Ejercicio 3 - U
Anuncio
FI2002­5 2009­2 Ejercicio 3 P1. Se tiene un anillo de radio a cargado en una mitad con densidad de carga uniforme y la otra mitad con densidad de carga − . a) Calcule en potencial electrostático en r ≫a . b) Calcule el campo eléctrico para r ≫a . Solución. z r v y a − x a) r =av , v =r −a ⇒∣v∣= r² a²−2 r⋅a 2 a d ' − a d ' V =∫ ∫ r⋅a 4 0 r² a²−2 r⋅a 0 4 0 r² a² −2 1 1 = r² a²−2 r⋅a r 1 1 a² 2 r⋅a − r² r² ≈ 1 r 1 1 r ⋅ a ≈ 1 r² 2 r⋅ a r 1− r² a =a =a cos ' x a sen ' y , r =x x y y z z ⇒ r⋅ a =xa cos 'ya sen ' 2 a² V= ∫ x cos ' y sen ' d ' −∫ x cos ' y sen ' d ' 4 0 r³ 0 V= a² a² a² a² a² 4y= r sen sen = sen sen= r sen sen = r⋅y 4 0 r³ 0 r³ 0 r² 0 r³ 0 r³ Notemos que podemos ahora acomodar algunos términos para lograr la forma del potencial de un dipolo eléctrico. q= a ⇒V = qa y⋅r ² 0 r³ 2a d qd y⋅r = ⇒ 2 4 0 r³ qd y =p ⇒ V = p⋅r p⋅r = 4 0 r³ 4 0 r² Donde q es el valor absoluto de la carga en cada uno de los extremos del dipolo, d es la distancia que separa a las cargas y p es el momento dipolar eléctrico del dipolo . Es decir, hemos probado que el problema anterior se puede considerar como un dipolo eléctrico cuya carga es la carga total en cada medio­anillo y en el que la posición de ambas cargas es la del centro de masas de cada medio­anillo. b) E x =− [ [ ] ∂V −1 p x p⋅r −3/2 2 1 3 p⋅r x p x = = − ∂ x 4 0 r³ x²y² z² 5/ 2 4 0 r⁵ r³ E =E x x E y y E z z = [ 1 3 p⋅ r r p − 4 0 r⁵ r³ ] ] En nuestro caso: = p=4 a² p ⇒ E [ a² 3 p ⋅r p − 0 r⁵ r³ ] Recordar que en este ejercicio p =y . Por último, resolvamos la parte a) con otro enfoque, utilizando la fórmula del potencial de un dipolo. Consideremos el anillo como un conjunto de pequeños dipolos dispuestos en la forma de un anillo: V =∫ dV =∫ 0 0 r a d ' 2a d p⋅r dq d⋅ ⋅r 2 a² r a² r⋅y =∫ =∫ = ⋅∫ d ' = 4 0 r³ 0 4 0 r³ 0 4 0 r³ 4 0 r³ 0 0 r³ Lo que reproduce el resultado anterior.
