Capitulo 9

Gravitación
La ley de gravitación de Newton data del siglo XVII
•
Es una ley Universal: la gravedad actúa de la misma manera entre la Tierra y su cuerpo
que entre el Sol y los planetas
Aunque es un paso enorme en nuestra comprensión tiene problemas importantes:
1. No sabemos si se aplica a la escala de Galaxia (100 000 años luz) o entre las galaxias
en el Universo – no se puede aplicar a la cosmología
2. Las nociones de espacio y tiempo en está teoría no son física (metafísica): el espacio
es un volumen abstracto sin límite mientras que el tiempo es absoluto e infinito
3. La fuerza entre dos cuerpos actúa a distancia (acción instantánea)
En la teoría de la relatividad restringida de Einstein (1905) el tiempo es incluido como variable
dinámica (espacio-tiempo): ( x , y, z, ct ) donde ct toma en cuenta el tiempo de interacción entre
las masas (acción no instantánea)
•
El interval ∆s 2 = − ( ct ) + x 2 + y 2 + z 2 = invariable ⇒ determina estructura causal
del espacio-tiempo
•
∆s 2 = − ( ct ) + x 2 + y2 + z 2 > 0 ⇒ space-like - región desconectada por efectos
causal (agujero negro)
2
2
1
En la teoría de la relatividad General (1915) Einstein relaciona la fuerza de gravitación a la
curvatura del espacio - la materia dicta al espacio-tiempo como curvar se y el espacio-tiempo
dicta a la materia como mover se ⇒ es una teoría geométrica
TODAS LAS PREDICIONES de la relatividad general son verificadas
•
La curvatura del espacio-tiempo - verificado en 1919 por Eddington
•
La expansión del espacio-tiempo – verificado por Hubble ⇒ descripción cosmológica del
espacio
•
Los agujeros negros – observaciones y mediciones con el telescopio de Hubble
•
Las ondas de gravedad – estrellas a neutrones en pares
Pero también tiene problemas:
1. La fuerza de gravedad no es similar a otras fuerzas – dicotomía entre visión relativista y
teoría de partículas - la materia entra como tensor de energía (cantidad geométrica con 512
términos y solo uno es non cero) - no explica inercia, no incluye termodinámica
2. Existencia de singularidades – no se sabe como se aplica las fuerzas a la escala del átomo –
¿gravedad cuántica? – ¿teoría de las cuerdas?
3. No es claro que es la naturaleza del espacio-tiempo – Einstein “el espacio es la distancia
entre materia” – no se sabe si el universo sigue la segunda ley de termodinámica
2
Ley de gravitación de Newton
Publicada en 1687, la ley de la gravitación de Newton estipula que:
Toda partícula de materia en el universo atrae a todos las demás partículas con una fuerza
que es directamente proporcional a las masas de las partículas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separas
Fg = G
(1)
m1m 2
2
r
Donde
• Fg es la magnitud de la fuerza
•
•
•
m1 y m2 son las masas de las partículas
r la magnitud de la distancia entre las partículas y
G la constante gravitatoria
Las fuerzas gravitatorias siempre actúan sobre una
línea que une las 2 partículas y forman un par acciónreacción (tercera ley de Newton)
Por ejemplo, la fuerza de atracción que su cuerpo
ejerce sobre la Tierra es igual a la fuerza de atracción
que la Tierra ejerce sobre su cuerpo
Pero como la masa de la Tierra es 1023 mas grande
que su masa, su aceleración es 10−23 más pequeña
(casi no se mueve)
Si la distribución de masa es uniforme, dentro un cuerpo sólido la fuerza gravitatoria sobre un
cuerpo deberé disminuir hasta cero en su centro è sólo cuenta la contribución de la masa
interior
3
La interacción gravitatoria de dos cuerpos con una
distribución de masa de simetría esférica es la
misma que si la masa de los dos cuerpos estaba
concentrada en un punto en su centro (a demostrar
más tarde)
Esta calidad de la fuerza gravitatoria legitima el
modelo de partícula
Así que si modelamos la Tierra con un cuerpo
simétrico de masa mE :
Fg = G
(2)
mE m
2
r
La gravitación explica porque los cuerpos celestes tiene una forma esférica: dado que todas
las partículas de un cuerpo se atraen entre si tienden a moverse de forma que se minimice la
distancia que las separas, y por lo tanto a asumir una forma simétrica esférica – tendencia a
energía potencial mínima y área (superficie) mínima
Este efecto se reduce para cuerpo de pequeña masa – porque la fuerza electromagnética que
forma las moléculas es mucho más potente que la fuerza gravitacional
4
Determinación del valor de G
Balanza de tensión (Sir Henry Cavendish 1798)
•
Una varilla ligera rígida en forma de T invertida es sostenida por una fibra vertical de
cuarzo muy ligera
•
Dos esferas pequeñas de masa m1 se montan en los extremos
•
Si colocamos dos esferas grandes de masa m2 cerca de las masas m1 , las fuerzas de
atracción hacen girar T de un ángulo pequeño
•
Este ángulo se mide usando la luz coherente de un láser reflejado por un espejo
La luz reflejada se mueve a lo largo de una escala
−11
El valor de G medido de esta manera es: G = 6.67259(85) ×10
Como 1N = 1kg ⋅
m
2
s
[G ] =
m3
kg ⋅ s 2
5
N ⋅ m2
kg 2
Ejemplo de Cálculo de la fuerza gravitatoria:
En la balanza de Cavendish, ponemos m1 = 0.0100kg y m2 = 0.500kg
Si la distancia r entre m1 y m2 es de r = 0.0500m
Fg = 6.67 ×10−11
N ⋅ m 2 0.0100kg ⋅ 0.500kg
= 1.33 ×10 −10 N
2
2
kg
( 0.0500m )
De todas las fuerzas, la fuerza gravitatoria es la más débil
Aceleración debida a la atracción:
Consideramos las masas m1 y m2 aisladas en el espacio.
La aceleración a1 de la masa m1 :
a1 =
Fg
m1
=
1.33 ×10 −10 N
m
= 1.33 × 10−8 2
0.0100kg
s
La aceleración a2 de la masa m2 :
1.33 ×10−10 N
m
a2 =
=
= 2.66 ×10 −10 2
m2
0.500kg
s
Fg
Notamos que la aceleración no es constante porque la fuerza aumenta a medida que la
distancia entre las masas disminuye
6
Superposición de fuerzas (adición vectorial)
r r r
La fuerza sobre la masa en O es igual a la suma vectorial de dos fuerzas: F = F1 + F2
F1 = G
0.500kg ⋅ 0.0100kg
( 0.200m ) + ( 0.200m )
F2 = G
2
0.500kg ⋅ 0.0100kg
( 0.200m)
2
2
= 4.17 × 10−12 N
= 8.34 × 10−12 N
Las componentes x e y :
o
F1x = F1 cos45o = 2.95 ×10 −12 N e F1 y = F1sen45 = 2.95 ×10
−12
F2 x = 8.34 ×10− 12 N e F2 y = 0
−12
Fx = F1x + F2 x =11.3 ×10−12 N e Fy = F1y + F2 y = 2.95 × 10
La magnitud de la resultante: F = Fx2 + Fy2 = 1.17 ×10− 11 N
La dirección de la resultante: θ = arctan
Fy
Fx
= 14.6o
7
N
N
Problema interesante: en la teoría de gravitación de Newton, la fuerza entre dos cuerpos
actúa a distancia (acción instantánea)
A dos maneras de tratar este problema en física moderna
1. Una es la teoría de campo (electrodinámico): un cuerpo establece una perturbación
en el campo en todos los puntos del espacio y la fuerza que actúa sobre un segundo
cuerpo es la respuesta del campo sobre este cuerpo
2. La otra manera es la relatividad especial: la rapidez máxima de interacción es la
velocidad de la luz
Nota importante: la teoría del campo es consistente con la relatividad especial, porque las
perturbaciones del campo viajen en el espacio a la velocidad de la luz - la relatividad general
es una teoría de campo
8
Noción de Peso
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria total ejercida sobre el por todas los demás
cuerpos del universo
Pero como la fuerza gravitatoria es muy débil, y que su influencia disminuye con el inverso
cuadrático de la distancia, solamente los cuerpos cercanos contribuyen al peso
A la superficie de la Tierra:
w = Fg = G
(3)
mE m
2
RE
Donde RE es el radio de la Tierra
La aceleración gravitacional a la superficie de la Tierra es:
g =G
(4)
mE
⇒ Fg = mg
2
RE
Como podemos medir G , RE e g , podemos deducir la masa de la Tierra:
(5)
mE =
2
E
gR
=
G
(
m
⋅ 6.38 ×106 m
2
s
2
−11 N ⋅ m
6.67 ×10
kg 2
9.8
)
2
= 5.98 ×1024 kg
La masa de la Tierra fue calculada por la primera vez por Cavendish usando el valor de G
determinado por su balanza
En un punto por encima de la superficie de la Tierra, a una distancia r del centro (r − RE
arriba de la superficie):
(6)
w = Fg = G
mE m
2
r
Nota: el hecho que la Tierra gira sobre su eje implica que el peso real no es exactamente como
el cálculo è la Tierra no es un referencial inercial
9
Tampoco la Tierra muestra una distribución homogénea de materia:
Asumiendo una distribución uniforma, el volumen medio:
(7)
(
4
4
VE = π RE3 = π 6.38 × 106 m
3
3
)
3
= 1.09 × 1021 m3
La densidad promedio seré por lo tanto:
(8)
ρE =
mE 5.98 × 1024 kg
kg
g
=
= 5500 3 = 5.50
21
3
VE 1.09 ×10 m
m
cm 3
Por comparación la densidad del agua es: ρagua = 1000
La densidad de las rocas en la
superficie es del orden de solamente
g
3 3 (granito, Gneiss)
cm
⇒ el interior de la Tierra por lo tanto
debe ser mucho más denso
Los modelos geológicos sugieren una
g
densidad en el centro hasta 13 3
cm
10
kg
g
= 1.00 3
3
m
cm
El campo gravitacional de la Tierra, por lo tanto, no debe ser uniforme:
La figura muestra el campo gravitacional como medido por un satélite de la NASA
Peso en Marte:
El radio y masa de Marte son: RM = 3.40 × 106 m y M M = 6.42 ×10 23 kg
Su masa es igual a: m sonda =
39200N
= 4000kg
m
9.8 2
s
Su peso en Marte será:
M m
N ⋅ m2 6.42 ×1023 kg ⋅ 4000kg
WMarte = G M 2sonda = 6.67 × 10−11
= 15000 N
2
RM
kg 2
3.4 ×106 m
(
)
Esto es 40% de su peso en la Tierra
La aceleración gravitacional de objetos que cae en Marte también es más pequeña
Usando la masa de la sonda encontramos: g =
Fg
msonda
= 3.7
Objetos caen más lentamente en la superficie de Marte
11
m
s2
Peso aparente y rotación terrestre
Como la Tierra gira sobre su eje, no es un referencial inercial
Por esta razón, el peso aparente de un cuerpo en la Tierra no es exactamente igual al peso
r
verdadero w0
Si suponemos que la Tierra es esféricamente simétrica, el peso verdadero tendrá una
magnitud: Gm E m RE2
El cuerpo en el Polo Norte está en equilibrio en un sistema inercial, y la lectura de un
balanza de resorte es igual a w0
El cuerpo en el ecuador se mueve en un círculo de radio RE con rapidez v y debe haber
una fuerza neta hacia adentro igual a la masa por la aceleración centrípeta: w0 − F =
12
mv 2
RE
En el ecuador, el peso aparente es:
w = w0 −
(9)
mv 2
RE
Al ecuador, la aceleración gravitacional es:
g = g0 −
(10)
v2
RE
En un día, ~ 86164 s, un punto en el ecuador se mueve una distancia igual a la
circunferencia de la Tierra: 2π RE = 2π ( 6.38 × 106 m )
2
m

465
2

2π ( 6.38 ×10 m )
m
v
m
s 
Por tanto: v =
= 465 y
= 
= 0.0339 2
6
86164s
s
RE 6.38 ×10 m
s
6
v2
es cerca de 0.03m s 2 menor
RE
Para puntos intermedios, necesitamos escribir una ecuación vectorial:
r r
r
r
r
(11)
w = w0 − marad = mg 0 − marad
La gravedad g = g 0 −
La dirección del peso aparente difiere de la dirección hacia el centro de la Tierra en un
ángulo pequeño ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.,
que es ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. o menos
Nota que para una nave en órbita, la aceleración ¡Error! No se pueden crear objetos
modificando códigos de campo., de modo que ¡Error! No se pueden crear objetos
modificando códigos de campo.
Un astronauta o cualquier otro cuerpo en una nave en órbita no tiene peso (ingravidez
aparente).
13
Energía potencial gravitatoria
A la superficie de la Tierra, consideramos la fuerza gravitatoria con una constante, de modo
que el potencial gravitacional esta dado por: U = mgy
Pero en general Fg = G
mE m
2
r
Para deducir la expresión general para la energía potencial gravitacional consideramos un
cuerpo de masa m fuera de la Tierra y calculamos el trabajo Wgrav efectuado por la fuerza
gravitatoria cuando el cuerpo se aleja o acerca al centro de la Tierra desde r1 a r2
Por definición:
(12)
Wgrav = ∫ Fr dr
r2
r1
Donde Fr es la componente radial (hacia fuera) de la
r
fuerza gravitatoria Fg
r
Como Fg está dirigida hacia a dentro:
(13)
Fr = −G
mE m
2
r
Usando está expresión, podemos escribir la expresión por la energía gravitatoria como:
(14)
r2
Wgrav = −GmE m∫r
1
1 1
dr
= GmE m  − 
2
r
 r2 r1 
Como la fuerza gravitatoria es conservativa, el trabajo no depende de la forma de la trayectoria
14
La energía potencial U , tal que: Wgrav = − ∆U = U1 − U 2
(15)
U = −G
mE m
r
Vemos que cuando r aumenta, U se torna más positivo y cuando r disminuye, U se torna
más negativo.
Cuando r → ∞ , U → 0
Es importante recordar que solamente la diferencia de potencial ∆U es físicamente
significativa, no su valor absoluta
También debemos recordar que como la fuerza gravitatoria es conservativa, la energía
mecánica es conservada: E = constante o K1 + U 1 = K 2 +U 2
15
De la Tierra a la Luna
En la historia de Julio Verne (1865) los
astronautas viajaron de la Tierra a la Luna en
un casco disparado por un cañón
¿Cuál es la rapidez inicial necesaria para
alcanzar una altitud r = 2RE ?
Como la única fuerza es la fuerza
gravitacional:
E = constante o K1 + U 1 = K 2 +U 2
Donde 1 es el punto de partida ( r = RE ) y 2
es la altura máxima ( r = 2RE y v = 0 )
Si la masa del casco (con los astronautas) es
m , la conservación de energía:
⇒
1 2
m m
m m
mv1 − G E = −G E
2
RE
2 RE
⇒ v1 = G

mE
N ⋅ m2   5.97 ×10 24 kg 
m
km
=  6.67 ×10 −11
 = 7900 = 28400
2 
6
RE
kg   6.38 ×10 m 
s
h

La rapidez de escape es la rapidez necesaria para escapar de la Tierra
Para encontrar este valor basta poner r2 → ∞ , así que K 2 = 0 y U 2 = 0
⇒
vesc =
2Gm E
=
RE
1 2
m m
mvesc − G E = 0
2
RE

N ⋅ m2 
2  6.67 ×10− 11
5.97 ×1034 kg
2 
kg
m
km


= 1.12 × 104 = 40200
6
6.38 × 10 m
s
h
(
)
Notamos que si el lanzamiento se hace a partir de Cape Kennedy hacia el este, la rapidez es
menor de 410 m/s que es la rapidez de rotación a esta latitud
En general la rapidez de escape es: vesc =
2GM
R
16
Relación entre fuerza y energía gravitacional
Como la fuerza gravitacional tiene una componente solamente en la dirección radial:
Fr = −
(16)
•
dU
d 
m m
m m
= −  −G E  = −G E2
dr
dr 
r 
r
La fuerza radial apunta en la dirección opuesta a la de r creciente
En el caso de la superficie terrestre podemos escribir:
1 1
r −r
r −r
Wgrav = GmE m  −  = GmE m 1 2 ≈ GmE m 1 2 2
r1r2
RE
 r2 r1 
Como g = G
mE
⇒ Wgrav = mg ( r1 − r2 ) < 0 , se hace un trabajo contra la fuerza
2
RE
Esto es similar a la expresión Wgrav = − ∆U = mgh donde r2 − r1 = h , el potencial gravitatoria
aumenta con la altura
17
Movimiento de satélites
Los satélites se mantienen en órbita siguiendo las leyes de Newton
Si lanzamos un proyectil desde el punto A en la dirección AB tangente a la superficie de la
Tierra, a medida que cae, la Tierra se curva hacia abajo alejándose de el
⇒ Si lanzamos el proyectil como una rapidez suficiente, podría seguir dando una vuelta a
la Tierra
•
Las trayectorias cerradas que describen los satélites son elipses (o segmentos de elipse
cuando la trayectoria choca con la Tierra) – la energía total del sistema es negativa
•
Una órbita circular es un caso especial de elipse – el orbite circular es el orbite que
tiene el momento angular más alto para un energía potencial gravitacional dada
•
En una órbita abierta (hiperbólica o parabólica), el proyectil nunca vuelve a su punto
de partida – la energía total del sistema es positiva
18
La única fuerza que actúa sobre un satélite en
orbita es la atracción gravitatoria, dirigida
hacia el centro de la Tierra
El satélite cae constantemente alrededor de la
Tierra ⇒ su rapidez es exactamente la
necesaria para mantener su distancia
constante
Una órbita circular es el caso más simple e
importante, pues muchos satélites artificiales
tienen este tipo de órbita
Los planetas de nuestro sistema planetario
también tienen orbitas casi circular
Un satélite en órbita circular describe una
trayectoria uniforme y su rapidez es constante
Si el radio de la órbita es r , la aceleración del satélite será: arad =
v2
(dirigida hacia el centro)
r
Por la ley de gravitación, la fuerza gravitacional es responsable para esta aceleración, de modo
que para un satélite de masa m :
G
mE m
v2
=
m
r2
r
La velocidad par una órbita circular es:
v=
(17)
GmE
r
•
Podemos ver que v y r no son independientes
•
El movimiento del satélite no depende de su masa - comportamiento típico de cuerpos
en caída libre
o
ingravidez aparente: el astronauta tiene la misma velocidad y aceleración
que su nave (los dos están cayendo)
19
Como la rapidez v es igual a la distancia 2π r recorrida en una revolución dividida por el
periodo:
v=
(18)
2π r
T
Deducimos el periodo de una órbita circular:
T=
(19)
2π r
r
2π r 3 / 2
= 2π r
=
v
GmE
GmE
•
Una órbita más grande tiene un periodo más grande y por tanto una velocidad más
pequeña
•
Comparando con la velocidad de escape, vemos que para escapar de un cuerpo
esférico con un radio R necesitamos 2 veces la velocidad de un satélite en órbita
circular con este radio ⇒ para salir de una órbita circular, necesitamos aumentar la
velocidad por un factor 2
Para una órbita de radio r , la energía mecánica total E = K +U es:
(20)
E=
1 2
m m 1
m
m
m m
mv − G E = mG E − mG E = −G E
2
r
2
r
r
2r
•
Esto es la mitad de la energía gravitacional
•
A aumentar r , aumenta la energía mecánica
Cuando el satélite toca a la atmósfera las fuerzas de fricción hacen un trabajo negativo
disminuyendo la energía mecánica del satélite – no hay conservación de energía
⇒ Eventualmente, el satélite caerá sobre la Tierra
20
Ejemplo de Satélite meteorológico
Masa: m = 1000kg
La altitud encima de la superficie de la Tierra: ralt = 300km
Distancia del satélite del centro de la Tierra: r = ralt + RE = 300km + 6380km = 6680km
La velocidad del satélite en órbita circular:
v=
Su periodo: T =
GmE
=
r
2

−11 N ⋅ m 
6.67
×
10
5.97 ×10 24 kg

2 
kg
m


= 7730
6
6.68 ×10 m
s
(
)
2π r
6.68 × 106m
= 2π
= 5430s = 90.5min
m
v
7730
s
2
m

7730 
2

v
m
s
La aceleración radial: a =
=
= 8.94 2
6
r 6.68 ×10 m
s
El trabajo requerido para poner el satélite en orbita es igual a Worb = E2 − E1 , donde E1 es la
energía mecánica de satélite en su rampa de lanzamiento y E2 es la energía mecánica del
satélite en órbita
2

−11 N ⋅ m 
6.67
×
10
5.97 ×1024 kg (1000kg )

2 
kg 
Gm E m
E2 = −
=−
= −2.99 ×1010 J
6
2r
2 6.68 ×10 m
(
(
E1 = −
)
)
GmE m
= −6.25 × 1010 J
RE
Worb = E2 − E1 = −2.99 × 1010 J + 6.25 ×1010 J = 3.26 × 1010 J
Para que el satélite escape al campo de gravitación de la Tierra, la energía necesaria sería igual
a la energía del orbite Wesc = − E 2 = 2.99 ×1010 J
21
Movimiento de los planetas
El nombre planeta es de origen griega y significa vagabundo, porque se mueve en
comparación de las estrellas
Durante los siglos XVI y XVII se descubrí nuevas ley sobre el movimiento de Planeta
Nicolas Copernic en 1543, propuso que:
•
La Tierra es un planeta con los otros
•
Todos los planetas giran alrededor del Sol
Entre 1601 y 1609, Johanes Kepler estudio el movimiento de los planetas usando datos
precisos compilados por el astrónomo Tycho Brahe, deduciendo 3 leyes sobre los
movimientos de los planetas en torno del Sol
1. Cada planeta se mueve en una órbita elíptica con el Sol en uno de los focos
2. Una línea desde el Sol a un planeta dado barre áreas iguales en tiempos
iguales
3. El periodo de un planeta es proporcional a la longitud del eje mayor de su
3
órbita, elevado a la potencia
2
Usando la ley de gravitación, Newton conseguí a deducir las tres leyes de Kepler
Primera ley:
•
Newton pudo demostrar que una fuerza que varia como 1/ r 2 permite únicamente órbitas
cerradas que son elípticas
o Las órbitas abiertas son parábolas o hipérbolas
Nota que en realidad el Sol y los planetas tornan junta alrededor de su centro de masa
Pero como el Sol tiene una masa 270 veces mayor que los planetas combinadas, el centro de
masa del sistema planetario se encontró muy cerca del centro del Sol
En sistemas binarios de estrellas este fenómeno es más obvio
22
Propiedades de una elipse
En una elipse, la dimensión más larga es el eje mayor = semi-eje mayor, a
Los puntos S y S ′ son los focos
El Sol esta en S y el planeta esta en P (el otro foco esta vació)
La suma de las distancias de S a P y de S ′ a P es la misma para cualquier punto sobre la
elipse
La distancia de los focos al centro es ea , donde e es un número sin dimensión, que varia
entre 0 y 1, llamado excentricidad
⇒ Un círculo es una elipse con excentricidad e = 0
•
Las excentricidades de las órbitas de los planetas varia entre 0.007 (Venus) hasta
0.240 (Plutón)
•
La Tierra tiene una excentricidad e = 0.017
El punto más lejos del Sol es el afelio y el punto más cerca es el perihelio
23
Segunda ley de Kepler
Consideramos el movimiento de un planeta
durante un tiempo pequeño dt
En este tiempo, la línea desde el Sol al
planeta describe un ángulo dθ
El área barrida es el triángulo de altura r y
1
base rdθ y área dA = r 2 dθ
2
La rapidez con que se barre el área
dA
es
dt
la velocidad de sector
(21)
dA 1 2 dθ
= r
dt 2 dt
La esencia de la segunda ley de Kepler es
que la velocidad de sector tiene el mismo
valor en todos los puntos de la órbita
Cuando el planeta esta más cerca del Sol
la rapidez debe aumentar y cuando se
aleja debe disminuir
r
La componente de v perpendicular a la
línea radial es v⊥ = vsenφ
El desplazamiento rdθ = v⊥ dt
⇒ v⊥ = r
(22)
dθ
dt
dA 1
= rvsenφ
dt 2
r r
1
r
r r
Pero rvsenφ = r × v que es igual a
veces el momento angular L = r × mv
m
(23)
dA
1 r
r
=
r × mv
dt 2m
La segunda ley de Kepler implica que el momento angular es una constante
24
En términos de la ley de gravitación es sencillo entender el porque
r
r
dL r r r
r r r
= τ = r × Fg , pero como Fg es paralelo a r , r × Fg = 0 , el momento angular es una
dt
constante
Esto es verdad por cualquier fuerza central
La conservación del momento angular explica también porque las orbitas de las planetas son
r
r
dentro de un plano: el momento angular constante es siempre perpendicular a r y Fg
r r
r
r
r
Dado L = r × mv constante, r y Fg deben siempre ser en el mismo plano
Deducir la tercera ley de Kepler es más complicado, pero Newton pudo mostrar que la
relación entre el periodo y el semi-eje mayor es:
2π a 3 / 2
T=
GmS
(24)
Para una órbita circular a se transforma en r
El periodo no depende de la excentricidad
Ejemplo de Tercera ley de Kepler
La relación entre el semi-eje mayor de la órbita de Urano y Saturno es:
aU 2.88 ×1012 m
=
= 2.01
aS 1.43 ×1012 m
Según la tercera ley de Kepler:
TU
3/2
= ( 2.01) = 2.85
TS
Esto es consistente con los periodos observados:
TU 83.75 anos
=
= 2.85
TS 29.42 anos
Nota que Urano fue descubierta mucho más tiempo después (1781) que la ley de Kepler fue
conocida
25
El cometa de Halley
En su perihelio, el cometa esta a una distancia de 8.75 ×10 7 km del Sol y durante el afelio esta
a una distancia de 5.26 ×109 km del Sol
Como E = constante , K es máxima cuando U es mínima en el perihelio
La magnitud del eje mayor es igual: a =
rper + rafe
2
= 2.67 × 109 km
En el perihelio la distancia entre el cometa y el Sol es a − ea = a (1 − e )
De esta relación deducimos la excentricidad: e = 1 −
El periodo es: T =
2π a 3 / 2
GmS
=
(
2π 2.67 ×109 km
(
)
8.75 × 107 km
= 0.967
a
3/2
G 1.99 ×10 kg
30
)
%
= 2.38 ×109 s = 75.5 anos
El último perihelio estaba en 1986, que quiera decir que el próximo acontecerá en 2061
26
Distribuciones de masa esféricas
Newton busco varios años una demostración de que las interacciones gravitatoria entre dos
distribuciones de masa esféricas es la misma que si la masa de cada una estuviera centrada en
su centro
Newton invento el cálculo diferencial e integral para demostrar esto
Empezamos con una masa puntual m que interactúa con un casco esférico delgado con masa
total M
Consideramos un anillo en la superficie del casco centrado en la línea que va del centro del
casco a m
Todas las partículas del anillo están a la misma distancia s de m
La energía potencial de interacción entre m y una partícula de masa mi del anillo está dada
mmi
por: U i = −G
s
Sumamos esta expresión para todas las partículas del anillo:
(25)
dU = ∑ Ui = ∑ −G
i
i
mmi
m
m
= −G ∑ mi = −G dM
s
s i
s
27
El radio del casco es R así que el radio del anillo es Rsenφ y su circunferencia es 2π Rsenφ
La anchura del anillo es Rdφ y su área dA es: dA = 2π Rsenφ ⋅ Rdφ = 2π R 2senφ dφ
La relación entre dM y M es la misma que entre el área del anillo dA y el área total
A = 4π R 2
dM dA 2π R 2senφ dφ 1
=
=
= senφ dφ
M
A
4π R 2
2
(26)
dU =
(27)
Como s 2 = ( r − R cos φ ) + ( Rsenφ )
2
GMm
senφ dφ
2s
2
s 2 = r 2 − 2 rR cos φ + R2
(28)
Diferenciamos 2 sds = 2rRsenφ dφ
dU = −G
(29)
Mm sds
Mm
= −G
ds
2s rR
2rR
Para encontrar la energía potencial total necesitamos integrar desde s = r − R hasta s = r + R
(30)
U = −G
Mm r + R
Mm
ds = −G
 ( r + R )− ( r − R )
∫
r
−
R
2 rR
2rR 
(31)
U = −G
Mm
r
Esto es igual a la energía potencial de dos masas puntuales m y M a una distancia r
Como la fuerza está dada por Fr = −
dU
, la equivalencia también se aplica a la fuerza
dr
Por lo tanto, la interacción gravitatoria entre una distribución de masa esférica simétrica y
una masa puntual es igual que si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en le
centro
Como las fuerzas vienen en par acción-reacción y cumplen con la tercera ley de Newton, la
demostración también se aplica si la masa puntual m estuviera la masa de una masa
esférica simétrica
28
Masa puntual dentro de un casco esférico
Para una masa puntual adentro de un casco esférico, el mismo análisis se aplica
Basta solamente integrar de R − r hasta R + r
(32)
(33)
U = −G
Mm R + r
Mm
ds = −G
 ( R + r ) −( R − r )
∫
R
−
r
2 rR
2rR 
U = −G
Mm
R
La energía potencial U no depende de r y es igual en todo el interior del casco
Si la masa m se mueve dentro del casco no se efectúa un trabajo así que la fuerza sobre
m debe ser cero en cualquier punto dentro del casco
En general, cualquier punto del interior de una distribución de masa geométricamente
simétrica a una distancia r desde su centro, la fuerza gravitatoria sobre una masa puntual es la
de la masa interna a r concentrada en el centro
Esto es una otra expresión de la ley de Gauss o del teorema de Birkhoff (relatividad
general)
29
Viaje al centro de la Tierra
Suponga que hace un agujero
que atraviesa la Tierra y deja
caer una bolsa de correo de masa
m
Supongamos que la densidad de
la Tierra es uniforme
Como vimos, la fuerza
gravitatoria a una distancia r del
centro sólo depende de la masa
M dentro de una esfera de radio
r
Con densidad uniforme, la masa es proporcional al volumen de la esfera:
4 3
πr
M
r3
= 3
= 3
mE 4 π R3 RE
E
3
La magnitud de la fuerza gravitatoria sobre m está dada por:
GMm GmE m r 3 GmE m
Fg = 2 =
=
r
r
r 2 RE3
RE3
La fuerza es directamente proporcional a r
Está cero en el centro e igual a Fg =
Gm E m
en la superficie ( r = RE ).
2
RE
30
Agujeros negros
Consideramos el Sol
Como una masa M = 1.99 ×1030 kg y un radio R = 6.96 ×108 m la densidad media:
(34)
ρ=
M
M
1.99 ×1030 kg
=
=
4
4
V
π R3
π 6.96 × 108 m
3
3
(
)
3
= 1410
kg
m3
La atracción gravitatoria junta los átomos de gas hasta hacer al Sol, en promedio, 41%
más denso que el agua y unas 1200 veces más denso que el aire que respiramos
La rapidez de escape de la superficie de una masa esférica con masa M y radio R es
v = 2GM R
Podemos relacionar esto con la densidad media
4
Sustituyendo: M = ρV = ρ  π R3 
3

2GM
8π Gρ
(35)
v=
=
R
R
3
La velocidad de escape de la superficie del Sol es: v = 6.18 ×105 m s = 2.2 ×106 km h
Esta velocidad es enorme, 1500 la velocidad de la luz
Consideramos estrellas con la misma densidad pero diferentes radios
•
Par un valor dado de ρ , la velocidad de escape aumenta con el radio
En 1783, John Mitchell, un astrónomo aficionado, señalo que si un cuerpo con la misma
densidad del Sol tuviera un radio 500 veces mayor, la magnitud de su rapidez de escape
sería mayor que la rapidez de la luz
⇒ semejante objeto no emitiría luz – formaría un agujero negro
31
De la ecuación v =
2GM
, hay un radio R crítico para que un cuerpo de masa M
R
pueda emitir luz
Nota que no podemos usar v = c en la ecuación (esto daría c =
2GM
2GM
⇒ R= 2 )
R
c
para deducir este límite, porque
1. la energía cinemática de la luz no es dada por mc 2 2
2. ni tampoco el potencial gravitacional tiene la forma de la ecuación U = −G
mE m
r
En 1916, Karl Schwarzschild usó la teoría de la relatividad general de Einstein para
deducir una expresión para el radio crítico RS , llamado ahora radio de Schwarzschild
2GM
(36)
RS = 2
c
Si un cuerpo esférico sin rotación con masa M tiene un radio menor que RS , entonces
nada, ni siquiera la luz, podrá escapara de su superficie
Este fenómeno describe un agujero negro
La superficie de la esfera con radio RS , se denomina horizonte de eventos, porque no
podemos ver (o conocer) los eventos que ocurren en su interior – espacio es space-like
Lo único que un observador afuera del horizonte de eventos puede saber acerca de un
agujero negro es:
1. Su masa, por su efecto gravitatorios sobre otros cuerpos
2. Su carga eléctrica, por la fuerza eléctrica que ejerce sobre otros cuerpos
3. Su momento angular, porque un agujero negro en rotación tiende a arrastrar el
espacio junto con él
Todas la demás información acerca del cuerpo se pierde irremediablemente cuando
colapsa dentro de su horizonte de eventos = entropía del agujero negro
32
Formación de un agujero negro de masa estelar
Segundo la teoría astrofísica moderna, un estrella al final de su vida colapsará bajo su
peso formando un agujero negro si su masa final (después de una explosión en
supernova) es del orden 2M e (limite de las estrellas a neutrones)
2GM
, ponemos: M = 2 (1.99 ×1030 kg )
2
c

N ⋅ m2 
2  6.67 × 10−11
4.0 × 1030 kg
2 
kg 
2GM
RS = 2 = 
= 5.9 ×10 3 m = 5.9km
2
c

8 m
 3.00 ×10 s 


En la ecuación RS =
(
(37)
)
Si el radio es igual a RS , la densidad media tiene el valor:
(38)
ρ=
M
4
π R3
3 S
=
4.0 ×1030 kg
(
4
π 5.9 × 103 m
3
)
3
= 4.6 ×1018
kg
m3
Esto es del orden de 1015 veces la densidad de la materia ordinaria en la Tierra y es
comparable con la densidad de los núcleos atómicos
De hecho una vez que el cuerpo se colapsa a un radio de RS , nada puede evitar que se
colapse más
•
toda la masa se comprime en un solo punto llamado singularidad que tiene cero
volumen y por tanto una densidad infinita
33
Se observa en el centro de galaxias objetos que solamente pueden ser producido por
materia cayendo en un agurejo masivo del orden de 106 M e hasta 109 M e
Como se forma tal objeto no se sabe, posiblemente por la numerosa fusión de galaxias de
baja masas y ricas en gas en cúmulos de galaxias o grupos
34
De hecho se sabe ahora que un agujero con masa del orden de 3 o 4 ×106 M e se encuentra
en el centro de nuestra galaxia
Confirmación por radio telescopio VLA que Sgr A* esta ubicado muy cercano del centro
dinámico de nuestra galaxia (1980 – 1981) + la fuente es variable en radio (1982)
35
Vista más detallada de Sgr A* en el centro de nuestra galaxia – radio fuente compacta
(Balick and Brown 1974)
36
(Genzel & Towns 1987) diagrama de masa vs. distancia al centro de Sgr A* deducida a
partir de la dinámica de estrellas - el mejor modelo sugiere masa punt ual del orden
3 ×106 M e (modelos: 1) core radius; 2) sum of core radius + point mass; 3) core radius
+ dark cluster)
37