sistemas dinamicos y teorema de ramsey

Entrega final: Informe del seminario de matemáticas
Basados en la charla de: Phd. Stefano Ferri
JUAN GUILLERMO GAMA SALINAS, 200818123
EMANUEL PALMA ZAPATA, 200812949
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
16 Noviembre 2011
SISTEMAS DINAMICOS Y TEOREMA DE RAMSEY
El presente es el informe final del seminario de matemáticas de primer semestre que se imparte
en la Universidad de los Andes, el presente informe solo abarca la conferencia presentada por el
Dr. Stefano Ferri. Lo que se pretende en el presente informe, es ampliar algunos apartes de la
charla y dejar un texto de referencia acerca de este tema que no es comúnmente tratado.
Teoría de Ramsey
Datos Biográficos
Frank P. Ramsey
“Ramsey nació en Cambridge y fue educado en el Winchester College, antes de regresar a
Cambridge para estudiar matemáticas en el Trinity College, donde se graduó con la máxima
calificación de su promoción.
La inteligencia de Ramsey impresionó a numerosos académicos de Cambridge. Mostró interés por
numerosas ramas del saber. Junto a su esposa, se declaraba «ateo militante».
Fue capaz de aprender alemán en tan sólo una semana, usando un diccionario y una gramática
que le había prestado C. K. Ogden. Posteriormente, usó esos conocimientos para leer el Tractatus
Logico-Philosophicus de Wittgenstein. Le impresionó tanto, que en 1923 viajó a Puchberg, un
pequeño pueblo austriaco, donde este ejercía de profesor para discutir con él.1
De vuelta a Inglaterra, en 1924, accedió como profesor al King's College con tan solo 21 años.
Desarrolló una cantidad de trabajos sobre lógica, matemáticas, economía y la filosofía de dichas
disciplinas. Desafortunadamente, sufría una dolencia crónica de riñón, y tras una operación murió
a la edad de 26 años, acabando con una prometedora carrera.
Uno de los teoremas probado por Ramsey en su artículo Sobre un problema de lógica formal (On a
problem of formal logic) lleva ahora su nombre. Fue un resultado importante en combinatoria,
suministrando la idea de que, dentro de un sistema suficientemente grande, a pesar del desorden
debe haber cierto orden.” (wikipedia)
Introducción
La teoría de Ramsey busca establecer ¿Qué tan grande debe ser la estructura original con el fin de
garantizar que al menos una de las piezas tenga una propiedad interesante dada?, o “Si algo es
grande, tiene alguna propiedad buena”, Este trabajo de Ramsey es justificado rigurosamente en su
articulo (F. P. Ramsey, On a Problem of Formal Logic, Proc. London Math. Soc., Vol. s2-30, no 1
(1930))(se presentado en el anexo 1).
Algunos ejemplos típicos de teoremas en teoría de Ramsey:


Una estructura finita con una cardinalidad lo bastante grande, tiene que contener al
menos una subestructura del mismo tipo con alguna propiedad buena.
Si se tiene una subestructura infinita A y se hace la partición de A en finitas piezas, una
celda de la partición tiene que tener al menos la misma estructura que su original.
Ejemplos de teoremas en teoría de Ramsey
Un ejemplo básico en teoría de Ramsey tiene que ver con grafos:
Definición: Un grafo es un conjunto de puntos y vértices, como se muestra a continuación.
Definición: El complemento de un grafo es otro grafo que posee los mismos vértices pero los ejes
están cambiados, es decir une los vértices que en el grafico original no lo estaban y en donde
estaban unidos ya no lo estarían.
Teniendo en cuenta lo anterior establecemos el siguiente teorema:
Teorema: Si tenemos un grafo finito con 6 o más vértices, entonces el grafo complementario tiene
al menos un triangulo.
Otro ejemplo de teorema en teoría de Ramsey tiene que ver con la progresión aritmética, que se
presenta a continuación.
Definición: Una progresión aritmética de longitud l en los naturales es una lista finita de l números
de la forma
A,a+d,a+2d,…,a+(l-1)d.
Teorema: (van der Waerden) si se particionan los números naturales en finitas piezas como
N  A1    An
Entonces existe al menos una partición de Ai tal que contiene una progresión aritmética de alguna
longitud.
Compacidad en R y espacios métricos generales
En primer lugar es importante y necesario abordar este tema desde la perspectiva del análisis
matemático.
El primer concepto a introducir es el de compacidad en el conjunto a estudiar, que es los reales
“R”; pero para ello es importante recordar las definiciones de secuencia y convergencia.
Definición: Una secuencia en R es una función
f :N R
Donde (f(1), f(2), f(3), . . . ) es el conjunto de elementos generados por esta función que en este
caso podemos decir que es infinita; a nivel de notación nos referiremos a esta secuencia f de la
siguiente forma:
{x n }n 1
Donde Xn hace referencia al f(n) respectivo.
Definición: Una secuencia de la forma definida anteriormente converge a un límite I para cualquier
intervalo si y solo si existe un nI tal que para todo n>nI se tiene que Xn esta en I.
{x n }n 1  x
Entonces en la secuencias a trabajar se pide que estas eventualmente llegen a un punto de
convergencia, llamado limite de convergencia.
Por otro lado existen secuencias que no convergen totalmente; pero converge arbitrariamente a
diferentes valores.


Definición: Una subsecuencia de cierta secuencia {x n }n 1 es de la forma {x f ( m ) }m 1 donde
f :N N
Es una función tal que f(m) ≥ m.
Para entender esto más claramente se pude considerar la secuencia (1, 1 ,1/2, 1, 1/4, 1, 1/8,…),
donde se puede apreciar las dos convergencias tanto en 0 como en 1; a estos diferentes puntos de
convergencia en la subsecuencias se les llama cluster points.
Definición: Dado un subconjunto A se dice que un p elemento de R es un cluster point de A si
existe una secuencia de A que converge en p. Por lo tanto si esto sucede, este subconjunto A es
cerrado si contiene todos los cluster points de sus secuencia o abierto si el conjunto complemento
a A es cerrado.
Definición: Si se tiene A y B subconjuntos de R, y A subconjunto de B, se dice que A es denso en B
si A=B.
A continuación entonces pasamos a definir y entender el concepto de compacidad.
Definición: Un subconjunto A de R es compacto si toda secuencia {x n }n 1 en A tiene al menos un
cluster point en A.
Se puede afirmar entonces debido a la partición finita que se hace de R que cualquier conjunto
finito de R es compacto, pero R no lo es.
Pero es necesario entender la compacidad de subconjuntos infinitos de R. La siguiente
proposición ayudara entonces a entender y generalizar rápidamente este hecho.
Proposición: El intervalo [0, 1] es compacto.
La demostración se basa en demostrar la existencia de subsecuencias de una secuencia en el
intervalo tal que su límite esta en dicho intervalo.

Entonces sea {x n }n 0 una secuencia en el intervalo [0, 1].
Luego se construye una subsecuencia convergente dividiendo el intervalo en mitades
[0, 1]= [0, 1/2]U[1/2, 1]
De la misma manera podemos continuar haciendo particiones a través de la subsecuencias de la
siguiente manera
[0, 1/2]= [0, 1/4]U[1/4, 1/2]
Este proceso se puede seguir repitiendo infinitamente, y como para estas subsecuencias existen
un límite este claramente esta dentro de los intervalos descritos en la subsecuencia; en particular
pertenecen al intervalo [0, 1].
Este proceso se puede repetir entonces a cualquier intervalo cerrado [a, b], llegando a entender
que estos intervalos aunque infinitos son compactos.
Espacios Métricos
Definición: Un espacio métrico de una pareja (X, d), donde X es cualquier conjunto no vacio y d es
una función.
d:X X R
Con las siguientes propiedades:
a)
b)
c)
d)
d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X
d(x, y) = 0 si y solamente si x = y
d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X
Definición: Sea (X, d) sea un espacio métrico y sea {x n }n 0 una secuencia en X. Se dice entonces

que {x n }n 0 converge al límite p ∈ X
Por lo tanto usualmente se denota el espacio métrico (X, d) simplemente por X.
Recurrencia y Teoría de Ramsey
A continuación se darán las pautas básicas del estudio de sistemas dinámicos con la teoría de
Ramsey.
Definición: Un sistema dinámico es un par (X,T) donde X es un espacio métrico y T es una función
T:X X
Luego se puede tomar un punto x en X y ver como se mueve de acuerdo con la función T,
generando así su órbita tal como se muestra:
(x,T(x),T(T(x)),T(T(T(x))),…)
Luego si existe un punto x tal que se le apliqué la función T n veces y vuela al punto inicial, dicho
punto será llamado recurrente, esto se puede ver como el límite de una función.
Teorema: Sea (X,T) un sistema dinámico , y X un espacio métrico y T continua, Entonces el
conjunto de puntos recurrentes del sistema es no vacio.
Para la demostración del teorema de van der Wals, necesitamos definir lo siguiente:
Definición: Sea   a, d , c,... un alfabeto finito y considere el conjunto  , entonces el
conjunto X puede ser metrizado por definición como
 1
d ( x, x' ) : min 
: x(i)  x' (i)
k  1

para i  k 

Y no es difícil mostrar que X   , es una métrica.
Luego se puede mostrar que
Teorema: el conjunto X   con métrica
 1
d ( x, x' ) : min 
: x(i)  x' (i)
k  1

para i  k  es un espacio compacto.

Con todo esto ya se pueden demostrarlos siguientes teoremas:
Teorema (Birkhoff, Recurrencia múltiple): Sea X un espacio medio compacto y sea T1, T2,…, Tl
transformaciones continuas de X en X que conmutan, entonces existe un múltiple punto
recurrente para la transformación Ti, esto es un punto x que pertenece a X tal que existe un
sucesión n k k 1 en los naturales tal que

lim Ti nk ( x)  x
k 
para todo i  1,2,..., l
Bibliografía
Ferri, S. (s.f.). http://matematicas.uniandes.edu.co/~stferri. Recuperado el noviembre de 2011, de
http://matematicas.uniandes.edu.co/~stferri/recurrencefirstyearfinal.pdf
Ramsey, F. P. (1931). The foundation of mathematics and other logical essays. London: Routledge.
wikipedia. (s.f.). www.wikipedia.com. Recuperado el Noviembre de 2011, de
http://es.wikipedia.org/wiki/Frank_P._Ramsey#CITAREFMonk2002