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Team 3B. Problemas de Procesos Escolásticos
Problema 3.B.1
Sea X(t,s) un proceso aleatorio que verifica que:
fX(t1),X(t2),X(t3) (x1, x2,x3) = fX(t1+∆),X(t2+∆),X(t3+∆) (x1, x2,x3)
Para cualquier t1, t2, t3 y ∆.
Decir cuales de las siguientes propiedades son ciertas:
X(t,s) es:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Estacionario de primer orden
Estacionario de segundo orden
Estacionario de tercer orden
Estrictamente estacionario
Estacionario en el sentido amplio
No es estacionario
Problema 3.B.2
Sea X(t,s) un proceso aleatorio que representa un voltaje. X(t,s) tiene la siguiente función
de autocorrelacion estadística:
R X (t , t + τ ) = 36 + 25 exp(− t )
y su valor medio E(X(t,s))=6
Conociendo estas hipótesis decir cuales de las siguientes proposiciones son ciertas:
1)
2)
3)
4)
5)
X(t,s) es estacionario de primer orden
La potencia media del proceso es 61 W
X(t,s) es estacionario en el sentido amplio
X(t,s) tiene una componente periódica
Tiene una potencia dc de 36 W
Problema 3.B.3
Se define un proceso aleatorio del siguiente modo:
X(t,s)=A(s)cos(πt)
En donde A(s) es una variable aleatorio gausiana de media cero y varianza σ2
1) Como esta caracterizado el procesp X(t,s) de manera: analitica o estadistica
2) Hallar las funciones de densidad de probabilidad de X(0,s) y X(1,s)
3) ¿Es X(t,s) estacionario en algún sentido?
Problema 3.B.4
Dado dos procesos aleatorios X(t,s) e Y(t,s). Calcular las expresiones de la función de
autocorrelacion (estadística) de W(t,s)=X(t,s)+Y(t,s) cuando:
1) X e Y no son incorrelados
2) X e Y son incorrelados
3) X e Y son incorrelados y tienen media cero
Problema 3.B.5
Muchos sistemas de comunicaciones utilizan subsistemas cuya función de transferencia
es simplemente una función cuadrática, Esto es, su salida es el cuadrado de su entrada. A
estos cuadripolos se les denomina detectores cuadraticos.
Demostrar que si la entrada a un detector cuadratico es un proceso aleatorio estacionario
de primer orden su salida es también un proceso estacionario de primer orden.
¿Se verifica esta propiedad para cualquier orden de estacionaridad?
Problema 3.B.6
Muchos sistemas de comunicaciones utilizan subsistemas cuya función de transferencia
es simplemente una función cuadrática, Esto es, su salida es el cuadrado de su entrada. A
estos cuadripolos se les denomina detectores cuadraticos.
Supongamos que la entrada a un detector cuadratico es el proceso X(t,s)cos(w0 t+ϑ(s)),
en donde X(t,s) es estacionario de segundo orden, w0 es una constante, y ϑ(s) es una
variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (0, 2π] e independiente de X.
Sea W(t,s) el proceso aleatorio a la salida del detector. Calcular:
1) El valor esperado de W
2) Rw(t,t+τ)
3) ¿Es el proceso W estacionario en el sentido amplio?