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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
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POLOS Y CEROS
Hay que recordar que un número complejo está compuesto de una parte real y
una parte imaginaria, ambas son constantes. Si la parte real y/o la parte imaginaria
son variables, el número complejo se denomina variable compleja. La
transformada de Laplace usa la notación s para la variable compleja, esto es:
s    j (1)
Donde  es la parte real y  es la parte imaginaria. De forma gráfica en el plano
s , la componente real está representada por el eje  en la dirección horizontal y
la componente imaginaria se mide a lo largo del eje vertical j . La figura 1
muestra el plano complejo s , en donde cualquier punto arbitrario s  s1 está
definido por las coordenadas    1 y   1 , o simplemente s1   1  j1 .
j
1
s1
 1  j1
1
0

Figura 1 Plano complejo s
Se dice que la función G(s) es una función compleja, si para cada valor de s
existen uno o más valores correspondientes de G(s) . Debido a que s se define
con partes real e imaginaria, la función G(s) también está representada por sus
partes real e imaginaria, esto es:
G ( s )  Gx  jG y (2)
En donde Gx y G y son cantidades reales. La magnitud de G(s) es:
G ( s )  Gx2  G y2 (3)
Y el ángulo  de G(s) es:
 Gy 
 (4)
 Gx 
  tan 1 
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El ángulo se mide en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj, a
partir del eje real positivo.
El complejo conjugado de G(s) es:
G ( s)  Gx  jGy (5)
Si para cada valor de s existe sólo un valor correspondiente de G(s) , se dice que
G(s) es una función univaluada. Por lo general, las funciones complejas que se
encuentran en el análisis de sistemas de control lineales son funciones
univaluadas de s .
Una función G(s) se llama función analítica en una región del plano s , si la
función y todas sus derivadas existen en dicha región.
Ejemplo 1 Determine si la siguiente función es analítica:
G( s) 
1
s( s  1)
Solución:
Es analítica en cada punto del plano s , excepto en los puntos s  0 y s  1 , ya
que en estos dos puntos el valor de la función tiende a infinito.
Ejemplo 2 Determine si la siguiente función es analítica:
G( s)  s  2
Solución:
La función es analítica en todos los puntos del plano s .
Los puntos en el plano s en los cuales la función G(s) es analítica se denominan
puntos ordinarios, en tanto que los puntos en el plano s en los cuales la función
G(s) no es analítica se denominan puntos singulares.
Los puntos singulares en los cuales la función G(s) o sus derivadas tienden a
infinito se denominan polos.
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Ejemplo 3 Encuentre los polos de la siguiente función:
G( s) 
1
s 1
Solución:
La función tiene un polo en s  1 .
Los puntos en los cuales la función G(s) es igual a cero se denominan ceros.
Ejemplo 4 Encuentre los polos y los ceros de la siguiente función:
G( s) 
10(s  2)
s( s  1)( s  3)2
Solución:
La función tiene polos sencillos en s  0 y s  1 , tiene un polo repetido o de
orden 2 en s  3 , además tiene un cero sencillo o simple en s  2 .
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas:




Dorf, R & Bishop, R. (2011). Mathematical models of systems. En: Modern control
systems. (12a. ed.). (pp. 49-160). Estados Unidos: Prentice Hall.
Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Mathematical foundation. En: Automatic control
systems (9a.ed.). (pp. 16-103). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
Ogata, K. (2010). Modelado matemático de sistemas de control. En: Ingeniería de
control moderna (5a. ed.). (pp. 13-62). Madrid, España: Pearson Education.
Nise, N. (2011). Modeling in the frequency domain. En: Control Systems
Engineering (6a ed.). (pp. 33-116). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias:





Curso virtual de análisis de sistemas dinámicos. Recuperado en
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html
Determinar la función de transferencia dados los ceros y polos. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=8BMetYZGbdQ
Determinar los ceros y polos de la función de transferencia. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=LFBsmjbpMAM
Design and analyze control systems. Recuperado en
http://www.mathworks.com/help/control/index.html
Expresiones alternativas de la función de transferencia. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=5-mB9eDUKDU
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Teoría de control básica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html
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