Breve sobre el Polinomio de Taylor

Breve sobre el Polinomio de Taylor
Alejandro Lugon
23 de agosto de 2010
1.
Funciones de R en R
Consideremos la función f : R → R diferenciable en un conjunto S abierto. Por definición su
derivada en un punto a ∈ S es:
f (x) − f (a)
lı́m
= f 0 (a)
x→a
x−a
a partir de lo cual podemos operar:
f (x) − f (a)
− f 0 (a) = 0
lı́m
x→a
x−a
f (x) − f (a)
0
lı́m
− f (a)
= 0
x→a
x−a
f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a)
lı́m
= 0
x→a
x−a
ra1 (x)
lı́m
= 0
(1)
x→a x − a
donde hemos definido:
ra1 (x) = f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a)
reacomodando esta expresión tenemos que:
f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + ra1 (x)
(2)
con ra1 (x) cumpliendo (1)
1.1.
El polinomio
Una lectura de la condición (1) es que cuando x tiende a a el resto ra1 (x) tiende a cero ”más
rápido”. Desde otro punto de vista, podemos hacer ra1 (x) tan pequeño como queramos si tomamos
x suficientemente cercano a a. Esto nos permite, a partir de (2), escribir:
f (x) ≈ f (a) + (x − a)f 0 (a)
(3)
donde estamos aproximando a la función f alrededor de a (x cerca a a) por medio de un polinomio
de grado uno, p1a (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a). Como queda claro en la Figura 1.1
1
Figura 1.1
esta apróximación es aceptable para x cerca a a. Es fácil ver que f y p1a cumplen:
f (a) = p1a (a)
0
f 0 (a) = p1a (a)
El polinomio p1a es el Polinomio de Taylor de grado 1 de f alrededor de a y comunmente
a la expresión (3) se le llama la linealización de f alrededor de a.
Podemos pensar en mejorar la aproximación aumentando el grado del polinomio. Dada la función
f definamos su Polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de a como el polinomio p2a (x) =
k0 + k1 x + k2 x2 que cumple:
f (a) = p2a (a)
0
f 0 (a) = p2a (a)
00
f 00 (a) = p2a (a)
Observando la forma de p1a (x) vemos que es más conveniente escribir el p2a (x) en una forma similar:
p2a (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 para tener:
f (a) = p2a (a) = c0
0
f 0 (a) = p2a (a) = c1
0
f 00 (a) = p2a (a) = 2c2
con lo cual:
c0 = f (a)
c1 = f 0 (a)
f 00 (a)
c2 =
2
y por lo tanto:
p2a (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
2
f 00 (a)
(x − a)2
2
(4)
Si definimos ra2 (x) = f (x) − p2a (x) tendremos:
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
(x − a)2 + ra2 (x)
2
(5)
y también es verdad1 que:
ra2 (x)
=0
x→a (x − a)2
lı́m
Figura 1.1
Como se ve en al Figura 1.1 esta aproximación es más precisa que con p1a (x).
Evidentemente podemos ir más lejos y tener mejores aproximaciones considerendo polinomios
de mayor grado, ası́ el Polinomio de Taylor de grado n de f alrededor de a es:
pna (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f 000 (a)
f (n) (a)
(x − a)2
(x − a)3 + . . .
(x − a)n
2
3!
n!
o, de manera concisa:
pna (x) =
n
X
f (k) (a)
k!
k=0
para el cual el resto
ran (x)
= f (x) −
pna (x)
(x − a)k
cumple:
ran (x)
=0
x→a (x − a)n
lı́m
1.2.
(6)
Formas para el resto
Hasta el momento hemos definido el resto simplemente como la diferencia entre el valor de la
función y el del polinomio de Taylor. La expresión (6) nos da la idea que este resto es çontrolable”,
podemos mantenerlo relativamente pequeño si no nos alejamos demasiado del valor a. Ahora vamos
a dar otras formas de escribir el resto que son útiles en desarrollos posteriores.
1
Demostración que no haremos por el momento
3
Para lo que sigue fijaremos el valor de x y pensaremos que lo que estamos variando es el valor
de a, para evitar confusiones llamemos a esta variable t, de esta forma tenemos al identidad
f (x) = pnt (x) + rtn (x)
Derivando a ambos lados respecto a t tenemos:
0=
Calculemos
d n
d
pt (x) + rtn (x)
dt
dt
d n
p (x):
dt t
n
d n
d X f (k) (t)
pt (x) =
(x − t)k
dt
dt k=0 k!
d
=
dt
f (t) +
n
X
f (k) (t)
k!
k=1
!
(x − t)k
n
X
d f (k) (t)
(x − t)k
dt
k!
k=1
n (k+1)
X
f k (t)
f
(t)
k
k−1
0
(x − t) −
(x − t)
= f (t) +
k!
(k − 1)!
k=1
= f 0 (t) +
=
=
n
X
f (k+1) (t)
k=0
n
X
k=0
k!
n
X
f k (t)
(x − t) −
(x − t)k−1
(k − 1)!
k=1
k
n−1
X f k̄+1 (t)
f (k+1) (t)
(x − t)k −
(x − t)k̄
k!
(k̄)!
k̄=0
f (n+1) (t)
=
(x − t)n
n!
Luego tenemos que:
f (n+1) (t)
d n
rt (x) = −
(x − t)n
dt
n!
Ahora, integrando a ambos lados desde t = x hasta t = a:
Z a
Z a (n+1)
f
(t)
d n
rt (x) dt = −
(x − t)n dt
dt
n!
x
x
Z a (n+1)
f
(t)
ran (x) − rxn (x) = −
(x − t)n dt
n!
x
Z x (n+1)
f
(t)
ran (x) =
(x − t)n dt
n!
a
La última igualdad, ecuación (7), es una de las dos formas del resto que daremos.
La segunda es:
ran (x) =
f (n+1) (p)
(x − a)n
(n + 1)!
para cierto p entre a y x.
4
(7)
Funciones de Rn en R
2.
Consideremos ahora f : Rn → R diferenciable en un conjunto S abierto. Para esta funciones
tenemos las derivadas parciales2 :
∂
f (a + tei ) − f (a)
f (a) = lı́m
t→0
∂xi
t
el vector gradiente:
∇f (a) =
∂
∂
∂
f (a),
f (a), . . . ,
f (a)
∂x1
∂x2
∂xn
y la matriz Hessiana de segundas derivadas:

2
∂ f
(x)
∂x21
···

..
..
Hf (x) = 
.
.

∂2f
(x) · · ·
∂xn ∂x1
∂2f
(x)
∂x1 ∂xn


..

.

2
∂ f
(x)
∂x2
n
El Polinomio de Taylor de grado 1 para estas funciones será un polinomio de n variables, dado
por la fórmula:
p1a (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a)
donde · denota al producto interno de vectores.
El resto ra1 (x) = f (x) − p1a (x) cumple ahora:
ra1 (x)
=0
x→a ||x − a||
lı́m
El Polinomio de Taylor de grado 2 será:
1
p2a (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a) + (x − a)Hf (x)(x − a)T
2
donde T denota transpuesta, como (x − a) es un vector fila (x − a)T es un vector columna.
El resto ra2 (x) = f (x) − p2a (x) cumple ahora:
ra2 (x)
=0
x→a ||x − a||2
lı́m
Funciones de Rn en Rn
3.
Consideremos ahora f : Rn → Rn diferenciable en un conjunto S abierto. Para esta funciones
tenemos la matriz Jacobiana de priemras derivadas:

 ∂f1
∂f1
(x) · · · ∂x
(x)
∂x1
n


..
..
..
Df (x) = 

.
.
.
∂fn
(x)
∂x1
···
∂fn
(x)
∂xn
La linealización de f alrededor de a será:
p1a (x) = f (a) + Df (a)(x − a)T
2 i
e es el i-ésimo vector canónico.
5
Hay que observar que al igual f la linealización p1a (x) tienen valores en Rn y que la expresión
Df (a)(x − a)T es el producto de una matriz y un vector columna.
Por ejemplo para n = 2 tenemos:
f1 (x)
f (x1 , x2 ) =
f2 (x)
x − a = (x1 − a1 , x2 − a2 )
x 1 − a1
T
(x − a) =
x 2 − a2
#
"
∂f1
∂f1
(x)
(x)
∂x1
∂x2
Df (x) =
∂f2
∂f2
(x)
(x)
∂x1
∂x2
luego:

f1 (a)
p1a (x) = 


+
f2 (a)
∂f1
(a)
∂x1
∂f1
(a)
∂x2
∂f2
(a)
∂x1
∂f2
(a)
∂x2
6

x 1 − a1



x 2 − a2