Cálculo estadístico y aplicaciones en la economía.

Universidad de Salamanca - Escuela de Educación y Turismo
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Media aritmética
La media es el valor promedio de la distribución.
Mediana
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución
y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
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(
)
Ejercicio resuelto nº1:
Si en la E.U. de Turismo están matriculados 1.000 alumnos, en la de
Economía 3.000 y en la de Ingeniería 6.000 y se quiere obtener una
muestra estratificada de tamaño 100. Cuantos alumnos han de
seleccionarse en cada una de las carreras anteriores, si aceptamos la
proporcionalidad para realizar el muestreo:
Solución:
Si denominamos nT, nE y nI a los tamaños muestrales de Turismo,
Economía e Ingeniería, se tiene que verificar que:
nT+ nE + nI =100 y como hemos admitido proporcionalidad entonces:
nE
nI
nT
------ = ------= -----1000 3000 6000
Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a nT=10, nE =30 y
nI =60
(
)
Ejercicio resuelto nº 2.- Si disponemos de los siguientes datos
de una estadística de saldos de cuentas bancarias por
ciudades, se necesita conocer, media, moda, varianza y
desviación típica.
Intervalos
Número de ciudades Saldos en MM €
De 20 a 39 MM €
5
29,5
De 40 a 54 MM €
7
47,0
De 55 a 89 MM €
17
72,0
De 90 a 179 MM €
20
134,5
De 180 a 359 MM €
4
269,5
De 361 a 600 MM €
2
480,5
Más de 600 MM €
1
1.800,0
Totales
56
2.833,0
(
)
Intervalos (L) Número de ciudades (f) Saldos en € MM (x)
De 20 a 39 MM
5
29,5
De 40 a 54 MM
7
47,0
De 55 a 89 MM
17
72,0
De 90 a 179 MM
20
134,5
De 180 a 359 MM
4
269,5
De 361 a 600 MM
2
480,5
Más de 600 MM
1
1.800,0
Totales
56
x por f
147,5
329,0
1.224,0
2.690,0
1.078,0
961,0
1.800,0
2.833,0
F
5
12
29
49
53
55
56
8.229,5
Media
8.229,5/56 =
Mediana
Li-1 + (N/2-Fi-1)*ai/fi=
donde:
Li-1 =
N/2=
Fi-1=
ai=
fi=
Moda
Li-1 + [fi+1/(fi+1 + fi-1)]*ai=
donde:
Li-1 =
fi+1=
fi-1=
ai=
147,0
87,0
55
28
12
34
17
107,0
90
4
17
89
(
)
Intervalos (L) Número de ciudades (f) Saldos en € MM (x)
De 20 a 39 MM
5
29,5
De 40 a 54 MM
7
47,0
De 55 a 89 MM
17
72,0
De 90 a 179 MM
20
134,5
De 180 a 359 MM
4
269,5
De 361 a 600 MM
2
480,5
Más de 600 MM
1
1.800,0
Totales
56
2.833,0
x por f
147,5
329,0
1.224,0
2.690,0
1.078,0
961,0
1.800,0
2
F
5
12
29
49
53
55
56
8.229,5
4.462.028,8
Varianza
[Sum (xi)2fi/N]-Media2 =
donde
Sum (xi) fi =
N=
Media2 =
Desviación típica
Raíz cuadrada de la varianza
2
Sum (xi) fi
4.351,3
15.463,0
88.128,0
361.805,0
290.521,0
461.760,5
3.240.000,0
58.083,2
4.462.028,8
56
21.595,9
241,0
Tarea.- ¿Porqué la desviación típica tiene un valor tan elevado en
relación a la media aritmética?
(
)
Ejercicio resuelto nº 3.- Calcule los cuartiles con los datos de la serie
anterior.
Intervalos (L) Número de ciudades (f) Saldos en € MM (x)
De 20 a 39 MM €
5
29,5
De 40 a 54 MM €
7
47,0
De 55 a 89 MM €
17
72,0
De 90 a 179 MM €
20
134,5
De 180 a 359 MM €
4
269,5
De 361 a 600 MM €
2
480,5
Más de 600 MM €
1
1.800,0
Totales
56
Mediana
Li-1 + (N/2-Fi-1)*ai/fi=
donde:
Li-1 =
N/2=
Fi-1=
ai=
fi=
Primer cuartil
Li-1 + (N/4-Fi-1)*ai/fi=
donde:
Li-1 =
N/4=
Fi-1=
ai=
fi=
x por f
147,5
329,0
1.224,0
2.690,0
1.078,0
961,0
1.800,0
2.833,0
8.229,5
87,0
55
28
12
34
17
59,0
55
14
12
34
17
F
5
12
29
49
53
55
56
Sum (xi)2fi
4.351,3
15.463,0
88.128,0
361.805,0
290.521,0
461.760,5
3.240.000,0
4.462.028,8
Segundo cuartil
Coincide con la Mediana =
Tercer cuartil
Li-1 + (3N/4-Fi-1)*ai/fi=
donde:
Li-1 =
3N/4=
Fi-1=
ai=
fi=
87,0
147,9
90
42
29
89
20
Tarea.- Calcule Vd., 5 deciles y 5 percentiles con esta serie de datos.
(
)
Ejercicio resuelto nº 4.- Disponemos de los datos de renta personal
disponible de 50 personas y el saldo depositado en cuentas
corrientes en entidades financieras (en miles de €). Se pide:
a) Representar la nube de puntos
b) Estimar una ecuación de regresión lineal simple de Y sobre X.
c) Explicar económicamente los resultados obtenidos.
Nota.- Este ejercicio debe desarrollarse en una hoja de cálculo.
(
Datos:
)
Personas
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Renta (X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
22
22
85
28
12
42
60
152
27
27
64
34
34
50
75
15
42
48
10
69
26
17
42
41
33
Saldos (Y)
11
7
26
6
6
4
23
82
15
8
13
6
5
11
22
3
22
10
3
39
4
6
7
9
12
Personas
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
Persona
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
Renta (X)
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
20
23
158
65
63
44
31
88
13
46
63
23
42
40
9
103
6
40
9
34
172
35
118
14
68
Saldos (Y)
10
6
17
18
10
16
18
16
1
9
22
4
5
8
4
10
2
14
4
6
46
4
48
0
32
(
)
a) Nube de puntos: Por la forma que toma esta nube de puntos
intuimos que puede existir una correlación fuerte entre ambas
variables.
(
)
b) Estimar una ecuación de regresión lineal simple de Y sobre X.
Para proceder a estimar la recta de regresión simple o ecuación que
toma la forma: Y= a + b.X, donde los coeficientes a y b son:
b= Covarianzaxy/Varianza x=
donde la covarianza xy=SumX.Y/N – Ymd.Xmd y la varianza de x
=SumX2/N- Xmd2
a=Ymd-b.Xmd, donde Ymd,Xmd, son las medias aritméticas de cada una
de las variables X e Y.
También debemos hallar el coeficiente de correlación (Pearson) para
ver el grado de dependencia de las variables.
(
Personas
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
)
Renta (X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
22
22
85
28
12
42
60
152
27
27
64
34
34
50
75
15
42
48
10
69
26
17
42
41
33
Saldos (Y)
11
7
26
6
6
4
23
82
15
8
13
6
5
11
22
3
22
10
3
39
4
6
7
9
12
SumX.Y
242
154
2.210
168
72
168
1.380
12.464
405
216
832
204
170
550
1.650
45
924
480
30
2.691
104
102
294
369
396
SumX2
484
484
7.225
784
144
1.764
3.600
23.104
729
729
4.096
1.156
1.156
2.500
5.625
225
1.764
2.304
100
4.761
676
289
1.764
1.681
1.089
SumY2
Y estimado
121
6,1
49
6,1
676
24,7
36
7,9
36
3,2
16
12,0
529
17,3
6.724
44,5
225
7,6
64
7,6
169
18,5
36
9,6
25
9,6
121
14,4
484
21,7
9
4,0
484
12,0
100
13,8
9
2,6
1.521
20,0
16
7,3
36
4,6
49
12,0
81
11,7
144
9,4
(
)
Personas
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Persona nº
Totales
Renta (X)
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
20
23
158
65
63
44
31
88
13
46
63
23
42
40
9
103
6
40
9
34
172
35
118
14
68
2.404
Saldos (Y)
10
6
17
18
10
16
18
16
1
9
22
4
5
8
4
10
2
14
4
6
46
4
48
0
32
690
SumX.Y
200
138
2.686
1.170
630
704
558
1.408
13
414
1.386
92
210
320
36
1.030
12
560
36
204
7.912
140
5.664
0
2.176
54.019
SumX2
400
529
24.964
4.225
3.969
1.936
961
7.744
169
2.116
3.969
529
1.764
1.600
81
10.609
36
1.600
81
1.156
29.584
1.225
13.924
196
4.624
186.224
SumY2
Y estimado
100
5,5
36
6,4
289
46,2
324
18,8
100
18,2
256
12,6
324
8,8
256
25,6
1
3,4
81
13,2
484
18,2
16
6,4
25
12,0
64
11,4
16
2,3
100
30,0
4
1,4
196
11,4
16
2,3
36
9,6
2.116
50,4
16
9,9
2.304
34,4
0
3,7
1.024
19,7
19.944
690,0
(
)
Coeficiente de correlación (Pearson) =
0,77
(Covarianza xy / Desviación típica x . Desviación típica y)
N= 50
Medias aritméticas
0,30
Coeficiente b=Covarianzaxy/Varianza x=
Variable X =
Variable Y =
48,1 =Xmd
Coeficiente a=Ymd-b.Xmd=
13,8 =Y md
Ecuación de regresión lineal : Y=-0,39+0,30.X
Varianzas, covarianzas y desviaciones típicas
Varianza x=SumX2/N- Xmd2 =
1.412,8
Varianza y=SumY 2/N- Y md2 =
208,4
Covarianza xy=SumX.Y/N – Y md.Xmd =
416,9
Desviación típica x =
37,6
Desviación típica y =
14,4
-0,39
(
)
En rojo, podemos observar la ecuación de regresión que hemos
estimado anteriormente.
(
)
c) Explicar económicamente los resultados obtenidos.
Hemos relacionado dos variables, considerándola la independiente
la renta personal de las personas y como variable dependiente los
saldos en cuenta. En los datos iniciales ya se puede intuir una
fuerte correlación al estar la nube de puntos con una tendencia muy
definida. Los resultados obtenidos mediante el coeficiente de
correlación nos corroboran nuestra hipótesis inicial y proseguimos
por tanto, para estimar una ecuación de regresión teórica que nos
indique el ahorro de las familias. Esto nos lleva a aproximarnos a la
propensión marginal del ahorro e indirectamente también a la
propensión marginal al consumo de las familias.
(
)
Ejercicio resuelto nº 5.- Partimos de una serie de datos anuales
que contienen el incremento del PIB mundial y el incremento de
número de turistas internacionales en España. Se pide:
a) Calcular el grado de correlación con el coeficiente de Pearson.
b) En base a los datos anteriores, proceder ( o no) a estimar una
recta de regresión.
c) Explicación económica en base a los resultados estadísticos
encontrados.
(
)
Datos de la serie:
Año
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
% Incremento
del PIB Mundial
1,92
0,82
2,81
4,4
3,54
3,17
3,44
4,57
3,92
0,03
1,4
1,93
1,51
3,22
2,92
% Incremento
nº turistas
0,2
-0,6
1,8
8,9
4,3
3,2
8,9
7
6,5
7,2
0,7
8,4
3,3
4,9
4
Año
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
P2009
% Incremento
del PIB Mundial
3,25
3,62
2,41
3,27
4,16
1,71
1,94
2,77
3,99
3,5
5,6
3,8
2
-2,9
% Incremento
nº turistas
6,4
4,1
3
3,7
7,4
0
5
3,8
4,4
7,7
3,9
2,9
-1,1
-9,7
(
)
a) Calcular el grado de correlación con el coeficiente de Pearson.
=0,676956125 (Correlación positiva)
En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la
dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se
considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas
cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con
respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos
variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A
lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos
variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad
(
)
El coeficiente de correlación de Pearson es un índice estadístico
que mide la relación lineal entre dos variables cuantitativas. A
diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es
independiente de la escala de medida de las variables.
El cálculo del coeficiente de correlación lineal se realiza dividiendo
la covarianza por el producto de las desviaciones estándar de
ambas variables:
Siendo:
XY la covarianza de (X,Y)
X y Y las desviaciones típicas de las distribuciones marginales.
El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1, +1]
(
)
* Si r = 0, no existe ninguna correlación. El índice indica, por tanto,
una independencia total entre las dos variables, es decir, que la
variación de una de ellas no influye en absoluto en el valor que
pueda tomar la otra.
* Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica
una dependencia total entre las dos variables denominada relación
directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en
idéntica proporción.
* Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.
* Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice
indica una dependencia total entre las dos variables llamada
relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en
idéntica proporción.
* Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.
(
)
b) En base a los datos anteriores, proceder ( o no) a estimar una
recta de regresión
Hemos visto por tanto con el coeficiente de Pearson que existe una
correlación positiva, por tanto podemos estimar una recta de
regresión.
La relación entre dos variables cuantitativas queda representada
mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de
puntos. Los principales componentes elementales de una línea de
ajuste y, por lo tanto, de una correlación, son la fuerza, el sentido y
la forma:
(
)
* La fuerza mide el grado en que la línea representa a la nube de
puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una
línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de
puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil.
* El sentido mide la variación de los valores de B con respecto a
A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es
positiva; si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la
relación es negativa.
* La forma establece el tipo de línea que define el mejor ajuste:
la línea recta, la curva monotónica o la curva no monotónica.
(
)
Relación entre el incremento del GDP y el
incremento del número de turistas internacionales
10
5
0
-4
-2
0
2
4
-5
-10
-15
nº turistas
Lineal (nº turistas)
6
8
c) Explicación económica:
De acuerdo con la serie de datos
que
hemos
analizado,
observamos una relación directa
entre
el
crecimiento
(o
decrecimiento) del PIB mundial y
la
llegada
de
turistas
internacionales. Al estar el
turismo
vinculado
a
las
actividades de ocio, resulta
extraordinariamente sensible a
las variaciones del PIB, o de otra
manera, a las variaciones de
renta de cada persona (este
ejercicio se desarrolla en una
hoja excel).