Práctica 3. Modelo de Cass-Koopmans

Práctica 3. Modelo de Cass-Koopmans-Ramsey
Pregunta 1. Resuelva el equilibrio competitivo del modelo de Ramsey introduciendo
progreso tecnológico en términos de las variables expresadas en unidades eficientes.
Para ello, suponga ahora que la función de producción es del siguiente tipo:
Yt  F ( K t , At Lt ), donde At / At  g A y Lt / Lt  n , con rendimientos constantes a
escala en ambos inputs. Calcule también el estado estacionario en unidades eficiente y,
por último, estudie el efecto de un aumento en la tasa de crecimiento de la tecnología.
Pregunta 2. Suponga el siguiente modelo:
Problema de los consumidores:

Max  e  tU (ct )dt
ct 
0
sujeto a: (1   c )ct  at  (1   w ) wt   (1   a )rt  n  at  vt
a0 , dado
Problema de la empresa:
Max (1   f )  F ( Kt , Lt )  wt Lt   K t   rt Kt
Kt , Lt 
sujeto a : F ( Kt , Lt )  Kt L1t
Problema del gobierno: satisface su restricción presupuestaria en cada periodo:
En términos per-cápita: gt  vt   w wt   a rt at   c ct   f  kt  wt   kt 
Nótese que este problema puede resumirse en las siguientes tres ecuaciones:
ct 1
 (1   a )(1   f )  kt 1     (  n) 
ct 
c  k  (  n)k  g  k 
t
t
t
t
t
gt  vt  (1   ) w    a (1   f )   f   kt   a (1   f )   f   kt   c ct
a) Pruebe que si el gobierno fija que tanto el gasto público como las
transferencias son un porcentaje constante del output (es decir,
gt   g yt , vt  v yt ), el estado estacionario puede resumirse con las
siguientes ecuaciones:
1

 (1   a )(1   f )
 1
 (1   a )(1   f )
 1
*
k*  
 , y 
 ,
 n    (1   a )(1   f ) 
 n    (1   a )(1   f ) 
(1   a )(1   f )
c*
1

(

)
,




n
g
y*
n    (1   a )(1   f )
(1   a )(1   f )
g*
c*
ˆ









 v ,
g
c
y*
n    (1   a )(1   f )
y*
donde   (1   ) w    a (1   f )   f  , ˆ   a (1   f )   f .
b) Sean los siguientes valores paramétricos:
  0.36,   0.02,   0.1,   2, n  0.01,
 c  0.1,  a  0.3,  f  0.15,  w  0.2, v  0.05.
Calcule los valores de estado estacionario. ¿Qué porcentaje sobre el output
supone el gasto público?
c) Con los valores paramétricos anteriores, estudie la siguiente política fiscal:
“si el gobierno quiere incrementar el gasto en un punto porcentual, ¿qué
figura impositiva debería variar? ¿por qué?”
d) Con los valores paramétricos anteriores, estudie la siguiente política fiscal:
“si el gobierno quiere reducir 5 puntos el tipo impositivo sobre las rentas del
capital y mantener el mismo porcentaje de gasto sobre output obtenido en la
pregunta c), con qué figura impositiva debería compensar la pérdida de
ingresos? ¿por qué?”.
Pregunta 3. Demuestre que la tasa de ahorro en el modelo de Ramsey no será constante
en general fuera del estado estacionario.
Pista:
Pruebe primero que para el modelo de Ramsey visto en clase la tasa de
 (  n)
ahorro de estado estacionario es s* 
.
n   
c
Si definimos la tasa de ahorro como st  1  t  1  zt , podemos estudiar
yt
la dinámica de st a través de la dinámica de zt , simplemente teniendo en
cuenta que st   zt .
z c y c
k
Nótese que t  t  t  t   t 
zt ct yt ct
kt



c
 kt 1  (n     )     kt 1  t  (n   ) 
kt



1

1
 1 

  kt 1  zt  1     (n     )  s*   .

  


Por tanto, podemos analizar la dinámica de zt usando la ecuación anterior
k
c
junto con la de recursos: t  kt 1  t  (n   )  (1  zt )kt 1  (n   ).
kt
kt
Utilice un diagrama de fase en las variables zt y kt , para estudiar la dinámica
de zt a partir de las ecuaciones siguientes, teniendo en cuenta si s* 
s* 
1

, ó s* 
1

,:
 zt
 1 
 * 1
 1 
   kt  zt   1     ( n     )  s  

  

 zt


 kt  (1  z )k  1  (n   )
t
t
k
 t
1

,