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ÁNGULO. GRADO.
TRIGONOMETRÍA
El grado es la medida de cada uno de los ángulos
que resultan al dividir el ángulo recto en 90 partes
iguales. Su símbolo es el º.
4º E.S.O. Opción B
α
A
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
ÁNGULO. RADIÁN.
90º
B
El ángulo α mide un
radián porque la longitud
del arco AB es igual a la
medida del radio.
β
180º
α
γ
α
0º
δ
270º
O
A
AB = OA
PASO DE RADIANES A GRADOS Y VICEVERSA
BC
AB
sen α =
360º = 2π radianes
Paso de grados a radianes
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
cos α =
AC
AB
tg α =
BC
AC
Paso de radianes a grados
B
α grados =
2π
⋅ α radianes
360
n radianes =
360
⋅ n grados
2π
α
360
180
El valor de un radián es:
=
= 57º 17' 45''
2π 3,1416
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
A
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 45º
Los lados de un triángulo ABC miden 8, 15 y 17 centímetros,
respectivamente.
a) Comprueba si el triángulo es rectángulo.
b) Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo de mayor
amplitud.
17
C
c = x 2 + x 2 = 2x 2 = 2 x
c
x
x
a) Para que el triángulo sea rectángulo ha de cumplir el teorema de
Pitágoras.
82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172 → El triángulo es rectángulo.
cos 45º =
x
1
2
=
=
2
2x
2
tg 45º =
b) En el triángulo el cateto opuesto al de mayor amplitud es el más
grande, por tanto mide 15, y el cateto contiguo mide 8.
8
cos α =
17
x
1
2
=
=
2
2x
2
45º
8
15
15
sen α =
17
sen 45º =
15
tg α =
8
sen 45º =
2
2
cos 45º =
2
2
x
=1
x
tg 45º = 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 60º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 30º
30º
x
30º
x
x2
3x 2
3x
h= x −
=
=
4
4
2
xh
60º
2
60º
x/2
sen 60º =
x2
3x 2
3x
h= x −
=
=
4
4
2
xh
2
x/2
x
1
cos 60º = 2 =
x 2
3x
2 = 3
x
2
sen 60º =
3
2
cos 60º =
1
2
tg 60º =
3x
2 = 3
x
2
x
1
sen 30º = 2 =
x 2
sen 30º =
tg 60º = 3
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
cos 30º =
1
2
3x
2 = 3
x
2
cos 30º =
3
2
tg 30º =
x
2 = 1 = 3
3
3x
3
2
tg 30º =
3
3
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
B
c
a
sen α c a
= = = tg α
cos α b b
c
a
α
A
b
tg α =
B
c
C
2
2
2
2
2
2
1
sen α + cos α sen α cos α
=
=
+
= tg 2 α + 1
2
2
2
2
cos α
cos α
cos α cos α
sen 2 α + cos 2 α = 1
α
2
2
2
c2
a b a +b
sen α + cos α =   +   =
=
=1
c2
c2
c c
2
a
sen α
cos α
A
b
C
tg 2 α + 1 =
1
cos 2 α
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
Si el coseno de un ángulo α vale 2 , ¿cuál es el seno de este ángulo? ¿Y
3
la tangente?
90º
Primer cuadrante
cos α
sen 2 α + cos 2 α = 1
A (cos α , sen α)
2
 2
sen 2 α + 
 = 1
3


 2
sen 2 α = 1 − 

 3 
7
sen 2 α =
9
sen α =
Segundo cuadrante
7
sen α
7
14
= 3 =
=
tg α =
cos α
2
2
2
3
2
sen α
α
180º
0º
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
Las coordenadas del
punto A son el valor de
coseno y seno de α
7
3
270º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Halla el coseno y la tangente de α si sen α =
90º
sen α ≥ 0
cos α ≤ 0
tg α ≤ 0
B
cos β
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
cos α
sen α ≥ 0
cos α ≥ 0
tg α ≥ 0
A
1
π
y
≤ α ≤ π.
3
2
sen 2 α + cos 2 α = 1
2
sen β
β
α
γ
180º
1
2
  + cos α = 1
3
sen α
0º
δ
sen γ
sen α ≤ 0 C
cos α ≤ 0
tg α ≥ 0
sen δ
cos δ
cos γ
270º
D
sen α ≤ 0
cos α ≥ 0
tg α ≤ 0
1
cos 2 α = 1 −  
3
8
cos 2 α =
9
8
cos α = −
3
2
tg α =
sen α
=
cos α
1
3
−
8
3
=
1
− 8
=−
8
2
=−
8
4
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Ángulos Suplementarios
Ángulos que difieren en 180º
sen (180º −α ) = sen α
180º– α
cos (180º −α ) = − cos α
α
sen (α + 180º ) = − sen α
α+180º
α
tg (180º −α ) = −tg α
cos (α + 180º ) = − cos α
tg (α + 180º ) = tg α
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Ángulos opuestos
Ángulos Complementarios
sen ( −α ) = − sen α
α
–α
cos ( −α ) = cos α
tg ( −α ) = −tg α
sen ( 90º −α ) = cos α
90º– α
α
cos ( 90º −α ) = sen α
tg ( 90º −α ) = cotg α
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Halla las razones trigonométricas del ángulo de 330º.
Teorema del seno
a
1
sen 330º = sen ( 360º −30º ) = sen ( −30º ) = −sen ( 30º ) = −
2
sen A
a = 4 cm

Datos: b = 5 cm

 B = 30º
A
b
83º
63m
42º
a?
B
a
sen A
sen A
sen C
→
h
B
c
Ejemplo: Dos lados y el ángulo opuesto. Hallar A
= 180º −83º −42º = 55º
C
c
sen C
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Ejemplo: Dos ángulos y un lado. Hallar a
=
a
b
h

→ h = b ⋅ sen A
a
b

b
=
 b ⋅ sen A = a ⋅ sen B →
sen A sen B
= h → h = a ⋅ sen B

sen B

a
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
a
c
sen A=
1
sen 330º
3
−1
tg 330º =
= 2=
=−
cos 330º
3
3
3
2
C
sen B
=
Demostración:
−
Datos:
b
A
3
cos 330º = cos ( 360º −30º ) = cos ( −30º ) = cos ( 30º ) =
2
c = 63 m

 A = 83º

 B = 42º
=
C
a
63
sen 83º
=
→ a = 63 ⋅
= 76 ,34 m
sen 83º sen 55º
sen 55º
=
b
sen B
→
4
sen A
=
A
5cm
5
cm
c
30º
C
4 cm
B
5
4 ⋅ sen 30º
→ sen A=
= 0, 4
sen 30º
5
= 156º 25' 19''
Dos posibles soluciones: A1 = 23º 34' 41'' y A
2
> 180º
Si A = 156º 25' 19'' → A+ B
A = 23º 34' 41''
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Ejemplo: Dos lados y el ángulo que forman. Hallar b
Teorema del coseno
a = 1200 m

Datos: c = 700 m

 B = 108º
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B
c = a + b − 2ab ⋅ cos C
2
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
2
2
B
1200m
C
b
C
700m
A
a
b
→ b = 12002 + 7002 − 2 ⋅1200 ⋅ 700 ⋅ cos 108º
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B
b = 1564 ,97 m
A
108º
c
B