Lectura 31

El concepto de función
hasta la primera mitad del siglo XIX*
A. P. Youschkevitech
1.- OBSERVACIONES PRELIMINARES
Hasta ahora, la historia de las funciones no ha sido estudiada con la debida suficiencia. En realidad, este importante tema lo esquiva incluso C. Boyer, de cuyo libro [1] sobre la historia de los
conceptos más importantes del cálculo se efectuaron tres ediciones. Resulta innecesario decir que
en este trabajo, así como en otros que existen sobre la historia de las matemáticas, se hacen algunas referencias a características aisladas de la evolución del concepto de dependencia funcional,
así como las interpretaciones que diversos eruditos han dado a esta dependencia. aun cuando son
indudablemente valiosos, tales enunciados no nos proporcionan el panorama global de la cuestión, ni siquiera cuando se los considera en su conjunto. Además, las opiniones de diversos autores con frecuencia difieren entre sí; en particular, no se ponen de acuerdo con respecto a la época
en que realmente se originó el concepto de función. Tal vez el punto de vista que más comúnmente se expresa es el que apareció en el famoso libro de D. E. Smith ([2] pág. 376), quien hace
unos cincuenta años afirmaba:
“... después de todo, el primero en expresar clara y públicamente la idea de la relación funcional, según lo demuestra la utilización de coordenadas, fue Descartes ...”
Sin embargo, la opinión que externa Boyer ([1], pág. 156) hablando de las obras de Fermat, hombre erudito contemporáneo de Descartes, es la siguiente:
“... el concepto de función y la idea de que ciertos símbolos representen variables, no parecen
figurar en el trabajo de ninguno de los matemáticos de la época ...”
Por otro lado, W. Hartner y M. Schramm ([3], pág. 215) suponen que:
“... La cuestión del origen y el desarrollo (del concepto de función) por lo común se trata con
sorprendente unilateralidad; se la trata casi exclusivamente en relación con el análisis cartesiano, el cual, a su vez, se afirma (erróneamente, a nuestro entender) que es un rebote tardío
de las latitudines formarum con que trabajaban los eruditos del Medievo ...”
Y además:
“... la operación con funciones había ya alcanzado un alto grado de perfección en la época en
que se hicieron los primeros intentos por conformar un concepto general de las mismas ...”
Estos autores aducen que las operaciones con funciones se pueden encontrar en los cálculos astronómicos de los sabios de la antigüedad (como, por ejemplo, en los de Ptolomeo), posterior-
*
Youschkevitech, A. P. (1997). El concepto de función hasta la primera mitad de siglo XIX. Serie de Antologías No.
1. Área de Nivel Superior (pp. 99-146). México: Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN. Traducción de R. M. Farfán del artículo de 1976: The concept of function up to the middle of the 19th century. Arch. Hist.
Exact. Sci. 16, 37-85.
1
mente en la ciencia árabe y, desde luego, en los trabajos de Al-biruni ( a quien se refiere el articulo de los autores).
En un libro (4) publicado después del citado anteriormente (1) y dedicado a la historia de geometría analítica, Boyer señala otro prototipos de funciones entre los matemáticos griegos. Así, considerando el uso de las proporciones, dice (pág. 5):
Esto era, en cierta medida, equivalente al uso moderno de las ecuaciones como expresiones de
relaciones funcionales, aun cuando mucho mas restringido.
El mismo autor ([4], pág. 46), así como J. E. Hofman ([5], pág. 80-81), A. C. Crombie ([6], vol.
II, pág. 88-89) y otros, establecen una relación entre las expresiones geométricas de la funciones y
el cálculo de sus valores, por un lado y, por el otro, la teoría de cálculos y la teoría de las latitudes
de las formas que aparecieron en el siglo XIV. Sin embargo H. ([7], pág. 145) suponía que la idea
de función en la ultima de las teorías mencionadas, (no) contenía
“... nicht die geringste Vorstellung der zahl enmängigkeit einer Grösse von einer anderen, ...”
(... ni el mas mínimo concepto de la dependencia de una magnitud con respecto a otra ...),
en tanto que para E. T. Bell ([8],pág. 32), hasta los matemático babilonios poseían el instinto de
la relación de función. Y finalmente, la opinión de la existencia de una idea de función entre los
matemáticos antiguos ha sido expresada recientemente por O. Pedercen [9].
No voy a ser más extensa esta lista de opiniones, alguna de las cuales concuerdan, mientras que
otras se oponen entre sí; a veces son correctas y otras incorrectas o, cuando menos, incompletas.
Únicamente agregaré que, por lo que toca al siglo XIX, la definición clásica de función que aparece en casi todos los tratados de la época sobre análisis matemático, por lo común es atribuida o
bien a Dirichlet o a Lobachevski (1837 a 1834, respectivamente). Sin embargo, históricamente
hablando esta opinión generalizada es inexacta, ya que el concepto general de función como la relación arbitraria entre pares de elementos, cada uno tomado de su propio conjunto, fue formulada
mucho antes, a mediados del siglo XVIII.
La importancia del análisis histórico del concepto de función resulta obvia, especialmente si se
tiene en cuenta los debates contemporáneos sobre este mismo concepto. Sin tratar de alcanzar tal
objetivo, me limitaré a ofrecer alguna observaciones breves sobre las etapas principales del desarrollo de la idea de función, hasta mediados del siglo XIX. A mi modo de ver estas etapas son las
siguientes:
1. La Antigüedad, es decir, la etapa en la que con el estudio de casos particulares de dependencias entre dos cantidades, aun no habían aislado las nociones generales de cantidades variables
y funciones.
2. La Edad Media, que es la etapa en que, dentro de la ciencia de la Europa del siglo XIV, estas
nociones generales se expresaron por vez primera de un modo definido, tanto mediante formas
geométricas como mecánicas, pero en la que, al igual que en la Antigüedad, cada caso concreto de dependencia entre dos cantidades era definido por medio de una expresión verbal, o con
una gráfica, en vez de darle una fórmula.
2
3. El Período Moderno, o sea, la etapa en la que, a partir del siglo XVI, y especialmente durante
el XVII, comienzan a prevalecer las expresiones analíticas de las funciones, siendo la clase de
aquellas que generalmente se expresan mediante sumas de series de potencias infinitas, la que
pronto pasó a ser la más utilizada.
Fue la introducción de las funciones por el método analítico lo que revolucionó a las matemáticas; y debido a su extraordinaria eficacia esta forma le ganó un lugar central al concepto de función, en todas las ciencias exactas.
No obstante, y por muy fructífera que fuera, hacia mediado del siglo XVIII esta interpretación de
las funciones como expresiones analíticas resultó ser inadecuada, y así, durante este mismo período se introdujo una nueva definición general de función, que posteriormente paso a ser aceptada universalmente en el campo del análisis matemático.
En la segunda mitad del siglo XIX, esta definición general de función abrió las más amplias posibilidades para el desarrollo de la teoría de las funciones, pero a la vez, puso de manifiesto ciertas
dificultades lógicas que, en el siglo XX, originaron la reconsideración de la esencia del concepto
de función (como hubo que reconsiderar también a otros conceptos importantes del análisis matemático). El forcejeo entre los distintos puntos de vista, aun persiste; sin embargo, y como he dicho, no hablaré de este período (o, más bien, de estos dos períodos que tienen que ver con la teoría de las funciones y con la lógica matemática, respectivamente), que ya ha sido descrito por A.
F. Monna [10].
Por lo general, en el presente trabajo me referiré a las funciones univalentes de una variable real.
Tales funciones se representan en los tratados modernos de análisis matemático bajo definiciones
algo diversas pero que tienen todas un significado común. En el sentido más general, una función
y de la variable x, y = f(x), es una relación entre pares de elementos de dos conjuntos numéricos x
y y, tal que cada elemento x del primer conjunto X se le asigna un elemento y, y solamente uno del
segundo conjunto Y, según alguna regla definida. Dejando aparte las dificultades lógicas que le
son inherentes a la definición que se acaba de dar1, sólo deseo señalar que la regla, o “ley”, de la
función se puede dar en diversas formas: verbalmente, mediante una tabla de valores de x y y, con
una expresión analítica, por medio de una gráfica, etc., y esto únicamente está sujeta a la condición de que esta regla sea definida y que una vez que se de un valor a x dicha regla sea suficiente
para encontrar a y.
La idea de función, entendida en uno u otro sentido, esta implícita en las reglas para medición de
las áreas de las figuras más sencillas, tales como rectángulos, círculos, etc., que eran conocidas ya
desde los albores de la civilización, e igualmente en las primeras tablas de sumar, multiplicar, dividir, etc., que se utilizaron con objeto de facilitar los cálculos.
Obviamente, las relaciones entre números, o de manera más general, entre cantidades, se encuentran, a cada paso en el campo de lo que se denomina las matemáticas elementales. Sin embargo,
este hecho trivial es en sí infructuoso para nuestra búsqueda del momento en que se forma la idea
de función, de su generalización y comprensión gradual, del significado concreto que adquiere
1
El estudio de algunos aspectos de la idea de función que representa esta definición (pero no de las dificultades mencionadas), así como de la
terminología tradicional, orientada a círculos más amplios de lectores, se puede encontrar en el libro de Kenneth O. May ([11], pág 253-262).
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con el progreso científico y filosófico y, finalmente, del papel que desempeña durante las diversas
etapas de este progreso.
2.- LAS FUNCIONES TABULADAS Y LOS “SÍNTOMAS” DE LAS SECCIONES EN LA ANTIGÜEDAD.
Tal como se ha dicho, la primera etapa del concepto de función es la de la Antigüedad. Ya en el
año 2000 a. de C. se había extendido entre los matemáticos babilonios el uso de las tablas sexagesimales de recíprocos, cuadrados y raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas, además de algunas
otras, con las que realizaban sus cálculos. También para la astronomía los babilonios utilizaron
tablas de funciones de dos tipos distintos -las de funciones escalonadas y las de la función lineal
en zigzag (step-function y linear-zigzag-function, respectivamente, según las ha denominado O.
Neugebauer ([12], Cap. 5), - durante el reinado de los Seleucidas, para la elaboración de efemérides del Sol, la Luna y los planetas. A partir de esa época, las funciones tabuladas empíricamente
se convirtieron en los cimientos matemáticos de todo el desarrollo subsiguiente de la astronomía.
Nuevos brotes del concepto de función aparecieron en la matemática y las ciencias naturales de
los griegos. Los intentos atribuidos a los primeros pitagóricos, por determinar las leyes más sencillas de la acústica, son tipos en la búsqueda de interdependencias cuantitativas entre diversas cantidades físicas como, por ejemplo, las longitudes y los tonos de las notas emitidas por cuerdas de
la misma especia, al ser pulsada bajo tensiones iguales. Posteriormente, durante la época alejandrina, los astrónomos desarrollaron toda una trigonometría de las cuerdas correspondientes a una
circunferencia de radio fijo, y así, utilizando teoremas geométricos y reglas de interpolación, calcularon tablas de cuerdas que en realidad equivalían a las tablas de senos de la misma índole de
las que usaron los Hindúes unos cuantos siglos mas tarde. La más antigua de las tablas de cuerdas
que se conocen es al que se encuentra en el ALMAGESTO de PTOLOMEO, obra en la que figuran también numerosas tablas astronómicas de otras cantidades, equivalentes a funciones racionales, así como las funciones irracionales mas simples del seno, [9].
Empero, los griegos no se limitaron al uso de funciones tabuladas. El papel principal en la teoría
de las cónicas lo desempeñaron sus síntomas (συµ τωµατα), es decir, aquellas propiedades planimétricas básicas de las curvas correspondientes que se derivan en forma inmediata de su definición estereométrica original (aunque en realidad ésta no fue utilizada), como las secciones planas
del cono. Según lo expresaría un matemático moderno, el síntoma de alguna secciones cónicas
representa, para cada punto de la curva dada, una y la misma dependencia funcional entre su semicuerda y y el segmento x del diámetro conjugado con la cuerda, siendo los extremos de este
segmento el punto intersección del diámetro con la cuerda y el vértice correspondiente. Los geómetras antiguos describían a los síntomas verbalmente, así como mediante álgebra geométrica
(expresión acuñada por H. G. Zeuthen ([13],pág. 7)), en la cual las identidades y expresiones de
los dos primeros grados se representaban por medio de igualdades de áreas de ciertos rectángulos.
El significado de estos síntomas, cuya descripción antigua, con su verbosidad suena poco usual
para los oídos modernos, podría expresarse de manera absolutamente exacta en el lenguaje de la
geometría analítica, mediante ecuaciones de curvas de segundo orden con respecto a sus vértices:
y 2 = 2 px !
p 2
x ,
a
y 2 = 2 px
4
Sin embargo, las oportunidades que ofrecía el álgebra geométrica eran insuficientes par transmitir
de manera similar las propiedades de las curvas del tercero y cuarto ordenes (la cisoide y la concoide), así como de algunas otras curvas algebraicas conocidas por los griegos, quienes tenían que
definir a todas ellas, y también a ciertas curvas trascendentales, como la cuadratriz y la espiral
equiangular por medios de construcciones geométricas o mecánicas (cinemáticas) especiales.
Los matemáticos de la antigüedad establecieron una clasificación peculiar de las curvas, así como
de los problemas que se resuelven mediante ellas. Ya desde antes de Euclides habían puntualizado tres clases de lugares geométricos: los planos (επιπεδοι), correspondientes a las líneas rectas y
círculos; los sólidos (στερεοι), para las secciones cónicas; y los lugares geométricos lineales
(τοποι γραµµικοι), que se referían a todas las demás curvas. Resulta realmente imposible estudiar aquí el origen y significado de esta clasificación, por lo remota en el tiempo que se encuentra
de la nuestra, que tuvo su nacimiento en el siglo XVII ([14], párrafo 25).
En la antigua Grecia, así como en los países helenísticos que posteriormente pasaron a ser provincias romanas, las funciones que se introducían con relación a problemas matemáticos y de astronomía, eran sometidos a estudios similares a los que se llevan a cabo en el análisis matemático de
la época moderna. En congruencia con la meta que se perseguía, las funciones se tabulaban recurriendo a la interpolación lineal; y en los casos más simples, se encontraban las razones entre dos
cantidades infinitamente pequeñas como, por ejemplo, el
lím sen
x
x
cuando x → 0
Los problemas relativos a valores extremos y a tangentes se resolvían por métodos equivalentes al
método diferencial; las áreas, volúmenes, longitudes y centros de gravedad se determinaban por
métodos equivalentes al cálculo de integrales, como por ejemplo:
a
∫ xdx
0
a
e
2
∫ x dx
0
y finalmente, los problemas en que se tenía que calcular raíces de polinomios de tercer grado, se
resolvían mediante el uso de secciones cónicas (curvas de segundo orden). Para este propósito, a
las raíces de las ecuaciones correspondientes se las consideraba como coordenadas de los puntos
de intersección, o de contacto, de dos de tales curvas que fueran apropiadas. En la presente descripción, yo utilizo la terminología y notación que son comunes modernamente, y que desconocían los matemáticos de la antigüedad. Esto lo recalco tan fuertemente como es posible hacerlo.
Hasta aproximadamente el siglo III a. de C. el simbolismo griego, aparte del uso de dígitos, se limitaba a denotar las diversas cantidades mediante diferentes letras del alfabeto. Jamás se introdujo ninguna fórmula algebraica, ningún tipo de algoritmo literal, ni ninguna expresión analítica.
Únicamente en los trabajos de Diofanto, uno de los últimos matemáticos alejandrinos, y posiblemente en los de sus predecesores inmediatos, cuyos nombres han sido olvidados, aparecen algunos signos algebraicos como, por ejemplo, los correspondientes a las primeras seis potencias de la
incógnita, un signo de igualdad, etc. Sin embargo, con la caída de la civilización antigua, esta notación ya no prosiguió su desarrollo.
5
3.- EL CONCEPTO GENERAL DE FUNCIÓN EN LA ANTIGÜEDAD
Aparte de la carencia de simbolismo, que fue lo que frenó el avance integral de las matemáticas,
los logros de los griegos fueron ciertamente substanciales, tanto en lo referente al aumento del
número de dependencias funcionales que utilizaron como en cuanto al descubrimiento de nuevos
métodos para estudiarlas; y esto desempeñó un papel prominente en el desarrollo posterior de las
matemáticas, en el que siguió influyendo hasta que finalmente vino la creación de los nuevos
conceptos del álgebra, la geometría analítica y el cálculo infinitesimal, en los siglos XVI y XVII.
Pero a pesar de todo esto, debo repetir que en la época antigua no existía la idea general de la relación funcional.
El problema de saber si los matemáticos antiguos poseían el concepto general de función también
ha sido ponderado detalladamente por O. Pedersen en el trabajo que dedicó al Almagesto de Ptolomeo [9]. En forma perfectamente correcta, Pedersen hace la observación en el sentido de que,
de acuerdo con el sistema Ptolemaico del mundo, las posiciones del Sol, de la Luna y de los planetas se considera que cambia de manera continua y periódica con el tiempo; que la determinación de esas posiciones la logra Ptolomeo mediante procedimientos normales, que a veces se explican recurriendo a ejemplos numéricos, o bien, que se formulan verbalmente y de manera perfectamente general; y finalmente, que estos procedimientos normales se utilizan para compilar
diversas tablas astronómicas, es decir, para tabular funciones correspondientes (y no sólo de una,
sino incluso de dos y en varios casos de tres variables). Dándose cuenta de que la palabra función,
en sí, no aparece en los trabajos de los matemáticos de la antigüedad, sino que fue introducida
mucho más tarde, Pedersen ([9], pág. 35) se hace la siguiente pregunta:
“... ¿Pero acaso ello justifica que lleguemos a la conclusión de que no tenían idea alguna de
las relaciones funcionales? ...”
La respuesta que él mismo da a esta pregunta es que todo depende de lo que en realidad se quiera
dar a entender por función. En caso de que, tal como lo han hecho mucho de los matemáticos del
pasado, se quiera interpretar a la función como una expresión analítica, entonces la conclusión es
que los antiguos no conocían las funciones.
“... Empero -prosigue Pedersen (pág. 6)- si concebimos a la función, no como una fórmula sino como una relación más general en la que se asocian los elementos de un conjunto de números (verbigracia, los instantes t1, t2, t3, ...) con los elementos de otro conjunto (como por
ejemplo, alguna variable angular en un sistema planetario), resulta obvio que, en este sentido,
las funciones abundan en el Almagesto. Lo único que falta es la palabra; pero la cosa, en sí,
ahí está, y se encuentra claramente representada por las numerosas tablas de elementos correspondientes de tales conjuntos ...”
Casi me siento inclinado a aceptar todo esto. Naturalmente, Ptolomeo, al igual que otros astrónomos de su época y de las anteriores, sabía que las coordenadas de los cuerpos celestes en movimiento cambian periódicamente con el tiempo; y también que en un círculo dado, cuerdas de
longitudes desiguales guardan relación con arcos de longitudes desiguales. En el párrafo anterior
he mencionado otros ejemplos, anteriores en el tiempo, de funciones que fueron estudiadas por
matemáticos griegos, y quienes para ello no elaboraron tabla alguna. Y además, ya dos mil años
6
antes de Ptolomeo los babilonios conocían ciertas relaciones tabulares. Pero a pesar de todo esto,
la literatura matemática de los antiguos carece no únicamente de palabras equivalentes al término
de función, sino incluso de alguna alusión a esa idea más abstracta y general mediante la que se
unifican las dependencias concretas e independientes entre cantidades o números, en cualquier
forma (descripción verbal, gráfica tabla) que en un momento determinado se consideren tales dependencias. Existe un buen trecho entre el instinto de la relación funcional (Bell) y la percepción
de esta relación; y lo mismo se puede decir por lo que toca a las funciones particulares y al surgimiento del concepto de función con algún grado de generalidad. La utilización de la forma singular (la cosa en sí, es decir, la relación funcional representada por diversas tablas) por parte de Pedersen en relación con el Almagesto (véase la cita anterior) me parece incorrecta, en el sentido de
que permite que el párrafo entero sea interpretado como si quisiera implicar que las funciones correspondientes a esas tablas hubieran sido consideradas como ejemplos particulares de una relación funcional en general.
Se puede encontrar una situación similar en las matemáticas griegas, consideradas como un todo.
Los procedimientos que se ahí se utilizaron para calcular o determinar límites concretos individuales jamás originaron una formulación explícita de los conceptos generales de una secuencia,
una variable un límite, una cantidad infinitamente pequeña, una integral o de los teoremas concernientes a tales conceptos2. Son ejemplos apropiados de esto, las cuadraturas y cubicaciones logradas por Arquímedes. De hecho, en la resolución de varios problemas (la determinación del
área de una vuelta de espiral, el volumen de un esferoide, el área de un segmento de un hiperboloide de revolución) lo que hizo en realidad fue calcular una integral, y siempre la misma: ∫0a x 2 dx;
o bien, para decirlo en otras palabras, el límite de una suma de “Riemann - Darboux”, y siempre
la misma, llevando a cabo completamente y cada vez de nuevo los procedimientos necesarios, por
el método exhaustivo. Observando que también otros de los problemas resueltos por Arquímedes
(la cuadratura de la parábola, la determinación del centro de gravedad de un triángulo) se pudieron haber reducido al cálculo de la misma integral, N. Bourbaki ([15], pág. 208) prosigue:
“... nous ignorons jusqu’a quel point il a pris conscience des liens de parenté qui unissent les
divers problemes dont il traite (liens que nous exprimerions en disant que la meme intégrale
revient en maints endroits, sous des aspects géométriques variés), et quelle importance il a pu
leur attribuer ...”
(“... ignoramos hasta que punto haya tomado conciencia de los nexos de parentesco que unen
a los diversos problemas con los que trata (nexos que nosotros explicaríamos diciendo que
aparece la misma integral en muchos lugares, bajo aspectos geométricos que varían), y qué
importancia les haya podido atribuir ...”)
Resulta imposible contestar esta pregunta implícita, pero lo cierto es que Arquímedes no pudo
haber dejado de observar que los procedimientos del cálculo de los tres primeros eran idénticos.
2
Una de las pocas excepciones lo es la Proposición I del libro X de los Elementos de euclides, según la cual se establece que (utilizando nuestra
terminología), a partir de un criterio de un cierto término, cada término subsiguiente de cualquier secuencia a, aq1, aq1q2, aq1q2q3, ...
(qk ≤1/2, k= 1, 2, 3, ...) se va haciendo más pequeño que cualquier cantidad b.
7
Y sin embargo, ni siquiera para el caso de la única función que utilizó, y = x2, introdujo el
concepto general de la integral definida (cf. [16]).
Hablando en términos generales, cuando uno estudia las matemáticas de las épocas del pasado,
con frecuencia no sólo aprecia su importancia para el desarrollo posterior de esta ciencia (lo cual
es necesario hacer), sino que también, y no frecuentemente, amplía de manera no permisible la interpretación de las ideas manifestadas en esas épocas, vinculándolas con las nociones y conceptos
modernos, que son muchos más generales. Y lo que en realidad sucede es que, tal como el Fausto
de Goethe le hacía observar a su discípulo Wagner, el historiador equipara el espíritu de la época
con el reflejo que éste encuentra en su propia mente:
“... Was ihr den geist der Zeiten heisst, Das ist im Grund der Herren eigner Geist, In dem die
Zeiten sich bespiegeln ...”
(“... Lo que ustedes denominan el espíritu de los tiempos, está en la base del propio espíritu
de los hombres en el que el tiempo se refleja ...”)
En particular, hubiera sido una modernización impermisible el hecho de ver la idea de cantidad
variable, en sentido estricto, en los trabajos de Diofanto, quien sí utilizó la sustitución para el cálculo de las raíces racionales de ecuaciones indeterminadas, y cuyo método efectivamente hace
posible, en muchos casos, calcular un número infinito de valores de la incógnita del problema indeterminado. En el mejor de los casos, de lo que se puede hablar, como lo hace D. T. Whiteside
([17], pág. 19), es de la noción, o mejor aun, del uso real de una variable de sustitución, pero no
de la variable plenamente libre que es característica del álgebra de Viéte.
Las ideas de cambio y de cantidad variable eran ajenas al pensamiento de los griegos. Los problemas de movimiento, de continuidad y del infinito, ya eran abordados desde la época de Heráclito y Zenón de Elea, y la Física Aristotélica o filosofía natural (υσιξ significa naturaleza) estaba
dedicada al estudio de estos conceptos. Haciendo uso del término movimiento de la materia, en el
sentido amplio de cambio, Aristóteles3 distinguía tres formas principales de los procesos del
mundo: la modificación o cambio de calidad; el cambio de magnitud o de cantidad, como por
ejemplo, el incremento o decrecimiento; y el movimiento local (motus localis), que era la forma
más baja de movimiento y que necesariamente acompaña a las otras dos formas, más altas, de
cambio de la materia. El movimiento local se subdividía en movimiento uniforme, en el que se
recorren distancias iguales (segmentos o, digamos, arcos de circunferencia) en tiempos iguales, y
movimiento anómalo; sin embargo, en la antigüedad no se introdujo ni la velocidad (media), tal
como el cociente s/t ni, mucho menos, la velocidad instantánea. En consecuencia, ni el cambio
cuantitativo ni el movimiento local, los cuales con el tiempo han encontrado ambos su representación en el concepto más abstracto de cantidad variable, pasaron a ser objeto de estudio por parte
de los griegos. En parte, este hecho pudo haberse debido a las influencias que ejercieron las paradojas de Zenón.
La relación que existe entre lo anterior y la orientación general que tomó el desarrollo de la mecánica y la astronomía de los griegos resulta notable. Ninguna de estas dos ciencias traspasó los
Aristóteles utilizaba la palabra µεταβολη (cambio) indistintamente con la de κιυησιζ (movimiento).
3
8
límites del movimiento uniforme, ya que en los sistemas antiguos del mundo los movimientos
irregulares de los cuerpos celestes se reducían a combinaciones de movimientos circulares uniformes. Pero el movimiento irregular no fue estudiado como tal. Siempre que era posible hacerlo,
las ideas cinemáticas se proscribían del dominio de la matemática pura. Las proposiciones aisladas que se encuentran en Euclides, en las que se utiliza el movimiento y la suspensión, así como
los casos también aislados de definiciones cinemáticas de curvas ( como por ejemplo, la cuadratriz y la espiral equiangular) no modifican la panorámica general.
He dicho anteriormente que incluso los llamados Pitagóricos habían vislumbrado las leyes cuantitativas de la naturaleza. Empero, aparte de los modelos cinemáticos del sistema del mundo, los
griegos desarrollaron muy poco este aspecto cuantitativo de las leyes naturales.
Cualesquiera que hayan sido las causas y circunstancias ideológicas o sociales que dieron lugar a
las características de la ciencia antigua, según se acaba de describir, lo cierto es que el pensamiento matemático de la antigüedad no creó ninguna noción general, ni de cantidad variable ni de función. En el campo de las aplicaciones, y principalmente en la astronomía, que fue donde los métodos cuantitativos de investigación alcanzaron el mayor desarrollo, la meta principal era la representación tabular de funciones, concebida como relaciones entre conjuntos discretos de cantidades constantes dadas, que para efectos prácticos se aislaban a partir de continuos de valores numéricos de cantidades que estaban relacionadas entre sí por medio de una función.
En este contexto, viene a sugerirse cierta similitud con el concepto estático de la teoría de conjuntos de Cantor, en la cual la idea intuitiva de cantidad variable se reduce a la idea de un conjunto
de cantidades constantes, dadas de antemano. En cualquier caso, el pensamiento de los matemáticos griegos, tomado en general, se hallaba muy, pero muy alejado del concepto cinemático de
cantidad fluyente, que fue característico del cálculo infinitesimal de los siglos XVII, XVIII y XIX.
4.- REPRESENTACIÓN CINEMÁTICA Y GEOMETRÍA DE LAS RELACIONES FUNCIONALES.
La teoría de cálculos y la de latitudes de las formas
El resurgimiento de la ciencia en los países de cultura arábiga, que ocurrió algún tiempo después
de la caída de la sociedad antigua, no trajo, hasta donde se sabe, ningún desarrollo esencialmente
nuevo del concepto de función. No obstante, se incrementó el número de funciones utilizadas y se
mejoraron los métodos para su estudio. Así, se introdujeron todas las funciones trigonométricas
importantes, se perfeccionaron los métodos para su tabulación (en particular, se comenzó a utilizar la interpolación cuadrática, junto con la lineal), y avanzó en forma esencial el estudio de las
raíces positivas de los polinomios cúbicos, por medio de las secciones cónicas. También hubo
otros avances en los campos de la óptica y de la astronomía. Al parecer, una de las excepciones, y
muy notable por cierto, desde mi punto de vista, fue el análisis del movimiento acelerado que se
encuentra en el Canon Masúdico de Al - Biruni (de alrededor de 1030) y cuyo predecesor en algunos aspectos fue Thabit Inb Qurra ([3], pág. 212-214; [17a], pág. 37-38), en el siglo IX.
Aún así, el análisis y las ideas de Al - Biruni no ejercieron demasiada influencia en sus sucesores.
El concepto de función apareció por vez primera en una forma más general tres siglos más tarde,
en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París. Siguiendo las pautas trazadas por pensado-
9
res tales como Robert Grosseteste y Roger Bacon, estas dos escuelas, que florecieron en el siglo
XIV, declararon que las matemáticas eran el instrumento principal para el estudio de los fenómenos naturales. Apartándose de la doctrina aristotélica de la intención (intensidad) y disminución
de las cualidades de las formas (intensio et remissio qualitatum et formarum), abordaron el estudio matemático del movimiento no uniforme cuantitativo y local.
Las cualidades de las formas son fenómenos tales como el calor, la luz, el color, la densidad, la
distancia, la velocidad, etc., que pueden poseer diversos grados (gradus) de intensidad (intensio) y
que, en términos generales, cambian continuamente dentro de ciertos límites determinados. Las
intensidades de las formas se consideran en relación con sus extensiones (extensio), tales como,
por ejemplo, la cantidad de materia, el tiempo, etc. En el curso de dichas consideraciones se introdujo toda una serie de conceptos sumamente importantes, como la velocidad instantánea, o
puntual (velocitas instantanea, punctualis), la aceleración (intensio motus localis, también llamada velocitatio) y cantidad variable, que se concebía como un grado o un flujo de calidad (gradus
qualitatis, fluxus qualitatis). En todo esto, la síntesis del pensamiento cinemático desempeña un
papel preponderante.
“... Toute cinématique, -según observa N. Bourbaki ([15], pág. 292)-, repose sur une idée intuitive, et en quelque sorte expérimentale, de quantités variables avec le temps, c’est-a-dire de
fonctions du temps ...”
(“... Toda cinemática descansa en una idea intuitiva, y en cierto modo experimental, de cantidades variables con el tiempo, es decir, de funciones del tiempo ...”)
Simultáneamente, la idea de que las leyes cuantitativas de la naturaleza eran leyes del tipo funcional, fue madurado paulatinamente en el campo de la filosofía natural.
La doctrina de la intensidad de las formas, o para decirlo de otro modo, la teoría de “cálculos”
(calculationes) y su parte mas importante, la cinemática, habían sido desarrolladas en Inglaterra
por William Heytes-Bury, Richard Swineshead y otros, especialmente en la dirección aritmético cinemática, en tanto que en Francia, donde su principal exponente era Nicole Oresme, se desarrollo, además, en la dirección geométrica.
Resulta de interés especial la teoría de las configuraciones de cualidades (de configurationibus
qualitatum), o en otras palabras, de la uniformidad e irregularidad de las intensidades, o bien, todavía en palabras distintas, de las latitudes de las formas (de latitudinibus formarum), que desarrollo Oresme, a mediados del siglo 14.
“... Toda cosa mensurable, - escribió Oresme (([18], pp. 164 - 165)- salvo los números (que
el, al igual que los antiguos griegos entendía como un conjunto de unidades) se debe imaginar
a manera de una cantidad continua. (Omnis res mensurabilis exceptis numeris ymaginatur ad
modum quantitatis continue) ...”
En consecuencia, para poder medir esas cosas es preciso contar con puntos, líneas y superficie, en
los cuales, según Aristóteles se encuentra originalmente la medida o la relación (mensura seu
proportio); en todas las demás cosas, la medida o la relación se obtiene mediante su relación mental con los puntos, las líneas y las superficies.
10
Oresme representa los grados de intensidad por medio de segmentos con las longitudes correspondientes, que son las “latitudes” (latitudo), trazados perpendicularmente sobre la línea de “longitudes” (longitudo), cuyos segmentos representan las extensiones, las relaciones de las intensidades de alguna cualidad es la misma que la de las latitudes correspondientes, de tal manera que,
según lo expresa el propio Oresme, en vez de la intensidad y extensio de alguna cualidad, se pueden considerar sus latitudes y longitudes. Los extremos superiores de las latitudes de alguna cualidad generan la “líneas de intensidad” (linea intensionis), o en otras palabras, la “línea de cúspide” (linea summitatis), la cual, al igual que lo hace la figura delimitada por esta línea, por el segmento de línea de longitudes que se este considerando, y por las dos latitudes extremas, representa a la cualidad dada y a sus “grados”. El ángulo entre las latitudes y la línea de longitudes se podría escoger arbitrariamente, aun cuando la forma mas conveniente de construir las latitudes es
perpendicularmente a la línea de longitudes.
Debe ponerse especial atención en una de las observaciones de Oresme, a saber, que a las intensidades se les puede llamar longitudes, con lo cual entonces las extensiones tienen que denominarse
latitudes. Es en este contexto como se consideran las cualidades “lineales” (linearis), las intensidades de las cuales están distribuidas entre los puntos de una línea pero existen también cualidades “superficiales” (superficialis) y “corpóreas” (corporalis) distribuidas entre los puntos de un
continuo bidimensional o tridimensional. Las cualidades superficiales se representaban mediante
sólidos con bases planas, pero por lo que toca a las cualidades corpóreas, el problema de su representación geométrica naturalmente le planteo a Oresme dificultades extraordinarias, de tal manera
que las observaciones que hace al respecto de ellas están muy lejos de poseer claridad ([18]; véase especialmente Parte I, capítulos i, IV y x).
Así pues, esta teorías, que se desarrollaron en el siglo XIV parecen estar basadas en el uso consciente de las ideas generales acerca de las cantidades variables dependientes e independientes, y
aun cuando no se encuentras las definiciones directas de estas cantidades, cada una de ellas es designada mediante algún termino especial. A la latitud de una “cualidad” se le interpreta de una
manera sumamente general, como un a cantidad variable dependiente de su longitud, y en forma
similar, a la “línea de cúspide” se la entiende como la representación gráfica de alguna relación
funcional continua ([6], Vol. ii, p. 88; [19], p. 34). Por ende, en estas teorías se define a una función ya sea mediante una descripción verbal de su propiedad especifica, o directamente por medio de una gráfica.
En el lenguaje matemático de la era moderna, la latitud y la longitud, al igual que las semicuerdas
y segmentos de diámetro que les correspondían en la teoría de las secciones cónicas de la antigüedad (véase párrafo 2), bien se podrían denominar la ordenada y la abscisa, respectivamente,
con una sola reserva, por mas que esta es sustancial: las coordenadas que se utilizaban en el siglo
XIV siempre se referían a los puntos de alguna curva, y no a puntos arbitrarios del plano. sin embargo, la misma receta es valida incluso por lo que toca a Descartes. En realidad, las coordenadas
de puntos arbitrarios que no tengan relación con algún curva, al parecer se presentan por vez primera en el comentario de Fray van Schooten a la edición en latín de la geometría de Descartes
(publicada en 1649), en el contexto de la deducción de las primeras fórmulas conocidas para la
transformación de coordenadas ([20],p. 191 y
).
11
La teoría de las latitudes de las formas reviste rasgos distintivos a causa de su representación preliminar, absolutamente abstracta, de los problemas resueltos, sin atribuirle ninguna importancia a
la forma o cualidad concretas. Pero a continuación, Oresme establece también una especie de clasificación de las principales clases de cualidades lineales, a cuyo estudio, en esencia, se limita.
Esta clasificación es la siguiente ([18], Parte I, capítulos xi - xvi):
1.- Cualidad uniforme (quantitas uniformis), con latitud constante y cuya línea de intensidad
es paralela a la línea de longitudes. La figura correspondiente es un rectángulo.
2.- Cualidad uniformemente irregular (uniformiter difformis) ([18], pp. 192 - 193), es aquella
en la que si se toman tres puntos cualesquiera (de la línea que se este considerando), la razón
de distancias entre el primero y el segundo, y entre este y el tercero, es igual a la razón de los
excedentes de intensidad del primer punto con respecto al segundo y de este con respecto al
tercero, de estos tres puntos, llamo primero a aquel que posee la mayor intensidad. (Est cuius
omnium trium punctorum proportio distantie inter primum et 2m ad distantiam inter 2m et 3m
est sicut proportio excessus primi supra 2m ad excessum 2m supra 3m intensione, ita quod
punctum intensiorem illorum trium voco primum).
Corresponde esta descripción verbal a nuestra ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados (x1 , y1) y (x2 , y2):
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
En el caso que nos ocupa, la línea de intensidad queda representada por la hipotenusa de un triángulo rectángulo, o bien, por el lado superior, inclinado, de un cuadrángulo que tenga dos ángulos
rectos en su base, la diferencia entre estos dos casos la originara el hecho de que si esta línea corta
al segmento dado de la línea de longitudes en uno de sus extremos (en este caso y en la terminología de Oresme, la línea termina sin grado, terminatur ad non gradum,, es decir, en el punto de
latitud cero) o bien, no corta al segmento dado (termina con cierto grado en ambos extremos, terminatur utrobique ad gradum).
3.- Las cualidades irregularmente irregulares (difformiter difformis), a las que pertenecen todos los demás casos. Esta, que es la clase mas abundante de cualidades, podría ser “descrita
negativamente” (potest describi negativi) como la relativa a cualidades que no son ni uniformes ni uniformemente irregulares ([18], pp. 194 -195).
En primer término, Oresme distingue en este caso cuatro clases simples (simplex) de cualidades,
que son los arcos convexos y cóncavo (con respecto a la línea de longitudes) de un circulo, sin rebasar el semicírculo, y también los arcos similares de una elipse. (No se usa la palabra elipse, en
si, si no que en realidad se hace referencia a una curva con altura proporcional a la de una figura
circular). Y después, como segundo tema, Oresme pasa al análisis de 63 irregularidades irregulares “compuestas” (compositae), cuyas líneas de intensidad están conformadas por dos o mas arcos
de curvas previamente descritas, o por segmentos de rectas. Estas líneas combinadas se parecen,
en cierta medida, a las curvas “mixtas” (lineae mixtae) de Euler, véase el párrafo 9. Oresme incluso utiliza el mismo nombre: mixtio, mixture.
12
Una parte importante de la teoría de los cálculos o de las latitudes de las formas, lo fue el estudio
de las funciones del tiempo. Al señalar correctamente la naturaleza rudimentaria de estos estudios, N. Bourbaki ([15] pág. 217) hace la observación en el sentido de que, obviamente, fueron
desarrollados sans considerations infinitesimales (sin consideraciones infinitesimales). Sin embargo, esto no es exactamente así. Las consideraciones infinitesimales no solamente se hallaban
presentes de manera latente en los propios conceptos de velocidad y aceleración instantáneas, si
no que también se utilizaban explícitamente en la resolución de toda una serie de problemas, tales
como, por ejemplo, los referentes a la determinación de las áreas de algunas figuras de extensión
ilimitada, o la velocidad media de cuerpos cuyas velocidades (instantáneas) cambian por saltos,
según cierta ley definida, un numero infinito de veces durante un intervalo dado de tiempo, dividió en partes tales que formaran una progresión geométrica. En estos problemas, el método primordial de calculo era precisamente la suma de progresiones geométricas infinitas, posteriormente, dentro del marco de la misma teoría, los matemáticos encontraron series mas complicadas, cuyas sumas estaban representadas por cantidades trascendentes (aun desconocidas) que tenían que
estimar de modo aproximado, tanto desde arriba como desde abajo (A. Thomas, en 1509).
Uno de los logros más importantes para la mecánica, si ya no para las matemáticas, fue la determinación de la velocidad media del movimiento uniformemente irregular (uniformemente acelerado), a pesar de que no se supo relacionar este problema con el de la caída libre de los cuerpos
pesados. Este logro, que por vez primera se alcanzó en Oxford, se describía en los trabajos de W.
Heytesbury (en 1335 ?), R. Swineshead y J. Dumbleton, que fueron escritos casi simultáneamente; estos autores llegaron a la conclusión de que el movimiento uniformemente irregular es equivalente a un movimiento uniforme con velocidad igual a la del movimiento acelerado, en el momento medio del tiempo4. Puesto que los tres eruditos trabajaban en el mismo lugar, a saber, el
Merton College de Oxford, en la literatura moderna generalmente se hace referencia a su conclusión denominándola el “teorema de Merton” ([19], capítulo 5).
Oresme, además, demostró su teorema. Representó la distancia recorrida, o la cantidad proporcional a ésta, que es la velocidad (media) total (velocitas totalis), mediante el área de un triángulo
o de un trapecio ([18], Parte III, Cap. VIII). En realidad, Oresme ([21], pág. 37-39 y 122-124) fue
todavía más lejos y determinó que, para una velocidad inicial de cero, la distancia se incrementa
en forma directamente proporcional al cuadrado del tiempo, y también que las distancias recorridas durante intervalos iguales de tiempo aumentan en proporción con números impares (1.3.5.7.
...). De hecho, Oresme llegó a estos resultados en una forma muy similar a como Galileo habría
de hacerlo después en su estudio de la caída libre de los cuerpos pesados in vacuo, publicado en
el Dialogo (en 1632) y de nuevo en los Discorsi e demostrazioni matematiche (en 1638). Sin embargo, la demostración que hace Galileo del “teorema de Merton” se apoya explícitamente en el
método de los indivisibles, mientras que en la obtenida por Oresme las consideraciones infinitesimales se encuentran únicamente implícitas.
En el siglo XV y también durante la primera mitad del siglo XVI, la teoría de las latitudes de las
formas y de cálculos gozó de una fama generalizada, especialmente en Inglaterra, Francia, Italia y
4
Una de las características especiales de la investigación de Swineshead fue su intento por estudiar un movimiento rectilíneo cuya velocudad fuese proporcional a la distancia con respecto a un punto dado ([17], pág. 217).
13
España. Se la había explicado en los cursos de las universidades y no solamente se le habían dedicado trabajos manuscritos, sino también un buen número de libros impresos. No obstante, en
esa época no fue enriquecida en grado apreciable; y en particular, las aplicaciones de sus métodos
a la física y a la mecánica no fueron más allá de algunos problemas aislados y de planteamiento
artificial. Según lo expresa A. C. Crombie ([6], Vol. II, pág. 89):
“... En el siglo XIV la idea de las relaciones funcionales fue desarrollada sin recurrir a las
mediaciones reales, y únicamente en principio ...”
En una reseña de los logros generales de la teoría a que nos estamos refiriendo, bien se podría llegar a la conclusión de que en el desarrollo de algunos de los conceptos básicos de las matemáticas
y la mecánica, entre los que figura el de función, en materia de generalización y de abstracción los
filósofos naturales del siglo XIV avanzaron mucho más que todos sus antecesores juntos. Y también se llegó a resultados particulares de importancia fundamental; así, por ejemplo, se descubrió
la existencia de figuras con extensión ilimitada, pero con área finita, así como la divergencia de
las series armónicas (Oresme). Empero, las posibilidades potenciales que ofrecían los nuevos
conceptos, no fueron explotados de manera generalizada ni en las matemáticas, ni en sus aplicaciones. Las escuelas de Oxford y de París disponían únicamente de medios escasos para la investigación matemática concreta; ni los representantes de estas escuelas ni sus sucesores inmediatos
introdujeron novedades substanciales en cuanto a técnicas de cómputo, álgebra (salvo en la teoría
de las proporciones y el trabajo de Bradwardine y Oresme), trigonometría o métodos de cuadratura y de cubicación. Surgió una desproporción evidente entre el alto nivel de las especulaciones
teóricas abstractas y la debilidad del aparato matemático.
Determinar la influencia que ejercieron las teorías de cálculos y de las latitudes de las formas sobre las matemáticas de la era moderna resulta un problema algo complicado, ya que los materiales
que tenemos a nuestra disposición son insuficientes para encontrarle una solución exacta y global.
En muchos casos, la similitud entre los conceptos comunes y los resultados particulares de los
dos están grande, que difícilmente se pueden atribuir a una coincidencia ordinaria. En forma más
natural, podemos percibir en esto la persistencia de las tradiciones, que a veces se transmiten por
medios complicados, como por ejemplo, la migración a través de un gran número de países. La
información se pudo haber transmitido no únicamente en forma escrita o impresa, sino también
por medio de conferencias o incluso de conversaciones privadas (de lo cual existen algunas evidencias indudables).
Un ejemplo de esto lo encontramos en el estudio de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos pesados; aunque no sea más que por el parecido general de la interpretación matemática que hace
Galileo de la ley en cuestión, con la forma en que Oresme interpreta el teorema de Merton, ello
implica una continuidad en las ideas; y esta inferencia se convierte en certidumbre ante el hecho
de que M. Clagett ha encontrado el teorema de Merton en no menos de 17 libros impresos en el
siglo XVI.
Igualmente notable es la semejanza de algunos de los principios fundamentales de la matemática
universal de Descartes, con la teoría de las latitudes de las formas de Oresme. A lo que me refiero
en este caso es a la representación de todas las cantidades y de las relaciones entre ellas, por medio de formas geométricas y, a la postre, mediante segmentos de rectas, tal como el propio Des14
cartes lo expresó en su Regulae ad directionem ingenii, que fue una de sus primeras obras, ya que
fue escrita en 1629. No sabemos si Descartes leyó, en realidad, los libros de Oresme, pero sí sabemos lo importante que para él fueron las conversaciones con su amigo I. Beeckman, cuyo conocimiento de las ideas de Oresme y, en particular, del teorema de Merton queda testimoniado en
su diario correspondiente al año de 1618 ([19],pp. 417 - 418). En consecuencia, es muy probable
que haya habido alguna influencia de Oresme sobre Descartes; y desde luego, esto no contradice
por la relación directa que existe entre el método de coordenadas de Descartes y los síntomas de
las secciones cónicas que describió Apolonio de Perga.5
Asimismo, resulta difícil dudar de que las ideas sobre cinemática que poseyeron los ingleses que
fomentaron la teoría de cálculos, no hayan persistido en Inglaterra e influido en los trabajos de
Neper, Barrow y Newton. En particular, sabemos que Swineshead no había sido olvidado ni siquiera en el siglo XVII; entre quienes leyeron a Swineshead y lo tenían en alta estima figuraba
Leibniz, ([1], p.88).
5. LA CANTIDAD VARIABLE DE DESCARTES: LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS.
Por más que tenga yo la certeza de que las ideas de la escuela de Oxford y la de París hayan desempeñado un notable papel en la configuración de las matemáticas de la era moderna y, en particular, en el desarrollo del concepto general de función, no por ello sostengo que este papel fuera
dominante, especialmente si se tiene en cuenta que en el siglo XVII salió a relucir una nueva interpretación de dicho concepto de función.
Fueron de importancia decisiva para el desarrollo subsiguiente de la doctrina de las funciones, por
un lado, el crecimiento impetuoso de las matemáticas de cómputo; y por el otro, la creación del
álgebra literal y simbólica, junto con la correspondiente ampliación del concepto de número, que
ya hacia fines del siglo XVI abarcaba no únicamente el campo entero de los reales, sino también a
los imaginarios y a los complejos. Estos fueron, por así decirlo, los preliminares en las propias
matemáticas, para la introducción del concepto de función como una relación entre conjuntos de
números, en vez entre “cantidades”, así como para la representación de las funciones mediante
fórmulas.. Baste con mencionar, a este respecto, los avances logrados en la trigonometría y el
descubrimiento de los algoritmos; pero lo que se debe recalcar de manera especial es la introducción de los numerosos signos para las operaciones y relaciones matemáticas (en primer lugar, los
de suma, resta, potenciación e igualdad) y, sobre todo los correspondientes a cantidades y
parámetros desconocidos, que Viète, en 1591, denotó mediante las vocales A, E, I, ... y las
consonantes B, G, D, ... del alfabeto latino, respectivamente. Por más que se diga, nunca se
exagerará la importancia que tuvo esta notación, que por vez primera en toda la historia de las
matemáticas hacía posible poner sobre el papel, en forma simbólica, ecuaciones y expresiones
algebraicas que contenían incógnitas y coeficientes (palabra también inventada por Viète)
arbitrarios. Sin embargo, el creador de la nueva álgebra no utilizó su notable descubrimiento para
hacer avanzar el concepto de función; el “pensamiento funcional” no era característico de su mentalidad.
5
Esta vinculación ha sido señalada de recientemente por M. Schramm en una polémica con A. C. Crombie, quien supone que Oresme había dado
un paso hacía la fundamentación de la geometría analítica y que Descartes probablemente tenía conocimiento de los trabajos de Oresme ([22],
pp. 90 - 91)
15
El simbolismo de Viète padecía de graves deficiencias y pronto fue modificado por un buen numero de eruditos; posteriormente se llevó más allá de los dominios del álgebra y se utilizó en el
cálculo infinitesimal. Descartes, Newton, Leibniz (quien concedía una importancia primordial a la
selección apropiada de signos), Euler y otros eruditos de máximo calibre participaron en este proceso de perfeccionamiento del simbolismo matemático; proceso que prosigue en nuestros días, en
todas las ramas de la matemática.
Por otro lado, en las ciencias exactas de las primeras épocas, especialmente a partir de comienzos
del siglo XVII, la nueva conceptualización de las leyes cuantitativas de la naturaleza (véase párrafo 4), según la cual se establecían las relaciones funcionales entre valores numéricos de cantidades físicas, había venido vigorizándose cada vez en mayor medida y haciéndose más nítida día
tras día. En este proceso desempeñó un papel importante la creación de un campo más extenso de
metrología física, con la introducción de las medidas cuantitativas del calor, la presión, etc., al
igual que lo hizo el rápido aumento en la precisión de los experimentos y las observaciones, a
consecuencia de la invención de diversos instrumentos científicos. Entre las ciencias, y superando
la astronomía, pasó a ocupar el lugar preponderante la mecánica, junto con su nueva rama, la dinámica, a la que pronto alcanzó en importancia la mecánica celeste. El estudio de la relación entre
el movimiento curvilíneo y las fuerzas que afectan al movimiento había pasado a ser el problema
principal de la ciencia. Y este problema dio origen a toda una serie de otros, pertenecientes al
campo del cálculo infinitesimal, cuya solución tenia que llevarse a cabo hasta la obtención de respuestas numéricas.
A consecuencia de todo esto apareció un nuevo método para la introducción de las funciones, que
durante mucho tiempo fue el que principalmente se utilizó en las matemáticas y, especialmente,
en sus aplicaciones. Al igual que antes, no era infrecuente que las funciones se introdujeran verbalmente, mediante una gráfica o en términos cinemáticos; y también como antes, las tablas de
funciones se siguieron usando en forma sumamente generalizada. Sin embargo, en la investigación teórica fue el método analítico de introducción de funciones por medio de fórmulas y ecuaciones, el que adquirió preeminencia.
Podemos determinar casi con exactitud cuál fue el momento en que tuvo lugar este cambio en las
ideas. Aún a principios del siglo XVI, las funciones se introducían únicamente por medio de los
métodos antiguos. Fue precisamente en esta forma como se expresó la función logarítmica (que
fue la más importante, junto con las funciones trigonométricas). J. Burgi calculó sus tablas logarítmicas (publicadas en 1620) partiendo de la relación - en la que antes había hecho hincapié M.
Stiefel (en 1544), pero que ya era conocida incluso por Arquímedes - entre la progresión geométrica de las potencias de alguna cantidad (como por ejemplo, q, q2, q3, ...) y la progresión aritmética de sus exponentes (1, 2, 3, ...). Burgi comprendió intuitivamente - según da prueba de ello el
sistema de interpolación que utilizó - que esta relación era continua. Sin embargo, J. Neper, cuyo
trabajo fue publicado de 1614 a 1619, procedió a partir de la comparación de dos movimientos
rectilíneos continuos, siendo uno de ellos el de un punto (L) que se desplazaba uniformemente, y
el de otro, el de un segundo punto (N) cuya velocidad se suponía proporcional a su distancia con
16
respecto a cierto punto fijo 6. En este caso, la distancia recorrida por el punto L es el logaritmo
(neperiano) de la distancia que recorre el punto N.
Pero luego, y solamente 15 ó 20 años después de esto, tanto Fermat como Descartes, cada uno por
su lado y aplicando la nueva álgebra a la geometría, presentaron el método analítico para la introducción de funciones, iniciando así una nueva era en las matemáticas.
En su Introducción a los lugares geométricos de planos y sólidos (Ad locos planos et sólidos isagoge), escrita un poco antes de 1637, pero que no se publicó hasta 1679, Fermat ([23], p. 91)
afirma:
“... Tan pronto como en una ecuación final aparecen dos incógnitas, existe un lugar geométrico, y el punto extremo de una de esas cantidades desconocidas describe una línea, recta o
curva ...”
(quoties in ultima equalitate duae quantitates incognitae reperintur, sit locus loco et terminus
alterius ex illis describit lineam rectam aut curvam).
Aquí, tanto al argumento como a la función, simplemente se los denomina incógnitas, término
que en realidad significa segmentos de línea, de longitud continuamente variable.
A continuación, haciendo uso de la notación de Viète, así como de un sistema de coordenadas
rectilíneas, Fermat escribe las ecuaciones de una linean recta y, apoyándose en las Cónicas de
Apolonio, da algunas curvas de segundo orden.
La idea de la introducción de la función por el método analítico fue desarrollada con mayor detalle por Descartes en su célebre Geometría (La gèometrie, de 1637). Su propósito principal era el
de reducir la solución de todos los problemas y ecuaciones algebraicas, a ciertos procedimientos
uniformes para la construcción de sus raíces reales, es decir, los segmentos coordenados de los
puntos de intersección de curvas planas adecuadas, del orden más abajo que fuera posible.
Al relacionar a una curva algebraica plana con una ecuación entre las coordenadas de sus puntos,
entendiéndose a estas coordenadas como segmentos de línea, Descartes ([24], p. 386) escribió:
“... Prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi
infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinitè de divers points tels que celui qui est marquè C, par le moyen desquels on dècrit la ligne courbe dèmandèe ... ”
(Tomando sucesivamente un número infinito de diversas magnitudes para la línea y, se encontrará también una infinidad de ellas para la línea x, y así se tendrá una infinidad de puntos
distintos, semejantes al marcado C, por medio de los cuales queda descrita la línea curva deseada)
Aquí, por vez primera y en forma perfectamente clara, se sostiene que una ecuación en x y y es un
medio para introducir una dependencia entre cantidades variables, a manera de permitir el cálculo
de los valores de una de ellas que corresponden a valores dados de la otra.
6
Véase la nota 4 de pie de página, que se refiere al trabajo correspondiente de Swineshead.
17
Un poco más adelante, Descartes establece una clase especial: la de las curvas algebraicas (a las
que denomina curvas geométricas). Todos los puntos de estas curvas, según observó Descartes,
guardan cierta relación con todos los puntos de una línea recta, y es posible representar esta relación mediante alguna ecuación, que es la misma para cada punto de una determina curva. Al decir
ecuación, Descartes, que no tenia medios para escribir simbólicamente ecuaciones de ninguna
otra especie, en realidad se refería a una ecuación algebraica. Denominando curvas mecánicas a
las de naturaleza no geométrica, Descartes pasa inmediatamente a introducir su clasificación; todavía no perfecta, de las curvas geométricas en géneros (genres), siendo las del primer género
aquellas descritas por ecuaciones de segundo grado; del segundo género las descritas por ecuaciones de tercero y cuarto grados, del tercer género, por ecuaciones de quinto y sexto grados, etc.7
La introducción de las funciones en forma de ecuación originó una verdadera revolución en el desarrollo de las matemáticas. El uso de expresiones analíticas, con las cuales las operaciones se
efectúan siguiendo reglas estrictamente especificadas, aportó la característica de un cálculo regular al estudio de las funciones, abriendo así horizontes completamente nuevos. Este método de
representación de las funciones, que tuvo su origen en el proceso de la aplicación del álgebra a la
geometría, fue ampliado inmediatamente a otras ramas de las matemáticas, y en primer lugar, al
campo del cálculo infinitesimal.
En notas que escribió hace aproximadamente 100 años, pero que únicamente se publicaron por
vez primera en 1925, el gran pensador F. Engels ([25], p. 275) sostenía que:
“... Der Wendepunkt in der Mathematik war Descartes’ variable Grösse. Damit die Bewegung
und damit die Dialektik in der Mathematik, und damit such sofort mit Notwendigkeit die Differential und Integralrechnung, die auch sofort anfängt ...”
La opinión del famoso matemático H. Hankel, expresada aproximadamente en la misma época
([26], pp. 44 - 45) es muy parecida a la aseveración que acaba de citar:
“... während die Alten den Begriff der Bewegung, des räumlichen Ausdruckes der Veränderlichkeit ... in ihrem strengen Systeme niemals und auch in der Behandlung phoronomischerzeugten Kurven nur vorübergehend verwenden, so datiert die neuere Mathematik von dem
Augenblicke, als Descartes von der rein algebraischen Behandlung der Gleichngen dazu
fortschritt, die Grössenveränderungen zu untersuchen, welche ein algebraischer Ausdruck erleidet, indem eine in ihm allgemein bezeichnete Grösse eine stetige Folge von Werten durchläuft ...”
Fue precisamente en la época de Descartes y de Fermat cuando el pensamiento funcional pasó a
predominar en el trabajo creativo de las matemáticas. A este respecto, deseo también observar, de
paso, que la geometría analítica de Descartes y de Fermat, por parca que haya sido al principio en
cuanto a descubrimientos, comparada con los logros de la teoría de las secciones cónicas de los
antiguos, es potencialmente superior a la geometría analítica de Apolonio y difiere de ésta en el
mismo grado que el álgebra simbólica difiere del “álgebra geométrica” de la antigüedad (cf. [17],
p. 294).
7
La clasificación universalmente aceptada de las curvas algebraicas que introdujo Newton alrededor del año 1670, no fue publicada hasta 1704,
en su Enumeración de las líneas del tercer orden, (Enumeratio linearum tertii ordinis).
18
Al principio, la gama de las funciones que se expresaban analíticamente se limitaban a las algebraicas, y Descartes incluso excluyó de su geometría a todas las curvas mecánicas porque, a su
parecer no se prestaban a su método de análisis. Sin embargo, gracias a un descubrimiento realizado algo más tarde, a mediados del siglo XVI por P. Mengoli, N. Mercator, J. Gregory e I. Newton, cada uno por su lado, se hizo posible representar analíticamente cualquier relación funcional
de las que se estudiaban en esa época.
Me estoy refiriendo al descubrimiento de la forma de desarrollar las funciones en series de potencias infinitas. Posteriormente se agregaron otras expresiones infinitas de las funciones, como los
productos infinitos, las fracciones continuas, etc. En forma embrionaria, la idea de que una expresión infinita era una “función”, no resultaba cosa nueva, ya que la progresión geométrica infinitamente decreciente era conocida desde hacia mucho tiempo (véase párrafo 4), pero o fue hasta la
segunda mitad del siglo XVII cuando la serie de potencias se convirtió en el método más fructífero y, tal como se supo incluso durante un buen tiempo después, en el medio universal para la expresión analítica y para el estudio de cualquier función. P. Boutroux ([27],p. 117) consideraba incluso que la teoría del desarrollo de las funciones en series de potencia era la componente más
original, más notable y fructífera de la nueva matemática que descubrieron Newton y Leibniz. Sea
como fuere, el hecho de que el concepto de función como expresión analítica llegara a ocupar el
lugar central en el análisis matemático se debió, precisamente, a las series de potencias. Por algo
una de las principales obras de Newton se llamó El método de las fluxiones y las series infinitas
(Methodus fluxionum et serierum infinitarum).
6. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN,
LEIBNIZ (DE 1673 A1694).
SEGÚN LO ENTENDIERON
NEWTON (ALREDEDOR
DE
1670)
Y
No pasó mucho tiempo entre las primeras descripciones de estos nuevos conceptos de función, y
la formulación de las definiciones correspondientes, que al principio tenían características mecánicas o geométricas, debido tanto a la fuerza de tradición como al hecho de que los métodos del
cálculo infinitesimal se crearon principalmente en el curso de la solución de problemas en el
campo de la mecánica y de los relacionados con ellos, de índole geométrico.
La función logarítmica era un área hiperbólica; la función elíptica, un arco de sección cónica; las
integrales se representaban mediante distancias, áreas, arcos o volúmenes; las diferenciales, por
medio de segmentos coordenados infinitamente pequeños; las derivadas, a través de velocidades
o razones entre los lados de triángulos rectángulos que , en forma característica, eran infinitamente pequeños, etc.
Una interpretación cinemática - geométrica especialmente clara, de los conceptos básicos del análisis matemático, fue la que presentó Newton, quien desarrollo las ideas de su maestro I. Barrow,
según se explica en las conferencias que impartió en Cambridge durante 1664 y 1665, pero que se
publicaron posteriormente [28], en las que se describen los conceptos de tiempo y movimiento,
así como su representación geométrica, que tiene sus orígenes en Galileo y Oresme ([15], p. 220;
[29], p. 240).
19
Al igual que Barrow, Newton escoge al tiempo como un argumento universal e interpreta a las
variables dependientes como cantidades continuamente fluyentes y que poseen alguna velocidad
de cambio.
En dos cartas dirigidas a J. Wallis, fechadas el 27 de agosto y el 17 de septiembre de 1692 (del
calendario antiguo), Newton explicaba de manera concisa el concepto que tenia del cálculo infinitesimal, cuyo desarrollo había iniciado ya desde 1664 - 1666. Las versiones algo acortadas de estas cartas fueron publicadas en 1693, en la edición ampliada del tratado algebraico, en latín, de
Wallis (la edición en ingles es de 1685). Ahí se lee que Newton ([30], p. 39) redujo su método a
la solución de dos problemas:
“... Data aequatione fluentes quotcunque quantitates involvente, fluxiones invenire: etvice versa. Per fluentes quantitates intelligit indeterminatas, id est quae in generatione Curvarum per
motum localem perpetuo augentur vel diminuuntur, et per earum fluxionem intelligit celeritatem incrementi vel decrementi.8
Newton expuso las mismas ideas, con mayor detalle, en un buen numero de trabajos, como por
ejemplo, en el mencionado Método de las fluxiones y las series infinitas, escrito alrededor de
1670, pero cuya traducción al ingles, a partir de un manuscrito en latín, no se publicó hasta 1736,
[32]. Como es evidente, aun los dos problemas principales del cálculo infinitesimal fueron expresados en términos mecánicos, a saber dada la ley para la distancia, determinar la velocidad del
movimiento (diferenciación); y dada la velocidad del movimiento, determinar la distancia recorrida (integración de ecuaciones diferenciales y, en particular, de funciones). No obstante, los
conceptos de Newton se inclinan claramente hacia una comprensión más abstracta de los términos filosóficos y mecánicos. .Así, con referencia al argumento universal, es decir, el tiempo,
Newton expresa lo siguiente en su Método de las fluxiones ([32], pp. 72 - 73), (cito aquí su versión original en latín, que se remonta a 1670 - 1671):
“... Sin embargo, no podemos tener ninguna estimación del tiempo, salvo en el sentido de que
éste queda explicado y medido a través de un movimiento local uniforme, y por lo demás, únicamente se pueden comparar entre sí cantidades de la misma especie, al igual que sus velocidades de incremento o decrecimiento. Por estas razones, en lo que sigue no tomaré en cuenta
el tiempo, considerado formalmente como tal, sino a partir de cantidades propuestas que sean
de la misma especie, supondré que alguna se incrementa con un flujo uniforme; a éste se pueden referir todas la demás como si se tratara del tiempo, y así, por analogía, no resulta impropio conferirle el nombre de “tiempo”...”
(“Cum autem temporis nullam habeamus aestimationem nisi quatenus id per aequabilem motum localem exponitur et mesuratur, et praeterea cum quantitates ejusdem tantum generis inter se conferi possint et earum incrementi et decrementi celeritates inter se, eapropter ad tempus formaliter spectatum in sequentibus haud respiciam, sed e propostis quantitatibus quae
8
En el pasaje que sigue se da una traducción libre, que se hizo a finales del siglo XVII o principios del XVIII, y que fue publicada en 1691 ([31],
p. 222 y siguientes):
El ilustre señor Newton ha reducido la Doctrina de las Fluxiones a dos Proposiciones: 1.- Para cualquier ecuación dada, en la que intervengan
cantidades fluyentes, encontrar las fluxiones; y viceversa. Entiende por cantidades fluyentes a las cantidades indeterminadas, es decir, aquellas
que en la generación de una curva mediante movimiento local, perpetuamente se incrementan o decrecen; y por el flujo, se refiere a la rapidez de
su incremento o decremento.
20
sunt ejusdem generis aliquam aequabili fluxione augeri fingam cui caeterae tanquam tempori
referantur, adeoque cui nomem temporis analogice tribui mereatur ...”)9 .
Algo más adelante ([32 a], pp. 88 - 91) Newton denomina al fluyente, que desempeña el papel de
la variable independiente, una cantidad correlacionada (quantitas correlata); y a la cantidad dependiente la llama relacionada (relata). Así, únicamente son las nociones fundamentales las que
se introducen cinemáticamente, por lo que, en realidad, el método de las fluxiones se desarrolla
para los fluyentes, expresados analíticamente, ya sea en forma finita o mediante sumas de series
infinitas de potencias, que son esas fracciones decimales del análisis matemático.
Al principio, también Leibniz llegó a los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral desarrollándolos a partir de la geometría de las curvas. Baste recordar que ya desde que escribió su
memoria fundamental sobre el cálculo integral, un nuevo método para los máximos y mínimo, así
como para las tangentes, ... y un singular tipo de Cálculo para ellos. (Nova methodus pro maximis
et minimis, itemque tangentibus ..., et singularis pro illis Calculi genus), en 1684, describió a la
diferencial (dy) de una ordenada de cierta curva ([33], V. P: 220) como un segmento cuya razón
con respecto a dx (incremento arbitrario de la abscisa) es igual a la razón de su ordenada con respecto a la subtangente.
La palabra “función” aparece por primera vez en los manuscritos de Leibniz de agosto de 1673, y
en particular, en el titulado El método inverso de las tangentes, o acerca de las funciones (Methodus tangentium inversas, seu de functionibus). Al comienzo, la determinación de las
subtangentes, las subnormales y otros segmentos relacionados con puntos variables de una curva,
se trata en esa obra tanto para las curvas “geométricas” como para las “no geométricas”, para las
cuales ([34], p. 44):
“... la relación entre su aplicada (la ordenada) ED y la abscisa AE queda representada por
alguna ecuación que conocemos...”
(“... in qua Relatio applicatae ED ad abscissam AE aequatione quadam nobis cognita explicatur
...”)
A continuación, Leibniz ([34], p. 47) pasa a considerar el problema inverso de la determinación
de las aplicaciones (ordenadas) a partir de una propiedad dada de la tangente de la curva, o de
“... otras clases de líneas que, en una determinada figura, desempeñan alguna función ...”
(Ex allis linearum in figura data functiones facientum generibus assumtis.)
Se debe recordar que el verbo latino fungor, functus sum, fungi significa desempeñar, cumplir
(ejecutar) una obligación, etc. Tal como observa D. Mahnke ([34],p. 47)
9
Compárese con lo que expone Oresme ([18], pp. 274 - 275):
“... en consecuencia, el tiempo así expresado, no es en forma alguna “irregular”, o incluso propiamente “uniforme”, ya que tampoco se dice que el
tiempo sea “rápido” o “lento”. Sin embargo, se puede decir en forma impropia que el tiempo es uniforme, puesto que esa duración que es el tiempo en la forma antes mencionada, no se mide adecuadamente más que mediante el movimiento uniforme, es decir, el movimiento regular ...”
(“... idcirco tempus sic dictum nulla modo est difforme nec etiam proprie uniforme, sicut etiam tempus non dicitur velox vel tardum. Verumtamen improprie tempues potest dici uniforme quoniam illa duratio que tempus est modo predicto non mensuratur proprie nisi per motum uniformem, id est, regularem ...”)
21
Pero más adelante en el mismo manuscrito, el vocablo función adquiere un nuevo significado,
como término general para los distintos segmentos que se relacionan con una curva dad.
En el mismo sentido relativamente amplio de geometría diferencial, la definición de función aparece impresa por vez primera en unos cuantos artículos que Leibniz publicó en 1692 y 1694. Ahí
denomina funciones (functiones, functions) a cualesquiera partes de líneas rectas, es decir, segmentos, obtenidos mediante la construcción de líneas rectas infinitas correspondientes a un punto
fijo y a los puntos de una curva dada.10 Explica que en realidad se refiere a abscisas, ordenadas,
cuerdas, segmentos de tangentes y de normales cortadas por los ejes de coordenadas, segmentos
de subtangentes y subnormales, etc.; y en el mismo sentido fue utilizada la palabra función por
Jakob Bernoulli en el trabajo que presentó para el Acta Eruditorum de octubre de 1694.
Sin embargo, tal definición de función no corresponde a ningún contexto analítico más amplio.
En la correspondencia que sostuvo Leibniz con Johann Bernoulli durante 1694 - 1698, en realidad
se discierne la forma en que la carencia de un vocablo general, para indicar a las cantidades arbitrarias dependientes de alguna variable, pronto originó el uso de la palabra función en el sentido
de una expresión analítica.
7. LA FUNCIÓN
EULER (1748).
COMO EXPRESIÓN ANALÍTICA ARBITRARIA:
J. BERNOULLI. (1694 - 1718)
Y
En la carta del 2 de septiembre de 1694, en la que Bernoulli ([33], iii, p. 150) le habla a Leibniz
de su descubrimiento del desarrollo de ∫n dz en la serie infinita:
nz −
dn
ddn
1
1
z⋅z⋅
+
z 3 2 − ...
dz 1 ⋅ 2 ⋅ 3
1⋅ 2
dz
(que, no obstante, Leibniz ya conocía), aquel explicaba:
“... Entiendo por n a una cantidad formada, de algún modo, a partir de (cantidades) indeterminadas y constantes ...”
(“... Per n intelligo quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus
...”).
En el mismo año, este descubrimiento, expresados con las mismas palabras, apareció en el artículo de Bernoulli ([35], i,p. 126) en el Acta Eruditorum. La palabra funcionaún no se utiliza ahí, y
también está ausente en la carta de Bernoulli fechada el 25 de agosto de 1696 ([33], iii, p. 324),
donde propone denotar mediante
1
2
x
x
10
Véase Leibniz, De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus formata ..., Acta Eruditorum, abril de 1692 ([33], V.,
p. 268); Nova Calculi differentialis applicatio et usus ..., Acta Eruditorum, julio de 1694 ([33], V., p. 306); Considérations sur la différence qu’il
y a observer entre l’Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des Transcendentes, Journal des Scavants, agosto de 1694 ([33], V., pp. 307 - 308).
Como ejemplo véase lo que se dice en ([33], V., p. 306): Funtionem voco portionem rectae, quae, ductis ope sola puncti fixi et puncti curvae cum
curvedine sua dati rectis, abscinduntur.
22
“... a las diversas cantidades dadas de alguna forma por una (cantidad) indeterminada x y
por constantes ... (ya sea) algebraica o trascendentalmente ...”
(“... quantitates diversas utcunque datas per indeterminatam x et constantes ... vel algebraica,
vel trancendenter ...”).
Johann Bernoulli utiliza por vez primera la palabra función dos años más tarde, en un artículo que
acompaña, a modo de apéndice, a su carta del 5 de julio de 1698 y que está dedicado a la solución
del problema isoperimétrico planteado por su hermano Jakob, a saber: entre todas las curvas PFN
de longitud dada y base BN, encontrar una curva en la que cualesquiera potencias de sus ordenadas FP generen las ordenadas PZ de (otra) curva BZN de área máxima o mínima.
En realidad, Johann Bernoulli ([33], iii, pp. 506 -507) incluso generaliza este problema, suponiendo que es el siguiente:
“... encontrar (una curva) BFN, cuyas ordenadas FP, elevadas a una potencia dada, o, en general, algunas funciones de estas ordenadas, etc. ...” (“... illa (curva) BFN, cujas applicatae
FP ad datam potestatem elevatae seu generaliter earum quaecunque funtiones, etc. ...”)
En una traducción francesa publicada en 1706, en las Mem, Acad. Sci., París ([35], Tomo 1, p.
424), este pasaje del original reza así:
“... trouver la courbe BFN telle, que ses appliquèes FP elevèes a une puissance, ou gènèralment telle, que les funtions quelconques de ces appliquèes PZ, exprimèes par d’autres appliquèes PZ, etc. ...”
Bernoulli no explica en qué sentido toma “algunas” (quaecunque) funciones; sin embargo, mal
puede haberse referido a otra cosa más que a las expresiones analíticas, ya conocidas en esa época.11 .
11
Al parecer, el primer intento por dar una definición de la función como expresión “analítica” y, además, que permite la intervención de un proceso infinito, se encuentra en la obra de J. Gregory: La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola (Vera circuli et hyperbolae queadrature),
publicada en 1667. Puesto que este libro no es posible encontrarlo, describiré la definición correspondiente introducida por Gregory, según se explica en el artículo de M. Dehn y E. Hellinger ([36], p. 477):
“... llamamos a una cantidad x compuesta (compositum) de otras cantidades a, b, ..., si x resulta de a, b, ... por las cuatro especies elementales, extracción de raíces o cualquier otra operación que se pueda imaginar, (quacunque alia imaginabili operatione).
Mediante estas últimas palabras, Gregory se refería a la elaboración de series convergentes, habiendo sido él mismo quien introdujera el término
convergens, posiblemente trasplantándolo de la óptica a las matemáticas, ya que se ocupó bastante de la primera de estas disciplinas. Obsérvese
que Gregory utilizó el vocablo terminatio para referirse al límite de una secuencia convergente (series convergens).
Datos adicionales: Cuando ya había enviado este artículo al Editor, me encontré en posición de agregar el importante pasaje que sigue, tomado de
la obra de Gregory, Vera circuli et hyperbolae quadratur (1667), por el cual quedo grandemente agradecido al Dr. D. T. Whiteside ([37], p. 9).
Definitiones.
5. Quantitatem dicimus a quantitatibus esse compositum: cum à quantitatum additione, subductione, multiplicatione, divisione, radicum extractione, vel quacunque alia imaginabili operatione, fit alia quantitas.
6. Quando quantitas compositae ex quantitatum additione, subductione, divisione, radicum extractione, dicimus illum componi analytice.
7. Quando quantitates a quantitatibus inter se commensurabilibus analytice componi possunt, dicimus illas esse inter se analyticas.
La definición 5 corresponde a la que publicó J. Bernoulli en 1718 (véase párrafo 8); empero, para Gregory la cualquier otra operación imaginable
significa algún proceso general infinito, al que él denomina nuestra sexta operación (nostra sexta operatio).
La definición 6, que define a la cantidad compuesta analíticamente (analyticè), corresponde, en cierta medida, a nuestra función algebraica. Resulta difícil estar de acuerdo con M. Baron, quien dice ([29], p. 8) que: la palabra “analítica” fue utilizada por vez primera por James Gregory,
quien definió a una cantidad analítica como aquella que podía obtenerse mediante operaciones algebraicas, junto con un paso al límite. La palabra analyticè es empleada aquí por Gregory en el sentido en que lo hace Viète. Tal como lo expresa C. J. Scriba ([37 b], pp. 13 - 14): “Analytisch” nennt er dabei eine Grösse, die durch endlich viele der fünf Grundoperationen aus zueinander kommensurablen Grössen zusammengesetzt
ist.
23
El 29 de julio de 1698 Leibniz expresó su satisfacción por el hecho de que Johann Bernoulli
hubiera aceptado utilizar el término “función” ([33], iii, p. 526), que el primero había inventado;
después de esto, ambos intercambiaron cartas unas cuantas veces más para externar sus opiniones
acerca de loa notación que pudiera resultar más apropiada para una función de una o muchas variables. Los dos se inclinaban por distinguir a las funciones mediante índices, mas no en la forma
en que lo hacemos actualmente, sino de la siguiente manera: x, x, x; y, etc. ([33], iii, p. 537).
En esa misma carta, Leibniz proponía que se escribiera dz para la razón dz:dx, pero esta notación
no resistió el paso del tiempo.
Simultáneamente, o quizá un poco antes, Leibniz generalizo el uso de las palabras “contante” y
“variable” 12, “coordenadas” (en 1682, [33], V, p. 268) y “parámetro” en el sentido de un segmento o cantidad constantes y arbitrarias (en un manuscrito de alrededor de 1679 ([33, iii, p. 103) y en
1692, en un trabajo impreso (ibídem, p. 268)), etc. Finalmente, vio que la terminología introducida por Descartes no resultaba conveniente, y también la cambio. Descartes había clasificado a las
curvas en “geométricas” y “mecánicas”, excluyendo erróneamente de la geometría de estas últimas, por no ser susceptibles de estudio mediante su método (algebraico), véase también el párrafo
5.
Leibniz opto por dividir a las funciones y a las curvas en dos clases: las algebraicas, a saber, aquellas que podían representarse por medio de una ecuación de cierto orden (certigradus), y las trascendentales. Las funciones y curvas de esta ultima categoría también podían someterse a estudio y
cálculo exactos, aún cuando de naturaleza distinta, mediante su representación con ecuaciones de
orden indefinido (gradus indefiniti) o infinito, que ([33], V. pp. 123 - 124, de 1684 y 1686, respectivamente):
“... trascienden a cualquier ecuación algebraica (omnium aequationem algebraicam trascendant) ...”13 .
La definición que da Leibniz de las funciones trascendentales, entendiéndolas como no algebraicas, ha sido repetida en los libros de texto, hasta llegar a nuestros días. Por lo que toca a la propiedad intrínseca de las funciones analíticas complejas trascendentales (la posesión de cuando
menos un punto singular, además de polos y de puntos de rama, de orden finito), ésta no iba a establecerse más que a mediados del siglo XIX. Sin embargo, tuvieron que pasar veinte años para
que la nueva definición de función apareciera en forma impresa; y durante todo ese tiempo, la palabra función, en sí, continúo siendo poco conocida. No se le encuentra en el Mathematisches
Lexicon de CHR. Wolff, publicado en 1716, a pesar de que en él figuran dos artículos que guardan relación con el tema: Quantitas constans, eine unveränderliche Grösse. En el segundo artículo
se menciona que la distinción entre esas dos clases de cantidades es esencial en el nuevo análisis
de Leibniz ([38], columnas 1144 y 1149 - 1150).
12
Estas dos palabras adquirieron mayor fama, debido a que en el primer tartado sobre el cálculo diferencial, escrito por L’Hospital y publicado en
1696 [37], desde el principio se definen las quantitas constantes y las quantitates variables.
13
En el manuscrito, fechado en 1679, Leibniz ([33], iii, p. 103) llamaba “qnalíticas” (curva analítica) a las curvas algebraicas; en el mismo lugar
se encuentra también la expresión “curva transcendente”.
24
En la misma fuente, pero en otro artículo, Abscisas, die Abscisse, también se trata de expresión
de una cantidad variable por medio de otra. Dice así ([38], columnas 3 - 4):
“... Durch die Relation der Abzisse AP zu der halben (nosotros hubieramos preferido: a la ordenada (completa)) PM Pfleget man die krummen Linien von einander zu unterscheiden ...”
Se presentan algunos ejemplos de funciones en artículos tales como Aequatio exponentialis, eine
Exponential - Gleichung, y Aequatio trascendens, eine Trascendentische gelichung.
La idea de relación funcional ni siquiera se menciona en artículos como Calculus differentialis,
die Differential Rechnung y Calculus integralis, seu summatorius, die Integral Rechnung. La idea
de que el análisis matemático es la ciencia general de las variables y de sus funciones, al parecer
se debe a Euler, quien afirma precisamente esto en el prefacio a su famosa obra Introductio in
analysin infinitorum, que terminó de escribir alrededor de 1744 y que fue publicado en 1748 [39].
La primera definición explícita de función como expresión analítica, que haya aparecido impresa,
es la que se encuentra en el artículo de J. Bernoulli titulado Remarques sur cequ’on a donnè jusqu’ici de solutions de problemes sur les isoppèrimetres (Observaciones sobre los trabajos que
hasta ahora se han realizado en el campo de las soluciones a problemas de isoperimetría), que se
publicó en las Mem. Acad. roy. sci. París, de 1718. Ahí se encuentra lo siguiente ([35], ii, p. 241):
“... Definition: On appelle fonction dune grandeur variable une quantitè composèe de queique
maniere que ce soit de cette grandeur variable et de constantes ...” (“... Definición: Se llama
función de una magnitud variable a una cantidad compuesta, en la forma que sea, por esa
magnitud variable y por constantes ...”).
En ese mismo lugar, Bernoulli proponía también a la letra griega ϕ como notación para la caractèristique de una función (término inventado por Leibniz), escribiendo todavía el argumento
f x. Estos últimos, así como el símbolo ∫ para función, son ideas de Euler, que
sin paréntesis:
los utilizó en su artículo E. 45, divulgado a manera de comunicación en 1734 y que fue publicado
en 1740.
En su definición, Bernoulli no daba indicio alguno acerca de la forma en que se pudieran conformar funciones a partir de la variable independiente. No obstante, resulta obvio que en realidad se
refería a expresiones analíticas de las funciones, ya que esto concordaba con la tendencia fundamental del análisis infinitesimal que, conservando e incluso vigorizando sus nexos con la geometría, la mecánica y la física, durante el siglo XVIII se convirtió en una disciplina científica cada
vez más autónoma en sus principios. Todos los conceptos iniciales del cálculo, paulatinamente
van perdiendo su cascarón geométrico y mecánico, se formulan geométrica y algebraicamente y
comienzan a ser asimilados como los conceptos similares de otras ciencias exactas que, en forma
lógica, preceden a éstas.
El proceso de convertir al análisis matemático en una disciplina científica autónoma, que en el siglo XIX pasó a ser el proceso de aritmetizarla, resultó prolongado. Al principio, incluyó a la mecánica, haciendo de ésta una parte del análisis matemático; de hecho, para Newton la fluxión de
una cantidad era su velocidad de cambio; para Lagrange, la velocidad era una derivada de la función que representaba a la distancia en términos del tiempo. Además, en su Mecanique analyti-
25
que (de 1788) Lagrange manifestaba que la mecánica era una parte del análisis matemático, cuya
exposición no requería ni de figuras, ni de consideraciones geométricas o mecánicas en general.
Hubo una tendencia similar, al respecto de la relación que guardaba el análisis matemático con la
geometría y los métodos de esta última dejaron de aplicarse, no sólo para definir sino incluso para
ilustrar los conceptos básicos del cálculo.
Esto queda de manifiesto al hacer una comparación, aunque no sea más que somera, del Analyse
des infiniments petits, etc. de L’Hospital (publicado en 1696), con los cursos de Euler y de Lagrange, en los cuales no se utilizan, en absoluto, las ilustraciones geométricas. Desde luego, la intuición geométrica continuó desempeñando su papel constructivo; naturalmente, siempre hubo
eruditos que dieron peso a los “teoremas de existencia” analíticos recurriendo a la evidencia geométrica; y está claro que, a la postre, volvió a comprenderse el valor educativo de las analogías
geométricas y mecánicas.
Sin embargo, la tendencia general no cambia, y por ello, a su debido tiempo (aunque esto no ocurrió más que hasta la segunda mitad del siglo XIX) resultó necesario definir analíticamente conceptos geométricos tales como el área de una superficie, la longitud de una curva, etc., que antes
habían parecido -ser intuitivamente obvios.
Fue Leonard Euler, el discípulo de Johann Bernoulli, quien efectuó un desarrollo adicional y
esencial del concepto de función. En el Capítulo I del Volumen I de su Introductio in analysin infinitorum, de 1748 (E. 10), Euler sometió a un estudio más detallado el concepto de función, según éste se utilizaba realmente en el análisis matemático. Comenzó por definir nociones iniciales.
De acuerdo con Euler, una constante es una cantidad definida, que siempre asume el mismo valor,
y sólo uno, en tanto que una variable se introduce como el conjunto (a veces como uno u otro
subconjunto) de los números complejos.
“... Una cantidad variable, escribió Euler (1341, p. 17), es una cantidad indeterminada, o
universal, que comprende en sí misma a absolutamente todos los valores determinados ...”
(Quantitas variabilis est quantitas indeterminata, seu universalis, quae omnes omnio valores
determinatas in se complectitur).
En consecuencia, prosigue (p.18), una cantidad variable comprende en si misma absolutamente a
todos los números, tanto positivos como negativos, tanto enteros como fraccionarios, tanto racionales como irracionales y trascendentales. Ni siquiera el cero o los números imaginarios quedan
excluidos del significado de cantidad variable.
(Quantitas ergo variabilis in se complectitur omnes prorsus numeros, tam affirmativos quam
negativos, tam integros quam fractos, tam rationales quam irrationales et transcendentes.
Quin etiam ciphra et numeri imaginarii a significatu quantitatis varabilis non excluduntur).
En su definición de función,, Euler una vez más sigue a su maestro, Johann Bernoulli, aún cuando
cambia la palabra “cantidad” por “expresión analítica” (ibídem):
“... La función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier
manera a partir de esa cantidad variable y de números o cantidades constantes ...”
26
(Functio quantitatis variabilis est expressio analytica quomodocunque composita ex illa quantitate variabili et numeris seu quantitatibus constantibus).
Voy a tener que dejar aparte, tanto la introducción que hace Euler de las funciones de una variable
compleja, colocándolas al mismo nivel que las de una variable real (paso de enorme importancia),
como ciertas inconveniencias formales ocasionadas por el hecho de que Euler no consideró que
las constantes fueran funciones por derecho propio. Para mi, lo importante es que Euler fuese el
primero en intentar contestar la pregunta: ¿hasta dónde abarca el término expresión analítica? O
bien -¿a qué métodos para su composición se hace referencia, en realidad? 14
Al enumerar las operaciones por medio de las cuales se componen las expresiones analíticas, Euler comienza por las operaciones algebraicas (a las cuales remite también la solución de las ecuaciones algebraicas) y después cita a varias de índole trascendente, llegando, en particular, a las
funciones exponenciales y logarítmicas, y a un número infinito de otras funciones que proporciona el cálculo integral, incluyendo a la integración de ecuaciones diferenciales.
A continuación, Euler hace la distinción entre funciones explícitas e implícitas Siendo estas últimas las que se originan mediante la solución de ecuaciones, y formula teoremas sobre la existencia de una función inversa de otra dada, así como de una función representada paramétricamente
(dadas x y y como funciones de z, y es función de x y viceversa, es decir x es función de y).
Hablando en términos prácticos ((39), p. 25), y debido a la imperfección del álgebra, no siempre
es posible representar explícitamente a dichas funciones:
“... no obstante, y por el momento, esta reciprocidad de las funciones se entiende como si todas las funciones pudieran ser resueltas...”
(interim tamen nihilominus, quasi omnes aequationes resolvi possent, haec functionum reciprocatio perspicitur)15.
En el párrafo 8 mostraré la forma en que Euler clasifica a estos últimos métodos de introducir
funciones, bajo su primera definición general de función. Por el momento, deseo señalar que la
clasificación que hizo Euler de las funciones (tal como se ha descrito, aunque ciertamente no en
forma detallada) se utilizó a cabalidad.
8 FUNCIONES ANALÍTICAS
Resulta obvio que el enumerar los diversos métodos para expresar a las funciones analíticamente
parecía cosa imposible; en consecuencia, en el Capítulo 4 de su Introductio Euler los reduce todos
a uno solo y declara que la forma universal y, a la vez, la más conveniente de la expresión analítica de una función es una serie infinita de potencias, del tipo:
A + Bz + Cz2 + Dz3 +...
Desde luego, como no estaba en posibilidad de demostrar que cualquier función podía desarrollarse en una serie de esta índole, lanzaba el siguiente reto:
14
15
Este problema ya se había encarado incluso en el siglo XVII, (véase la nota 11) cuando J. Gregory trató de resolverlo a su propio modo.
Lo que aquí se dice al respecto de las ecuaciones algebraicas, también es válido, mutatis mutandi, para cualesquiera otras ecuaciones.
27
“... en caso de que alguien dude, su duda quedará eliminada mediante el desarrollo de una u
otra función...”
(si quis dubitet, hoc dubium per ipsam evolutionem cuiusque functionis tolletur).
Sin embargo, agregaba Euler, con objeto de hacer esta expresión más general, no únicamente
deben admitirse potencias positivas y enteras de z, sino potencias cualesquiera. “... Así, no
habrá duda de que cualquier función de z pueda transformarse en una expresión infinita del
tipo:
Az α + Bz β + Cz γ + Dz δ + ...,
donde los exponentes α, β, γ, δ, etc., denotan a números cualesquiera...”
(Quo autem haec explicatio latius pateat, praeter potestates ipsius z exponentes integros affirmativos habentes admitti debent potestates quaecunque. Sic dubium erit nullum, quin omnis
functio ipsius z in huiusmodi expressionem infinitam transmutari possit (see obove) denotantibus exponentibus α, β, γ, δ, etc. numeros quoscunque).
Lo cierto es que la inmensa mayoría de las funciones que se utilizaban en análisis matemático en
la época de Euler eran analíticas (en el sentido en que nosotros usamos esta palabra) en todo el
dominio de su definición, salvo, quizá, para valores aislados del argumento y, en casos especiales,
se hubieran podido desarrollar en series de términos que -contuvieran potencias fraccionarias o negativas del argumento.16 No debe extrañarnos, pues, que
las series de potencias y, en menor grado, los productos infinitos y los desarrollos en sumas de
fracciones parciales o continuas, se utilicen en el Volumen I de la Introductio como el instrumento principal para el estudio de diversas clases de funciones elementales.
Tal como se ha dicho líneas arriba, los teoremas sobre la existencia de las funciones implícitas o
paramétricas desde el punto de vista de Euler, se pudieron haber considerado dentro de los límites
de una definición general de función. La cuestión es que, según Euler, una ecuación algebraica
arbitraria, de cualquier potencia, puede resolverse mediante raíces. En un caso más general, y debido a que toda función y se podía representar mediante alguna serie de términos que contuvieran
las potencias del argumento z, este argumento podía expresarse en términos de y por medio de la
inversión de la serie; los procedimientos para invertir series habían sido introducidos por Newton.
La definición de función dada por Johann Bernoulli y Euler, diciendo que se trata de una expresión analítica, cuya forma más general es una serie de potencias, fue aceptada por muchos otros
matemáticos, incluyendo a Lagrange, quien al referirse a Leibniz y Bernoulli en su Thèorie des
fonctions analytiques (en 1797) denominaba función a cualquier expression de calcul.17
16
En esencia, esta interpretación de la representabilidad analítica es similar a los conceptos que sostenían J. Gregory, (véase la Nota 11).
Según lo expresa Lagrange ([40], p. 15):
Se denomina función de una o de varias cantidades, a toda expresión de cálculo, en la cual estas cantidades intervienen en una forma cualquiera,
mezcladas o no con otras cantidades a las que se considera poseedoras de valores dados e invariables, en tanto que las cantidades de la función
pueden recibir todos los valores posibles. Así, en la función no se consideran más que a las cantidades que se suponen variables, sin tomar en
consideración a las constantes que pudieran estar mezcladas con ellas.
17
28
Mencionaré, de paso, que Lagrange, al igual que Euler y otros matemáticos del siglo XVIII, consideraba, sin lugar a dudas, que cualquier función del análisis matemático podía ser representada
por una serie de términos proporcionales a las potencias reales de la variable independiente; además, Lagrange ((40), Parte I, Capítulo I) incluso trató de demostrar que, en general, las potencias
resultantes eran enteros positivos, en tanto que las potencies fraccionarias o negativas únicamente
podían ocurrir en casos que correspondieran a valores aislados y especiales del argumento.
Así, una función, que al comienzo del Volumen I de la Introductio de Euler se ha definido como
cualquier expresión analítica, más adelante se dice que es (en nuestra terminología) una función
analítica en todas partes, salvo, tal vez, en puntos aislados especiales, en las inmediaciones de los
cuales puede ser representada por una serie de potencies generalizada, (véase también el párrafo
10).
9. LAS FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS (MIXTAS)
CONTROVERSIA ACERCA DE LA CUERDA VIBRANTE
EN EL
SENTIDO
DE
EULER:
LA
En realidad, en el Volumen I de la Introductio se estudian únicamente las funciones analíticas. No
obstante, Euler sabía que también existían funciones de una clase distinta. Este hecho se señala al
principio del Volumen 2 de la Introductio, que se dedica principalmente a la teoría de las curvas
planas. Al igual que a cualquier función de x le corresponde alguna línea curva, también las líneas
curvas se representan mediante funciones de x, dice Euler, quien prosigue así ((41), p. 11):
A partir de tal idea acerca de las líneas curvas, sigue de inmediato su división en continuas y
discontinuas, o mixtas
(Ex hac linearum curvarum idea statim sequitur earum divisio in continuas et discontinuas seu
mixtas.)
Esta terminología, que para Euler tenía un sentido especial, insólito para nosotros, se utiliza hasta
la época en que Bolzano (en 1817) y Cauchy (en 1821) atribuyeron a las expresiones continuas y
discontinuas el significado que en la actualidad ha sido adoptado de manera generalizada; a veces
se utiliza incluso hasta en épocas posteriores.
En el sentido de Euler, continuidad significa invariabilidad, inmutabilidad de la ley de la ecuación
que determinaba a la función a lo. largo de todo el dominio de valores de la variable independiente, mientras que la discontinuidad en una función significaba el cambio de la ley analítica, es decir, la existencia de dos leyes distintas en dos o más intervalos de ese dominio. Las curvas discontinuas, explicaba Euler, están compuestas por partes continuas, siendo ésta precisamente la razón
por la que se les denomina mixtas o irregulares (irregulares); a veces, también llamaba a estas
curvas mecánicas (mechanices). En geometría, según Euler, se estudian principalmente las curvas
continuas (es decir, las analíticas).
29
Las funciones discontinuas o mixtas, así como las curvas del Volumen 2 de la Introductio, corresponden a nuestras funciones analíticas por intervalos (piecewise); en consecuencia, su inclusión en el análisis matemático no ofreció ninguna ampliación esencial del concepto de función.18
Sin embargo, ya en fecha no posterior al año mismo en que se publicó la Introductio (recordemos
que el manuscrito de su trabajo se terminó en 1744), Euler comprendió que la categoría de funciones (curvas) discontinuas, lejos de quedar agotada por las funciones (curvas) mixtas, debía
ampliarse en buena medida. Tal como lo señaló A. I. Markushevich ((43), pp. 108-109), Euler
había visto la necesidad de tal ampliación ya incluso en 1744, durante Su trabajo sobre los Methodus inveniendi lineas maximi minimive proprietatis gaudentes (E. 65), cuando comparaba las
curvas extremes - soluciones a problemas de variaciones - con las curvas que diferían infinitamente poco de ellas en las inmediaciones de un punto aislado, o de unos cuantos de estos últimos.
Sin embargo, el principal impulso para el desarrollo ulterior del concepto de función proviene del
trabajo de Euler en la física matemática, comenzando con el famoso problema referente a las vibraciones infinitamente pequeñas de una cuerda finita y homogénea, fija en ambos extremos.19 La
primera interpretación matemática de este problema, sobre el cual hay especulaciones que se remontan a Galileo, la ofreció Taylor (en 1715), aun cuando el primer paso decisivo hacia una teoría al respecto lo dio D'Alambert en una memoria comunicada a la Acad. Roy. Sci. et Belles lettr.
Berlín, a finales de 1746 y publicada en la Histoire de esta institución, en 1749, (45).
D'Alembert expresó las condiciones de este problema mediante ecuaciones equivalentes a una
ecuación diferencial parcial:
2
∂2 y
2 ∂ y
=
a
,
∂t 2
∂x 2
(que aparecieron en forma explícita en la memoria E. 213 de Euler, publicada en 1755) y demostró que la solución general del problema podía representarse mediante la suma de dos funciones
arbitrarias:
18
De acuerdo con una opinión recientemente expresada por I. Grattan-Guinness ((421, pp. 6-7), el término continuo de Euler es sinónimo con el
de “diferenciable” que nosotros utilizamos, mientras que su discontinuo corresponde a nuestro “continuo”. Por otro lado, A. Speiser (42a) había
escrito: “por función continua, Euler, al igual que Leibniz antes que él, se refiere a una función especificada por una ley analítica, precisamente
en la misma forma que ocurre con las que en la actualidad se denominan funciones analíticas. Estas tienen la propiedad de quedar determinadas
en todo su rango, por medio de un trozo de ellas arbitrariamente pequeño ...”. Truesdell ([42b], pp. XLI-XLIII), aun cuando aceptaba la afirmación de Speiser, sostenía que el contexto de las ecuaciones diferenciables parciales, en el que Euler introdujo sus funciones discontinuas, hacía
palmario que consideraba a estas funciones como no susceptibles de diferenciación únicamente en puntos aislados. Escribía lo siguiente: “El universo físico de Euler ... es uniforme por trozos (piecewise), pero no por ello deja de ser “continuo”, aun cuando en menor grado que el Leibniziano”. Posteriormente ([51], pp. 243-247-248, 296-297 y 419) Truesdell aportó evidencias con miras a demostrar que en el contexto de la cuerda
vibrante, Euler daba a entender por “función” (no necesariamente “continua”, según el sentido que él le da) a lo que en la actualidad llamaríamos
una función continua con pendiente y curvatura continuas, por trozos o intervalos (piecewise). Sin embargo, véase lo que se dice en la nota 22a,
al respecto del uso que hace Euler de las funciones discontinuas en el sentido moderno.
Dejando aparte el problema de que Euler haya identificado a las expresiones analíticas con las funciones analíticas (lo que, en esencia, es ilegitimo hacer), lo que deseo recalcar es que las funciones de Euler, ya sean las continuas o las discontinuas (mixtas) en cualquiera de los sentidos que
él dé a estas palabras, pueden tener discontinuidades, en el sentido moderno, en puntos aislados. En sus trabajos posteriores, Euler, como pondré
de manifiesto, adoptó un punto de vista más amplio al respecto de las funciones discontinuas; véase lo que sigue.
19
La afirmación de Grattan-Guinness ([42], p. 6) en el sentido de que la distinción entre funciones continuas y discontinuas que hace Euler en el
Vol. 2 de su Introductio tiene su origen en su estudio del problema de la cuerda, resulta algo dudoso. Hasta donde yo sé, la única corrección al
manuscrito de su volumen, que ya estaba en manos de M. Busquet, el impresor suizo, y cuya edición fue supervisada por J. Castillon, fue la que
envió Euler el 15 de diciembre de 1744, por mediación de G. Cramer ([44], No. 462-464). La impresión de la Introductio, como lo demuestra una
carta de Cramer a Euler, fechada el 13 de agosto de 1746 ([44], No. 467), había comenzado durante el invierno de 1746-1747, en tanto que el 8
de abril de 1748, Castillon le informaba a Euler (ibídem, No. 369) que ya había sido terminada.
30
y = ( x + at ) + ( x - at )
la cual, debido a las condiciones de frontera, se reduce a:
y = (at + x ) + (at - x ) .
En cada caso particular, las funciones que aparecen en la solución general quedan determinadas
por la forma inicial de la cuerda (y por las velocidades iniciales de sus puntos). Desde luego, estas
condiciones iniciales pueden ser muy diversas, pero D'Alambert restringió estrictamente la categoría de las formas iniciales admitidas para la cuerda, aduciendo que sin tales limitaciones no sería posible llegar a ninguna solución del problema, mediante el análisis matemático. Entre las restricciones que impuso D'Alembert resulta de interés especial la suposición de que la forma inicial
de la cuerda debe estar representada, en toda su extensión, por una sola ecuación y siempre la
misma; es decir, la cuerda es continua, an el sentido de Euler.
No tardó Euler en responder a la memoria de D'Alembert, que tuvo oportunidad de estudiar muy
poco tiempo después de que éste último la comunicara, presentando, el 16 de mayo de 1748, su
propia memoria titulada De vibratione chordum execitatio, E. 119, que fue publicada en 1749, en
la Nova Acta Eruditorum. (Su versión francesa, Sur la vibration descorde E. 140, fue publicada
en 1750 ((46), pp. 50-77) por la misma Amd. Roy. Berlín).
Aun cuando Euler otorgaba un gran valor al método de D'Alembert en su conjunto, discrepaba de
éste en cuanto a la naturaleza de las funciones que debían admitirse en las condiciones iniciales
(y, en consecuencia, en cuanto a la solución del problema). Guiado por consideraciones físicas,
así como por una profunda intuición matemática, ya incluso al plantear el problema, escribía
([46], p. 64):
“... la premiere vibration depend de notre bon plaisir, puisqu’on peut, avant de lacher la corde, lui donner une figure quelconque; ce qui fait que le mouvement vibratoire de le meme corde peut varier a l’infini, suivant qu’on donne a la corde telle ou telle figure au commencement
du mouvement ...”
(“... La primera vibración puede escogerse como nos plazca, ya que antes de soltar la cuerda
se le puede dar a ésta una configuración cualquiera, con lo cual, el movimiento vibratorio de
la cuerda puede variar de manera infinita, según que se le dé a la cuerda tal o cual figura, al
inicio del movimiento...”).
Repitiendo esta aseveración en la propia investigación, que en su primera parte se parece a la de
D'Alembert, Euler (p. 27) considera una
“... courbe anguiforme, soit reguliere, contenue dans une certaine equation, soit irreguliere
ou mechanique...”
(“... curva anguiforme, o sea regular, contenida dentro de una determinada ecuación, ya sea
irregular o mecánica...”),
31
es decir, sin que se tengan que imponer restricciones a la forma de la cuerda. En un caso particular, llega a una solución que corresponde a la forma continua inicial representada por una serie
trigonometrica:
y = a sen
px
2 px
3 px
+ sen
+ sen
+...,
"
"
"
(+)
estando la cuerda fija en los puntos extremos x = 0 y x = l
D'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Y así comenzó la prolongada controversia acerca de
la naturaleza de las funciones que debían permitirse en las condiciones iniciales, así como en las
integrales de las ecuaciones diferenciales, que seguían apareciendo en número cada vez creciente
en la teoría de la elasticidad, en hidrodinámica, en aerodinámica y en la geometría diferencial.
Esta controversia pronto adquirió una nueva dimensión al incorporarse a ella un nuevo participante, D. Bernoulli, cuya aportación fue publicada en 1755. Desarrollando el método de la superposición de modalidades, que él mismo había introducido en sus estudios anteriores, Bernoulli sostenía que tanto la forma inicial arbitraria de la cuerda como sus vibraciones subsiguientes, podían
representarse mediante series infinitas de términos, incluyendo los de senos de ángulos múltiples.
Según Bernoulli, con la elección adecuada de coeficientes, tal serie (+) pasa a ser tan general como las series de potencias; sin embargo, Bernoulli nunca conoció el método para el cálculo de los
“coeficientes de Fourier”
Euler, quien poco antes había ofrecido una solución en forma de serie (+), para un caso especial,
excluía cualquier posibilidad de representar en tal forma a funciones mixtas arbitrarias o a clases
muy amplias de funciones continuas, como por ejemplo, las algebraicas.
(Véanse sus Remarques sur les memoirs precedents de M. Bernoulli (E. 213), publicadas en
1755. Eclaircissements sur le mouvement des cordes vibrantes (E. 317), publicado en 1766; y Sur
le mouvement d'une corde qu'au commencement n’a ètè èbranlèe que dans une partie (E. 339),
publicado en 1767 ([46], pp. 237, 385, 430, 431)20.
20
Euler suponía que una función continua en algún intervalo quedaba definida por una expresión, y solamente una, a lo largo de ese intervalo
(como se dirá más adelante). En consecuencia, y según Euler, la suma impar y periódica de una serie de senos, no podía representar a una función
algebraica cualquiera, ni, por lo común, a ciertas funciones trascendentes. Posteriormente, en su memoria titulada Disquisitio ulterior super seriebus secundum multiplae cuisdam anguli progredientibus (E. 704), remitida a la Academia de Ciencias de San Petersburgo el 29 de mayo (9 de
Junio) de 1777 y publicada póstumamente en 1798 ([47] pp. 335-355), Euler dedujo fórmulas para los “coeficientes de Fourier” en el intervalo
[0, ]. Sin embargo, ya no volvió a tomar parte en la controversia acerca de la representabilidad de las funciones mediante series trigonométricas.
Algún tiempo antes (en 1722, véase (48)), D. Bernoulli, partiendo de un razonamiento distinto, desarrolló la función
y=
π x
+
2 2
(+)
en forma de serie, observando correctamente que tal desarrollo es válido para el intervalo [0, 2π] y describiendo, además, de manera muy estricta
el comportamiento de la serie, tanto en ambos extremos como más allá de dicho intervalo. También examinó otros ejemplos.
Lo que resulta notable es que el mismo desarrollo de las funciones (+) haya sido del conocimiento de Euler, quien, a pesar de esta contradicción
con sus propias opiniones, lo incluyó tanto en su carta a Goldbach fechada el 4 de Julio de 1744 ([49], p. 195) como en su trabajo Institutiones
calculi differentialis (E. 212), publicado en 1755 ([50], parte 2, párrafo 92), sin mencionar que el desarrollo solamente es válido para 0 < x < 2π.
No fue ésta la única ocasión en que Euler supo de ejemplos que no cumplían con sus conceptos, pero que quizá haya considerado como excepciones insignificantes a la regla general.
32
También D'Alembert rechazó la solución de D. Bernoulli. No obstante, la controversia prosiguió.
Se incorporaron a ella Lagrange (en 1759-1762) y, algo más tarde, otros matemáticos prominentes (Monge, Laplace, Arbogast, Fourier, etc.).
Esta controversia de la que Truesdell [51] relata la historia en forma sumamente detalla hasta
1788, fue de importancia capital, tanto para el propio progreso de la física matemática como para
el desarrollo metodologico de los fundamentos del análisis matemático. Desde el punto de vista
de mi exposición, lo esencial es que Euler, ya a partir del comienzo mismo de su estudio del problema de la cuerda, adelantó la tesis en el sentido de que para su solución debían admitirse curvas
de forma arbitraria, es decir, curvas que no pertenecieran a la clase de las funciones mixtas, ya
que, en general (en opinión de Euler), [éstas] no cumplen con ninguna ley analítica.
De manera más detallada, Euler desarrolló sus puntos de vista sobre esta materia en su trabajo De
usu functionum discontinuarum in analysi (E. 322) que envió a la Academia de San Petersburgo
en el verano de 1763 y que fue publicado en 1767 ((52), pp. 74-91). En esta memoria, las funciones continuas se definen, en términos de imágenes geométricas, suponiendo no únicamente que
la relación entre las coordenadas de todos los puntos de alguna de tales curvas queda determinada
por una sola ley o ecuación, y siempre la misma, sino también que (pp. 75-76):
“... todas las partes de la curva (continua) están firmemente conectadas entre sí, de tal manera que resulta imposible cualquier cambio en ella, sin perturbar los nexos de continuidad...”
(omnes curvae partes ita vinculo arctissimo inter se cohaerent, ut nulla in illis, mutatio salvo
continuitatis nexu locum invenire possit).
Euler recalca que a lo que se refiere no es a la conexión o continuidad de la trayectoria o camino
que sigue la curva (continuitas tractu), sino exclusivamente, a la unicidad de la correspondiente
ley analítica. Así, las dos ramas conjugadas de una hipérbola constituyen una curva continua. Esta
propiedad principal de las líneas continuas, que para Euler se desprendía directamente del
concepto que tenía de continuidad, podía expresarse de otra manera: cualquier parte pequeña de
una línea (función) continua determina en forma crítica a esta línea como un todo (véase la Nota
18).
Hace ya mucho tiempo, I. Yu. Timchenko ([53], p. 482) hizo la siguiente observación:
“... Hasta donde Euler identificó a las expresiones analíticas con las funciones susceptibles
de ser representadas mediante series de Taylor, la propiedad de “continuidad” corresponde
con la propiedad de unicidad de las funciones analíticas, en el sentido de Weierstrass...”21
Por lo que toca a las curvas discontinuas, Euler las define como
“... todas las curvas no determinadas por alguna ecuación definida, del tipo que pueden resultar mediante un trazo libre de la mano ...”
(omnes enim linease curvae per nullam certam aequationem determinatae, cuiusmodi libero
manus tractu delineari solent).
21
La unicidad del desarrollo de una función (que posea una variable real) en una serie de Taylor, bajo la hipótesis de que dicha serie efectivamente existía, ya había sido establecida por C. MacLaurin ([54], Vol. 2, pp. 610-611).
33
Una vez más, esta discontinuidad no se refiere a la trayectoria de la curva; son también discontinuas aquellas curvas que se extienden de manera continua (etiamsi continuo procedam) en el sentido de que están conectadas. Si ignoramos el hecho empírico de que las figuras geométricas ideales no pueden ser dibujadas, las funciones discontinuas corresponden entonces a nuestras funciones arbitrarias que son continuas por intervalos (piecewise) con derivadas continuas por intervalos, tanto de primero como de segundo orden (cf. [51], p. 247)22. Sin esta última condición, implícita en la descripción geométrica, aunque no formulada explícitamente, la discontinuidad se
vuelve absolutamente arbitraria, de tal manera que ninguna parte de una curva discontinua necesita ser continua, es decir, susceptible de ser representada analíticamente y, por ende, según Euler,
analítica.
La amplitud del nuevo concepto de Euler queda también confirmada por la mención que hace,
inmediatamente después de dar la descripción de toda la clase de curvas discontinuas, o mecánicas, en el sentido de que (ibídem) a esta clase.
“... se le deben atribuir también las líneas a las que comúnmente se llama mixtas.
(Atque huc etiam referri convenit líneas vulgo mixtas vocatas)...”,
verbigracia, el perímetro de un polígono (ejemplo que se consideró repetidas veces durante la
controversia sobre la cuerda), etc.
En la parte subsiguiente de su memoria, Euler estudia el papel que desempeñan en las matemáticas las distintas clases de funciones. En las ramas tradicionales, tanto del análisis matemático
como de la geometría avanzada, se estudian las funciones continuas; pero es algo distinto lo que
ocurre con ese campo recientemente descubierto y todavía poco desarrollado del cálculo integral,
a saber, la integración de ecuaciones que contienen diferenciales de dos o más variables.
Al igual que en las integrales de las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen cantidades constantes arbitrarias también las soluciones de esa clase de ecuaciones, esencialmente nuevas, contienen funciones discontinuas, absolutamente indefinidas y que dependen de nuestro libre arbitrio
(ad arbitrio -nostro) ((52), p. 96). Euler suponía que era precisamente esta circunstancia la que
constituía la característica principal (y la mayor fuerza) de la integración de las ecuaciones diferenciales parciales, tema que presentaba una esfera sumamente amplia para nuevas investigaciones. Algún tiempo después, Euler dedicó a las ecuaciones diferenciales parciales casi la totalidad
del Volumen 3 de su obra Institutiones calculi integralis (E. 315), publicada en 1770, recalcando
una vez más y con todo vigor la utilidad de las funciones discontinuas ((55), párrafos 37 y 299).
10. LA DEFINICIÓN GENERAL DE FUNCIÓN, SEGÚN EULER.
Puesto que, en opinión de Euler, las funciones discontinuas por lo común no susceptibles de representarse analíticamente, la definición de función que se daba en el Volumen I de la Introductio, y que se modifica ligeramente en su Volumen 2, pasa a ser demasiado restringida. Con objeto
de formular otra definición que abarcara a todas las clases conocidas de relación Euler recurrió a
un concepto que siempre estaba presente, por más que no se expresaba explícitamente en ninguno
22
En el problema de la cuerda, también se supone su continuidad (conexión) a lo largo de todo el intervalo.
34
de los métodos para introducción de funciones; me refiero a la noción general de la correspondencia entre pares de elementos, cada uno de ellos perteneciente a su propio conjunto de valores y
de cantidades variables. Este concepto, que no está vinculado con ninguna expresión analítica definida, había sido utilizado más de una vez en los razonamientos que están implícitos en el Volumen I de la Introductio, especialmente en sus capítulos 2 y 3, el primero de los cuales comienza
con la frase siguiente ((39), p. 32):
“... Las funciones se transmutan en otras formas, ya sea mediante la introducción de otra
cantidad variable en vez de la utilizada inicialmente, o (incluso) manteniendo la misma cantidad variable...”(Functiones in alias formas transmutantur vel loco quantitatis variabilis alian
introducendo vel eanden quantitatem variabilem retinendo).
En los ejemplos que se dan en el mismo pasaje, se ilustra la forma en que una y la misma cantidad variable se puede presentar de diversas maneras. Así, una función de z,
u = 2 3z + z2
es la misma que
u = (1 - z)(2 - z), y
v = a4 - 4a3z + 6a2z2 - 4az3 + z4
se transforma en una función más siempre de y, v = y4, haciendo la sustitución a - z = y, en tanto
que una función irracional de z,
w = a2 + z2 ,
se convierte en función racional de y,
w=
a2 + y 2
2y
tras efectuar la sustitución
z=
a2 − y 2
2y
35
.
Resulta obvio que dos (o más) cualesquiera expresiones analíticas de esta índole poseen una propiedad común, a saber, establecen en forma distinta la misma correspondencia entre dos conjuntos de valores numéricos de la variable z con las funciones y, ó v, ó w, correspondientes.
Ahora bien, es preciso que esta relación se dé en la forma más universal y abstracta que sea posible, y esto es exactamente lo que hizo Euler al formular su nueva definición de función, en el prefacio a su obra Institutiones calculi differentialis (publicada en 1755) ((50), p. 4):
“...si algunas cantidades dependen en tal forma de otras cantidades, que en caso de modificar
a éstas ultimas también las primeras sufren un cambio, se dice que las primeras cantidades;
son funciones de las segundas. Esta denominación es de la naturaleza más amplia y abarca a
todo método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. En consecuencia, si x denota a una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en
cualquier forma quedan determinadas por -ella y se las denomina funciones de ella.."
(Quae auten quantitates hoc modo ab aliis pendent, ut his mutatis etiam ipsae mutationes subeant, eae harum functiones appellari solent; quae denominatio latissime patet atque omnes
modos, quibus una quantitas per alias deteminari potest, in se complectitur. Si igitur x denotet
quantitatem variabilem, omnes quantitates, quae utcunque ab x pendent seu per eam, determinantur, eius functiones vocantur).
Sin embargo, en el propio libro, dedicado al cálculo diferencial, únicamente se consideran las
funciones analíticas, circunstancia que permitió a Euler arreglárselas sin recurrir al uso explícito
del concepto del límite de una función (que únicamente se menciona en el prefacio), basándose
en un peculiar “cálculo de ceros” (56).
El concepto de función expresado por Euler ejerció una vigorosa y positiva influencia en todo el
desarrollo subsiguiente de las matemáticas. En primer lugar, y con importancia capital, estuvo el
aislamiento de la categoría de las funciones continuas, es decir, de las funciones analíticas susceptibles de representarse mediante series de potencias, y el descubrimiento de las principales
propiedades que le son peculiares a esta categoría, y de las cuales hasta ahora sólo he mencionado
Su unicidad (que es característica, según se averiguo únicamente en el siglo XX, incluso de la categoría mas general de las funciones cuasianalíticas).
Aparte de esta propiedad, Euler (y también en cierta medida D'Alembert) determinó otras propiedades esenciales de las funciones analíticas. Así, demostró (en un trabajo de 1755, publicado en
1778) que las funciones analíticas proyectan a una esfera sobre un plano de manera conforme,
manteniendo la similitud de figuras infinitamente pequeñas; la expresión en sí (proyectio conformis) se debe a F. Shubert, quien la utilizó en 1789, después del fallecimiento de Euler. Este, fue
el primero en hacer uso de las cantidades complejas en el cálculo de las integrales definidas y, a
este respecto, dedujo (en un trabajo de 1777, publicado en 1797), recurriendo a consideraciones
analíticas, las ecuaciones llamadas de Cauchy - Riemann, las cuales ya D'Alembert había obtenido en 1752, en el transcurso de sus investigaciones sobre hidrodinámica. Así pues, la teoría general de las funciones analíticas del siglo XIX, desarrollada en cada una de las direcciones que escogieron Cauchy, Riemann y Weierstrass, tuvo sus raíces en los trabajos de Euler y de D'Alembert.
36
No menos importantes para el desarrollo subsiguiente del análisis matemático, lo fueron la introducción de las funciones discontinuas arbitrarias y el estudio de un buen número de problemas referentes a las relaciones entre las propiedades intrínsecas de una u otra clase de funciones de una
variable real y las herramientas matemáticas que se utilizaban para la representación de estas funciones.
A pesar de la prolongada y persistente oposición de D'Alembert, quien a veces señalaba detalles
realmente débiles o insuficientes en los conceptos de Euler (había dificultades especiales relacionadas con los problemas de la discontinuidad, en e1 sentido que nosotros le damos, de la pendiente y la curvatura de la forma inicial de la cuerda vibrante), estos conceptos se extendieron, paulatinamente, cada vez más. El primero que vino a colocarse del lado de Euler fue Lagrange (en
1759-1762), con sus trabajos sobre la propagación del sonido y al respecto de la vibración de las
cuerdas; y aun cuando durante algún tiempo se puso del bando de D'Alembert, posteriormente (en
1788) regresó a su postura anterior.
Con ciertas reservas o especificaciones, el punto de vista de Euler fue apoyado más tarde por muchos otros matemáticos, entre los que merecen citarse G. Monge, F. S. Laplace, M. J. Condorcet y
L. Arbogast. Incluso D'Alembert, durante sus últimos años, cambió de opinión y permitió que en
las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales de cualquier orden, intervinieran funciones discontinuas cuyas derivadas, hasta el mismo orden, no poseyeran saltos (Sur les fonctions
discontinues, 1780). De hecho, en cierto momento D'Alembert utilizó el concepto de la derivada
por la izquierda y de la derivada por la derecha [57].
Se debe señalar, a este respecto, que estas polémicas ponían de manifiesto la necesidad de establecer una separación más nítida de las funciones continuas con respecto a las discontinuas (en el
sentido que nosotros le damos), tal como efectivamente lo hizo L. Arbogast en un trabajo [58] al
que la Academia de Ciencias de San Petersburgo le otorgó en 1790 el premio correspondiente a la
competencia de 1787, que se refería a la naturaleza de las funciones arbitrarias que debían admitirse en la resolución de las ecuaciones diferenciales parciales.
Arbogast creía que era posible (aun cuando no en el problema de la cuerda, en el cual la continuidad de la curva queda condicionada por su naturaleza propia) utilizar no únicamente funciones
con derivadas discontinuas, sino también funciones que fuesen discontinuas en puntos aislados23;
a estas las denominaba ([58] p. 11) functions discontigües,
“... parce que leurs parties ne tiennent pas, ou ne sont pas contigües les unes les autres...”
(Porque sus partes no van sujetas, o no son contiguas entre sí).
23
En los momentos en que el presente trabajo estaba entrando en prensa, C. Truesdell me hizo poner atención en el escrito E. 340 de Euler,
Eclaircissements plus dètailles sur la génération et la propagation du son et sur la formation de l’ècho, Opera Ownia ser. III, Vol. I, editada por E.
Bernoulli, R. Bernoulli, F. Rudki y A. Speiser, en 1926. En ese trabajo, que fue presentado a la Academia de Berlín los días 19 y 26 de septiembre de 1765, y que se publicó en 1767, Euler examina la ecuación de la onda en el marco de las perturbaciones del aire. Aquí, a diferencia del
problema de la cuerda vibrante, el problema físico no requiere de soluciones continuas en el sentido moderno. Con objeto de estudiar las soluciones a la ecuación funcional que Euler considera como equivalente, o quizá como sustituta de las ecuaciones diferenciales parciales, introduce
funciones que poseen el valor de cero en todos los puntos, salvo uno. Señala que, puesto que las funciones de pulso constituyen lo que en la actualidad se denomina una base (no numerable) para el conjunto de todas las funciones, su utilización como valores iniciales de una función de
onda hace posible describir de manera concisa y en términos geométricos la totalidad de la teoría de la propagación y reflexión de las ondas planas. Resulta interesante observar también que Euler obtiene estas soluciones mediante diagramas en los que se representan las funciones de pulso.
Esta cuestión la explica Truesdell (42b, pp. LXI-LXII) en forma extensa.
37
Sin embargo, Arbogast no ofrecía ninguna definición analítica de continuidad (o de discontinuidad). Los matemáticos del siglo XVIII no habían sentido la necesidad de dar tal definición; si era
necesario, describían a la importante propiedad de la continuidad en forma verbal.
Así, por ejemplo, al explicar los métodos para el cálculo aproximado de las integrales definidas,
en el Volumen I de su obra Institutiones calculi integralis (E. 342), publicada en 1768, Euler escribía ([59], párrafos 297 y 300) que el cálculo de xdx sería tanto más exacto cuanto más pequeños fuesen los incrementos supuestos para la variable independiente x, siempre y cuando los incrementos del integrando x fueran también pequeños. Euler describe (párrafo 304) en forma
igualmente verbal el comportamiento de una función discontinua.
x=
1
1 − x2
en las inmediaciones del punto x =1, señalando que cualquier pequeño incremento de x da lugar a
un cambio extremadamente grande en la función x, pero no utiliza la palabra continuidad.24
Las discontinuidades en las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales presentan grandes
dificultades, cuya superación sólo resultó posible al nivel mucho más alto que alcanzó el análisis
matemático en la segunda mitad del siglo XIX. (Cf. [51], pp. 286-297). En la presente época, y
gracias al análisis funcional, ha surgido un nuevo desarrollo, extremadamente amplio y sumamente importante, de este problema. Me refiero a la teoría de las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales parciales (y, en particular, de la ecuación de una onda), desarrollada principalmente por S. L. Sobolev (1936) y L. Schwartz (1945). Estas funciones (Sobolev) o distribuciones
(Schwartz) generalizadas son funciones lineales que no necesitan ser diferenciales en el sentido
usual, pero que poseen derivadas generalizadas.
De la misma forma en que la teoría moderna de la suma de series demostró que, en esencia, eran
correctos los puntos de vista de Euler en cuanto a la importancia y el uso de las series divergentes,
también la teoría de las funciones generalizadas ilustra de manera sorprendente la profunda intuición y perspicacia de Euler al respecto de las funciones discontinuas.
No obstante, las condiciones generales en que se encontraba el análisis matemático en el siglo
XVIII, en ninguno de los dos casos permitieron que Euler estableciera sus ideas con precisión
(desde el punto de vista de las generaciones subsiguientes) ni que formulara definiciones exactas,
y ni siquiera salvarse de errores, algunos de los cuales fueron observados incluso por sus contemporáneos más jóvenes
24
Debe observarse que en el caso que se está considerando, Euler en esencia interpreta a la integral definida como al límite de la suma X(xk)dxk;
su propia hipótesis ([59], párrafo 302) era que la integración podía llevarse a cabo con toda la exactitud que se requiriera, pero no dejaba de agregar que la exactitud absoluta únicamente podía alcanzarse cuando todos los x se hacían infinitamente pequeños, es decir, iguales a cero.
Tal concepto de integral definida, expresado originalmente por Leibniz, difiere de la definición básica adoptada por Euler y sus contemporáneos,
según la cual a la integral se la entendía como una función cuya diferencial es igual a Xdx, siendo la integral definida igual a la diferencia entre
los valores de la función primitiva (término acuñado por Lagrange) en los límites de integración superior e inferior.
38
11. CRÍTICA
1821).
DEL
CONCEPTO
DE
FUNCIONES “MIXTAS”; CHARLES (1780)
Y
FOURIER (1807-
La primera de las ideas de Euler en ser criticada fue su aislamiento de la categoría de las funciones mixtas. Poco tiempo después de su muerte se demostró que las funciones que se introducían
mediante distintas expresiones analíticas para diferentes regiones de algún intervalo finito (o, a
veces, infinito) también podían ser representadas por una sola ecuación y siempre la misma. Los
primeros ejemplos de tales funciones los ofreció J. Charles en su trabajo, Fragment sur les fonctions discontinues, de 1780 [60].
Mucho tiempo después, incluso el eminente Cauchy consideró que valía la pena dedicar un trabajo expresamente a este problema, y éste fue su Mèmoire sur les fonctions continues [61] (publicado en 1844). El más sencillo de sus ejemplos era una función:
x, x ≥ 0
y=
- x , x < 0
y, en consecuencia, discontinua, pero a la vez susceptible de ser representada por una sola ecuación:
y = x 2 , para toda - ∞ < x < + ∞
y, por ende, continua. De esta manera, la discriminación entre funciones mixtas y continuas resulta ser teóricamente insostenible.
Fue mucho más importante, empero, la critica a este mismo concepto de las funciones mixtas,
dentro del marco de la teoría de las series trigonométricas. Como hemos visto (párrafo 9), en dos
de sus memorias (E. 317 y E. 339) Euler negaba categóricamente que fuera posible representar la
figura inicial de la cuerda, definida sobre dos partes de un intervalo finito dado mediante dos
ecuaciones distintas, por medio de una serie de términos que contuvieran senos de arcos múltiples.
A comienzos del siglo XIX, Fourier refutó esta tesitura en sus trabajos sobre la teoría de la propagación del calor, que también dio origen a la teoría de las series trigonométricas. Ya en 1805, en
un fragmento recientemente publicado por I. Grattan-Guinness ([67], p. 183), Fourier escribía lo
siguiente:
“...Il résulte de mes recherches sur cet objet que les fonctions arbitraires mene discontinues
peuvent toujours etre representèes par les developpements en sinus ou cosinus d'arcs múltiples, et que les integrales (of the partial differential equations) qui contiennent ces diveloppements sont précisement aussi générales que celles ou entrent les fonctions arbitraires d'arcs
múltiples. Conclusion que le célebre Euler a toujours repoussés ...”
(Mis investigaciones sobre este tema ponen de manifiesto que las funciones arbitrarias aun
cuando sean discontinuas, pueden siempre ser representadas por desarrollos en senos y cosenos de arcos múltiples, y que las integrales (de las ecuaciones diferenciales parciales) que
contienen estos desarrollos, son precisamente tan generales como aquellas en las que inter-
39
vienen las funciones arbitrarias de arcos múltiples. Conlusión que el célebre Euler siempre ha
rechazado).
Al proseguir, Fourier presenta unos cuantos ejemplos ilustrados mediante gráficas. Desarrolló su
razonamiento en forma más detallada en su obra, Théorie de la propagation de la chaleur dans les
solides, que remitió al Institut de France el 21 de diciembre de 1807, pero que sólo recientemente
ha sido publicada, de nuevo por Grattan-Guinness (véase [62]), y, posteriormente, en su trabajo
fundamental, Théorie analytique de la chaleur, en 1822 (63).
Las conclusiones a las que llegó Fourier en 1807 alarmaron a los matemáticos de las generaciones
más antiguas, y el mismo Lagrange fue uno en los que desconfiaron de ellas; por otro lado, después de 1822 recibieron una entusiasta acogida por parte de los matemáticos jóvenes.
Educado en las tradiciones del siglo XVIII, el propio Fourier suponía que quizá pudiera utilizarse
una serie trigonométrica a manera de representar a cualquier función mixta, y no ofreció ningún
análisis satisfactorio del problema en las representación en las funciones mediante series de esa
índole. Sin embargo, una vez que se hubo planteado el problema, ésta pasó a ser, en el curso de
los siguientes años, objeto en estudios especiales basados en el nuevo concepto general del cálculo, cuyos elementos habían sido sistemáticamente desarrollados por Cauchy en su Cours d'analyse... 1re. partie: analyse algébrique, 1821 [64] y Résumé des lecons ... sur le calcul infinitésimal,
1823 [65].
Puesto que la serie de coeficientes de Fourier de cualquier función dada f(x) es igual a las integrales de los productos f(x) con nx y f(x) sen nx, la clase de tales series se fueron ampliando gradualmente, a medida que se fueron formulando definiciones de integral cada vez más generales.
Y también adquirieren un nuevo contenido, paulatinamente, los conceptos de convergencia y en
sumas de series.
12. DIGRESIÓN: LA REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LAS FUNCIONES.
No entraremos aquí en los detalles en las numerosas investigaciones que se han dedicado a las
condiciones suficientes para la represen tación en las funciones mediante series en Fourier. Únicamente mencionaré que a partir en las condiciones presentadas por P. Lejeune - Dirichlet en el
período en 1629 a 1837 [66], se desprendía que cualquier función acotada, si es continua y monótona por trozos (piecewise) a lo largo de un intervalo dado, podía desarrollarse en una serie en
Fourier que convergiera hacia esa función. Esto significaba que una curva arbitraria trazada sobre
un intervalo determinado mediante un trozo a mano libre (es decir, cualquier función arbitraria
discontinua, en el sentido en Euler, y acotada) podía representarse por medio en una sola ley analítica, cambiándola así a curva continua. Desde luego, no toda función continua sobre un intervalo
dado es susceptible de representarse mediante su serie en Fourier, la cual, es ese intervalo, puede
divergir en un número infinito en puntos.
El que una función dada sea susceptible de representarse analíticamente depende de los métodos
de expresión analítica que se admitan. En el Volumen I de su Introductio, Euler manifestaba que
la forma más general en expresión analítica era una serie de potencias generada por un número
40
numerable (término moderno) de sumas y multiplicaciones en la variable x y un conjunto numerable de constantes, además de permitirse un proceso de paso al límite25.
Posteriormente, Euler expresó definitivamente su confianza en el hecho de que sus funciones discontinuas no son, hablando en términos generales, analíticas, explicando, además (como por
ejemplo, en sus Eclaircissements sur le mouvement des cordes vibrantes, E. 327 ([46] p. 385)
que:
“... on regarderoit fort mal a propos toutes les courbes comme renfermées dans equation
parabolique
y = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + etc. ,
quoi qu’on puisse faire passer cette courbe par une infinite de points donnés.
(Se considerarías como muy mala ocurrencia el pensar que todas las curvas están encerradas
en la siguiente ecuación parabólica
y = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + etc. ,
por más que a esta curva se la pudiera hacer pasar por una infinidad de puntos dados.).
Y definitivamente estaba en lo cierto. Cauchy demostró que incluso una función infinitamente diferenciable en un punto dado, podía aun así, no ser analítica en ese punto. El ejemplo que dio,
1

exp( − 2 ),
F ( x) = 
x
0,
x≠0
x=0
publicado en 1823, en su Résumé des lecons ... sur le calcul infinitésimal [65], ha pasado a ser
clásico26. Por otro lado, tal como lo mostró A. Pringsheim (en 1893) hay funciones infinitamente
diferenciables que no son analíticas a lo largo de ningún intervalo.
Si se amplia el acopio de las expresiones algebraicas, también ocurre lo mismo, y en forma sumamente extraordinaria con el domino de las funciones susceptibles de representar analíticamente. Así, Weierstrass demostró que cualquier función que sea continua o lo largo de un intervalo
cerrado se podía representar en ese intervalo, mediante la suma de series uniformemente convergentes de polinomios enteros (demostración publicada en 1885). Y además, incluso las funciones
discontinuas de una naturaleza muy compleja, cuya clasificación fue desarrollada por R. Baire (en
1898 y 1899) pueden ser representadas por sumas de series convergentes y series múltiples de polinomios. H. Lebesgue denominó analíticamente representable a cualquier función que pudiera
construirse mediante un conjunto numerable de sumas, multiplicaciones y procesos de paso al límite, llevados a cabo conforme una ley definida referente a la variable independiente, y un conjunto numerable de cantidades constantes.
25
26
Tal como se ha señalado anteriormente (Nota 11), tal construcción trae a la mente la idea de J. Gregory.
Esta función podría escribirse mediante una sola expresión analítica, a saber, por medio de la suma de
41
La clasificación de Baire (según fue establecida en 1905 por Lebesgue) abarca a todas aquellas
funciones que son también en e1 sentido de E. Borel. A esta ley de construcción Lebesgue la denominó une expression analytique. (cf. [10]).
13. RECONOCIMIENTO DE LA DEFINICIÓN GENERAL DE EULER: CONDORCET (1778) LACROIX
(1797), FOURIER (1821), LOBATCHEVSKY (1834), DIRICHLET (1837).
Así pues, la división de las funciones en continuas y discontinuas (incluyendo a las mixtas) no
pudo mantener su lugar dentro de las matemáticas27; por otro lado, la definición general de función que se debe a Euler (véase el párrafo 10) paulatinamente fue ganando reconocimiento y uso
cada vez. más generalizados. Todo parece indicar que el primero en evaluar correctamente la importancia de esta nueva definición fue Condorcet, quien desarrolló el concepto de Euler en un
Traité de calcul integral, no publicado y cuyo manuscrito inconcluso, remitido a la Academia de
Ciencias de París en el período de 1778 a 1782, se conserva en la Biblioteca del Institut de France
con todo y las galeras correspondientes28.
Tal como lo había proyectado e1 autor, este libro debió de haber constado de cinco parte de las
cuales en realidad únicamente se escribieron dos. La primera de estas partes, titulada De fonctions
analytiques, comienza con una explicación de lo que se entiende por función analítica (véase [67],
p. 134):
“... Je suppose que j’aie un certain nombre de quantités x, y, z, ..., F, et que pour chaque valeur déterminée de x, y, z, ... , etc., F ait une on plusieurs valeurs déterminées qui y répondent;
je dis que F est une fonction de x, y, z ...”
(Supongo que tengo un cierto número de cantidades x, y z ..., F, y que para cada valor determinado de x, y, z, ...etc., F tiene uno o varios valores determinados que responden a aquellos;
digo que F es una función de x, y, z, ... )
Condorcet ofrece unos cuantos ejemplos de funciones explícitas e implícitas, y prosigue:
“... Enfin, si je sais que lorsque x, y, z, seront déteminées, F le sera aussi, quand meme je ne
connoitrois ni la maniere d’ exprimer F en x, y, z, ni la forme de l’equation entre F et x, y, z;
je saurai que F est fonction de x, y, z, ...”
(En fin, si yo sé que cuando x, y, z han quedado determinadas, también lo estará F, aun cuando no conozca ni la forma de expresar a F en x, y, z, ni la forma de la ecuación entre F y x, y,
z, sabré que F es función de x, y, z.)
Finalmente, se distinguen tres tipos de funciones:
(1) Las funciones cuya forma es conocida (nosotros diríamos, las funciones explícitas)
27
Estoy dejando aparte la función y=(-1)x que se examina en 1727-1728 en la correspondencia de Euler con Johann Bemoulli ((44), No. 190192) y también en el Vol. 2 de la Introductio de Euler ((41), párrafo 517). Esta función, que se expresa mediante una ecuación y, en consecuencia, en este sentido es continua, asume valores reales solamente para aquellos valores de x que son fracciones irreductibles con denominadores
impares. En el Vol. 2 de la Introductio Euler demostró que esta función, a la que denominó paradójica, queda representada, según lo expresaríamos actualmente, mediante dos conjuntos densos en todas partes de puntos aislados que pertenecen a las líneas rectas y = 1 y y = -1.
28
No debe confundirse con el libro anterior de Condorcet que llevaba el mismo título (París, 1765).
42
(2) Las funciones introducidas mediante presentación del concepto de función, la que estaba implícita en el Analyse algébrique (de 1812) de Cauchy, aun cuando en la definición en sí, no se utiliza el término de expresión analítica.29
No había transcurrido mucho tiempo, empero, cuando la definición general de Euler fue aceptada
por tres eruditos del más alto calibre, y en los tres casos en relación con sus respectivas investigaciones sobre la teoría de las series trigonométricas. En primer lugar, se encuentra esa definición
en la Théorie analytique de la chaleur, de Fourier, publicada en 1821 ([63], p. 500):
“... En général, la fonction f(x) représente une suite de valers ou ordonnées, dont chacune est
arbitraire ...”. (En general, la función f(x) representa a una serie de valores u ordenadas, cada uno de los cuales es arbitrario).
Inmediatamente, Fourier repite lo que acababa de decir, sosteniendo que no supone que estas ordenadas estén sujetas a una ley común, sino que cada una sucede a la otra, de cualquier forma, y
que cada ordenada se puede considerar que está dada individualmente. En las próximas líneas deseo tocar someramente el sentido que está implícito en Fourier (y en muchos otros matemáticos)
cuando hablan de la naturaleza arbitraria de una dependencia funcional.
Después de esta lacónica definición de Fourier, cuyo trabajo de inmediato alcanzó una gran fama,
Lobatchevsky y Dirichlet publicaron definiciones mucho más extensas. En su artículo: “Sobre la
desaparición [convergencia] de las series trigonométricas”, Lobatchevsky escribía en 1834 ([72],
p. 43):
“El concepto general exige que se denomine función de x a un número que esté dado para toda x y que cambie gradualmente junto con x. El valor de la función se puede dar, ya sea mediante una expresión analítica, o a través de una condición que ofrezca un medio para probar
todos los números y seleccionar uno de ellos; o, finalmente, la dependencia puede existir, pero
permanecer desconocida.”
Y luego, tras manifestar que la supuesta posibilidad de representar analíticamente a cualquier
función no es más que una hipótesis arbitraria, aun cuando no se sabe todavía de ningún ejemplo
contradictorio, Lobatchevsky llega a la siguiente conclusión (p. 44):
"Parece imposible dudar tanto de la verdad de que todo lo que hay en el mundo se podría expresar mediante números, como de la corrección (del juicio) de que cualquier cambio y relación que en él se den, quedan representados por una función analítica. Por el momento, la
29
La definición de Cauchy es la siguiente ((64), Cap. 1, párrafo 1):
Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l’une d’elles ètant donnèe, on puisse en conclure les valeurs de
toutes les autres, on concoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors de nom de variable indépendente et les autres quantités exprimeés au moyen de la variable indépendente sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.
(Cuando hay cantidades variables, de tal modo vinculadas entre sí, que estando dado el valor de una de ellas se pueden determinar los valores de
todas las demás, por lo común se concibe a estas diversas cantidades como expresadas por medio de una de entre ellas, que entonces toma el
nombre de variable independiente; y las demás cantidades expresadas por medio de la variable independiente son lo que se denomina las funciones de esa variable).
A diferencia de lo que opina M. Kline ((70), p. 950), quien sostiene:
“Esto queda implícito tanto por su formulación, en la que menciona dos veces que on concoit d’ ordinaire que las funciones son exprimées au
moyen de la variable indépendente, como por la separación que hace (después de la definición) entre las funciones explícitas y las implícitas,
quedando estas últimas caracterizadas por el hecho de que las ecuaciones que ellas y la variable independiente deben satisfacer, no se resuelven
algebraicamente.
43
teoría, desde un punto de vista amplio, permite la existencia de dependencias únicamente en el
sentido de que los números, unos con respecto a otros, pueden considerarse como si estuvieran dados juntos. Por esta razón, Lagrange, en su Calcul des fonctions,30 con el que deseaban
reemplazar al cálculo diferencial, dañó la generalidad del concepto, en el mismo grado en
que creyó ganar en cuanto a rigor de juicio."
Queda así expresada en forma perfectamente clara, la tendencia a incluir en el concepto de función también a aquellas dependencias hipotéticas que, a la postre, pudieran resultar no susceptibles de representarse analíticamente. Empero, y debido al de que la palabra gradualmente que
emplea Lobatcbevsky significa "de manera continua" en el sentido de Cauchy, la definición de
Lobatchevsky, tomada literalmente, en forma algo inesperada se refiere únicamente a las funciones continuas.
Lo mismo vale decir por lo que respecta a la definición que ofreció Dirichlet en 1837, en su memoria Uber die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus-und Cosinusreichen, de
donde paso a citar ahora la totalidad del pasaje que tiene relevantes (166), pp. 135-136):
Man denke sich unter a und b zwei feste Wer the und unter x einet veränderliche Grösse, welche nach und nach alle zwischen a und b liegenden Werthe annehmen soll. Entspricht nun
jedem x ein einziges, endliches y, und zwar so, dass, während x das Intervall von a bis b stetig
durchläuft, y = f(x) sich ebenfalls allmählich verändert, so heisst y eine stetige oder continuirliche Function von x für dieses Intervall. Es ist dabei garnicht nöthing, dass y in diesem ganzen Intervall nach demselben Gesetze von x abhängig sei, ja man braucht nicht einmal an eine
durch mathematische Operationen ausdrückbare Abhängigkeit zu denken. Geometrisch darstellt, d. h. x und y als Abszisse und Ordinate gedacht, erscheint eine stetige Function als eine
zusammenhängende Curve von der jeder zwischen a und b enthaltenen Abszisse nur ein Punk
entspricht. Diese Definition schreibt den einzelnen Theilen der Curve kein gemeinsames Gesets vor; man kann sich dieselbe sus den verschiedenartigsten Theilen zusammengesetzt oder
ganz gesetzlos gezeichnet denken. Es geht hieraus hervor, dass eine solche Function für ein
Intervall als vollständig bestimmt nur dann anzusehen ist, wenn sie entweder für den ganzen
Umfang desselben graphisch gegeben ist, oder mathematischen, für die einzelnen Theile desselben geltenden Gesetzen unterworfen wird. So lange man über eine Function nur für einen
Theil des Intervalls bestimmt hat, bleibt die Art ihrer Fortsetzung für das übrige Intervall ganz
Willkür überlassen.
En esencia, las definiciones dadas por Lobatchevsky y Dirichlet son idénticas, siendo la única diferencia este último creyó necesario agregar una explicación geométrica. Su naturaleza definitivamente general con respecto a las funciones continuas y la posibilidad de ser generalizadas en
forma directa, a modo de incluir a las funciones discontinuas son aspectos perfectamente obvios
Puesto que esos autores tomaron en consideración a las funciones discontinuas, el hecho de que
restringieran sus definiciones a las funciones continuas en el sentido de Cauchy nos parece altamente sorprendente, ya que las funciones (o derivadas) con puntos de discontinuidad aislados es30
En su obra Lecons sur le calcul des fonctions (1801, 2a. edicion de 1806 (73)), Lagrange ofrecia la misma definición de función que ya antes
(en 1797) había dado en otro trabajo, su Théorie des fonctions analytiques (vease la Nota 17).
44
tán explícitamente incluidas en las condiciones de suficiencia para la representación de una función mediante serie de Fourier, tal como los establecieron los propios Lobatchevsky y Dirichlet.
Además, también a este último debemos el famoso ejemplo de una función discontinua en cada
punto del intervalo, 0 x 1:
0, para valores racionales de x ,
f ( x) = 
1, para valores irracionales de x.
¿Por qué estos eruditos creyeron ambos que era conveniente restringir sus definiciones a las funciones continuas?. La explicación más natural de esta circunstancia es la que ha ofrecido Medvedev ([71], pp. 242-243): la categoría de las funciones que se acababan 6e aislar es decir, las funciones continuas en el sentido de. Cauchy, inmediatamente adquirió una extraordinaria importancia, y era precisamente esta clase de funciones a la que necesariamente había que liberar de la restricción 6e la representación analítica, tanto más, porque incluso algunos eruditos posteriores, coso por ejemplo V. Ya. Bunyakovsky ([74], p. 246) y G. G. Stokes ([75], p. 240), hacían coincidir
la continuidad en el sentido de Cauchy con la continuidad en el sentido de Euler.
H. Burkhard señalaba que no fue sino hasta 1841 cuando A. Cournot formuló una definición de
función, con el grado 6e generalidad que por lo común, se le vino a atribuir a Dirichlet y, más tarde, tanto a éste como a Lobatchevsky31. El hecho de que se le atribuyera a Dirichlet se debe a
Hankel, cuyo trabajo se publicó en 187O. Puesto que no se ha podido obtener la Théorie des
fonctions, t. I (París, 1841) de Cournot, citaré sus palabras según las da Burkhard ([76], p. 968).
“Nous concevons qu’une grandeur peut dépendre d’une autre, sans que cette dépendance siut
de nature a pouvoir etre exprimée par une combinaison des signes de l’algebre”. (Concebimos nosotros que una magnitud pueda depender de otra, aun cuando esta dependencia no sea
de naturaleza tal que se pueda expresar mediante alguna combinación de los signos del álgebra).
Algo más adelante, Cournot (ibídem) sugería que era posible
“... imaginer une théorie qui aurait pour objet la discussion des propriétés générales des fonctions ...”. (“... imaginar una teoría que tuviera por objeto la discusión de las propiedades generales de las funciones ...”).
14. LOS TRABAJOS DE HANKEL SOBRE EL CONCEPTO DE FUNCIÓN.
Tal como se acaba de mencionar, resulta obvio que un concepto de función, con no menos generalidad, era el que habían expresado tanto Lobatchevsky como Dirichlet. Sin embargo, ni el libro
de Cournot ni el articulo de Lobatcbevsky gozaban en esa época de una gran popularidad, según
lo demuestra el trabajo de M. Hankel, Untersuchungen über die unendlich oft oszillierenden und
unstetigen Funktionen ([26], publicado en 1870). Habiendo presentado un conciso ensayo históri-
31
En sus comentarios sobre el trabajo de Lobatchevsky, G. L. Lunz ([72], pp. 15-16) interpretaba la definición que hemos citado, como referente
a cualquier función. Según Lunz, la palabra gradualmente la utilizaba ahí Lobatchevsky como sinónimo de consecutivamente más bien que como
continuamente (en el sentido de Cauchy). Tal como lo señaló Medvendev ([71], pp. 235-236) esta interpretación resulta algo dudosa.
45
co, Hankel pasa a ofrecer observaciones introductorias sobre el concepto de función, formulando
la siguiente definición ([26], p. 49):
“Eine Funktion hei t y von x, wenn jedem Werte der veränderlichen Grö e x innerhalb eines
gewissen Intervalles ein bestimmter Wert von y entspricht; gleichviel, ob y in dem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze von x abhängt oder nicht; ob die Abhän gigkeit durch mathematische Operationen ausgedrückt werden kann oder nicht”.
Al proseguir, Hankel agrega (ibídem) que a esta definición la llamará de Dirichlet:
“... weil sie [this definition] seinen Arbeiten über die Fourierschen Reihen, welche die Unhaltbarheit jenes älteren Begriffes zweifellos dargetan haben, zugrunde leigt ...”
A este antiguo concepto, Hankel también lo denomina “Eulersche Auffassung” (p. 48), recordando a las funciones continuas y discontinuas que figuran en la Introductio.
Más adelante, en la página 53, Hankel acota su definición diciendo que el bestimmter Wert von y
no incluye el caso de la discontinuidad infinita, y ofrece una nueva definición que casi coincide
con la parte de la original que precede al punto y coma. En forma exactamente igual a ésta, o muy
similar, se dio la definición general de función en los cursos de análisis matemático de finales del
siglo XIX y del siglo XX.
Se debe señalar que Hankel formuló su definición con prudencia. En efecto, no reproducía la definición de Dirichlet, y se limitaba a indicar que su propia definición en realidad era la piedra angular de la obra Arbeiten über die Fourierschen Reichen, de Dirichlet.
Habiendo trabajado tanto en el estudio de las funciones discontinuas, mal pudo Hankel haber dejado de observar que la propia definición de Dirichlet tenia que ver con las funciones continuas,
circunstancia que únicamente ha sido señalada en nuestra época, por A. Churhc [77], A. Ostrovsky [78] y otros autores.
15. EL PAPEL HISTÓRICO DE LA DEFINICIÓN GENERAL DE EULER.
Así, todo parece indicar que para Hankel lo principal era el espíritu de la definición de Dirichlet,
y no tanto la formulación literal de ésta. Por otro lado, al contrastar la definición de Dirichlet con
die Eulersche Auffassung, Hankel estaba decididamente equivocado.
Tal como se ha mostrado líneas arriba (véase el párrafo 10), el concepto de función que tenia Euler, en realidad sufrió una evolución esencial, y si tiene que haber uno u otro nombre que se relacione con la definición de función como correspondencia biunívoca, este nombre debe ser el de
Euler: fue el concepto que éste describió en 1775, el que desarrollaron muchos eruditos, entre los
cuales figuraron Lobatchevsky y Dirichlet.
Queda justificado hacer una consideración especial al respecto de la naturaleza arbitraria de las
relaciones funcionales, así como sobre su representabilidad analítica.
En primer lugar, los distintos conceptos acerca del grado de arbitrariedad y concernientes al tipo
de comportamiento de las funciones utilizadas son característicos de las diferentes épocas y de las
diversas generaciones de matemáticos. Aun cuando Euler, Lacroix o Fourier nunca se toparon con
46
funciones tales como la discontinua de Dirichlet 32 mencionada en el párrafo 13, su concepto de
función como una correspondencia arbitraria era, para su época, tan general como lo fue el concepto de Dirichlet para la suya. Y, si a ello vamos, el propio Dirichlet ni se imaginó el tipo de
funciones que se iban a introducir en la época de G. Cantor, Baire, Borel y Lebesgue.
En segundo lugar, y tal como se ha dicho (véase el párrafo 12), el problema de la representabilidad de las funciones pasó a ser mucho más complejo de lo que habían supuesto los matemáticos, incluso hasta principios del siglo XX. Evadir la cuestión de la representabilidad analítica fue
algo que se consideró necesario durante un largo periodo, que comienza con Euler y termina con
Dirichlet y Cournot. Poco después, paulatinamente se fue averiguando que había categorías de
funciones, cada vez más extensas - al principio, las que cumplían con las condiciones de Dirichlet
en la teoría de las series de Fourier, y después las funciones continuas e incluso las de carácter
más general -, a las que podía representarse por medio de uno u otro método analítico.
U. Dini, en su obra Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, publicada en 1878
(edición alemana de 1892) en forma muy apropiada planteaba ([79], p. 49) la siguiente pregunta:
“... ob bei Aufrechterhaltung der ganzen in der Definition enthaltenen Allgemeinheit es stets
möglich sein wird, in einem gewissen Intervall eine Funktion y von x für alle Werte der Variabelen in diesem Intervall durch eine oder mehrere, endliche oder unendliche Reihen von
Rechnungsoperationen, die man mit der Variabelen vornimmt, analytisch auszudrücken oder
nicht ...”
Por lo demás, agregaba Dini, tomando en consideración el nivel actual en el que se encuentran los
conocimientos matemáticos, una respuesta totalmente satisfactoria a esta pregunta es simplemente imposible.
Tal como se señaló anteriormente (véase el párrafo 12), Lebesgue, en 1905, dio una respuesta categórica a dicha pregunta, al respecto de todas las funciones medibles, ofreciendo, simultáneamente, un ejemplo de función que no era susceptible de representarse analíticamente, en el sentido que él le daba a tal representación.
Me veo obligado a dejar aparte el problema afín de la legitimidad de las construcciones de Baire y
de Lebesgue, que posteriormente fueron sometidas a críticas desde el punto de vista del “efectivismo”, el “constructivismo” y otras direcciones de los cimientos de las matemáticas.
Si el rechazo de la representabilidad analítica resulta ser, en cierto sentido, ilusorio, ¿cuál es la
importancia que tiene entonces la definición de Euler de 1755? Y también ¿qué importancia revisten todas las definiciones que de ellas se originan? El lado débil de la definición de Euler no
escapó a la atención de Hankel, quien fue uno de los que la consideraron como una reine Nominaldefinition ([26], p. 49), señalando que las funciones definidas en forma tan universal no poseen absolutamente ninguna propiedad común.
La respuesta adecuada a la pregunta que se acaba de plantear queda dada por el propio desarrollo
de la teoría de las funciones. A medida que transcurrió el tiempo, al hacerse cada vez más amplia
32
A este respecto, resulta instructivo, sin embargo, recordar la función paradójica de Euler,
y= (-l)x (véase la Nota
).
47
la categoría de las funciones consideradas, ésta sufrió cambios esenciales. Puesto que las expresiones analíticas compuestas por medio de operaciones de cálculo relativamente sencillas habían
sido casi la única materia de estudio durante aproximadamente dos siglos, nunca perdieron su importancia. Pero después, con el paso del tiempo, resultó necesario estudiar diferentes clases de
funciones (continuas, diferenciales, con variación finita, discontinuas por puntos, mensurables,
etc.) introducidas mediante alguna propiedad física que definiera a la estructura completa de una
categoría dada, independientemente de si las funciones de esta clase eran susceptibles o no de representarse analíticamente. Tal como lo formuló N. N. Luzin en su libro “Series Integrales y trigonométricas”, publicado en 1915 ([80], p. 50),
“ La diferencia principal entre los métodos para el estudio de las funciones, dentro del marco del análisis matemático y (como alternativa) de la teoría de las funciones, radica en que en
el análisis clásico se deducen las propiedades de cualquier función a partir de las propiedades de aquellas expresiones y fórmulas analíticas mediante las cuales se ha definido a esa
función, mientras que en la teoría de las funciones se determinan las propiedades a partir de
la propiedad que, a priori, distingue la clase de funciones consideradas ...”
También es importante observar que, dentro de la teoría de las funciones, pasan a ser utilizadas en
forma generalizada las descripciones verbales del comportamiento de las funciones, sobre algún
conjunto de valores de la variable independiente.
Como se ha mencionado más arriba, la lógica matemática moderna ha descubierto dificultades
esenciales inherentes en la definición universal, y por ende, no algorítmica, de una función. Ya en
1927, H. Weyl sostenía, en forma perfectamente correcta, que ([81], p. 8):
“... Niemand kann erklären, was eine Funktion ist. Aber: “Eine Funktion f ist gegeben, wenn
auf irgendeine bestimmte gesetzmässige Weise jeder reelen Zahl a eine Zahl b zugeordnet ist
... Man sagt dann, b sei der Wert der Funktion f für den Argument wert a ...”
Así, dos funciones definidas en forma distinta son consideradas idénticas si, para todos los valores posibles de a los valores correspondientes de b coinciden. Hay diferencias de opinión entre los
matemáticos, acerca del sentido de las palabras auf irgendeine bestimmte gesetzmässige Weise
(soy Yo quien lo recalca, y no Weyl). Sin embargo, la definición general (nominal) que dio Euler
de función, y que ya se hizo necesaria desde mediados del siglo XVIII, se ha usado con éxito para
apoyarme en una expresión utilizada en otra ocasión - como ein Medium freien Werdens para
efectuar construcciones cada vez más complejas dentro de la teoría de las funciones, además de
que ha abierto nuevos horizontes en el desarrollo de muchas ramas del análisis matemático y de
sus aplicaciones. Incluso las dificultades inherentes en esa definición desempeñaron un papel positivo en el planteamiento y el estudio de un buen número de problemas pertenecientes al campo
de los fundamentos de las matemáticas y al de la lógica matemática.
APÉNDICE
Cuando estaba por concluir el presente artículo, recibí el Tagungsbericht, Problemgeschichte der
Mathematik 22.9 bis 28.9, 1974, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Rep. Fed.
Alemana.
48
Me entero por esta fuente que el tema central de la Conferencia fue el desarrollo del concepto de
función, al que se dedicaron casi la mitad de las ponencias. La primera de éstas, presentada por la
doctora Karin Reich, fue el resumen de la versión original del presente trabajo (véase, Agradecimiento), y que ella tituló Bericht über einen Ausatz von A. P. Juschkewitsch zur Geschichte des
Funktionsbegriffs. Otros de los informes que se presentaron sobre la materia fueron los de C. J.
Scriba, E. M. Bruins, C. 0. Selenius, I. Schneider, 0. Volk, I. Grattan-Guinness y M. Gericke. Participaron en la discusión final H. Gericke, G. Hirsch y J. J. M. Boss, entre otros.
Los resúmenes que se publican en el Tagungsbericht son demasiado concisos como para poderlos
tomar en consideración en el presente trabajo, y sólo espero. que los propios informes sean publicados. También lamento que una de las fuentes que se mencionan en el informe de Scriba, a saber, The rise of functions (El surgimiento de las funciones) (Rice Univ. Studies 56 (1970), No. 2,
2.21 (1971)) no haya llegado a mi conocimiento.
AGRADECIMIENTO. El presente artículo es una versión considerablemente ampliada y revisada
de mi trabajo anterior, publicada en ruso en el (INVESTIGACIÓN HISTÓRICO MATEMÁTICO), XVII, 1966, 123-151 Me complace expresar mi gratitud a O. B. Sheynin,
quien se encargó de la traducción de la nueva versión al inglés. También estoy en deuda con
Sheynin por algunas observaciones que hizo durante la realización de su labor.
NOTA DEL TRADUCTOR. Al traducir las paginas anteriores, he puesto mi grano de arena para
hacer del conocimiento de la comunidad científica en general, a quien es el decano de hecho, si ya
no formal, de los historiadores soviéticos de las matemáticas, y cuyo septuagésimo aniversario
fue recientemente celebrado; es a él a quien debo la reputación que poseo, y también a quien, finalmente, tengo el honor de dedicar esta traducción. Sabiendo de antemano que el articulo iba
destinado a ese Archive, traté con todo afán, de mantener un alto nivel lingüístico, problema verdaderamente difícil para alguien que no practica el inglés hablado. El profesor Youskevitch me ha
facilitado grandemente el trabajo, al proporcionarme traducciones de muchos términos, así como
al aceptar sin reparos ciertos cambios insignificantes que no cambiaban el significado general de
su texto. EL profesor Truesdell corrigió la traducción a tal grado, que ello, de hecho, puso de manifiesto lo inapropiados que fueron mis esfuerzos.
O. B. S.
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