Funciones de variables complejas

TEORÍA DE CIRCUITOS II
4 Año – Ingeniería Electrónica – F.R.T. U.T.N.
Funciones de variables complejas o funciones complejas
(Colaboración JANET VALLAVELA)
Planos complejos
Todo número complejo del que se den sus
componentes
e
imaginaria,
puede
localizarse como un punto en el plano xy.
4+j3
3
real
Algunos autores designan por z al complejo
resultante.
z= x + j y
4
real
Y por lo tanto cualquier numero complejo especifico consiste en una parte real
(x) y una parte imaginaria (y) y ocupa una posición definida en el plano complejo. El
plano particular utilizado para situar los valores de z se denominará, “plano z”.
jy
f(x)
2
Y=x -2
x
Ing. Oscar Galvez
f(x)=sen x
x
Página 1
Plano “s”
El nuevo plano s se trazara en líneas verticales y horizontales igual que el plano z,
pero ahora las coordenadas de situación de los puntos se darán como σ (sigma) en el
eje horizontal y ω (omega) en el vertical.
jω
jy
Plano z
Plano s
σ
x
Por definición:
s= σ + jω.
Relaciones entre los planos z y s
Supongamos que s es una función de z
s = f(z) .
Esta es una relación general y dice muy poco, excepto que habrá algún punto
complejo en el plano s que corresponda a otro cierto punto en el plano z.
Ejemplo:
S = z2
Por definición
σ + jω = (x +j y) 2
σ + jω = x2 + 2jxy – y2
agrupamos reales e imaginarios
σ+jω = x2 -y2 + j2xy
igualando
σ = x2 –y 2
se relaciona la función s en la función z
ω= 2xy
Ing. Oscar Galvez
Página 2
Transformar la siguiente figura del plano z al plano s
jy
d
a
c
b
x
2
2
pto
x
y
σ=x -y
a
b
c
d
1
2
2
1
1
1
2
2
0
3
0
-3
ω =2xy
2
4
8
4
σ +jω
O+j2
3+j4
0+j8
-3+j4
jω
c
d
b
σ
a
Una muy interesante y útil transformación entre el plano z y s es:
z=es
reemplazando por sus componentes,
x + jy = e (σ+jω)
x + jy
=
Coordenadas de
puntos en el plano z
Nos quedaría
o
eσ
Módulo
.
ejω
Argumento
x + jy = e σ ∟ω
x + jy = eσ (cos ω +j sen ω)
donde eσ es la magnitud del vector que va del origen del plano s y ω es el ángulo
director o dirección del mismo.
Ing. Oscar Galvez
Página 3
Igualando ambos miembros:
x = eσ cos ω
y = eσ sen ω
por lo tanto si se da un punto o un conjunto de puntos en el plano s, se puede utilizar
las ecuaciones anteriores y obtener los valores x e y para situar el punto en el plano z.
Otra función puede ser
z= ln s y se puede hacer el mismo análisis.
Funciones en el plano complejo
En el plano z, y es una función de x y suele designarse por f(x). Donde la x es una
variable real y la f(x) se llama “función de variable real”.
Ahora bien, es posible definir una función de las variables complejas z o s, por ejemplo
puede darse la función F de s
F (s)
1
s
En este caso se ve que en lugar de ser sólo una curva por encima del eje real como es
en el caso de f(x) esta función F (s) tiene un valor para cada punto del plano s.
Por lo tanto, la magnitud de F(s) puede considerarse como una superficie.
En primer lugar hay que llevarla en la forma de una magnitud absoluta.
F ( s)
F (s)
1
j
1
2
2
Para graficar F(s) conviene seleccionar una recta σ1= ctte y luego hallar los valores de
|F(s)| a lo largo de esta recta a medida que ω varia. El procedimiento puede repetirse
a lo largo de otra recta,
σ2= ctte, de manera que se determine finalmente toda la
superficie.
Ing. Oscar Galvez
Página 4
|F(s)|
jω
σ
Descomposición en parte Real e Imaginaria
Sea F(s) una función de variable compleja, lamisca se puede descomponer en una
parte real y otra imaginaria.
F(s)= F(σ +j ω) = F1 (σ1 ; ω1) + j F2 (σ2 ; ω2)
Real
Imaginaria
Las funciones F1 y F2 son funciones reales de variables reales “σ” y “ω”.
Para representar estas funciones se procede del modo explicado antes, es decir,
tomando distintos valores de σ y ω para los cuales se halla el valor de la función.
Ing. Oscar Galvez
Página 5
F2 (σ, ω)
F1 (σ, ω)
jω
F1 (σ1, ω1)
F2 (σ2, ω2)
F2 (σ, ω)
F1 (σ, ω)
Superficie
σ
Si bien F1 y F2 no determinan la F(s) sus gráficas no son usadas para el estudio de
circuitos.
Lo que se usa muy convenientemente son el módulo y la fase de F(s).
Módulo y fase
El modulo y la fase o argumento de una función F(s) están determinados del siguiente
modo:
Módulo
Fase
F ( s)
F ( s)
F ( s)
F ( s)
F1 ( , ) F2 (
arctg
F2 ( , )
F1 ( , )
)
Función Par
Función Impar
Los siguientes gráficos son las representaciones del modulo y la fase determinada
función F(s).
Ing. Oscar Galvez
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|F(s)|
ω
|F(ω)|
σ=0
Función par
ω
σ
∟F(ω)
|F(s)|
Función
Impar
ω
σ=0
ω
σ
Las características del módulo y la fase de F(s) es que la intersección de sus gráficas
con el plano σ=0 es una curva cuya función es par e impar respectivamente:
F( )
F( )
F(
F(
Función Par
)
) Función Impar
Polos de funciones complejas
Decimos que la función F(s) tiene polos en ciertos valores de s, siempre que la
magnitud de F(s) se haga infinita en dichos valores.
Ing. Oscar Galvez
Página 7
Ejemplo:
F (s)
1
s ( s 2)
tiene polos en
s
s
0
2
En ambos puntos la superficie asciende hasta infinito
jω
F(S)
jω
Plano s
σ
σ
Se acostumbra indicar con una pequeña cruz la localización de un polo en el plano s.
Ceros de funciones complejas
Un cero de una función compleja se define como un valor de s que hace a la función
igual a cero.
Ejemplo:
F ( s)
Ing. Oscar Galvez
( s 2)(s 1)
( s 4)
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jω
σ
Los ceros de una función se encuentran igualando a cero cada factor del numerador y
despejando a s. Los ceros se indican en el plano s por medio de pequeños círculos.
Diagramas de polos y ceros
Una función dada de s siempre puede representarse por un diagrama de polos y ceros,
que es la representación con cruces y círculos en el plano s que localizan los polos y
los ceros.
Ejemplo:
F (s)
( s 3)
( s 2 4)
cero en s= -3
Pólos en j2 y –j2
jω
j2
σ
-3
-j2
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Si se da el diagrama de polos y ceros, es fácil determinar la función de s
correspondiente:
jω
(s-1)
Cero
(s+2)
j
(s – j)
-2
σ
1
Polos
(s+ j)
-j
F ( s)
Ing. Oscar Galvez
( s 1)(s 2)
( s j )(s )
s2 s 2
s2 1
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