1 - Facultad de Arquitectura

Cátedra de Matemática
Facultad de Arquitectura
Universidad de la República
Matemática
2013 – Segundo semestre
Hoja 3: Derivadas e integrales de funciones continuas
1
Derivada
Ejercicio * 1 Un auto se mueve en una carretera recta en una dirección. En tiempo t = 0
se encuentra en un punto al que llamaremos x = 0. La posición en tiempo t se denomina
x(t). El tiempo se expresa en horas y la distancia en kilómetros.
1. La velocidad media en [t, tf ] se define como
Δx
.
Δt
A las 2 horas el auto se encuentra a 160 km del punto de partida, y a las 3 horas
se encuentra a 360 km del punto de partida. Calcule la velocidad media del vehı́culo
entre las horas 2 y 3.
2. La velocidad instantánea en tiempo t se define como limΔt→0
Δx
.
Δt
Se conoce ahora la posición del auto en cada tiempo entre la partida y las 3 horas.
Ésta responde la función x(t) = 40t2 . Calcule la velocidad media en [2, 2 + Δt] con
Δt = 0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001. Calcule la velocidad instantánea en t = 2.
¿Qué observa? Relacione los cálculos hechos con el concepto de derivada.
3. Grafique la función x(t) entre los tiempos 0 y 3 e interprete gráficamente las velocidades
medias y la instantánea calculadas en la parte anterior.
4. Entre las horas 3 y 4, la posición responde a la función x(t) = 360 − 40(t − 3)2 . Calcule
la velocidad intantánea v(t) para cada tiempo t entre 0 y 4. Grafique x(t) y v(t). ¿Qué
sucede cuando v es negativa?
5. La aceleración media en [t, tf ] se define como
.
t se define como limΔt→0 Δv
Δt
Δv
Δt
y la aceleración instantánea en tiempo
Calcule la aceleración instantánea a(t) en cada tiempo t entre las horas 0 y 3. ¿Es
realista este modelo para el movimiento de un auto?
Ejercicio 2 Consideraremos la función
f (x) = x2
y a partir de x = 3 un incremento Δx de la variable x.
1. El incremento de f con respecto a su valor en 3, cuando se evalúa en 3 + Δx es
Δf =
× Δx +
1
× (Δx)2 .
2. El cociente incremental Δf /Δx es
× Δx.
+
3. Cuando Δx → 0, los cocientes incrementales Δf /Δx se aproximan a
.
Nota: Completar con números las casillas.
Ejercicio 3 Una partı́cula se mueve de tal manera que su velocidad en cada instante t es
v(t) = 5t3 + 5t2 − 5t − 5 m/s, entre los tiempos t=0 y t=3 segundos. Hallar la velocidad
máxima y la mı́nima alcanzada. ¿Qué significado fı́sico tiene una velocidad negativa?
Ejercicio 4 Se quiere construir un galpón cuya base sea rectangular. Su perı́metro será de
50 metros. Hallar las dimensiones de la base para que la superficie sea la máxima posible.
2
Integrales de funciones continuas
1
Ejercicio * 5 Considere la siguiente integral:
0
ex dx.
1. Dividir el intervalo de integración en 1, 2 y 4 intervalos y obtener las sumas superiores
e inferiores respectivas.
2. Usar las sumas superiores e inferiores para construir una aproximación del verdadero
valor de la integral y dar una cota del error cometido.
3. Hallar una aproximación de la integral con un error menor a 1/5.
Ejercicio 6 Hallar una aproximación de
1
0
2
e−x dx
con un error menor a 1/10.
Ejercicio 7 Dado el gráfico de la figura 1. Hallar una aproximación de la integral entre 2 y
8, y dar una cota del error cometido.
Y
5
9
2
4
7
2
3
8
7 3
3
2
1
X
−1
1
2
3
4
5
−1
Figura 1.
2
6
7
8
9
10
Ejercicio 8 Para el gráfico de la figura 2 hallar una aproximación del integral de 2 a 9 e
indicar una cota del error cometido.
6
Y
5
13
3
4
5
2
3
2
1
X
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 2.
Ejercicio 9
2
1. Graficar o buscar un gráfico de e−x .
2. Hallar una aproximación de
1
0
2
e−x dx
con un error menor a 1/10.
El siguiente ejercicio retoma cálculos que ya hemos hecho, pero ahora en el contexto de
hallar variaciones, cocientes incrementales y derivadas.
Ejercicio 10 Se considera la función
f (x) = (3 − |6 − x|)
a partir de la que se define
F (x) =
x
4
f (t)dt.
1. Para x = 5 y Δx = 2, hallar el valor del cociente incremental ΔF/Δx.
2. Para x = 5 y Δx próximo a 0, hallar la expresión del cociente incremental ΔF/Δx.
3. Para x = 5, hallar el valor al que se aproximan los cocientes incrementales ΔF/Δx
cuando Δx se aproxima a 0.
4. Calcular F (5) y f (5). Explicar en términos de áreas bajo el gráfico de f la relación
entre estos dos resultados.
Ejercicio 11 Sea F : R → R la función definida por la fórmula
x
(|2t + 4| − 4) dt.
F (x) =
−3
3
1. Para x = −2 y Δx cualquiera, hallar la fórmula del incremento ΔF . Distinguir según
Δx sea mayor o menor que 0. Calcular el cocientes incrementales cuando Δx se
aproxima a 0.
Atención que Δx puede tender a cero por dos caminos. Acercandose por la derecha, o
sea, tomando valores positivos pero cada vez menores hasta que se anulen o acercandose
por la izquierda, con valores negativos que crecen hasta volverse nulos (sı́, aumentan
hasta volverse nada). Cuando se aproxima por la derecha escribimos Δx → 0+ y
cuando es por la izquierda Δx → 0−
¿Cuál es entonces el valor de F (2)?
2. Para x = −3, hallar la fórmula del incremento ΔF para valores de Δx próximos a 0.
¿Está fórmula es válida para cualquier valor de Δx? ¿Por qué? Si la respuesta es no,
¿para qué valores de Δx es correcta y para qué valores no lo es?
3. Calcular F (5).
Ejercicio 12 Calcular:
1. 6x2 dx
2. 2x5 dx
Ejercicio 13 Calcular
1. (2 − 3x − x2 ) dx
2. (7x5 − 3x3 + 12x) dx
3. (2t2 + 4t − 1) dt
4. (at2 + bt + c) dt
Ejercicio 14 Calcular:
5
1. 2 (3x2 − 4) dx
3
2. 0 (x3 − x2 + 4x) dx
Ejercicio 15 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m por 10m de ancho. El dueño
quiere que el piso sea el grafico de la parábola
y=−
x2
+ 20
5
en el primer cuadrante, tomando una esquina del jardı́n como el origen, el ancho como el eje
horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio será reservado a césped y canteros
para plantas.
Pedı́ dos presupuestos. Alberto Álvarez contestó que la obra costarı́a $88000. Mientras
que en Baldosas Báez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600
por metro cuadrado.
¿Cuál de las dos opciones es la más barata?
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