Proyecto No.1 - Departamento de Matemática

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Proyecto No.1
Matemática Básica 1
Fecha de entrega: Miércoles 2 abril de 2014
Introducción:
Este proyecto tiene como objetivo familiarizar al estudiante del curso Matemática básica 1 con el uso de un
sistema algebraico por computadora en la solución de problemas algebraicos. Entre los programas que pueden
ser utilizados para éste propósito están: ScientificNotebbok, Mathematica, Geogebra. El estudiante puede
utilizar el programa que considere conveniente, aunque se recomienda que utilice Mathematicao alguno de los
programas referidos.
Las actividades que el estudiante debe desarrollar en este proyecto se presentan en 4 problemas. En los tres
primeros de ellos se aborda la solución de ecuaciones utilizando métodos gráficos y métodos
computacionales. En el cuarto problema el estudiante debe utilizar sus conocimientos de precálculo así
como la tecnología para resolver un problema aplicado a Modelado y la aplicación de la función cuadrática
a maximización.
Este proyecto está diseñado para grupos de estudiantes de un máximo de 3 miembros que pertenecen a
secciones que no pueden llevar taller en fechas regulares, quienes deben de hacer un máximo de 10 puntos
en 2 proyectos de grupo.
Problema No. 1:
Resuelva la ecuación o la desigualdad usando un método gráfico, mediante computadora
1.
−4 =2 +7
2. √ + 4 =
−5
3. 4 − 3 ≥
4.
−4 −5 >2
5. | − 5| < 8
Problema No. 2:
Utilice una computadora para graficar la ecuación dada, en un rectángulo de visualización
adecuado.
1.
=
2.
3.
= √5 −
=
−4
4.
+
=1
5.
=|
− 4 − 7|
−6
−5
1
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Problema No. 3:
Para los siguientes problemas, usando un SAC grafique ambas ecuaciones en un mismo plano
cartesiano, encuentre la solución de la ecuación que surge al igualar ambas ecuaciones y
verifique la solución. Observe la gráfica y compare los resultados de ambos métodos.
1.
=
+2 +1
y
=2 +5
2.
=
−4 +3
y
= −2
3.
=
−1
4.
=4−
5.
=
y
−1
=
y
= 2 cos
+2 +3
−2
= tan
y
"
− ≤
en
≤
"
Problema 4:
Modelado de funciones
Se tiene un alambre de 100 centímetros de largo. Este alambre será cortado en dos partes, con la primera de
ellas, de longitud x se construirá un triángulo equilátero. Con la segunda parte, de longitud 100 − x , se
construirá un cuadrado. El objetivo del problema consiste en encontrar el punto en donde debe cortarse el
alambre de tal forma que el área combinada de las dos figuras geométricas, llamada A( x ) , sea máxima.
3.1 Esta primera parte del problema es experimental. Utilizando un alambre de amarre de 100 centímetros de
largo, realice cortes de longitud x, como se indica en la tabla. Con el primer segmento construya un
triángulo equilátero y con el segundo segmento construya un cuadrado. Mida el lado y la altura del
triángulo y calcule el área del triángulo A1 ( x ) . Mida el lado del cuadrado y calcule el área del cuadrado
A2 ( x ) . Calcule la suma de áreas A( x ) = A1 ( x ) + A2 ( x ) . Realice el procedimiento descrito
anteriormente para cada valor de x y complete la tabla siguiente.
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A1 ( x )
A2 ( x )
A( x )
3.2 Con los datos de la tabla, dibuje la representación gráfica de la función A( x ) . Use la gráfica para estimar el
x para de tal forma que A( x ) sea mínima.
3.3 Calcule las dimensiones del cuadrado y del triángulo en donde el área es mínima.
3.4 ¿Cómo se debe cortar la cuerda para que el área combinada sea máxima?
2
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
3.5 Ahora debe resolver el problema en forma analítica, para ello exprese el área del cuadrado y el área del
triángulo como función de x.Sume las áreas del cuadrado y del rectángulo para obtener la función A( x ) .
¿Qué tipo de función ha obtenido?
3.6 Como la función del inciso anterior es cuadrática, encuentre las coordenadas del vértice.
3.8 Determine ahora las dimensiones exactas del cuadrado y del rectángulo para que el área combinada de las
dos figuras sea mínima.Compare los resultados obtenidos experimentalmente con los resultados exactos y
escriba un comentario sobre sus observaciones.
Referencias
[1] Edwards y Penney. Cálculo Con Geometría Analítica. Séptima edición, Pearson-Prentice Hall.
[2] Castillo Miguel. Instructivo para el Taller de Matemática Básica 1. Segunda edición, Editorial Estudiantil Fenix.
[3] Stewart J. Redlin L. Watson S. Precálculo. Quinta. edición. Thomson editores.
[4] Saquimux J. Geometría de Precálculo.
3