P - Matestay Design by Carlos Estay F.

DEFINICIÓN
De la siguiente elipse:
B 1
Es el lugar geométrico de un punto “P” que se mueve
en un plano de tal manera que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos
es siempre igual a una constante positiva “2a”
b
c
V 2
c
C
F 2
V 1
F 1
b
GRÁFICAMENTE:
B 2
P
2
Se cumplen las siguientes relaciones:
F 1
F 2
V1V2 = 2a
B1B2 = 2b
F1F2 = 2c
2
La relación entre: a, b y c es:
PF1 + PF2 = 2a
a2 = b 2 + c 2
EXCENTRICIDAD:
Se representa por “e” y se define así:
ELEMENTOS:
D2
D1
B 1
E
D
P
F 2
V 2
C
L
F 1
V 1
como: c < a 
Luego:
E
R
D
<1
e<1
B 2
y
:
Directriz
LF
LN
C
V1 y V2
F1 y F2
LR
EE’
DD’
PF1 PF2
V1V2
B1B2
F1F2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Eje focal
Eje normal
Centro
Vértices
Focos
Lado recto
Cuerda focal
Diámetro
Radio vector
Eje mayor
Eje menor
Segmento focal
RELACIONES FUNDAMENTALES
1
LONGITUD DEL LADO RECTO
LR = L’R’ =
DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS DIRECTRICES
C. Forma General:
Si desarrollamos la ecuación ordinaria:
DD’ =
Eliminando los denominadores, ordenando
términos y haciendo cambio de variables
obtenemos:
ECUACIONES DE LA ELIPSE
Se clasifican en:
I.
AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
EJE FOCAL PARALELO EJE X
A la vez tiene tres formas:
A. Forma Canónica:
Es una elipse de centro en el origen y cuyo eje
focal coincide con el eje X.
siendo: A > 0 y C > 0
además: D, E y F  
NOTA:
Para obtener la ecuación de una elipse en su
forma ordinaria, simplemente se completa
cuadrados a la forma general.
Gráficamente:
II. EJE FOCAL PARALELO EJE Y
A la vez tiene tres formas:
A. Forma Canónica:
Es una elipse de centro en el origen y cuyo
eje focal coincide con el eje Y.
Gráficamente:
su ecuación es:
Y
L
V 1
D1
F 1
B. Forma Ordinaria:
X
O
F 2
Es una elipse con centro en (h; k) y cuyo eje focal
es paralelo al eje “X”.
Gráficamente:
V 2
L
D2
su ecuación es:
B. Forma Ordinaria:
Es una elipse con centro en (h; k) y cuyo eje
focal es paralelo al eje “Y”.
sus ecuaciones:
2
Gráficamente:
Y
V 1
F 1
k
C
F 2
V 2
O
h
X
su ecuación es:
C. Forma General:
Si desarrollamos la ecuación ordinaria:
Eliminando los denominadores ordenando
términos y haciendo cambio de variables
obtenemos:
AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
siendo: A > 0 y C > 0
además: D, E y F  
OBSERVACIÓN:
Se observa que la ecuación de una elipse en su
forma general con eje focal paralelo al eje “X” y eje
focal paralelo al eje “Y” son coincidentes en su
escritura.
Si nos dan como dato la ecuación de una elipse en su
forma general, tenemos que completar cuadrados
para afirmar si su eje focal es paralelo al eje “X” o al
eje “Y”.
3
01. Calcular la ecuación del lugar geométrico de los
puntos P(x; y) cuya suma de distancias a los
puntos (4; 2) y (-2; 2) sea igual a 8
A)
B)
C)
D)
A) 5x2+9y2=45
C) 5x2+8y2=40
E) 9x2+5y2=45
B) 8x2+5y2=40
D) 9x2+8y2=72
07. Si los focos de una elipse son los puntos (1; 2)
y (1; 8) y uno de los extremos del eje menor está
en la recta y=3x-7, determinar la longitud de sus
lados rectos
E)
02. Calcular la ecuación de la elipse de centro (1; 2),
uno de los focos (6; 2) y que pase por el punto (4;
6)
A)
B)
C)
D)
E)
03. La ecuación de una elipse es 4x2+y2+8x-4y-4=0.
Calcular las ecuaciones de sus directrices
A) x + 5 = 0  x - 3 = 0
B) x + 1 = 0  x - 5 = 0
C) x + 3 = 0  x - 5 = 0
D) x + 4 = 0  x - 4 = 0
E) y - 6 = 0  y + 2 = 0
A) x2+y2=52
B) 4x2+y2=52 C) x2+4y2=52
2
2
D) x +13y =52 E) 13x2+y2=52
05. Una elipse tiene sus vértices sobre los puntos (2;
6) y (2; -2) si su lado recto mide 2, determine su
excentricidad
B)
E) 3/4
C)
06. Determinar la ecuación de una elipse cuyos
focos y vértices coinciden con los focos y
vértices de las parábolas:
P: y2+4x-12=0
P: y2- 4x-12=0
1
B)
E) 6
C) 2
08. Hallar la ecuación de la recta tangente a la
elipse γ: x2 + 2y2 = 8, en el punto ( ; -1)
A)
C)
E)
x-2y=8
y-2x=8
x-2y=4
B)
D)
x+2y=4
y+2x=6
09. El centro de una elipse es (1; -3), un foco es (1;
9) y un extremo del eje menor es (-4; -3), hallar
la ecuación de la elipse:
A)
B)
C)
D)
E)
04. Determinar la ecuación de una elipse con centro
en el origen y eje mayor sobre el eje de abscisas,
si se sabe que pasa por los puntos (4; 3) y (6; 2)
A)
D) 1/2
A)
D) 3
10. Una represa de sección vertical semielíptica
tiene una profundidad máxima de 40 m y un
ancho de 100 m en la parte superior. ¿Qué
profundidad tiene la represa a una distancia de
30 m de su centro?
A) 16 m
D) 24 m
B) 18 m
E) 32 m
C) 20 m
11. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos
están situados en el eje de las abscisas y son
simétricos con respecto al origen de
coordenadas, sabiendo además que:
2c = 10 y 2b = 8
A)
B)
C)
D)
C) 4x2-2y2-4x+y-20=0
D) 6x2-4y2-48y-14x+21=0
E) 8x2-y2-16x+8y-40=0
E)
12. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola
son los puntos (0; 3) y (0; -3) y la longitud de
cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la
hipérbola
19. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que
su excentricidad es
, un vértice (-5; -5) y centro
(-5; 1)
A) y2 - 3x2 = 9 B) y2 - x2 = 9 C) x2 - y2 = 9
D) x2 - 3y2 = 9 E) 2y2 - 3x2 = 6
13. Los focos de una hipérbola coinciden con los
A)
B)
focos de la elipse:
Hallar la ecuación de la hipérbola, si su
excentricidad es e=2
C)
D)
A)
B)
C)
D)
E)
20. Las asíntotas de una hipérbola son las
rectas x -3y+2=0 y x+3y+2=0, un vértice es (-5;
0). Hallar la ecuación de la hipérbola
E)
14. Se tiene una hipérbola con centro en (4; 2) y foco
en (4; 6). Si se sabe que la longitud de su lado
recto es 6,4, determinar la longitud del eje
conjugado
A) 5
D) 8
B) 6
E) 9
C) 7
15. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices
(0;24) y (0;-24) y la ecuación de sus asíntotas
son:
A) y2/496-x2/169=1
C) y2/496-x2/64=1
E) y2/496-x2/186=1
B) y2/496-x2/100=1
D) y2/496-x2/196=1
16. Si la longitud del eje transverso y la excentricidad
de una hipérbola, están en la relación de 18 a 3,
calcular la distancia entre sus directrices
A) 5
D) 9
B) 6
E) 12
C) 8
17. La ecuación de una hipérbola es
4x2-9y2+16x-54y-101=0.
Calcular la longitud de su lado recto
A) 2/3
D) 8/3
B) 4/3
E) 31/3
C) 32/3
18. Una hipérbola con centro en (1; 4) tiene un foco
en (7; 4) y un vértice es (3; 4). Hallar su ecuación
A) 2x2-y2-4x-8y-16=0
B) 2x2-y2-8x+6y-19=0
2
A) 9x2+y2+6y-4x+1=0
B) 9y2-x2-8y-6x-11=0
C) x2-9y2+4x-5=0
D) 25x2-16y2-8x-10=0
E) 9x2-y2-2x+4y=0
TAREA
21. En una elipse de ecuación :
5x2 + 9y2 - 30x + 18y + 9 = 0
hallar las coordenadas de su centro
A) (1; -4)
D) (4; -3)
B) (3; -7)
E) (1; -1)
A) a
D) 2b
C) (3; -1)
22. Calcular el área del cuadrilátero que tiene dos
vértices en los focos de la elipse:
9x2 + 5y2 = 1, y los otros dos coinciden con los
extremos de su eje menor
A)
D)
u2
u2
B)
u2
E)
u2
u2
C)
23. Determinar n para que la recta y = 2x + n sea
tangente a la elipse
=1
A) ± 1
D) ± 4
B) ± 2
E) ± 5
C) ± 3
24. Determinar la excentricidad de la elipse; si su eje
menor se ve desde uno de los focos formando un
ángulo de 60°
A)
B)
D)
E)
C)
25. El área de una región cuadrada, inscrita en una elipse
con ecuación :
; es :
A)
B)
D)
E)
C)
26. En la figura mostrada determinar :
M=
donde : (bx)2 + (ay)2 = a2b2; a > b
F1; F2 : focos de la elipse.
y
h1
h2
F 2
α
β
P
3
F 1
x
B) 2a
C) b
E) (a2 + b2)/c2
27. En una hipérbola cuya ecuación es :
16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0
hallar las coordenadas de su centro
A) (2; -1)
D) (3; -4)
B) (1; -3)
E) (3; -6)
C) (2; -3)
28. La ecuación de la hipérbola es :
9x2 - 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0
marcar lo incorrecto :
A) Vértices : (3; 4); (3; -2)
B) Focos : (3; 1 +
); (3; 1 )
C) Longitud del eje transverso = 6
D) Longitud del lado recto = 8/3
E) Excentricidad :
/2
29. Determinar la ecuación de una hipérbola con centro en
el origen, si su eje transverso está sobre el eje X.
Además su excentricidad es
y contiene al punto
(2; 1)
A) 2x2-y2=2
D) x2-y2=2
B) x2-2y2=2
E) x2-2y2=1
C) 2x2-y2=1
30. Una hipérbola tiene su centro en el origen y pasa por
el punto (-1; 2). Calcular su ecuación si la longitud de
cada lado recto es 2/3 y su eje conjugado está sobre
el eje x
A) y2-3x2=3
D) 3y2-x2=3
B) y2-3x2=1
E) y2-x2=1
C) 3y2-x2=1