Ampliación de Métodos Numéricos

eman ta zabal zazu
Universidad
del País Vasco
Departamento de Matemática Aplicada,
Estadística e Investigación Operativa
Euskal Herriko
Unibertsitatea
Matematika Aplikatua, Estatistika
eta Ikerkuntza Operatiboaren Saila
Ampliación de Métodos Numéricos
PROGRAMA
Curso 2016-17
Tema 1.- Vectores y matrices
Vectores, matrices y submatrices. Núcleo e imagen de una matriz: rango y nulidad. Producto de matrices. Matrices elementales. Factorización LU : algoritmo.
Tema 2.- Normas de vectores y matrices
Normas de vector. Equivalencia de normas. Normas de matriz. Normas inducidas. Sucesiones y series de matrices.
Tema 3.- Valores singulares
Ortogonalidad y matrices unitarias. Valores singulares. Teorema SVD. Aproximaciones
de rango menor. Pseudoinversa.
Tema 4.- Condicionamiento
Condicionamiento de un problema. Números de condición. Condicionamiento del producto
de matrices y vectores. Número de condición de una matriz. El condicionamiento del
problema de resolución de sistemas lineales.
Tema 5.- Estabilidad
Aritmética en punto flotante. Análisis del error. Estabilidad. Estabilidad de la eliminación
gaussiana.
Tema 6.- Proyecciones y bases ortonormales
Proyectores. Proyectores ortogonales. Algoritmos de Gram-Schmidt.
Tema 7.- La factorización QR
Reflexiones de Householder. Factorización QR: algoritmo de Householder. Método de
Givens.
Tema 8.- El problema de mı́nimos cuadrados
Solución del problema de mı́nimos cuadrados. Algoritmos. El condicionamiento del problema de mı́nimos cuadrados. Análisis de la estabilidad de los algoritmos de mı́nimos
cuadrados.
Apdo. 644 / E-48080 Bilbao
web: www.ehu.es/izaballa
Tel.: 946012660 / Fax: 946013500
e-mail: [email protected]
Tema 9.- Valores propios de matrices
Valores y vectores propios. Matrices defectivas y no defectivas. Continuidad de los valores
propios. Teorema de Bauer-Fike. Semejanza unitaria. Forma de Schur.
Tema 10.- Algoritmos para el cálculo de valores propios
Reducción a forma Hessenberg. Método de las potencias. Método de iteración inversa.
Cociente de Rayleigh. Algoritmo QR. Análisis de convergencia local.
Tema 11.- El problema simétrico y los valores singulares
Otros algoritmos para el problema simétrico de valores propios: Jacobi, bisección y divide
y vencerás. Cálculo de los valores singulares. Bidiagonalización de Golub-Kahan.
Tema 12.- Métodos iterativos basados en subespacios de Krylov
Introdución a los métodos iterativos. Subespacios de Krylov. Métodos para calcular valores
propios: Arnoldi y Lanczos. Métodos para resolver sistemas lineales: GMRES y Gradiente
Conjugados.
Programa de Prácticas
Se realizarán prácticas con MATLAB en base a una serie de ejercicios que se deberán realizar personalmente. Para ello se puede disponer de una Guı́a de MATLAB especialmente
diseñada para este curso y que se puede obtener en la dirección
http://www.ehu.es/izaballa
Bibliografa
1. LL. N. Trefethen, D. Bau: Numerical Linear Algebra. SIAM. Philadelhia, 1997.
2. J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM. Philadelhia, 1997.
3. C. B. Moler: Numerical Computing with MATLAB. SIAM. Philadelphia, 2004.
4. G. W. Stewart: Matrix Algorithms Vol. II: Eigensystems. SIAM, Philadelphia, 2001.
5. G. H. Golub, Ch. F. van Loan: Matrix Computations. SIAM, Philadelphia, 1996.
6. G. W. Stewart: Afternotes on Numerical Analysis. SIAM. Philadelhia, 1996.
7. D. S. Watkins: The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods.
SIAM, Philadelphia, 2007.
8. G. W. Stewart: Afternotes goes to Garduate School. Lectures on Advanced Numerical
Analysis. SIAM. Philadelhia, 1998.
9. F. Chatelin: Eigenvalues of Matrices. Wiley, New York, 1995. SIAM, Philadelphia,
2012.
10. B. N. Datta :Numerical Linear Algebra and Applications. Brooks/Cole Publishing
Company. Pacific Grove. 1995.
11. G. W. Stewart, Ji-guang Sun: Matrix Perturbation Theory. Academic Press, 1990.
12. R. A. Horn, C. R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1989.