magnetostatica

MAGNETOSTATICA
(1.2)
Los fenómenos magnéticos, fueron probablemente conocidos con antelación a los eléctricos.
Desde muy antiguo se conocieron materiales como la magnetita, capaces de atraer pequeños
trozos de hierro y que una aguja de hierro luego de estar en contacto uno de estos materiales tendía
a orientarse en la dirección norte-sur (en realidad, que señalaba la dirección de la Estrella Polar,
que es muy próxima al polo norte celeste). Antiguos navegantes usaban como primitivas brújulas
agujas imantadas adheridas a materiales de baja densidad flotando en agua o aceite.
La electrostática estudia las configuraciones de cargas en reposo. Los fenómenos magnéticos no se
ponen de manifiesto como veremos sobre cargas en reposo y el término magnetostática se refiere a
que los campos, o sus flujos sean constantes. Además como también veremos no existen cargas
magnéticas, siendo el magnetismo esencialmente dipolar.
Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.
Si sobre un cuerpo cargado aparece una fuerza por el hecho de moverse en un sistema inercial, o
sea, además de las fuerzas que puedan afectarlo en reposo o cuando no tiene carga, se dice que hay
un campo magnético de inducción B .
A la fuerza actuante se la llama comúnmente fuerza de Lorentz y está dada por
F = q.v ∧ B
(M.1)
donde F es la fuerza actuante sobre la carga q , que se mueve con velocidad v donde hay un campo
magnético de inducción B .
La inducción magnética B se mide en Teslas en el Sistema Internacional y el SIMELA.
[ B] =
Weber
= Tesla
m2
de modo que el flujo de la inducción magnética se medirá en Webers.
Como se ve en la ecuación (M.1) la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad (y a la
inducción magnética) por lo que tiende a variar la dirección de la misma sin variar su módulo.
Fuerzas sobre una carga en movimiento.
La fuerza total actuante sobre una carga en movimiento en una zona donde existen un campo
eléctrico, y un campo magnético serán
F = q.E + q.v ∧ B + FG
(M.2)
donde en el segundo miembro, el primer término es la fuerza eléctrica, el segundo la fuerza
magnética y el tercero la combinación de todas las fuerzas de origen no electromagnético. Las
fuerzas de origen no electromagnético, como la gravitatoria, son en general mucho menores y
pueden despreciarse.
Relación carga/masa (q/m).
A fines del siglo IX y principios del XX la incipiente investigación sobre física atómica encontraba
como una de sus mayores dificultades la imposibilidad de medir masas y cargas del orden de las
involucradas en el universo atómico y subatómico. La ecuación (M.2) fue de gran ayuda al permitir
1
como un primer paso la determinación de la relación carga a masa de partículas, llamada
concisamente relación q/m.
Consideremos una carga q en un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí
E
Fe=q.E
v
v
B
Fm=q.v.B
Vemos que si el campo eléctrico, el campo magnético y la velocidad de una partícula de carga
positiva son perpendiculares entre sí formando terna directa las direcciones de la fuerza eléctrica y
de la fuerza magnética o de Lorentz son opuestas.
Estudiemos el siguiente diagrama
imanes
a
b
ev
E
B
placas deflectoras
-V+
Los cilindros a y b son mantenidos a una diferencia de potencial que acelera un haz de electrones
que pueden provenir de una fuente radiactiva (que emita radiación β, que son electrones) o de un
filamento incandescente colocado frente al primero de los cilindros. Por el proceso llamado de
emisión termoiónica, un metal incandescente, típicamente se usa tungsteno que soporta
temperaturas muy altas o alguna de sus aleaciones, se rodea de una nube de electrones con muy baja
energía cinética. Entre los electrodos cilíndricos, los electrones pierden energía potencial
electrostática adquiriendo a cambio una energía cinética equivalente
1
.m.v 2 = eV
.
2
(M.3)
Este dispositivo recibe el nombre de cañón electrónico y tiene muchísimas aplicaciones técnicas.
Al alcanzar el espacio entre las placas deflectoras y los imanes, que pueden ser permanentes o
electroimanes, los electrones están sometidos, como ya hemos visto a fuerzas eléctricas y
magnéticas que se oponen mutuamente. La ecuación
q.E = − q.v ∧ B
(M.4)
sólo se cumple para una única velocidad de los electrones y este juego de campo eléctrico y
magnético cruzados se llama filtro de velocidades, ya que los electrones que tengan una velocidad
diferente serán eliminados del haz en una u otra dirección: los de mayor velocidad en la dirección
de la fuerza de Lorentz y los de menor velocidad en la dirección de la fuerza eléctrica.
2
Este dispositivo fue utilizado también por J.J.Thomson para determinar la relación e/m, ya que de
(M.3) y (M.4) se deduce que
v2 =
2.eV
.
m
e.E = e.B.v ⇒ e2 .E 2 = e 2 .B 2 .v 2 = e 2 .B 2 .
2.eV
.
m
(M.5)
e
E2
=
m 2.V .B 2
Este método se utiliza aún con algunas variantes para medir la relación q/m de partículas cargadas.
Por ejemplo otra manera de determinar e/m es hacer entrar el haz de electrones, con velocidad
filtrada en un campo magnético uniforme. La fuerza de Lorentz siempre perpendicular a la
velocidad y por lo tanto a la trayectoria de la partícula hará que ésta describa una circunferencia
e.v.B = ac =
m.v 2 2.eV
.
=
r
r
2.eV
.
m
2
e
v2
2.eV
.
=
=
m 2 r 2 .B 2 m.r 2 .B 2
e
2.V
= 2 2
m r .B
v2 =
(M.6)
y conociendo la tensión aceleradora, el radio de la trayectoria circular y el campo magnético, se
determina la relación e/m.
Este método fue uno de los primeros utilizados, junto con el de J.J.Thomson para medir e/m
haciendo el experimento dentro de una ampolla con una pequeña presión de gas hidrógeno. El haz
de electrones produce una tenue fluorescencia azul-celeste que permite medir el radio de la
trayectoria electrónica.
El mismo principio se utiliza en el espectrómetro de masas, según el siguiente diagrama
+++++++++++B
+++++++++++
+++++++++++
+ ++++++++++
r
v
Las partículas (supuestas aquí de carga positiva) entran con velocidad filtrada en una zona de
campo magnético uniforme y perpendicular a la misma y describen una semicircunferencia que en
los diseños antiguos hacía impactar las partículas sobre una placa fotográfica apoyada sobre un
material fluorescente, utilizándose hoy detectores electrónicos. Este instrumento permitió las
primeras investigaciones sobre los isótopos, que son átomos de un mismo elemento, químicamente
indistinguibles, con distinta masa nuclear.
3
Luego de la determinación por Millikan de la masa del electrón, estos instrumentos pudieron
utilizarse para determinar masas de iones y partículas subatómicas.
Tubo de rayos catódicos.
Una de las aplicaciones técnicas más importantes de lo que estamos estudiando es el tubo de rayos
catódicos, que consiste en un cañón electrónico que dispara un haz de electrones sobre una pantalla
fluorescente. El punto donde el haz hace contacto con la pantalla es controlado por dos juegos de
placas deflectoras, que convierten la pantalla en sistema de registro x-y; esto es en esencia un
osciloscopio, un instrumento de amplia utilidad y aplicación en la ciencia y la técnica. Algunos
aditamentos más sofisticados lo hacen aplicable a los tubos de televisión, los modernos sistemas
radiológicos, el visor de los ecógrafos, tomógrafos, equipos de resonancia magnética para
diagnóstico, etc.`
Campo creado por una corriente eléctrica. Ley de Biot y Savart.
Los científicos franceses Jean Baptiste Biot y Felix Savart lograron relacionar los campos
magnéticos con las corrientes que los producían a través de la ley que luego pasó a llevar sus
nombres.
Un elemento de corriente genera un campo magnético cuya inducción está dada por
(r − r , )
µ0
r − r , ) µ0
(
dl
dB =
.i.
∧
=
.i.dl ∧
(M.7)
, 3
4.π r − r , 2
4.π
r − r,
r −r
donde i es la intensidad de corriente, dl es el diferencial de curva que la transporta, ubicado por el
, vector posición r , y r el vector posición del punto donde calculamos la inducción magnética.
µ0 es la permeabilidad magnética del vacío, y vale
µ0 = 4.π .10−7
Weber
A.m
(M.8)
Obsérvese que mientras que la Ley de Coulomb es plana, aquí la inducción magnética resulta
perpendicular al plano definido por r, r’ y dl. Si la curva del dibujo y el punto de interés están en el
plano de la hoja el vector inducción magnética penetra perpendicularmente en la misma. El
elemento de corriente, el vector posición relativo del elemento de corriente al punto de cálculo y la
inducción magnética producida forman terna directa.
i
r-r’
⊕B
dl
r
r’
4
También puede usarse la regla de la mano derecha: si se toma el elemento de corriente con el dedo
pulgar en la dirección de la corriente (recordar que convencionalmente es el movimiento de las
cargas positivas), los demás dedos indican la dirección de las líneas de campo, usando la misma
descripción que para el campo eléctrico.
Campo creado por una carga en movimiento.
Una carga en movimiento crea un campo magnético en su entorno. La descripción de este efecto es
relativamente simple a partir de la ley de Biot y Savart. Considerando que se puede relacionar
dq dl
I .dl = .dl = dq. = dq.v
dt
dt
(M.9)
vemos que si llevamos a dq a ser una única carga puntual nos queda
µ0
r − r , ) µ0 ( r − r , )
(
q.v
∧
=
B=
.
.q.v ∧
3
4.π r − r , 2
4.π
r − r,
r − r,
(M.10)
Ley de Ampère.
“La circulación de la inducción magnética a lo largo de una curva cerrada es igual a la
intensidad de corriente abrazada por la curva multiplicada por µ0”.
n
∫ B.dl = µ0 .∑ Ii
(M.11)
i =1
Γ
dl
Γ
I1
Ii
In
Esta ley es en cierto modo equivalente al la Ley o Teorema de Gauss de la electrostática. De la
misma manera, si conocemos a priori la simetría de una configuración podemos valernos de la Ley
de Ampère para calcular campos magnéticos.
Teorema de Ampère.
El enunciado del punto anterior y la ecuación (M.11) pueden ser probados en forma de teorema a
partir de la Ley de Biot-Savart. Como veremos al fin de este curso, la ley de Ampère con alguna
modificación se transforma en una de las ecuaciones de Maxwell, que no incluyen a la Ley de Biot
y Savart.
5
Consideremos una corriente perpendicular al plano de la página en su intersección con ella en dos
posiciones alternativas dentro y fuera del circuito de integración que se muestra en el dibujo.
B
r
I1
dl
θ1
r
θ2
I2
B.dl = Bdl cos φ
dl cos φ = rdθ
(M.12)
integrando para I en la posición I1, en que la corriente atraviesa el circuito de integración, resulta
µ0 I
B
∫ .dl = 2π
rdθ µ I
∫ r = 2π0
µ0 I 2π
∫ dθ = 2π ∫0 dθ = µ0 I
(M.13)
mientras que la integral para la posición I2, donde la corriente no atraviesa el circuito, resulta
µ0 I
B
∫ .dl = 2π
rdθ µ I
∫ r = 2π0
θ2
θ1

µ0 I 
d
d
d
=
−
θ
θ
θ

∫
∫θ  = 0
2π  θ∫

1
(M.14)
2
Obsérvese la simetría con la prueba del teorema de Gauss (Que como Ley de Gauss, generalizada,
también es una de las ecuaciones de Maxwell, no siéndolo la Ley de Coulomb).
Campo magnético generado por una larga corriente recta.
Dado un largo hilo conductor (que pueda suponerse de longitud infinita), la ley de Biot y Savart nos
asegura que el problema tendrá simetría de revolución alrededor del mismo. Si hacemos coincidir la
línea de corriente con el eje z, usando coordenadas cilíndricas del modo ya usual para nosotros,
vemos que en cada punto del plano del dibujo B tendrá la dirección de φ, hacia adentro de la hoja
del lado derecho del cable y hacia afuera del izquierdo.
El elemento de corriente I.dz produce en el punto ubicado por el vector posición r un campo
magnético de inducción
µ 0 dz ∧ r
dB =
.I . 3
(M.15)
4.π
r
pero vemos que:
6
z
ρ
= tg (θ )
α=
r=
π
2
+ θ ⇒ sen(α ) = − cos(θ )
ρ
cos(θ )
z
I;dz
α
θ
r
ρ
dl
de donde
ρ
dBφ =
Bφ =
finalmente resulta
µ 0 .I cos 2 (θ )
.[− cos(θ )].dθ
ρ2
4.π
cos 2 (θ )
µ 0 .I
4.π .ρ
(M.16)
π
2
∫ − cos(θ ).dθ
−π
2
µ I B = 0 eφ
2πρ
(M.17)
Al tratarse de una línea de corriente recta e infinita, la simetría cilíndrica del problema es conocida
“a priori”, de modo que tomando una circunferencia perpendicular a la línea y centrada en la
misma, podemos escribir en base al teorema de Ampère
2πρ Bφ = µ 0 I
Bφ =
µ0 I
2πρ
con lo que obtenemos el mismo resultado expresado en (M.17).
Fuerza entre corrientes paralelas.
Supongamos dos largas líneas paralelas que transportan corriente, separadas una distancia d.
7
(M.18)
La corriente I1 produce un campo magnético de inducción B donde está la corriente I2, según lo
recién calculado igual a
µ I
B = 0
(M.19)
2π d
I1
I2
B
F1 F2
d
dl
B
por lo que actuará una fuerza sobre la línea de corriente que transporta I2. La fuerza sobre un
elemento dl será
F = nqAv ∧ B = Idl ∧ B
(M.20)
al ser paralelas las líneas de corriente, B será perpendicular al plano que definen y la fuerza F estará
sobre él y a lo largo del segmento de recta perpendicular a las líneas y que las une . La fuerza por
unidad de longitud, será en módulo entonces
µ II
F = 0 1 2
(M.21)
2π d
Actualmente la ecuación (M.21) es la que define la unidad de intensidad de corriente, el ampère:
“UN AMPERE es la corriente constante que recorriendo dos conductores
infinitos y paralelos ubicados a un metro de distancia produce sobre cada uno de
ellos una fuerza de 2 x 10-7 Newtons por metro de longitud (2 x 10-7 N/m)”.
Nótese además que corrientes paralelas de igual signo se atraen y corrientes
paralelas de signo opuesto se repelen.
Campo magnético creado por una espira circular sobre su eje.
θ
B
r
z
Idl
a
8
Cada elemento dl de la espira, de radio a, produce una contribución al campo magnético dada según
la ley de Biot y Savart por
µ0 I
4π
µI
dBρ = 0
4π
dBz =
µ0 I dl ∧ r
dB =
. 3
4π
r
dl
µ0 I
dl
a
µ0 I
a.dl
cos(
)
θ
=
=
(z2 + a2 )
4π ( z 2 + a 2 ) ( z 2 + a 2 )1/ 2 4π ( z 2 + a 2 )3 / 2
dl
µI
dl
z
µI
z.dl
sen(θ ) = 0
= 0
2
2
2
2
2
2 1/ 2
2
(z + a )
4π ( z + a ) ( z + a )
4π ( z + a 2 )3 / 2
dBφ = 0
(M.22)
(M.23)
(M.24)
(M.25)
Nótese que el problema planteado tiene simetría cilíndrica alrededor del eje z. La ecuación (M.22) no
da en ningún caso componente en la dirección de φ y para cada elemento de corriente que
contribuye a (M.24), en la dirección de ρ, existe uno opuesto que lo cancela. En consecuencia sólo
tendremos campo en la dirección de z.
µI
2π a 2
µ0 I
a2
B= 0
e
=
e
2
2 3/ 2 z
2
2 3/ 2 z
4π ( z + a )
2 (z + a )
(M.26)
resultado obtenible integrando directamente la ecuación (M.27).
Sobre el centro de la espira z=0 y, en consecuencia
µI
B = 0 ez
2a
(M.28)
En la práctica normalmente se utilizan múltiples espiras casi coplanares y entonces será
µ NI
a2
B= 0
e
z
2 ( z 2 + a 2 )3 / 2
(M.29)
µ NI B = 0 ez
2a
(M.30)
sobre el eje de las espiras y
en el centro de la bobina siendo N el número de vueltas del arrollamiento.
NOTA IMPORTANTE: todos los cálculos anteriores están hechos sobre el EJE de la espira.
Momento magnético de una espira.
Llamamos momento magnético de una espira plana al producto de la corriente que circula por ella
por su área, orientado según la regla de la mano derecha. Poniendo los demás dedos de la mano en
el sentido de la corriente el pulgar indica la dirección del momento magnético (y la del campo que
produce)
µ = IANn
(M.31)
donde n es el versor normal al área encerrada por la espira, coincidente con el resultado de la
aplicación de la regla de la mano derecha.
La ecuación (M.29) puede escribirse entonces como
9
µ0 µ
a2
B=
e
2
2 3/ 2 z
2π ( z + a )
(M.32)
El ciclotrón.
El ciclotrón fue uno de los primeros aceleradores de partículas que se diseñaron siendo un
instrumento por demás ingenioso. Consta de una cavidad cilíndrica dividida en dos por una junta
aisladora o bien colocada dentro de otro recipiente a fines de poder hacer funcionar el dispositivo en
vacío.
Como se muestra en el diagrama, estos semicilindros se colocan en un campo magnético
perpendicular a sus caras extremas y cada mitad del cilindro (llamadas Ds por su geometría) está
conectada a un oscilador que produce una corriente alterna (trabajaremos con ellas mas adelante)
que puede describirse por V = V0 sen( wt ) . En el punto S se coloca una fuente de iones, como ser
una fuente radiactiva que emita partículas alfa (He++) o un generador de iones compuesto, por
ejemplo por un sistema ionizador por alta tensión y un acelerador electrostático. Los iones entran en
la primer D que se encuentra a un potencial tal que los acelera; describen en el campo magnético un
semicírculo y llegan al límite entre las dos Ds, que han cambiado para ese momento de polaridad
relativa. Como veremos el sistema se auto-sincroniza y los iones vuelven a acelerarse y describen
otro semicírculo de mayor radio, alcanzando nuevamente el límite entre las Ds y volviendo a
acelerarse porque éstas volvieron a cambiar de polaridad.
B
10
Finalmente, alcanzada la mayor energía que el instrumento permite, los iones son desviados a, o
recibidos por, un canal que los envía a su destino, normalmente a chocar con algún blanco para
fines de investigación o, actualmente también para tratamientos médicos.
Veamos algunos cálculos: la fuerza de Lorentz sobre los iones moviéndose en un campo magnético
perpendicular a su velocidad aporta la fuerza centrípeta para que éstos describan un arco de
circunferencia
mv 2
qvB =
= mω 2 r
r
donde ω = 2π f es la frecuencia angular o pulsación del oscilador y f la frecuencia.
La máxima energía cinética a alcanzar por los iones será
1
Ec = mω 2 r 2
2
y dependerá, como se ve de la frecuencia del oscilador, el radio útil del instrumento y la masa del
partícula acelerada.
Este instrumento no resultó eficiente con electrones, ya que éstos tienen una masa tan pequeña
(9,1 x 10-31kg), que se aceleran demasiado alcanzando velocidades relativistas, con lo cual la masa
varía y los electrones se desincronizan en el haz. La corrección de esta desincronización dio lugar al
sincrociclotrón.
Efecto Hall.
El efecto Hall es el único efecto físico que permite determinar el signo de las cargas que producen
una corriente. Consiste en hacer pasar una corriente por una placa conductora colocada en un campo
magnético uniforme de inducción B.
Como se esquematiza en el dibujo una carga positiva con velocidad v sufre una fuerza de Lorentz
hacia arriba, que provocará un exceso de cargas sobre la cara superior de la placa hasta que éstas
produzcan un campo eléctrico que la neutralice. Entre la cara superior entonces más positiva y la
inferior en consecuencia más negativa aparecerá una diferencia de potencial V = E.d .
Si en cambio las cargas son negativas, éstas se moverán en sentido contrario a la corriente
convencional, o sea con velocidad –v, y serán desviadas en el mismo sentido que las cargas
positivas.
FL
B
h
+V
-V
+ + + + + + + + + + + + + +
d
v ++ ++ +
+ + + q+ + + + + + v+
q>0 q<0
+ + + + + + + + + + + + + +
-V
11
+V
Como consecuencia, en este caso se acumularan cargas negativas en la cara superior de la placa
provocándose un campo y una diferencia de potencial entre caras de la misma de signo opuesto al
caso anterior.
A la relación
VH
I
RH =
(M.33)
se le llama resistencia Hall y a VH, tensión Hall.
Es importante notar que la tensión Hall se mide perpendicularmente a la corriente y no en la misma
dirección como en la Ley de Ohm.
La ecuación (M.33) puede reescribirse en base a la descripción microscópica de la corriente ya vista
como
RH =
VH
Ed
vBd
B
=
=
=
I
dhJ dhnqv hnq
(M.34)
donde vemos que RH es mayor cuanto menor sea el espesor h de la placa en la dirección de la
inducción magnética y cuanto menor sea la densidad de carga móvil n por unidad de volumen.
Aplicaciones: el efecto Hall se utiliza normalmente en dispositivos semiconductores para medir
campos magnéticos, para lo que se fabrican láminas muy finas y con baja densidad de portadores de
carga. Los semiconductores muy puros se llaman intrínsecos y son dieléctricos (ej. Si y Ge); se los
transforma en semiconductores agregándoles algunas partes por millón (ppm) de impurezas que les
aportan portadores de carga +e ó –e. Si el campo magnético se mide por otros medios (algunos de
los cuales veremos) el efecto Hall se utiliza para determinar la densidad y signo de los portadores de
carga, lo que como acabamos de ver es sencillo, si tenemos un único tipo de portador.
Espira circulada por corriente en un campo magnético.
Si tenemos una espira rectangular por la que circula corriente en un campo magnético uniforme,
aparecerán fuerzas sobre la misma:
B
B
n θ 2
F
1
F
θ
3
a
θ
4
I
F
F
l
sobre los lados 2 y 4 tendremos, ya que el campo magnético es uniforme, fuerzas de igual módulo
F = IlB
y sentido opuesto, que generarán un momento o torque de valor
τ = ilBasenθ
que puede escribirse, recordando la definición de momento magnético como
12
τ =µ∧B
(M.35)
Nótese que las fuerzas generadas sobre cada elemento de los lados 1 y 3de la espira se cancelan con
una del lado opuesto sin generar momento alguno. Es simple aunque algo laborioso demostrar que
(M.35) es independiente de la forma de la espira.
Si una espira está en un campo magnético uniforme, no hay fuerza neta sobre la misma pero sí un
momento.
Si el campo magnético no es uniforme aparecerá una fuerza neta sobre la espira además de un
momento.
Energía de una espira circulada por corriente en un campo magnético.
Habiendo un momento sobre una espira en un campo magnético uniforme, será necesario realizar
un trabajo para variar su orientación relativa dado por
θ2
θ
2
Wµ = ∫ τ .dθ = ∫ τ .dθ =µ B(cos θ1 − cos θ 2 )
θ1
Wµ = µ .B
(M.36)
θ1
tomando como valor de referencia
Wµ (θ =
π
2
)=0
(M.37)
Campo magnético generado por un solenoide.
Se llama solenoide a un arrollamiento regular sobre un volumen cilíndrico. Cuando circula corriente
por el arrollamiento se produce un campo magnético muy uniforme en su interior, a lo largo del eje y
muy bajo en el exterior. Esto es tanto mas cierto cuanto menor sea el área transversal del solenoide y
mayor su longitud.
Si el solenoide tiene N espiras recorridas por una intensidad de corriente I y suponemos que es muy
largo y de poca sección, al tomar como se indida en la figura un circuito de integración para aplicar el
teorema de Ampère sólo tendremos contribución magnética dentro del solenoide y
lB = µ0 NI
B=
µ0 NI
(M.38)
l
Campo magnético generado por un toroide.
Al no ser un solenoide infinito ni de área transversal despreciable habrá efectos de borde en sus
extremos. Por lo tanto una buena manera de eliminar estos efectos de borde es eliminar los extremos,
lo que da lugar al toroide. El toroide es un arrollamiento regular sobre un volumen anular
13
Si R es el radio medio del toroide el teorema de Ampère predice ahora que
2π RB = µ 0 NI
B=
µ0 NI
2π R
(M.39)
sin efectos de borde por razones geométricas. Como veremos el toroide tiene muchas aplicaciones
justamente por no producir campos indeseados en su exterior.
Teorema de Gauss para el campo magnético.
“El flujo de la inducción magnética B a través de una superficie cerrada es siempre nulo”
La demostración de que esto es verdad es laboriosa pero muy instructiva. La ley de Biot-Savart nos
dice que la inducción magnética es el resultado de las corrientes existentes en el universo.
Trabajaremos con una corriente elemental y el principio de superposición transformará en generales
nuestras conclusiones. Como hemos visto, en su forma elemental la ley de Biot y Savart es
µ0 I r
B=
dl ∧ 3
4π
r
(M.40)
donde Idl es un elemento diferencial de corriente, colocado por comodidad en el orígen de
coordenadas. Como ya hemos visto la ecuación (M.40) puede escribirse como
µI 1
B = 0 dl ∧ ∇
4π
r
(M.41)
Si calculamos la divergencia de la inducción magnética, tenemos
µ I  1
∇.B = 0 ∇. dl ∧ ∇ 
4π 
r
(M.42)
y usando la identidad (A.12) del apéndice A
µI
∇.B = 0
4π
(
)
 1 
 1 ∇
.
∇
∧
dl
−
dl
. ∇ ∧ ∇   = 0
 r
r 


(M.43)
ya que dl es en este caso constante, como fuente del campo y el segundo término dentro del
corchete se anula pues el rotor de un gradiente es siempre cero. Recordar que un campo de
gradientes es conservativo y por lo tanto irrotacional (su rotor es nulo). La ecuación
∇.B = 0
(M.44)
es la expresión diferencial del llamado Teorema de Gauss Magnético. Si recurrimos ahora al
Teorema de la divergencia tenemos
(
∇
.
B
)
dv
=
0
=
B
∫∫∫
∫∫ .ndS
v
S
14
(M.45)
donde S es la superficie cerrada que limita el volumen v. La ecuación (M.45) es la expresión integral
del Teorema de Gauss Magnético.
Analicemos geométricamente la ecuación (M.45). La ley de Biot y Savart nos da en todos los casos
la inducción magnética, y vemos que dada una corriente elemental, este campo vectorial tiene
simetría de revolución alrededor de la misma siendo las líneas de campo cerradas.
B
Idl
Como se recordará en cambio el campo eléctrico y el desplazamiento nacen en cargas positivas y
mueren en cargas negativas. Es inmediato entonces que el flujo de la inducción magnética B será
nulo a través de cualquier superficie cerrada, porque sus líneas de campo son cerradas. Se dice en
estos casos que el campo no tiene fuentes ni sumideros. En cambio el campo eléctrico E y el
desplazamiento D, sí tienen fuentes y sumideros. Estos nombres se deben a que esta misma
descripción geométrica es válida para la mecánica de fluidos, de donde el electromagnetismo los
hereda.
Si tenemos fuentes, lo que significa para E y D cargas positivas :
∇.D > 0; D
∫∫ .ndS > 0
S
∇.E > 0; ∫∫ E.ndS > 0
(M.46)
S
Si tenemos sumideros, lo que significa para E y D cargas negativas :
∇.D < 0; ∫∫ D.ndS < 0
S
∇.E < 0; ∫∫ E.ndS < 0
(M.47)
S
Recordemos también que la divergencia y el flujo del campo eléctrico involucran todas las cargas
en tanto que para el vector desplazamiento sólo contribuyen las cargas libres.
Para la inducción magnética entonces, que no tiene fuentes ni sumideros es siempre
∇.B = 0; B
(M.48)
∫∫ .ndS = 0
S
Propiedades diferenciales e integrales.
Como veremos más adelante, cuando veamos las ecuaciones de Maxwell, (las ecuaciones (M.44) ó
(M.45) son una de ellas en su versión diferencia e integral respectivamente) un análisis similar
puede hacerse con el campo eléctrico resultando que la expresión diferencial del Teorema de Gauss
Eléctrico es
∇.D = ρ
15
(M.49)
Las propiedades diferenciales son funciones puntuales y permiten hacer mas fácilmente muchos
cálculos teóricos pues se puede trabajar independientemente de las condiciones de borde, cuidando
simplemente de no tropezar con puntos singulares.
No debe olvidarse, sin embargo, que experimentalmente sólo pueden medirse propiedades en
forma integral por pequeñas que sean nuestras muestras y pequeños que sean nuestros
instrumentos.
Bobinas de Helmholtz.
Consideremos ahora el caso de dos bobinas planas bobinadas para producir campo en el mismo
sentido , circulares de radio a, de poco espesor, colocadas en forma concéntrica y paralela a una
distancia a, o sea a un radio de distancia..Esta configuración es ampliamente utilizada pues
produce un campo magnético muy uniforme en su zona central.
a
a
La componente Bz de la inducción magnética sobre el eje de las bobinas será





2 
µ0 NIa 
1
1

Bz =
+

3
3 
2 
2
2

 2 
2 
a
a
2
2
  z −  + a 
z
+
+
a

 

2
2


 


 
(M.50)
El factor entre corchetes, desarrollado en serie hasta el grado 6 vale
16 .
5
( 25. a )
2304 .
4
5 .z
5
3125. a
6
O z
o sea, es independiente de z hasta el grado 3. La primera y segunda derivadas en z son nulas,
indicando una gran uniformidad axial de la inducción magnética.
Las otras componentes de B, no las hemos calculado pero ya hemos discutido que el problema tiene
simetría azimutal, de revolución o cilíndrica, o sea que Bφ es constante si z y ρ lo son. La
componente Bρ de la inducción se puede evaluar debido a que la divergencia de la inducción
magnética es nula, usando al ecuación (B.5) del apéndice B. Pero usaremos un truco simple y
gráfico
x
z
16
Veamos el problema en proyección sobre el plano xz. En esta proyección la coordenada x cumple
en coordenadas cartesianas la misma función que la coordenada ρ cumple en coordenadas
cilíndricas y valdrá que
∂Bz ∂Bx
∂B ∂B
+
=0⇒ z + ρ
∂z
∂x
∂z
∂ρ
(M.51)
∂Bρ
∂Bz
=−
∂z
∂ρ
En consecuencia la inducción será también muy uniforme en la dirección transversal al eje de las
bobinas (recordar, cerca del centro geométrico), siendo nulas la primera y segunda derivadas.
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