
dx x
xy
dy 1 3 1
y .....( 2 )
dx x
x
1 ( 2 )
3
w y
y ..... ( 3 )
y2
dw
dy
3y2
dx
dx
despejando :
dy 1 dw
y
..... ( 4 )
dx 3 dx
sustituyen do ( 4 ) en ( 2 ) :
2
1 dw 1
1
w
3 dx x
x
dw
1
1
3 w 3
dx
x
x
dw
1
1
3 w 3
dx
x
x
1
3 dx
3
1
P( x ) 3 , ( x ) e x
e ln x x 3
x
dw
3x 2 w 3x 2
dx
x 3 dw 3 x 2 wdx 3 x 2 dx
x3
d ( x 3w ) 3 x 2 dx
d( x
3w ) 3 x 2 dx
x 3w x 3 C
C
, con w y 3
x3
C
y3 1 3
x
3 3
3
x y x C
w 1
2)
dy
y e x y 2 .....
dx
n2
( 1)
dy
y ) ( ex y2 ) y2
dx
dy
y2
y 1 e x .....( 2 )
dx
w y1 2 y 1 ..... ( 3 )
y2(
dw
dy
y2
dx
dx
despejando :
dy
dw
..... ( 4 )
dx
dx
sustituyen do ( 4 ) en ( 2 ) :
y2
dw
w ex.
dx
dw
w e x .
dx
dx
P( x ) 1, ( x ) e
ex
dw
e x w e x e x e 2 x
dx
x
e dw we x dx e 2 x dx
ex
d ( we x ) e 2 x dx
d ( we
x
) e 2 x dx
1
we x e 2 x C
2
1 x
w e Ce x con w y 1
2
1
y 1 e x Ce x
2
1
1
e x Ce x
y
2
32
4)
3)
dy
(1 x ) y xy 2 .....
dx
dy 1 x
y y2
dx
x
n2
x
dy
y ( xy 3 1)..... (1)
dx
dy
y xy 4
dx
n4
1 dy 1 x 1
y 1.....( 2 )
x
y 2 dx
1 dy
1
( y ) 4 ( xy 4 )
4
y dx
y
1 dy
y 3 x.....(2)
4
y dx
w y1 2 y 1.....
1 dy
dw
..... ( 4 )
2
dx
y dx
sustituyen do ( 4 ) en ( 2 ) :
dw
1 dy
3 4
dx
y dx
despejando :
dw 1 x
w 1
dx
x
dw 1 x
w 1
dx
x
1 dy
1 dw
..... (4)
4
3 dx
y dx
sustituyen do (4) en (2) :
1 dw
w x
3 dx
dw
3w 3 x
dx
e 3x
1 x
P( x )
, ( x) e
x
( x ) xe x
3 dx
e 3x
dw
3e 3 x w 3 xe 3 x
dx
xe x
xe x dw e x ( 1 x )wdx xe x dx
d ( xe x w ) xe x dx
d (e 3 x w) 3 xe 3 x dx
d ( xe
3 x w) 3 xe 3 x dx
x w ) xe x dx
xe x w e x ( x 1) C
e x ( x 1) C
x
1 3x
e 3 x w 3( e 3 x
e dx)
w
e 3 x w xe 3 x
w 1
3
3
1 3 x
e C
3
1
w x e 3 x Ce 3 x , con w y 3
3
1
1
x e 3 x Ce 3 x
3
3
y
1 x
dx
x
e Lnx x
dw
1 x
(
) xe x w xe x
dx
x
e 3 x dw 3e 3 x wdx 3 xe 3 x dx
d (e
( 3)
dw
1 dy
2
dx
y dx
despejando :
w y 1 4 y 3 ..... (3)
P ( x ) 3, ( x ) e
( 1)
xe x
1
x
1
1
1
y
x
C
, con w y 1
xe x
C
xe x
33
2.2.10 Ecuación Diferencial de Bernoulli con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria de Bernoulli con Scientific WorkPlace,
seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria de Bernoulli en la forma:
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1)
dy
dx
1x y 1x y 2 , Exact solution is:
2)
dy
dx
y e x y 2 , Exact solution is: 0, 2
3)
dy
dx
y xy 4 , Exact solution is:
dy
1
x3
3
1
2
x 3 C 4
1
i
2
3
1
2
,3
1
x3
x 3 C 4 , 3
1
x3
x 3 C 4
1
i
2
3
1
2
ex
2C 7 e 2x
i 3 12
3 C 11 e
3x
x 13
1
,
3 C 11 e
4) x dx 1 xy xy 2 , Exact solution is: 0, x C
3x
x 13
,
1
2
i 3 12
3 C 11 e
3x
x 13
ex
13 e
x
xe x
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO DE BERNOULLI.tex
34
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
Es importante aclarar que las soluciones de las EDO de Bernoulli en Scientific Work
Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable dependiente
(y) de las independientes (x).
2.2.11. Aplicaciones. Circuitos RC y RL.
Circuitos RC
En el simple acto de cargar o descargar un capacitor en un circuito de esta naturaleza, se
tiene que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo. Muchos dispositivos
importantes incluyen circuitos en los que se carga y se descarga alternativamente un
capacitor. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos, los semáforos intermitentes,
las señales direccionales de automóviles y las unidades de destello electrónico. Por
consiguiente, es de gran importancia práctica comprender lo que ocurre en circuitos de
este tipo.
La siguiente figura muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como
éste, con un capacitor y un resistor en serie, se denomina circuito R-C.
R
E(t)
C
Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:
s
V 0 : VE VR VC 0
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación
diferencial lineal de primer orden:
R
dq 1
q E(t )
dt C
35
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden, la que se puede resolver
mediante el método estudiado en la sección 2.2.7.
Ejemplo. Encontrar la corriente i(t) del siguiente circuito RC en serie, dadas las siguientes
magnitudes de sus componentes y sujeto a la siguiente condición inicial, respectivamente:
R= 500 ohms
E= 50 volts
C= 5 microfaradios
q(t=0 seg)=0 Coulombs
Solución:
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación
diferencial lineal de primer orden:
R
dq 1
q E (t )
dt c
Entonces:
dq
1
q 50..... (1)
dt 5 x10 6
dq
1
400q
.....
( 2)
dt
10
500
400dt
P(t ) 400, (t ) e
e 400t
e 400t dq 400 e 400t q 1 e 400t
dt
10
e 400t dq 400 e 400t qdt 1 e 400t dt
10
1 400t
400
t
d (e
q) e
dt
10
1
d (e 400t q) 10 e
400t dt
1
e 400t C
4000
1
q(t )
Ce 400t
4000
e 400t q
con q (0) 0 :
1
C e 400(0)
4000
1
C e0 C
4000
Porlo tanto :
1
1 400t
q(t )
e
4000 4000
1
q(t )
(1 e 400t )..... (3)
4000
dq d 1
i(t )
(1 e 400t )
dt dt 4000
0
i(t )
1 400t
e
.....
10
(4)
Cuya gráfica es la siguiente:
36
i(t)
1.0e-4
8.0e-5
6.0e-5
4.0e-5
2.0e-5
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
-2.0e-5
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
-4.0e-5
-6.0e-5
-8.0e-5
-1.0e-4
Resolviendo la ecuación diferencial (2) del circuito RC anterior mediante Scientific WorkPlace, se
tiene:
dq
dt
400q
1
10
q0 0
, Exact solution is:
1
4000e 400t
e 400t 1
Derivando con SWP V 5.0:
it
d
dt
1
4000e 400t
e 400t 1
1
10
e 400t
Resultado idéntico al obtenido de manera manual (ecuación 4)
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
APLICACIONES. CIRCUITOS RC Y RL.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos
37
Circuitos RL
Un circuito que contiene un inductor (bobina) y un resistor en serie, se denomina circuito R-L.
Fundamentalmente un inductor en el circuito dificulta que ocurran cambios rápidos de corriente en el
mismo, gracias a los efectos de la fuerza electro-motriz autoinducida. Fundamentalmente, cuanto
mayor es la rapidez de cambio de corriente, tanto más grandes son la fuerza electro-motriz
autoinducida y la diferencia de potencial entre los bornes del inductor.
La siguiente figura muestra un circuito simple que incluye un resistor y un inductor en serie.
R
E(T)
L
Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:
s
V 0 : VE VR VL 0
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación diferencial
lineal de primer orden:
L
di
R i E(t )
dt
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden, la que se puede resolver mediante
el método estudiado en la sección 2.2.7
Ejemplo. Encontrar la corriente i(t) del siguiente circuito RL en serie, dadas las siguientes magnitudes
de sus componentes y sujeto a la siguiente condición inicial, respectivamente:
R= 2 ohms
E= 120 volts
L= 20 Henrys
i(t=0 seg)=0 Amp.
38
Solución:
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación diferencial
lineal de primer orden:
L
di
iR E (t )
dt
Entonces:
di
2i 120.....(1)
dt
di
1
i 6.....(2)
dt 10
20
P(t )
i(t ) 60 60e
1
1
dt
t
1
(t ) e 10 e10
10
1
1
t
t
10
10
e i 6e
1
t
e10 di 1
e10 idt 6e10 dt
10
10
1
( 0)
Por lo t anto :
1
t
10
e di 1
dt
1
0 60 C e 10
60 C e 0 C
1
t
i(t ) 60(1 e
1
t
10
1
t
10 ).....(3)
t
1
1
t
t
d (e10 i) 6e10 dt
1
t
d (e10 i)
1
t
6
1
1
t
10
e dt
t
e10 i 60e10 C
1
t
10
i(t ) 60 Ce
Aplicando la condición inicial i(0)=0:
39
Cuya gráfica es la siguiente:
40
i(t)
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
-10
8
9
10
t
-20
-30
-40
Resolviendo la ecuación diferencial (2) del circuito RL anterior mediante Scientific
WorkPlace, se tiene:
di
dt
1
10
i6
i0 0
1
, Exact solution is:
e
1 t
10
1
60e 10 t 60
Resultado similar al obtenido de manera manual (ecuación 4)
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
APLICACIONES. CIRCUITOS RC Y RL.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos
40
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
3.1 Definición y Propiedades
Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es de la forma:
a n ( x)
dny
dx
n
an 1 ( x)
d n 1 y
dx
n 1
............. a1 ( x)
dy
a0 ( x ) y g ( x )
dx
Sujeta a las condiciones iniciales:
y( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y'0 ,........, y( n 1)( x0 ) y0n 1
Donde y0 , y'0 ,........, y0n 1 son constantes arbitrarias y se busca una solución en algún
intervalo I que contenga a x0.
En el caso específico de una ecuación lineal de segundo orden, con problema del valor
inicial:
a2 ( x )
d2y
dy
a1( x ) a0 ( x ) y g( x ),
2
dx
dx
y( x0 ) y0 ,
y' ( x0 ) y'0
Tiene como solución general yg , la forma:
y g ( x) y h ( x) y p ( x)
Siendo y g (x) & y p (x) soluciones de la parte homogénea y particular, respectivamente
Con
y
h
( x) C1 y1 ( x) C 2 y 2 ( x) .........C k y k ( x)
Y y p (x) estará determinada por el Método de Coeficientes Indeterminados y por el
Método de Variación de Parámetros.
41
3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes.
Una ecuación diferencial ordinaria homogénea de de orden n, con coeficientes constantes
es de la forma:
an
Cuya
solución
es
dny
dx
n
una
an 1
d n 1 y
dx
n 1
............. a1
combinación
de
dy
a0 ( x) y 0
dx
funciones
exponenciales
linealmente
mx
independientes, de la forma general y=e .
Para el caso específico de una ecuación diferencial de segundo orden, de la forma:
a y´´+ b y´+ c y = 0
Se puede probar que existe una solución de la forma general, con y = emx. Y por lo tanto
y´= memx, y´´= m2emx, de tal manera que la ecuación anterior se convierte en:
a m2em+ b memx.+ c emx = 0
factorizando:
emx.(a m2+ b m.+ c ) = 0
Debido a que el factor emx nunca es igual a cero para valores reales de x, entonces:
a m2+ b m.+ c = 0
Ecuación que es llamada ecuación auxiliar o ecuación característica, que es en sí una
ecuación algebraica cuadrática, cuya solución será el buscar sus respectivas raíces. Tales
raíces se encontrarán entre alguno de los tres casos siguientes: raíces reales diferentes,
raíces reales iguales y raíces complejas conjugadas.
Caso I) Raíces reales diferentes
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1= α1 y m2= α2, dando
como solución la siguiente ecuación diferencial ordinaria homogénea:
yh ( x ) C1e1x C2e 2 x
42
Caso II) Raíces reales iguales
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1 = m2 = α, dando como
solución la siguiente ecuación diferencial ordinaria homogénea:
yh ( x ) C1ex C2 xex
Caso III) Raíces complejas conjugadas
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma compleja m1= α + iβ y m2= α - iβ,
dando como solución la ecuación diferencial ordinaria homogénea:
yh ( x ) ex ( C1 cos x C2 sen x )
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales homogéneas de orden
superior:
1)
2)
y´´6 y´5 y 0
2 y´´3 y´2 y 0
proponiend o :
y emx , y´ memx , y´´ m2emx
Sustituyen do :
m2emx 6memx 5emx 0
emx (m2 6m 5) 0
m2 6m 5 0 ec.auxiliar
factorizan do :
m 1(m 5) 0
cuyas raíces son : m1 1, m2 5
Finalmente :
yh ( x) C1e x C2e5 x
proponiendo :
y e mx , y´ me mx , y´´ m 2 e mx
Sustituyen do :
2m 2 e mx 3me mx 2e mx 0
e mx (2m 2 3m 2) 0
2m 2 3m 2 0 ec. auxiliar
Aplicando la formula general:
3 3 2 4(2)(2)
m
2(2)
3
7
3
7
cuyas raices son : m1
i, m 2
i
4 4
4 4
Finalmente :
y ( x) e
h
3
x
4
(C1 cos
7
7
x C 2 sen
x)
4
4
43
3)
y´´´2 y´ 0
4)
y´´´3 y´´4 y´12 y 0
proponiend o :
y e , y´ me , y´´ m e ,
mx
mx
2
mx
y´´´ m e
´3 mx
proponiend o :
Sustituyen do :
3 mx
m e
2me
mx
y e mx , y´ me mx , y´´ m 2 e mx , y´´´ m 3 e mx
0
e mx (m 3 2m) 0
Sustituyen do :
m 3 2m 0 ec. auxiliar
m 3 e mx 3m 2 e mx 4me mx 12 0
factorizan do :
e mx (m 3 3m 2 4m 12) 0
m ( m 2 2) 0
m 3 3m 2 4m 12 0 ec. auxiliar
0 0 2 4(1)(2)
2(1)
cuyas raices son :
utilizando división sin tética :
m1 0, m
m1 0 m 2 2i
m3 2i
Finalmente :
y ( x) C1e 0 x e 0 x (C 2 cos 2 x C 3 sen 2 x)
y h ( x) C1 C 2 cos 2 x C 3 sen 2 x
p 1, 2, 4, 6, 12 y q 1
p
r 1, 2, 4, 6, 12
q
r2
1
1
3
4
12
2
10
12
5
6
0R
(m 2)(m 2 5m 6) 0
m1 2, m
5 5 2 4(1)(6)
2(1)
raices :
5 1
5 1
m1 2, m2 2, m3 3
2 2
2 2
Finalmente :
y h ( x) C1e 2 x C 2 e 2 x C 3 e 3 x
44
5)
y´´´3 y´´2 y´ 0
sujeta a : y (0) 0 , y´(0) 1 y y´´(0) 0
proponiendo :
y e mx , y´ me mx , y´´ m 2 e mx , y´´´ m 3 e mx
Sustituyen do :
m 3 e mx 3m 2 e mx 2me mx 0
e mx (m 3 3m 2 2m) 0
m 3 3m 2 2m 0 ec. auxiliar
factorizan do :
m(m 2 3m 2) 0
3 3 2 4(1)(2) 3 9 8
m1 0, m2,3
2(1)
2
raices : m1 0 m2 1 m3 2
y h ( x) C1e 0 x C 2 e x C 3 e 2 x
y h ( x) C1 C 2 e x C 3 e 2 x
aplicando las condicione s iniciales de la EDO :
0 C1 C 2 C 3 ..........( A)
derivando a y h :
y´h ( x) C 2 e x 2C 3 e 2 x
aplicando las condicione s iniciales de y´:
1 C 2 2C 3 ............( B )
derivando a y h ´(x) :
y h ´´(x) C 2 e x 4C 3 e 2 x
aplicando las condicione s iniciales de y´´:
0 C 2 4C 3 C 2 4C 3 ............(C )
sustituyen do la ec. (C ) en ( B ) y en ( A) :
1 (4C 3 ) 2C 3 C 3 12 C 2 2 C1
3
2
Finalmente :
y h ( x)
3
1
2e x e 2 x
2
2
45
3.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace
Para evaluar una Ecuación Diferencial de orden superior homogénea con Scientific
WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial de orden superior no homogénea, en la forma:
an
dny
dx
n
an 1
d n 1 y
dx
n 1
............. a1
dy
a0 ( x) y 0
dx
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, enseguida elegir solve ODE y exact del submenú
para evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) y 6y 5y 0, Exact solution is: C 7 e x C 8 e 5x
3
3
2) 2y 3y 2y 0, Exact solution is: C 10 cos 14 7 x e 4 x C 11 sin 14 7 x e 4 x
3) y 2y 0, Exact solution is: C 15 cos 2 x 12 C 14 C 16 sin 2 x
4) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C 18 e 2x C 19 e 2x C 20 e 3x
y 3y 2y 0
y0 0
y 0 1
, Exact solution is:
1
2
e 2x 2e x
3
2
y 0 0
46
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO HOMOG SUP.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
3.4 Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas con Coeficientes Constantes.
3.4.1 Introducción
A una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden superior de la forma:
a n ( x)
dny
dx
n
an 1 ( x)
d n 1 y
dx
n 1
............. a1 ( x)
dy
a0 ( x ) y g ( x )
dx
Con g(x)≠0
Y sujeta a las condiciones iniciales:
y( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y'0 ,........, y( n 1)( x0 ) y0n 1
Se lo conoce como Ecuación Diferencial Ordinaria no homogénea de Orden Superior con
coeficientes constantes. Para la cual existen dos métodos de solución: El Método de los
Coeficientes Indeterminados y el Método de Variación de Parámetros. Debido a que
el Método de Variación de Parámetros es mucho más versátil que el Método de los
Coeficientes Indeterminados, en esta parte se utilizará al primero para la solución de
Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas de Orden Superior con Coeficientes
Constantes.
3.4.2. Método de Variación de parámetros.
El Método de Variación de Parámetros es un método adicional para resolver ecuaciones
lineales no homogéneas de orden superior. El procedimiento básico es esencialmente el
siguiente:
La solución particular para una ecuación diferencial ordinaria de segunda grado, no
homogénea es de la forma:
y p ( x ) u1( x ) y1( x ) u2( x ) y2( x )
47
Donde y1(x) y y2(x) son soluciones linealmente independientes obtenidas en la solución de
la ecuación homogénea respectiva:
yh ( x ) C1 y1( x ) C2 y2( x )
Y las funciones u1(x) y u2(x) están definidas mediante:
u1( x )
W1
dx
W
u2 ( x )
y
W2
dx
W
Donde:
W
y1
y2
y1´
y2´
W1
0
y2
f ( x ) y2´
y W2
y1
0
y1´
f(x)
El determinante W se conoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal
de y1 y y2 en I, se sabe que W(y1(x),y2(x))≠0 para toda x en el intervalo.
Este Método, que se acaba d examinar para ecuaciones diferenciales no homogéneas de
segundo orden, puede generalizarse para ecuaciones diferenciales lineales de orden n
que sean de la forma
an
Si :
dny
dxn
an 1
d n 1 y
dxn 1
...... a1
dy
a0 y g( x )
dx
yh(x)=C1 y1(x)+C2y2(x)+……….+Cnyn(x)
es la solución homogénea, entonces la solución particular será de la forma:
y p ( x ) u1( x ) y1( x ) u2( x ) y2( x ) u3( x ) y3( x ) ........ un ( x ) yn ( x )
Donde las uks son funciones que se determinan mediante:
uk ( x )
Wk
dx
W
k 1,2,........,n ,
donde W es el Wronskiano de y1, y2, ………..yn y Wk es el determinante obtenido al sustituir
la k-ésima columna del Wronskiano por la columna:
48
0
0
.
.
.
f(x)
El Método de Variación de Parámetros tiene una clara ventaja sobre el método de
Coeficientes Indeterminados, la cual consiste en que siempre proporciona una solución
particular yp, a condición de que la ecuación homogénea correspondiente se pueda
resolver. El presente método no se limita a una función f(x) que sea una combinación
lineal de los cuatro tipos de funciones con los que sólo trabaja el Método de los
Coeficientes Indeterminados.
49
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales no homogéneas de orden
superior:
y´´ y x
Re solviendo la ecuación homogénea :
y´´y 0
proponiendo :
y e mx , y´ m emx , y´´ m 2 e mx
Sustituyendo :
m 2 e mx e mx 0
e mx (m 2 1) 0
m 2 1 0 ec. auxiliar
resolviendo :
2
m 1 m 1
cuyas raíces son : m1 1, m2 1
cuya solución es :
y ( x) C 1 e x C 2 e x
h
Para la parte no homogénea :
y1 e x , y 2 e x
e x
ex
W
x
e
0
e x
x
e
e
W1
W2
ex
0
x
x
e
e x e x e x e x 2
x
x
xe x
xe x
W1
xe x
dx
dx 12 xe x dx 12 e x ( x 1)
W
2
W2
xe x
u2
dx
dx 12 xe x dx 12 e x ( x 1)
W
2
finalmente:
u1
y p ( x) u1 y1 u 2 y 2 12 e x ( x 1)e x 12 e x ( x 1)e x 12 ( x 1) 12 ( x 1) x
1)
y g ( x) y h y p C 1 e x C 2 e x
x
50
2)
y´´25 y 2e 5 x
para la ecuación homogénea :
y´´25 y 0
proponiendo :
y e mx , y´ m emx , y´´ m 2 e mx
Sustituyendo :
m 2 e mx 25e mx 0
e mx ( m 2 25) 0
m 2 25 0 ec. auxiliar
resolviendo :
m 2 25
cuyas raíces son :
m1 5, m2 5
la solución es :
y h ( x) C1e 5 x C 2 e 5 x
Para la parte no homogénea
y1 e 5 x y 2 e 5 x
5e
5e
5x
2e
W2
5e
5x
e5x
5e
W1
5x
0
5x
W
5 x
e 5 x
0
W1
u1
e 5 x
e5x
W
2e 5 x
dx
5e 5 x e 5 x 5e 5 x e 5 x 10
2e 5 x e 5 x 2
2e 5 x e 5 x 2e10x
2
10dx dx
1
5
1
5
x
W2
2e10x
1 10 x
u1
dx
dx 15 e10x dx 50
e
W
10
finalm ente:
1 10 x 5 x
1 5x
1
y p ( x) u1 y1 u 2 y 2 15 xe 5 x 50
e e
15 xe 5 x 50
e 15 e 5 x ( x 10
)
1
y g ( x) y h y p C 1 e 5 x C 2 e 5 x 15 e 5 x ( x 10
)
51
3)
y´´ y cos2 x
para la ecuación homogénea:
y´´ y 0
proponiendo :
y e mx , y´ m emx , y´´ m 2 e mx
Sustituyendo :
m 2 e mx e mx 0
e mx ( m 2 1) 0
m 2 1 0 ec. auxiliar
despejando:
2
m 1 m i
cuyas raíces son : m1 i,
m 2 i
cuya solución es :
y h ( x) C 1 cos x C 2 senx
Para la parte no homogénea:
y 1 cos x, y 2 senx
cos x
W
senx
senx cos x
0
W1
senx
2
W2
sen 2 cos2 x 1
cos x
cos x
cos x
0
senx cos2 x
senx cos x
2
W1
u1
W
u2
W
cos3 x
dx senx cos2 x dx
W2
1
cos3 x
3
dx cos3 xdx cos x(1 sen 2 x) dx senx
1
sen 3 x
3
finalm ente:
y p ( x) u1 y1 u 2 y 2
y p ( x) 16 cos 2 x
1
1
cos4 x sen 2 x sen 4 x
3
3
1 1 cos 2 x 2
3
2
2x
1cos2 2 x
13 1cos
2
2
1
2
y g ( x) y h y p C 1 cos x C 2 senx 16 cos 2 x
1
2
52
3.5 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior no Homogéneas con Scientific
WorkPlace
Para evaluar una Ecuación Diferencial de orden superior no homogénea con Scientific
WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial do orden superior no homogénea, en la forma:
an
dny
d n1 y
dy
a
............. a1
a0 ( x) y f ( x)
n
1
n
n 1
dx
dx
dx
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, enseguida elegir solve ODE y exact del submenú
para evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) y y x, Exact solution is: C 2 e x x C 3 e x
2) y 25y 2e 5x , Exact solution is: C 5 e 5x C 6 e 5x 15 xe 5x
3) y y cos 2 x, Exact solution is: C 9 cos x
1
6
1
50
e 5x
cos 2x C 10 sinx
1
2
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO NO HOMOG SUP.tex
53
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
3.6 APLICACIONES. CIRCUITOS RCL EN SERIE
Una gran cantidad de sistemas físicos pueden describirse por medio de una Ecuación
Diferencial Lineal de Orden Superior, entre ellos se encuentran los Circuitos Eléctricos
Transitorios, concretamente los circuitos RCL en serie, cuyo esquema se presenta en la
siguiente figura:
R
E
C
L
Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:
s
V 0 : VE VR Vc VL 0
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación
diferencial lineal de primer orden:
L
di
1
R i q E (t )
dt
C
Pero la carga q(t) en el capacitor está relacionada con la corriente i(t) mediante i= dq/dt. Y
así la ecuación anterior se convierte en una ecuación diferencial lineal de segundo grado:
L
d 2q
dq 1
R q E (t )
2
dt C
dt
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de segundo orden, la que se puede
resolver mediante el método estudiado en la sección 3.4.2.
54
Ejemplo. Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el resistor del siguiente
circuito RCL en serie, con:
L=0.5 henrys
R=10 ohms
C= 1x10-3 Faradios
E= 60 Volts
q(0)=1 Coulomb. e i(0)= 0 Amp.
V ,s 0
V V E V L V R VC 0
di
1
Ri q 0
dt
C
2
d q
dq
1
60 0.5 2 10
q0
dt 1x103
dt
Arreglando:
VE L
d 2q
dq
10
1000q 60
2
dt
dt
d 2q
dq
20
2000q 120
2
dt
dt
Para la parte hom ogénea :
0 .5
d 2q
dq
20
2000q 0
2
dt
dt
proponiendo :
q (t ) e mt , q´(t ) m emt , q´´(t ) m 2 e mt
sustituyendo en (2) :
m 2 e mt 20m emt 2000e mt 0
m 2 20m 2000 0 ec. auxiliar
cuyas raíces son : m 10 10 19i
para raíces com plejas:
q h (t ) e 10t (C1 cos 43.59 t C 2 sen 43.59 t )
55
Para la parte no homogénea:
q 1 e 10t cos 43.59t ,
q 2 e 10t sen 43.59t
e 10t cos 43.59t
W
e 10t sen 43.59t
e 10t (10 cos 43.59t 43.59sen 43.59t ) e 10t (10sen 43.59t 43.59 cos 43.59t )
W 43.59e 20t
e 10t sen 43.59t
0
W1
120 e
10t
(10sen 43.59t 43.59 cos 43.59t )
e 10t cos 43.59t
W2
e
10t
0
(10 cos 43.59t 43.59sen 43.59t ) 120
120e 10t sen 43.59t
120e 10t cos 43.59t
W1
120e 10t sen 43.59t
dx
dt 43120
e10t sen 43.59tdt
.59
20t
W
43.59e
10t
2
e (6 x10 cos 43.59t 1.3764x10 2 sen 43.59t )
u1
u2
W2
60e 10t cos 43.59t
dx
dt
W
86e 20t
120
43.59
e
10t
cos 43.59tdt
e 10t (1.3764x10 2 cos 43.59t 6 x10 2 sen 43.59t )
finalm ente:
q p ( x) u1 q1 u 2 q 2 e 10t (6 x10 2 cos 43.59t 1.3764x10 2 sen 43.59t )e 10t cos 43.59t
e 10t (1.3764x10 2 cos 43.59t 6 x10 2 sen 43.59t )e 10t sen 43.59t
q p ( x) 6 x10 2
q g ( x) q h q p e 10t (C1 cos 43.59 t C 2 sen 43.59 t ) 6 x10 2
i (t ) q´(t ) e 10t ( 43.59C1 sen 43.59 t 43.59C 2 cos 43.59 t )
10e 10t (C1 cos 43.59 t C 2 sen 43.59 t )
aplicandocondiciones iniciales :
1 e 0 (C1 cos 0 C 2 sen 0) 6 x10 2
C1 1 6 x10 2 0.94
0 e 0 (43.59C1 sen 0 43.59C 2 cos 0)
10e 0 (C1 cos 0 C 2 sen 0)
0 43.59C 2 10C1
C2
10
10
C1
(0.94) 0.2156
43.59
43.59
q (t ) e 10t (0.94 cos 43.59t 0.2156sen 43.59 t ) 6 x10 2
i (t )
dq
e 10t (3.215x10 5 cos 43.59t 43.13sen 43.59t 0.6)
dt
Resolviendo la ecuación diferencial del circuito RCL anterior mediante Scientific
WorkPlace, se tiene:
56
0. 5
d 2q
dt 2
dq
10 dt 1000q 60
, Exact solution is: 0. 94e 10.0t cos 43. 589t 0. 215 65e 10.0t sin43. 589t 0. 06
q0 1
q 0 0
Derivando con SWP V 5.0:
it
d 10.0t
0. 94 cos 43.
e
dt
589t 0. 215 65 sin43. 589t 0. 06 e 10.0t 3. 215 10 5 cos 43. 589t 43. 13 sin43. 589t 0. 6
Resultado igual al obtenido de manera manual
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
CIRCUITOS RCL.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos.
57
4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1. Definición y Propiedades
La transformada de Laplace L {f(t)} es una integral que ayudará principalmente en la
transformación de una ecuación diferencial de orden n, en una ecuación diferencial lineal,
bajo las condiciones y(0), y´(0), y´´(0),……y(n-1)(0). Como consecuencia de esta propiedad,
la Transformada de Laplace L {f(t)}
resulta muy adecuada en la solución de ciertos
problemas físicos de valor inicial. Por ejemplo, en el análisis de circuitos eléctricos
transitorios en serie y en paralelo, que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias y
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, respectivamente.
Sea f(t) se define para t 0, entonces la integral
∞
L { f(t)}= ∫
e st f(t)dt
0
Se denomina Transformada de Laplace de f(t), siempre que la integral sea convergente, y
su resultado es una función de s. En términos generales, se utilizará una letra minúscula
para denotar la función que se transforma, y la correspondiente letra mayúscula para
representar su transformada de Laplace. Por ejemplo:
L {f(t)}= F(s)
La Transformada de Laplace es una transformación lineal, ya que:
L {αf(t) + βg(t)}= αL {f(t)}+ βL{g(t)}= αF(s) + βG(s )
Con α y β constantes.
Enseguida se muestran Las Transformadas de Laplace de algunas funciones.
58
f(t)
F(s)
1
1/s
tn, n=1, 2, 3, ……..
n! / (sn+1)
eat
1 / (s-a)
sen kt
k / (s2+k2)
cos kt
s / (s2+k2)
senh kt
k / (s2-k2)
cosh kt
s / (s2-k2)
Ejemplos. Encontrar las Transformadas de Laplace de las siguientes funciones
1)
3)
f(t) = 5
f(t) = t + 5
utilizando :
utilizando :
L{1}=
1
s
F(s) == {5}= 5L {1}= 5
1
n!
y L {t n }= n+1
s
s
F(s) = L {t + 5}= L {t}+ 5L {1}
L {1}=
1
5
=
s
s
F(s) =
1!
1
1
5
+5
= 2+
1+1
s
s
s
s
2)
f(t) = 3t 4
utilizando :
L {t n }=
n!
s n+1
F(s) = L {3t 4 }= 3L {t 4 }= 3
4!
72
= 5
4+1
s
s
59
4)
7)
f(t) = (t + 2)2
f(t) = 3cos 5t
utilizando :
utilizando :
f(t) = t 2 + 4t + 4
s
s +k2
F(s) = L {3cos 5t }= 3L {cos 5t }
L {cos kt}=
1
n!
L {1}=
y L {t n }= n+1
s
s
2
{
}
F(s) = L t + 4t + 4 =
= L {t 2 }+ 4L {t}+ 4L {1}
2!
1!
+ 4 1+1
2+1
s
s
2
4
4
= 3+ 2+
s
s
s
F(s) =
+4
1
s
2
s
F(s) = 3
s +( 5)
2
2
=
3s
s +5
2
8)
f(t) = cos 2 2t
5)
utilizando :
utilizando :
s
s +k2
L {sen kt}=
1 + cos4t
1
, L {1} =
2
s
s
y L {cos kt}= 2
s +k2
L {cos 2 2t }= L 1+cos4t
= L 21 + L
2
cos 2 2t =
f(t) = 5cos 6t
2
s
s
F(s) = 5L {cos6t} = 5 2
=5 2
2
s +6
s + 36
{
} {} { }
cos4t
2
1
1
L {1}+ L {cos 4t }
2
2
1
1
1
s
L {cos 2 2t }=
+
2
2 s 2 s + 16
2s 2 + 16
s2 + 8
=
=
2s(s 2 + 16) s(s 2 + 16)
=
6)
f(t) = e 4t
utilizando :
L {e αt }=
1
s-α
1
F(s) = L {e }=
s-4
4t
9)
f(t) = t 2 e 6t
utilizando :
L {t n }=
n!
s n+1
y
L { e at f(t)}= F(s - a)
L {e 6t t 2 }= L {t 2 }s → s -6 =
F(s) =
2!
s3
s → s -6
2
(s - 6)3
60
10)
12)
f(t) = t e 5t
f(t) = t sen ht
utilizando :
utilizando :
n
n
n d
L { t f(t) } = (-1)
F(s) y
ds n
1
L {e at }=
s-a
d
d
1
L { t e 5t } = - L { e 5t } = ds
ds s - 5
1
=
(s - 5 ) 2
dn
L { t f(t) } = (-1)
F(s) y
ds n
k
L {senh kt}= 2 2
s -k
d
d
1
L { t sen ht} =
L { sen ht} =
2
ds
ds s - 12
d
= - (s 2 - 12 )-1 = 2s(s 2 - 12 )- 2
ds
2s
F(s) = 2 2 2
(s - 1 )
n
n
11)
f(t) = t sen 3t
utilizando :
L { t n f(t) } = (-1)n
dn
F(s) y
ds n
a
s + a2
d
d
L { t sen 3t} =
L { sen 3t} = ds
ds
L {senkt}=
=
2
3(2s)
(s 2 + 9)
2
=6
3
s +9
2
s
(s 2 + 9)2
61
4.2. La Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace
Para evaluar una Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
a) Escribir la función f(t) a Transformar
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el
ícono:
b) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Transforms y
finalmente elegir Laplace.
Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con
Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
62
5
s
1)
5, Laplace transform is:
2)
3t 4 , Laplace transform is:
3)
t 5, Laplace transform is:
4)
t 22 , Laplace transform is:
5)
s
5 cos 6t, Laplace transform is: 5 s 2 36
6)
e4t , Laplace transform is:
7)
3 cos 5 t, Laplace transform is: 3 s 2s5
8)
cos 2 2t, Laplace transform is:
9)
t 2 e6t , Laplace transform is:
2
s6 3
10)
te5t , Laplace transform is:
1
s5 2
11)
t sin 3t, Laplace transform is: 6
s
2
s 2 9
12)
t sinh t, Laplace transform is: 2
s
2
s 2 1
72
s5
5
s
1
s2
4
s
4
s2
2
s3
1
s4
1 s 2 8
s s 2 16
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
TRANSF. LAPLACE.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
63
4.3. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
4.3.1 Definición y Propiedades
Anteriormente se transformó una función f(t) en una función F(s) mediante la transformada
de Laplace, simbólicamente esto se representó mediante L {f(t)}= F(s). .Ahora en esta
sección se trabajará con el problema inverso: dada una función F(s) hallar una función f(t)
que corresponde a esta transformada, en otras palabras se dice que f(t) es la
Transformada inversa de F(s) y se escribe de la siguiente manera:
f(t) = L -1 {F(s)}
La Transformada inversa de Laplace es en sí misma una transformación lineal, ya que
L -1 {αF(s) + βG(s)}= αL -1 {F(s)}+ βL -1 {G(s)}
donde F(s) y G(s) son transformadas de algunas funciones f (t) y g(t).
En seguida se muestran las Transformadas Inversas de Laplace de algunas funciones.
L -1 { F(s)}
f(t)
1/s
1
n! / (sn+1)
tn, n=1, 2, 3, ……..
1 / (s-a)
eat
k / (s2+k2)
sen kt
s / (s2+k2)
cos kt
k / (s2-k2)
senh kt
s / (s2-k2)
cosh kt
64
Ejemplos. Encontrar las Transformadas Inversas de Laplace de las siguientes funciones:
1)
3)
1
s3
utilizando :
n
!
L -1 sn
n+1 = t
F(s) =
48
s5
utilizando :
!
L -1 snn+1
= tn
F(s) =
{ }
{}
1
s3 =
-1
L
f(t) =
1
2!
1
2
L
t
{ }
2!
s 2+1
-1
{ }
=
L -1
2
{48s }= 48L {s1 }=
-1
5
5
48 -1 4!
L
4!
s 4+1
f(t) = 2t 4
2)
4)
(s + 1)
s4
F(s) =
3
3
=
2
s + 3s + 3s + 1
s4
1
4s + 1
1
1 1
F(s) =
=
4s + 1 4 s + 14
utilizando :
F(s) =
1 3 3 1
+ + +
s s2 s3 s4
utilizando :
=
L
-1
{ }
n!
s
n+1
F(s) = L
1
L
3!
=tn
{ } { } { }
-1
1
3
+ L
s
1!
{ }
-1
3!
s 3+1
3
1
f(t) = 1+ 3t + t 2 + t 3
2
6
-1
1!
s 1+1
+
3
L
2!
-1
2!
+
s 2+1
{
1
s-a
L -1
L -1
1
4
}
=e
{ }
1
s + 14
1
f(t) = e
4
at
{
1
= L -1
4
1
s - (- 14 )
}
1
t
4
65
5)
7)
5
s + 49
utilizando :
F(s) =
{
{
L
-1
L
-1
3
s - 64
utilizando :
F( s ) =
2
k
s2 + k 2
5
s 2 + 49
}
}
= sen kt
=
5
L
7
{
-1
7
s 2 + 49
{ }
} { } {
L
-1
L
-1
k
s -k2
3
s - 64
3
L
8
-1
}
8
s - 82
2
=
3
senh 8t
8
8)
4s
4s 2 + 1
4s
s
F( s ) = 2
= 2 1
4s + 1 s + 4
utilizando :
2s - 6
s2 + 9
2s - 6
2s
6
F(s) = 2
= 2
- 2
s +9 s +9 s +9
F( s ) =
L
=
2
f ( t) =
6)
= sen hkt
2
5
f(t) = sen 7t
7
L
2
-1
-1
{
s
2
s +k2
{
s
s + 41
2
}
}
f(t) = cos 12 t
F(s) =
utilizando :
= cos kt
= L -1 =
{
L
s
2
s 2 + ( 21 )
{
-1
}
s
= cos kt
s +k2
2
} { }
L
-1
2s - 6
s2 + 9
=L
= 2L
-1
2s
s +9
2
-1
L
-1
s
s +9
2
-1
k
s +k2
2
}
2s
6
- 2
s +9 s +9
2
-L
2
6
s +9
-1
- 6L
s
- 63 L
s +9
f(t) = 2cos 3t - 2sen 3t
= 2L
{
= sen kt
{
}
{ } { }
{ } { }
{ } { }
=L
-1
y
2
-1
1
s +9
2
-1
3
s +9
2
66
9)
10)
1
s 2 + 3s
con fracciones parciales :
F(s) =
s
s + 2s - 3
factorizan do :
F(s) =
1
1
1
= 3- 3
s + 3s s s + 3
utilizando :
F(s) =
L
-1
L
-1
L
-1
2
2
s
s
=
s + 2s - 3 (s - 1)(s + 3)
con fracciones parciales :
F(s) =
2
{ }
{ }
{ }
{ } { }
} {
{ } { } {
1
s
=1 y
3
1
s
= 4 + 4
(s - 1)(s + 3) s - 1 s + 3
utilizando :
F(s) =
1
s-a
=e
1
s 2 + 3s
= 3L
1
1
3
=L
1
s
-1
1
3
f(t) = - e
at
-3t
1
-1
3
-
1
3
L
-1
L
-1
s s+3
- 3L
1
-1
1
s - (-3)
1
s-a
= e -at
s
s + 2s - 3
2
=
1
4
=L
1
-1
4
s -1
{ } {
1
4
s -1
1
f(t) = 4 e t
3
+ 4
+ 43 L
-1
+
3
4
s+3
1
s+3
}
}
e -3t
67
=
4.4. La Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace
Para evaluar una Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
c) Escribir la función F(s) a Transformar
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
d) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Transforms y finalmente elegir
Inverse Laplace.
Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con
Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
68
1
s3
1)
2)
s1 3
s4
1 2
t
2
, Is Laplace transform of
, Is Laplace transform of 3t
3)
48
s5
4)
1
4s1
5)
5
s 2 49
, Is Laplace transform of
6)
4s
4s 2 1
, Is Laplace transform of cos
7)
3
s 2 64
, Is Laplace transform of
8)
2s6
s 2 9
9)
1
s 2 3s
10)
3 2
t
2
1 3
t
6
1
, Is Laplace transform of 2t 4
, Is Laplace transform of
1
4
e 4 t
1
5
7
3
8
sin 7t
1
2
t
sinh 8t
, Is Laplace transform of 2 cos 3t 2 sin 3t
, Is Laplace transform of
s
s 2 2s3
1
3
, Is Laplace transform of
1
4
1
3
e 3t
et
3
4
e 3t
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
TRANSF. INV. LAPLACE.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y ejercicios a resolver.
4.5 APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.4.1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Cuando se especifican condiciones iniciales, la Transformada de Laplace reduce un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la forma:
69
d n yn
d n 1 y n 1
dy
a n ,n
a n ,,n 1
............. a n ,1 1 a n ,0 ( x ) y 0 f n ( x )
n
n 1
dx
dx
dx
n
n 1
d yn
d y n 1
dy
a n 1,n
a n 1,n 1
............. a n 1,1 1 a n 1,0 ( x ) y 0 f n 1 ( x )
n
n 1
dx
dx
dx
.
.
..
a0 ,n
d n yn
d n 1 y n 1
dy
a0 ,,n 1
............. a0 ,1 1 a0 ,0 ( x ) y 0 f 0 ( x )
n
n 1
dx
dx
dx
Sujetas bajo las condiciones iniciales o de frontera siguientes:
ynn 1( x0 ) yn , ynn12 ( x0 ) yn 1 ,.........yó ( x0 ) y0
A un sistema de ecuaciones lineales bajo las funciones trasformadas bajo la variable s. Las cuales
se resolverán por los métodos conocidos (igualación, sustitución, suma y resta, Gauss, Cramer,
etc). Finalmente se aplicará la trasformada inversa para encontrar la solución al sistema de
ecuaciones diferenciales lineales.
Ejemplos. Utilice el método de la Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales.
70
1)
dx
= x + y,
dt
dy
= 2x
dt
x(0 ) = 0 ,
y (0 ) = 1
sustituy endo (3) en (2) :
Y(s)= 2s
{ } L{x} + L{y}
L {dx
dt } = L x + y =
y(t)=L
sX ( s ) - x(0 ) =
+L
sX ( s ) - 0 =
X ( s) + Y ( s)
X ( s) + Y ( s)
X ( s )[s + 1] = Y ( s )......... .......... .......... .........( 1)
{}
dy
L dt = 2 L{x}
sY ( s ) - y (0 ) = 2 X ( s )
sY ( s ) - 1 = 2 X ( s )
2 X ( s) + 1
.......... .......... .......... ......( 2)
s
igualando (1) y ( 2) :
( )- ( )+ 1s =
1
3
s -1
-1
1
2
3
s s+2
2
3
1
1
1
- 23
+
s(s - 1 )
s(s+2 ) s
{Y(s)}= 2 3 L -1 {s(s1-1 )}- 2 3 L -1 {s(s+12 )}
{}
-1 1
s
con fracciones parciales:
y(t)=L
+L
-1
{}
{Y(s)}= 23 L -1 {1s + s1-1 }- 2 3 L -1 {1s2 - s+122 }
-1 1
s
1
{ }+ 23 L -1 {s1-1 }- 31 L -1 {}
s
-1
-1 1
1
1
+ 3 L {s + 2 }+L {s }
-1 1
s
y(t)=
2
3
L
y(t)=
2
+ 2 3 e t - 13 + 13 e - 2 t +1
Y ( s) =
X ( s )[s + 1] = Y ( s ) =
X ( s )[s + 1 -
[
X ( s) s
2 + s -2
s
2
s
2 X ( s) + 1
s
3
y(t)= 2 3 e t - 13 e - 2 t
]= 1
s
]= 1s
1
1
=
.....( 3)
s + s - 2 ( s + 2)( s - 1)
con fracciones parciales :
X ( s) =
2
{X ( s)}= L-1 {s1-31 - s1+32 }=
L -1 {X ( s )} = 13 L -1 {s1-1}- 1 3 L -1 {s +1 2 }
L
-1
x( t ) =
1
3
e t - 13 e - 2 t
2)
71
dx
x 2 y,
dt
dy
5 x y
dt
x( 0 ) 1, y( 0 ) 0
dx
L Lx 2 y Lx 2 Ly
dt
sX ( s ) x( 0 ) X ( s ) 2Y ( s )
sX ( s ) ( 1 ) X ( s ) 2Y ( s )
X ( s )s 1 1 2Y ( s )
2Y ( s ) 1 X ( s )( s 1 )
Y( s )
1 X ( s )( s 1 )
1
X ( s )( 1 s )....( 1 )
2
2
dy
L L 5 x y 5 Lx Ly
dt
sY ( s ) y( 0 ) 5 X ( s ) Y ( s )
sY ( s ) 5 X ( s ) Y ( s )
( s 1 )Y ( s ) 5 X ( s )
sustituyen do ( 3 ) en ( 2 ) :
Y( s )
5X( s )
5 1 s
1
6
s1
s 1 2 s 2 6 2 6 s 2 6
L 1 Y ( s )
5 1
s
L
2
2 ( s 1 )( s 6 )
6
L 1
2
2 6
( s 1 )( s 6 )
con fracciones parciales :
5
1
1
1 2 1 2
1 1
2
L Y ( s )
L
L
2
3 s s 1
3 s
s 2
1
1
2 L 1 2 L 1
3 s
3 s 1
1
1
1
1 L 1 1 L 1
3 s
3 s 2
y( t ) 2 2 et 1 1 e t 1 2 et 1 e t
3
3
3
3
3
3
5X( s )
....( 2 )
s1
igualando ( 1 ) y ( 2 ) :
Y( s )
1
5X( s )
X ( s )( 1 s ) Y ( s )
2
s1
5 1
X ( s ) 1 s
s 1 2
( 1 s )( 1 s ) 5 1
X ( s )
s1
2
1 s2 5
6 s2 1
X ( s )
X ( s )
s1
s1 2
X( s )
1 s1
1 s1
1 s
1
6
2
2
2
2
26s
2 s 6
2 s 6 2 6 s 6
1 s
1
6
x( t ) L- 1 X ( s ) L- 1 2
2
2 s 6 2 6 s 6
1 s 1 -1 1
6
x( t ) L- 1 2
L
2
2 s 6 2 2 6 s 6
1
x( t ) (cosh 6 t cosh 6 t )
2
72
3)
dx
2 y 1,
dt
dx dy
2
dt dt
2
y( t )
x( 0 ) 0 , y( 0 ) 0
( previamente multiplica ndo ( 2 ) por 2 )
2 sX ( s ) 2Y ( s )
1
s
4
s
___________________
2 sX ( s ) 2 sY ( s )
Y ( s ) 2 2 s
Y( s )
1 3 -1 1
L
s 2
1 s
3 3
y( t ) e t
2 2
sustituyen do ( 3 ) en ( 1 ) :
3 -1
L
2
dx
dx
L 2 2 y 2 L 2 L y L 1
dt
dt
1
2 sX ( s ) 2 x( 0 ) 2Y ( s )
s
1
2 sX ( s ) 2Y ( s ) ....( 1 )
s
dx dy
L L 2
dt dt
dx
dy
L L 2 L 1
dt
dt
2
sX ( s ) x( 0 ) sY ( s ) y( 0 )
s
2
sX ( s ) sY ( s ) ....( 2 )
s
res tan do ( 2 ) de ( 1 ) :
3 -1 1
1
L
2
s 1 s
3
1 1
2 sX ( s ) 2
2 s( 1 s ) s
1 1 3
1
X( s )
2
2
2s
2 s (1 s )
con fracciones parciales :
1
1 1
1
2
s (1 s )
s s
1 s
2
1 3 1 1
1
2
2
s
2 s s
1 s
1 31 3 1 3 1
s2 2 s 2 s2 2 1 s
1 31 3 1
X( s ) 2 2
s
2 s 2 1 s
x( t ) L-1 X(s)
1
2
1
X( s )
2
X( s )
1 31
x( t ) L-1 2 2
2s
s
1 3
x( t ) 2 L-1 2 L-1
s 2
3 3
x( t ) 2t e t
2 2
3 1
2 1 s
1 3 -1 1
L
s 2
1 s
3
s
3
1
....( 3 )
2 s( 1 s )
3
1
y( t ) L- 1 Y ( s ) L- 1
2 s( 1 s )
con fracciones parciales :
1
1
1
s( 1 s ) s 1 s
y( t )
3 -1 1
1
L
2 s 1 s
73
4)
sustituyen do ( 3 ) en ( 2 ) :
d2x d2 y
2
2 +
2 =t ,
dt
dt
d2x d2 y
= 4t ,
dt 2 dt 2
x(0 ) = 8 ,
x´(0 ) = 0
y (0 ) = 0 ,
y´(0 ) = 0
{ }= L {t }
L { }+ L { }= L {t }
L
d 2x d 2 y
+
dt 2 dt 2
2
d 2x
dt 2
d2y
dt 2
2
s 2 X ( s ) - sx(0 ) - x´(0 ) +
2
s3
2
s 2 X ( s ) - 8 s + s 2 Y ( s ) = 3 ....( 1)
s
s 2 Y ( s ) - sy(0 ) - y´(0 ) =
{ }= L {4t}
L { }- L{ }= 4 L {t}
L
d 2x d 2 y
dt 2 dt 2
d 2x
dt 2
d2y
dt 2
1 2 4
s2 X ( s ) 8s s2 5 4 2
s s
s
2 1
4
s2 X ( s ) 8s 2 3 2
s
s
s
12
1
X ( s ) 2 2 8s 3
s s
s
2 8 1
X( s ) 4 5
s
s s
6 8 1
x( t ) L1 4 5
s s
s
2
8
1
x( t ) L1 4 L1 L1 5
s
s
s
2 3!
1 1
4!
x( t ) L1 31 8 L1 L1 41
3! s
s 4! s
1
1 4
x( t ) t 3 8
t
3
24
s 2 X ( s ) - sx(0 ) - x´(0 ) ( s 2 Y ( s ) - sy(0 ) - y´(0 )) =
s 2 X ( s) - 8 s - s 2Y ( s) =
4
s2
4
....( 2)
s2
restan do ( 2) a (1) :
s 2 X ( s) - 8 s + s 2Y ( s) =
2
s3
s 2 X ( s) - 8 s - s 2Y ( s) =
4
s2
___________________
2 s 2Y ( s) =
2 4
s3 s2
( )= s1 - s2 ....( 3)
}=
y(t ) = L {Y ( s )} = L {
1
2
y(t ) = L { }- L { }= L { }
L { }
4!
3!
Y ( s) =
1
2s2
2 4
s3 s2
5
-1
-1 1
s5
y(t ) =
4
-1 1 2
s5 s4
-1 2
s4
-1
4!
s 4 +1
-
-1
3!
s 3 +1
1 4 1 3
t - t
24
3
74
5)
d 2x
dy
3 3 y 0,
x( 0 ) 0 , x´( 0 ) 2
2
dt
dt
d 2x
3 y te t , y( 0 ) 0 , y´( 0 ) 0
2
dt
dy
d 2x
L 2 3 3 y L 0
dt
dt
2
d x
dy
L 2 3 L 3 L y L 0
dt
dt
s 2 X ( s ) sx( 0 ) x´( 0 ) 3 sY ( s ) 3 y( 0 ) 3Y ( s ) 0
s 2 X ( s ) 2 3( s 1 )Y ( s ) 0....( 1 )
sustituyen do ( 3 ) en ( 2 ) :
1
1
1
1
s 2 X ( s ) 2 3
2
3s 1 s 12
3 s 3s 1
1
1
1
1
s2 X( s ) 2
2
s ( s 1)
s 1 s 12
1
1
s s 1
2
1
1
X( s ) 2 3 2
s
s
s ( s 1)
con fracciones pàrciales :
s2 X( s ) 2
1
1 1
1
2
s ( s 1)
s s
s1
2
1 1 1
1
X( s ) 2 3 2
s
s
s s
s 1
1 1
1
1
X( s ) 2 3
s s
s
s 1
1
x( t ) L X ( s )
2
d 2x
L 2
3 y L te t
dt
2
d x
L 2 3 Ly L te t
dt
s 2 X ( s ) sx( 0 ) x´( 0 ) 3Y ( s )
s 2 X ( s ) 2 3Y ( s )
1
s 12
1
....( 2 )
s 12
res tan do ( 2 ) a ( 1 ) :
s 2 X ( s ) 2 3( s 1 )Y ( s ) 0
1
1
1 1
x( t ) L1 2 3
s
s 1
s s
1 1
1! 1
2!
1
x( t ) L1 L1 2 L1 3 L1
s 1! s 2! s
s 1
1
x( t ) 1 t t 2 e t
2
1
s 12
_____________________________
s2 X ( s ) 2
3Y ( s )
3 sY ( s )
1
s 12
1
2
3ss 1
con fracciones parciales :
Y( s )
Y( s )
1
1
1
1
....( 3 )
2
2
3s 3s 1 3s 1
3ss 1
1
1
1
y( t ) L 1 Y ( s ) L 1
2
3 s 3s 1 3s 1
1 1 1 1 1 1 1
y( t ) L 1 L 1
L
2
3 s 3 s 1 3 s 1
1 1
1
y( t ) te t e t
3 3
3
75
4.4.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace.
Para evaluar un Sistema de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
a) Escribir el Sistema de Ecuaciones Diferenciales en un campo matricial previamente insertado, de
una columna y los renglones necesarios para las ecuaciones diferenciales del sistema y sus
condiciones iniciales correspondientes. Bajo la siguiente secuencia, en el editor del Scientific
WorkPlace:
Dimensions
Rows______
Insert
Matrix…
Columns____
sombreando las expresiones con sus condiciones iniciales, y hacer “click” en el icono:
Editándose el sistema de Ecuaciones Diferenciales en forma Matemática (color rojo), indicado con
el ícono:
b) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Solve ODE y finalmente elegir el
submenú Solve Exact.
Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific
WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
76
xy
dx
dt
1)
dy
dt
2x
, Exact solution is: yt
x0 0
2
3
et
1
3
e2t , xt
1
3
e2t
1
3
et
y0 1
x 2y
dx
dt
2)
dy
dt
5x y
, Exact solution is: yt
x0 1
5
22
11 et
11
5
22
11 et
11
, xt
1
22
11 et
11
1
2
et
11
1
22
11 et
11
1
2
et
11
y0 0
2 dx
2y 1
dt
3)
dx
dt
dy
dt
2
, Exact solution is: xt 2t
x0 0
3
2
et
3
2
, yt
3
2
3
2
et
1 4
t
24
y0 0
d2x
dt 2
d2x
dt 2
4)
d2y
dt 2
t2
2
4t
d y
dt 2
x0 8
x 0
0
,Exact solution is: xt
1 3
t
3
1 4
t
24
8, yt
1 3
t
3
y0 0
y 0 0
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
SISTEMAS DE EDO..tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y ejercicios a resolver.
77
4.4.3. Aplicaciones. Circuitos RCL en Paralelo
Un sistema físico se puede describir por medio de una sola ecuación diferencial, por ejemplo el
movimiento de un sistema masa-resorte o la respuesta de un circuito en serie. Sin embargo si se
sujetan dos (o mas resortes juntos o si se forma un circuito en paralelo o con más de una malla,
como el de la figura, se necesitará un sistema de dos o más ecuaciones diferenciales
simultáneas para describir la respuesta del circuito.
R
E
C
L
Es importante recordar que se deben cumplir los principios de conservación de la energía, expresadas
mediante los teoremas de Nodos y Mallas de las Leyes de Kirchhoff:
Para cualquier nodo del circuito:
i
s
0
Para cualquier malla del circuito:
V
s
0
78
Ejemplos.
1) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
L=1 H
i1
i3
A
i2
E=120 V
I
R1=10 Ώ
R2=5 Ώ
II
C=0.2 F
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
i1( 0 ) i2 ( 0 ) i3( 0 ) 0 Amp
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
Nodo A:
i
s
0
i1 i2 i3 ....( 1 )
Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:
Malla I:
79
V
0
di1
0
dt
di
10 i2 120 1 0
dt
ordenando :
R1 i2 E L
di1
10 i2 120
dt
....( 2 )
Malla II:
80
V 0
R2 i3
1
i3 ( t )dt R1 i2 0
C
5 i3 5 i3 ( t )dt 10i2 0 ....( 3 )
derivando :
d
d
5 i3 5 i3 ( t )dt 10i2 0
dt
dt
di3
di
5i3 10 2 0 ....( 4 )
dt
dt
de la ecuacion ( 1 ) :
5
i3 i1 i2
....( 5 )
sustituyen do ( 5 ) en ( 4 ) :
di2
d
5 i1 i2 5( i1 i2 ) 0
dt
dt
di
di
di
10 2 5 1 5 2 5i1 5i2 0
dt
dt
dt
di
di
5 1 15 2 5i1 5i2 0 ....( 6 )
dt
dt
aplicando la Transformada de Laplace a ( 2 ) y ( 6 ) :
10
di
L 1 10 i2 L 120
dt
di
L 1 10L i2 120L 1
dt
120
sI1( s ) i1( 0 ) 10 I 2 ( s )
s
de las condicione s iniciales i1( 0 ) i21( 0 ) i3 ( 0 ) 0 :
sI1( s ) 10 I 2 ( s )
120
s
....( 7 )
di
di
L 5 1 15 2 5i1 5i2 L 0
dt
dt
di
di
- 5L 1 15L 2 5L i1 5L i2 L 0
dt
dt
5sI1( s ) i1( 0 ) 15sI 2 ( s ) i2 ( 0 ) 5 I1( s ) 5 I 2 ( s ) 0
5sI1( s ) 15sI 2 ( s ) 5 I1( s ) 5 I 2 ( s ) 0
81
5( s 1 )I1( s ) 5( 3s 1 )I 2 ( s ) 0 ....( 8 )
despejando I1( s ) y sustituyen do en ( 8 ) :
120
I (s)
10 2
s
s
I ( s )
120
5( s 1 )
10 2
5( 3s 1 )I 2 ( s ) 0
s
s
s 1
600 2 50( s 1 )I 2 ( s ) 5( 3s 1 )I 2 ( s ) 0
s
50( s 1 ) 5( 3s 1 )I 2 ( s ) 600 s 2 1
s
65s 55I 2 ( s ) 600 s 2 1
s
s 1
513s 11I 2 ( s ) 600 2
s
600 s 1
1
1
s 1
I2( s )
2
120 2
5 s 13s 11
s 13s 11
s 1
I 2 ( s ) 120 2
s ( 13s 11 )
120
s 1
I2( s )
....( 9 )
11
13 2
s s
13
aplicando fracciones parciales :
I1( s )
s 1
26 1 13 1
26 1
2
11
121 s 11 s
121 s 11
s2 s
13
13
aplicando la Transformada Inversa a ( 10 ) :
I2( s )
120
13
....( 10 )
26 1
26 1 13 1
i2 ( s ) L I 2 ( s ) L
2
121 s 11
121 s 11 s
13
-1
26 - 1
i2 ( s )
L
121
-1
1 13 - 1 1 26 - 1
L
L 2
s 11
s 121
1
11
s
13
11
26 13
26 13t
i2 ( s )
t
e
121 11 121
....( 11 )
sustituyen do ( 10 ) en ( 7 ) :
82
26 1 13 1
120
26 1
sI1( s ) 10
2
11
121
s
11
s
121
s
s
13
120 260 1 130 1 260 1
sI1( s )
s
121 s 11 s 2 121 s 11
13
14780 1 130 1 260
1
I1( s )
....( 12 )
2
3
11
121 s
11 s
121
s s
13
aplicando fracciones parciales al ultimo ter min o de ( 12 ) :
1
13 1 13 1
11 s 11 s 11
13
11
s s
13
sustituyen do ( 13 ) en ( 12 ) :
...( 13 )
14780 1 130 1 260 13 1 13 1
I1( s )
121 s 2 11 s 3 121 11 s 11 s 11
13
14780 1 130 1 260 13 1 13 1
I1( s )
121 s 2 11 s 3 121 11 s 11 s 11
13
14780 1 130 1 3380 1 3380 1
I1( s )
....( 14 )
121 s 2 11 s 3 1331 s 1331 s 11
13
aplicando la Transformada Inversa a ( 10 ) :
14780
1
130
1
3380
1
3380
1
i1( t ) L- 1 I1( s ) L- 1
2
3
11
11 s
1331 s 1331 s
121 s
13
14780 - 1 1 130 - 1 1 3380 - 1 1 3380 - 1
i1( t )
L 2
L 3
L
L
121
s 11
s 1331
s 1331
1
s 11
13
11
i1( t )
14780 130 2 3380 3380 13t
t
t
e
121
22
1331 1331
....( 15 )
sustituyen do ( 11 ) y ( 15 ) en ( 5 ) :
i3 i1 i2
83
11
11
14780
130 2 3380 3380 13t 26 13
26 13t
i3 ( t )
t
t
e
t
e
22
1331 1331
121
121
121 11
11
3094
130 2 3094 13t
i3 ( t )
121t
t
e
1331
22
1331
....( 16 )
2) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
R1=1 Ώ
i1
i3
R2=2 Ώ
A
i2
I
II
L=2 H
C=0.2 F
E=10 V
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
i1( 0 ) i2 ( 0 ) i3( 0 ) 1 Amp
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
Nodo A:
i
s
0
i1 i2 i3 ....( 1 )
Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:
Malla I:
84
V
0
di2
R1 i1 0
dt
di
2 2 i1 0
dt
ordenando :
L
2
di2
i1 0
dt
....( 2 )
Malla II:
V
0
R2 i3
1
i3 ( t )dt E R1 i1 0
C
i1 2i3 5 i3 ( t )dt E
derivando :
d
d
i1 2i3 5 i3 ( t )dt 10
dt
dt
di3
di
5i3 1 0 ....( 3 )
dt
dt
de la ecuacion ( 1 ) :
2
i2 i1 i3
....( 4 )
sustituyen do ( 4 ) en ( 2 ) :
d
( i1 i3 ) i1 0
dt
di
di
2 1 2 3 i1 0 ....( 5 )
dt
dt
aplicando la Transformada de Laplace a ( 3 ) y ( 5 ) :
2
di
di
L 2 3 5i3 1 L 0
dt
dt
di
di
2L 3 5L i3 L 1 L 0
dt
dt
2 sI3 ( s ) 2i3 ( 0 ) 5 I 3 ( s ) sI1( s ) i1( 0 ) 0
de las condicione s iniciales i1( 0 ) i2 ( 0 ) i3 ( 0 ) 1 :
2 sI3 ( s ) 2 5 I 3 ( s ) sI1( s ) 1 0
( 2 s 5 )I 3 ( s ) sI1( s ) 3 ....( 6 )
di
di
L 2 1 2 3 i1 L 0
dt
dt
di
di
2L 1 2L 3 L i1 L 0
dt
dt
2 sI1( s ) i1( 0 ) 2 sI3 ( s ) 2i3 ( 0 ) I1( s ) 0
2 sI1( s ) 1 2 sI3 ( s ) 2 I1( s ) 0
85
2 sI1( s ) 2 sI3 ( s ) I1( s ) 1
( 2 s 1 )I1( s ) 2 sI3 ( s ) 1 ....( 7 )
despejando I 3 ( s ) de ( 6 ) :
3 sI1( s )
....( 8 )
2s 5
despejando I 3 ( s ) de ( 7 ) :
I3( s )
( 2 s 1 ) I1 ( s ) 1
....( 9 )
2s
igualando ( 8 ) y ( 9 ) :
I3( s )
3 sI1( s ) ( 2 s 1 )I1( s ) 1
2s 5
2s
3
sI ( s ) ( 2 s 1 )
1
1
I1 ( s )
2s 5 2s 5
2s
2s
3
1
s
2
s
1
I1( s )
2s 5 2s
2
s
5
2
s
4s 2 12s 5
3
1
I1( s )
2s 5 2s
2s( 2 s 5 )
despejando I1( s ) :
1 2s( 2 s 5 )
3
I1 ( s )
2
2s 5 2s 4 s 12s 5
4 s 5 2 s( 2s 5 )
4s 5
4s 5
2
I1( s )
2
2s( 2s 5 ) 4 s 12s 5 4 s 12 s 5 s 1 s 5
2
2
aplicando fracciones parciales
....( 10 )
4s 5
3 1
5 1
....( 11 )
1 2
5
1
5 2
s
s
s s
2
2
2
2
aplicando la Transformada Inversa a ( 11 ) :
I1 ( s )
5 -1
3
1
5
1
3
1
i1( t ) L- 1 I1( s ) L- 1
L- 1
L
2 s 1 2 s 5 2
s 1 2
2
2
2
1
5
3 t 5 t
i1( t ) L I1( s ) e 2 e 2
2
2
sustituyen do ( 11 ) en ( 8 ) :
-1
1
....( 12 )
s 5
2
....( 13 )
3
s 3 1
5 1
3
3
s
5
s
I3( s )
....( 14 )
1 2
5
2s 5 2s 5 2 s 1 2 s 5 2s 5 2
( 2 s 5 ) s
( 2s 5 ) s
2
2
2
2
86
aplicando fracciones parciales :
s
( 2 s 5 ) s
s
( 2 s 5 ) s
1
2
5 1
1 1
3 2s 5 3 s 1
2
...( 15 )
s
1
1
2
5
2
5
5
5
5
5
s
s s
s
2
2
2
2
2
sustituyen do ( 15 ) y ( 16 ) en ( 14 ) :
....( 16 )
1
3 5 1
1 1
5
1
1
I 3( s ) 6
2
5
2
5 2 3 2s 5 3
1 2
5
5
s
s
s
s
2
2
2
2
1
5 1
1 1
1
25
1
I 3( s ) 6
5
....( 17 )
2
5 2 2s 5 2
1
5
2
5
s
s
s
s
2
2
2
2
aplicando la Transformada Inversa a ( 17 ) :
1
1
1 1
1
25
1
-1
-1
i3 ( t ) L I 3 ( s ) L 6
5
5
2
5 2
1
5
2
5
s 5
s
s
s
s
2
2
2
2
2
1
1 1
25
1
-1
-1
i3 ( t ) L I 3 ( s ) L 6
2
5
1
2s
2
5
s
s
2
2
2
1 1 - 1 1 25 - 1
1
i3 ( t ) 6L- 1
L
L
2
5
1
2
2
s
s
s 1
2
2
2
i1( t ) 6e
5
t
2
1
1
1 t 25 2 t
e 2
te
2
2
....( 18 )
sustituyen do ( 13 ) y ( 18 ) en ( 4 ) :
i2 i1 i3
3 12 t 5 52 t 52 t 1 12 t 25 12 t
i2 e e 6e e
t e
2
2
2
2
i2 ( t ) e
1
t
2
5
1
7 2 t 25 2 t
e
te
2
2
....( 19 )
87
Resolviendo los sistemas de ecuaciones diferenciales de los circuitos RCL en paralelo anteriores
mediante Scientific WorkPlace, se tiene:
di 1
dt
1)
i 2 120
5 didt1 15 didt2 5i 1 5i 2 0
i 1 0 0
, Laplace solution is: i 1 t 120 120e 3 t cos 13 t 2 2 sin 13 t 2 , i 2 t 120 120e 3 t cos 13 t 2
1
1
i 2 0 0
i 3 i 1 i 2 120 120e 3 t cos 13 t 2 2 sin 13 t 2
1
2 didt3 5i 3
2)
di 1
dt
1
1
0
2 didt3 2 didt1 i 1 0
i 1 0 1
120 120e 3 t cos 13 t 2 120 2 e 3 t sin 13 t 2
, Laplace solution is: i 3 t et cosh 16 t 6
1
2
6 sinh 16 t 6 , i 1 t 61
s6
12s 6 6s 26 5
i 3 0 1
i 2 i 1 i 3 et cosh 16 t 6
1
2
6 sinh 16 t 6 61
s6
12s 6 6s 26 5
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
CIRCUITOS RCL EN PARALELO.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
88
5. PRÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y
APLICACIONES, CON SCIENTIFIC WORKPLACE.
INSTRUCCIONES. Para prácticas siguientes se recomienda seguir la estructura, formato y detalles
que se dan en el Apéndice C. Reporte de Práctica, en la página 103.
PRÁCTICA NO. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Objetivo: El alumno evaluará Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden mediante
Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y Papel.
Actividad con el docente. Evaluar de forma manual las siguientes Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Primer Orden. Corroborando los resultados con Scientific WorkPlace, que se dan en
seguida:
1) 2x 3 dy
x 3, Exact solution is: C2
dx
2)
dy
dx
3 cos 2x, Exact solution is: C4
3)
dy
dx
y
xy
3
2
1
2
x
ln x
3
4
3
2
sin 2x
0, Exact solution is: x x2 C3 , x2 C3 x
4) x2 dy
y2 0, Exact solution is: 0,
dx
x
C 5 x1
1
5) 3x 2 dy
2x 3y 0, Exact solution is: 3x2
x2 C2
dx
6) 6y x dy
4x y 0, Exact solution is:
dx
7)
dy
dx
8)
dy
dx
2y x, Exact solution is: 12 x
1
x
y 3, Exact solution is:
4
3
2
x
9) x dy
6y 3xy 3 , Exact solution is:
dx
1
6
x
1
6
23x2 12C6 , 16 x
1
6
23x2 12C6
C4
x
1
4
, C2 e2x
1
2
x
1
4
1
3
C 26 x 2 x
89
Planeación de Trabajo. Evaluar, bajo la dinámica de trabajo anterior, las siguientes Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
1) ex dx
dy
2)
dy
dx
1
x2
y sec x 0
y0
4
3) x y dy
xy
dx
4) x dy
y 2 xy
dx
5) ex dx
dy
6)
7)
dy
dx
1
x2
y sec x 0
y0
dy
dx
4
y tan x sec x
8) x dy
x 2y ex
dx
9) y2 dy
2xy3 6x
dx
10) 3xy2 dy
3x4 y3
dx
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
90
PRÁCTICA NO. 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
Objetivo: El alumno evaluará Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior mediante
Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Actividad con el docente. Evaluar de forma manual las siguientes Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Orden Superior. Corroborando los resultados con Scientific WorkPlace, que se dan en
seguida.
1) y 6y 5y 0, Exact solution is: C7 ex C8 e5x
2) 2y 3y 2y 0, Exact solution is: C10 cos
1
4
3) y 2y 0, Exact solution is: C15 cos 2 x
1
2
7 x e 4 x C11 sin
3
1
4
7 x e 4 x
3
C14 C16 sin 2 x
4) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C18 e2x C19 e2x C20 e3x
5)
y 3y 2y 0
y0 0
y 0
1
, Exact solution is:
1
2
e2x 2ex
3
2
y 0 0
6) y y x, Exact solution is: C2 ex x C3 ex
7) y 25y 2e5x , Exact solution is: C5 e5x C6 e5x
8) y y cos 2 x, Exact solution is: C9 cos x
1
6
1
5
xe5x
1
50
e5x
cos 2x C10 sin x
1
2
9) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C18 e2x C19 e2x C20 e3x
10)
y 3y 2y 2x2 1
y0 0
, Exact solution is: x2 2ex e2x 3x 3
y 0 1
91
Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica de trabajo anterior, las siguientes Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
2
1) 2 ddx2y 6 dy
11y 0
dx
2)
d2y
dx 2
121y 0
3)
d2y
dx 2
5 dy
2y 0
dx
4)
d3y
dx 3
2 ddx2y 4 dy
y 0
dx
2
d2y
dx 2
5 dy
6y 0
dx
5)
y0 0
y 0 2
6)
d2y
dx 2
6 dy
16y x 3
dx
7)
d2y
dx 2
16y cos 2x
8)
d2y
dx 2
10 dy
8y ex
dx
9)
d3y
dx 3
d2y
dx 2
10)
d2y
dx 2
2 dy
y x2 9
dx
14 dy
33y 0
dx
y0 1
y 0 1
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
92
PRÁCTICA NO. 3 LA TRANSFORMADA Y LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Transformadas de Laplace de funciones f(t) y Transformadas Inversas
de Laplace de funciones F(s) mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y
rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Actividad con el docente. Evaluar las siguientes Transformadas de Laplace de funciones f(t) y
Transformadas Inversas de Laplace de funciones F(s). Corroborando los resultados con Scientific
WorkPlace, que se dan en seguida.
5
s
1)
5, Laplace transform is:
2)
3t 4 , Laplace transform is:
3)
t 5, Laplace transform is:
4)
t 22 , Laplace transform is:
5)
s
5 cos 6t, Laplace transform is: 5 s 2 36
6)
e4t , Laplace transform is:
7)
3 cos 5 t, Laplace transform is: 3 s 2s5
5
s
1
s2
4
s
4
s2
2
s3
1
s4
, Is Laplace transform of 2 cos 3t 2 sin 3t
8)
2s6
s 2 9
9)
1
s 2 3s
10)
72
s5
, Is Laplace transform of
s
s 2 2s3
1
3
, Is Laplace transform of
1
4
1
3
e 3t
et
3
4
e3t
, Is Laplace transform of sinh t
11)
1
1s 2
12)
2
s 2 2s1
, Is Laplace transform of 2te t
13)
1
ss 2 1
, Is Laplace transform of 1 cos t
14)
2s
ss1
, Is Laplace transform of 2 e t
93
Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica anterior, las siguientes Transformadas de Laplace
de funciones f(t) y Transformadas Inversas de Laplace de funciones F(s).
1) 1 3t 4t 2
2) t 23
3) e 1t
4)
cos 7tsin 4t
3
5) t sin 2 2t
6) te 4t
7) t cosh 3t sinh 4t
8)
s6
ss 2 2s
9)
s
s9
10)
1
s4
11)
s2
s 2 s
12)
s1
s 2 9
13)
s4
s 3 5s 2
14)
s1
2s 2 2s
s2
s 2 10s
3s
4s 2 s
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
94
PRÁCTICA NO. 4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Objetivo: El alumno evaluará El alumno evaluará Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Actividad con el Docente. Evaluar de forma manual los siguientes Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. Corroborando los resultados con ScientificWorkPlace, que se dan en
seguida.
xy
dx
dt
1)
dy
dt
2x
, Exact solution is: yt
x0 0
2
3
et
1
3
e2t , xt
1
3
e2t
1
3
et
y0 1
x 2y
dx
dt
2)
dy
dt
5x y
, Exact solution is: yt
x0 1
5
22
11 et
11
5
22
11 et
11
, xt
1
22
11 et
11
tet
1
3
1
2
et
11
1
22
11 et
11
1
2
et
11
y0 0
2 dx
2y 1
dt
3)
dy
dt
dx
dt
2
, Exact solution is: xt 2t
x0 0
3
2
et
3
2
, yt
3
2
3
2
et
1 4
t
24
y0 0
d2x
dt 2
d2y
dt 2
t2
d2x
dt 2
d2y
dt 2
4t
x0 8
4)
,Exact solution is: xt
x 0 0
1 3
t
3
1 4
t
24
8, yt
1 3
t
3
y0 0
y 0 0
d2x
dt 2
3 dy
3y 0
dt
d2x
dt 2
5)
3y tet
x0 0
x 0
2
,Exact solution is: xt
1 2
t
2
3t et 1, yt
1
3
et
1
3
y0 0
y 0 0
95
Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica de trabajo anterior, los siguientes Sistemas de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
y
dx
dt
1)
dy
dt
x 2y
x0 0
y0 1
y 0
dx
dt
2)
dy
dt
3x y
x0 1
y0 0
dx
dt
3)
dy
dt
dy
dt
1
y 0
x0 1
y0 1
4)
d2x
dt 2
2 dy
t
dt
d2x
dt 2
dy
dt
1
x0 0
x 0 0
y0 0
y 0 0
d2x
dt 2
dy
dt
0
2 ddt 2x
dy
dt
t2
2
5)
x0 0
x 0 1
y0 0
y 0 0
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
96
PRÁCTICA NO. 5 APLICACIONES. CIRCUITOS RC, RL Y RCL EN SERIE Y EN PARALELO
Objetivo: El alumno Analizará Circuitos Eléctricos RC, RL y RCL en serie y en paralelo y resolverá sus
respectivas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resultado de tal análisis, mediante Scientific
WorkPlace.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Planeación de Trabajo. Analice los siguientes Circuitos Eléctricos Transitorios. Calculando lo que se
te pide y corroborando los resultados con Scientific WorPlace.
1.- A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 50 ohms y la capacitancia es de 3x10-6
Faradios, se le aplica una tensión de 120 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente
i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,
respectivamente cuando t=0.015 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la
resistencia, respectivamente cuando t→∞
2.- A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 0.5 Henrys y la resistencia es de 100
ohms, se le aplica una tensión de 60 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también
la corriente cuando t= 0.05 seg. y cuando t→∞.
3.- Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=6/4 Henrys,
R=20 ohms, C= 1/100 Faradios, E= 210 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.
4.- Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=5 Henry, R=10
ohms, C= 1/25 Faradios, E= 10cos t (Volts). Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.
5.- Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
L=5 H
i1
i3
A
i2
E=100 V
I
R1=100 Ώ
R2=50 Ώ
II
C=0.02 F
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
97
i1( 0 ) i2 ( 0 ) i3( 0 ) 0 Amp
6.- Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
R1=2 Ώ
i1
i3
R2=3 Ώ
A
i2
I
II
L=5 H
C=0.01 F
E=30 V
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
i1 (0) = i2 (0) = i3 (0) = 2 Amp
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los circuitos anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
98
6. APENDICES
Apéndice A. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales
I. IDENT IDADES T RIGONOMÉTRICAS.
c.o.
c.a
1. sen
2. cos
hip
hip
c.o.
hip
3. tan
4. csc
c.a
c.o.
hip
c.a
5. sec
6. cot
c.a
c.o.
2
2
7. sen cos 1
8. 1 tan2 sec 2
9. 1 cot2 csc 2
co
hip
10. sen 2 1 1-cos2
2
θ
2
1
11. cos 1 cos2
ca
2
12. sen sen cos cossen
13. cos( ) cos cos sensen
tan tan
14. tan( )
1 tan tan
15. sen( ) sen cos cossen
16. cos( ) cos cos sensen
tan tan
17. tan( )
1 tan tan
18. sen 2 2sen cos
19. cos 2 cos2 sen 2 1 2sen 2 2 cos2 1
20. tan 2
2 tan
1 tan2
21. sen cos 1 sen( ) sen( )
2
22. cossen 1 sen( ) sen( )
2
23. cos cos 1 cos( ) cos( )
2
24. sensen 1 cos( ) cos( )
2
25. sen sen 2sen
cos
2
2
26. cos cos 2 cos
cos
2
2
27. sen sen 2 cos
sen
2
2
28. cos cos 2sen
sen
2
2
II. REGLAS DE EXPONENCIACIÓN
Y LOGARIT MICAS.
u
29. a a v au v
33.(au )v a uv
37. (ab)n a u bu
30.
au u v
a
av
p q pq
31. e e e
32. ln e x x
a au
34.
u
b
b
p
e
p- q
p
pr
35.
e
38. (e )r e
q
e
36. elnx x x 0.
III. IDENTIDADE S TRIGONOMÉTRICAS
HIPERBÓLICAS.
39. cosh 2 senh 2 1
40. 1 tanh 2 sec h 2
41. coth 2 1 csc h 2
e e
42. senh
2
e e
43. cosh
2
senh e e
cosh e e
cosh e e
45. coth
senh e e
1
2
46. sec h
cosh e e
44. tanh
47. csc h
1
2
senh e e
IV. REGLAS DE DERIVACIÓN.
f ( x h) f ( x) DEFINICIÓN DE
df(x)
48.
lim
, LA DERIVADA
dx
h 0
h
49. d x 1
dx
50. d (u v) d u d v
dx
dx
dx
51. d cu c d u
dx
dx
n
d
52. x nx n 1
dx
53. d (uv) u d v v d u
dx
dx
dx
v d u u d v
dx
54. d uv dx
5dx
v2
55. dx u n nu n 1 d u
dx
56. d u v vu v 1 d u ln u v v d v
dx
dx
dx
d
d
57. senu cos u u
dx
dx
d
58. cos u senu d u
dx
dx
2
d
59. tan u sec u d u
dx
dx
60. d cot u csc 2 u d u
dx
dx
61. d sec u sec u tan u d u
dx
dx
62. d csc u csc u cot u d u
dx
dx
d
d
1
63. arcsenu
u
dx
1u 2 dx
99
64. d arccosu 1 d u
dx
1u 2 dx
65. d arctanu 1 d u
dx
1u 2 dx
d
66. arc cot u 1 d u
dx
1u 2 dx
d
du
1
67. arc sec u
dx
dx
2
u u 1
d
du
1
68. arc csc u
dx
dx
2
u u 1
d
du
1
69. loga u
dx
u ln a dx
70. d au au ln a d u
dx
dx
71. d eu eu d u
dx
dx
d
DE LA
72. f ( g ( x)) d ( f ( g ( x))) d g ( x) , REGLA
CADENA
dx
dx
dx
73. d senhucosh u d u
dx
dx
74. d cosh u senhu d u
dx
dx
d
2
75. tanhu sec h u d u
dx
dx
d
2
76. cothu csc h u d u
dx
dx
77. d sec hu sec hu tanhu d u
dx
dx
78. d csc hucsc hu cothu d u
dx
dx
V. REGLAS DE INT EGRACIÓN.
79. sen udu cos u c
80. cos udu senu c
81. sec 2 udu tanu c
82. csc 2 udu cot u c
83. sec u tanudusec u c
84. csc u cot udu csc u c
85. tanuduln sec u c
89. senhuducosh u c
90. cosh udu senhu c
91. tanhudu ln cosh u c
92. cothudu ln senhu c
93. sec hudu tan1 senhu c
94. csc huduln tanh1 u c
2
2
95. sec h udu tanhu c
96. csc h 2udu cothu c
97. sec hu tanhudu sec huc
98. csc hu cothudu csc huc
99. udu uv vdu ,
INTEGRACIÓ N
POR PARTES
100. u du 1 u n 1 c
n 1
101. u r du u r 1 c, r -1 , ln u c, r -1
102. du ln u c
u
103. eu eu c
104. a u du 1 a u c
ln a
du
105.
sen 1 u c
a
a2 u 2
106. 2du 2 1 tan1 u c
a
a
a u
du
1
107.
sec 1 u c
a
u u 2 a2 a
108. 2du 2 1 ln u a c
2a u a
a u
109. 2du 2 1 ln u a c
2a u a
u a
n
2
110. a 2 u 2 dx u a 2 u 2 a arcsen u c
a
2
2
2
111. u 2 a 2 dx u u 2 a 2 a ln u u 2 a 2
2
2
du
u
1
112. 2
arctan c
a
u a2 a
b
113. a f ( x)dx f (b) f (a)
86. cot uduln senu c
87. sec uduln sec u tanu c
88. csc uduln csc u cot u c
100
Apéndice B. Tablas de Transformadas de Laplace
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(t)
F(s)
1
1
s
t
1
s2
tn
n!
s n 1
Senkt
k
s k2
Coskt
s
s k2
Sen2kt
2k 2
s( s 2 4k 2 )
Cos2kt
s 2 2k 2
s( s 2 4k 2 )
eat
1
sa
senhkt
k
s k2
coskt
s
s k2
2
2
2
2
1
11
teat
s a 2
n!
12
13
tneat
s a n1
senktcoshkt
k ( s 2 2k 2 )
s 4 4k 2
101
14
cosktsenhkt
k ( s 2 2k 2 )
s 4 4k 4
15
senat
t
a
arctan
s
16
eatf(t)
F(s-a)
17
F(t-a)U(t-a)
e-asF(s)
U(t-a)
e as
s
18
19
tnf(t)
1n
dn
F( s )
ds n
102
Apéndice C. Reporte de Práctica (1)
Descripción de los puntos a desarrollar en la estructura del reporte de una práctica
de matemáticas
I. CARÁTULA
1. Escribir con mayúscula y negrita el nombre de la institución correspondiente,
centrada y con su logotipo a la izquierda.
2. Escribir en seguida con mayúscula y negrita el nombre de la división
correspondiente, centrada y con su logotipo a la derecha. Al mismo nivel del logotipo
de la institución.
3. Escribir el nombre de la práctica, centrada, a tres interlineados.
4. Escribir el número de la práctica alineado a la izquierda, a tres interlineados.
5. Escribir los integrantes del equipo de alumnos que realizó la práctica, a un
interlineado cada integrante, centrados.
6. Escribir la fecha en que se realizó la práctica (dd/mm/aa) alineada a la izquierda, a
tres interlineados.
7. Escribir el periodo escolar correspondiente (año-semestre) en que se realizó la
práctica, a tres interlineados.
II. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
1. Describir detalladamente los objetivos generales de la práctica.
2. Describir detalladamente los objetivos específicos de la práctica, si existen.
III. MARCO TEÓRICO.
Desarrollar manera detallada (evitando demostraciones matemáticas) el marco teórico
mediante el cual se sustenta el tema a tratar. Así como la descripción breve del software
utilizado, con las rutinas y librerías del mismo utilizadas específicamente en el tema a
tratar.
IV. MATERIAL Y EQUIPO
Enlistar y describir de manera breve el material y equipo a utilizar (tipo, serie, cantidad,
etc.)
103
V. CONTENIDO DEL REPORTE DE PRÁCTICA
El reporte de la práctica deberá contener de manera detallada los siguientes puntos:
a) Ejemplos
Realizar junto con el docente y de manera detallada por lo menos 5 ejemplos de inducción
al tema de la práctica correspondiente, con el software propuesto.
b) Ejercicios de práctica
Resolver de manera individual y/o colectiva, en la sesión correspondiente, una serie de 20
ejercicios por lo menos, del tema la práctica correspondiente.
c) Cotejo de resultados
Cotejar algunos de los resultados de algunos ejercicios obtenidos en la práctica
correspondiente, en forma manual (hoja-lápiz), con los obtenidos mediante el software
elegido.
d) Ejercicios complementarios
Con el objetivo de seguir ejercitando, resolver por lo menos 5 ejercicios la práctica
correspondiente, mediante las dos formas: manual y mediante el software propuesto,
comparando sus resultados.
Nota: Los problemas resueltos de las secciones anteriores se deberán integrar al reporte
de práctica, exportándolos como dibujos al procesador de texto mediante el cual se edite
la práctica, ya que Scientific WorkPlace es compatible con Microsoft.
VI. CONCLUSIONES
Escribir las conclusiones obtenidas de la práctica correspondiente, analizando las
características y viabilidad de Scientific WorkPlace, describiendo sus ventajas y
desventajas en la solución de problemas de abordados en la práctica correspondiente.
VII. BIBLIOGRAFÍA
Escribir la bibliografía consultada el desarrollo y reporte de la práctica correspondiente.
(1) El formato del reporte será con letra Arial, tamaño 12 e interlineado de 1.5
espacios.
104
6. BIBLIOGRAFIA DE APOYO
1. Autor: ZILL DENNIS G.
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES
Editorial: THOMPSON
Edición: QUINTA
2. Autor: EDWARDS JR. C. H. Y PENNEY DAVID E.
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES CON APLICACIONES
Editorial: ED. PRENTICE-HALL
Edición: PRIMERA
3. Autor: KREYSIG ERWIN.
Titulo: MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA, VOL. 1 Y II (5.1 EDICIÓN)
Editorial: ED. LIMUSA
Edición: PRIMERA
4. Autor: BORELLI/COLEMAN
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES
Editorial: ED. OXFORD
Edición: PRIMERA
5. Autor: MARCUS
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES
Editorial: CECSA
Edición: PRIMERA
105
6. Autor: SWOKOWSKI EARL W.
Título: CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA
Editorial: GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA
Edición: PRIMERA.
10. SCIENTIFIC WORKPLACE V. 5.50 BUILD 2953. MACKICHAN SOFTWARE, INC.
WEB SITE: http://www.makichan.com
106
