Un sistema de nivel de líquido (sistema hidráulico), se

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
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SISTEMAS DE NIVEL DE LÍQUIDO
Un sistema de nivel de líquido (sistema hidráulico), se describe mediante
ecuaciones diferenciales lineales o no lineales, en dependencia de si el flujo
manipulado es laminar o turbulento, respectivamente. Esto se puede establecer de
acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de Reynolds está
entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el número de
Reynolds es menor que unos 2000.
Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para los sistemas del
nivel de líquido, es posible describir en forma simple las características dinámicas
de tales sistemas.
Figura 1 Sistema de nivel de líquido

Resistencia: Considere el flujo a través de un tubo corto que conecta dos
tanques. La resistencia R para el flujo de líquido en tal tubo se define como el
cambio en la diferencia de nivel (la diferencia entre el nivel de líquido en los
dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en la velocidad
del flujo; es decir,
cambio en la diferencia de nivel  m 
R
cambio en la velocidad del flujo m 3 /s 
Para entender mejor este concepto, considere el sistema del nivel de líquido de la
figura 1. En este sistema el líquido sale a chorros a través de la válvula de carga a
un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción es laminar, la relación
entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el
nivel de la restricción se obtiene mediante
Q  KH (1)
Donde,
Q : Velocidad del flujo del líquido en estado estable,  m3 /s 
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K : Coeficiente,  m 2 /s 
H : Altura en estado estable,  m 
Entonces, la resistencia Rl se obtiene mediante:
Rl 
dH H

(2)
dQ Q
Se aprecia que la resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la
resistencia eléctrica.
Si el flujo es turbulento a través de la restricción, la velocidad del flujo en estado
estable se obtiene mediante:
Q  K H (3)
La resistencia Rt para el flujo turbulento, se obtiene a partir de:
Rt 
dH
dQ
Derivando la ecuación (3) se obtiene
dQ 
K
dH (4)
2 H
Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2), se tiene
Rt 
2H
(5)
Q
Se observa que la resistencia de flujo turbulento depende del flujo y de la altura.
Sin embargo, el valor de Rt se considera constante si los cambios en la altura y en
el flujo son pequeños.

Capacitancia: La capacitancia C de un tanque se define como el cambio
necesario en la cantidad de líquido almacenado, para producir un cambio en la
altura.
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cambio en el líquido almacenado m 3 
C
cambio en la altura m 
Debe señalarse que la capacidad ( m3 ) y la capacitancia ( m 2 ) son diferentes. La
capacitancia del tanque es igual a su área transversal. Si ésta es constante, la
capacitancia es constante para cualquier altura.
Ejemplo 1 Encuentre un modelo matemático que relacione el flujo de entrada
qi (t ) con el flujo de salida qo (t ) , para el sistema de nivel de líquido de la figura:
Válvula de control
qi
Válvula de carga
h
qo
Capacitancia
Resistencia
C
R
Figura 2 Sistema de nivel de líquido
Solución:
El parámetro de entrada en este caso es el flujo qi (t ) , y el parámetro de salida es
el flujo qo (t ) , se puede analizar el sistema teniendo en cuenta que:
flujo de entrada - flujo de salida = flujo acumulado
Es decir,
qi (t )  qo (t )  C
dh(t )
dt
Teniendo en cuenta que,
h(t )  Rqo (t )
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Se obtiene:
qi (t )  qo (t )  RC
dqo (t )
dt
Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de primer
orden:
dqo (t ) 1
1

qo (t ) 
qi (t )
dt
RC
RC
Ejemplo 2 Encuentre un modelo matemático que relacione el flujo de entrada
qi (t ) con la altura del líquido acumulado h(t ) , para el sistema de nivel de líquido
de la figura 2.
Solución:
El parámetro de entrada en este caso es el flujo qi (t ) , y el parámetro de salida es
la altura del líquido acumulado h(t ) , se puede analizar el sistema teniendo en
cuenta que:
flujo de entrada - flujo de salida = flujo acumulado
Es decir,
qi (t )  qo (t )  C
dh(t )
dt
Teniendo en cuenta que,
qo (t ) 
1
h (t )
R
Se obtiene:
qi (t ) 
1
dh(t )
h (t )  C
R
dt
Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de primer
orden:
dh(t ) 1
1

h(t )  qi (t )
dt
RC
C
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas:



Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Theoretical foundation and background
material: Modeling of dynamic systems. En: Automatic control systems (9a.ed.).
(pp. 147-252). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
Ogata, K. (2004). Hydraulic systems. En: System Dynamics (4a. ed.). (pp. 164234). Estados Unidos: Pearson Education.
Ogata, K. (2010). Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas
térmicos. En: Ingeniería de control moderna (5a. ed.). (pp. 100-158). Madrid,
España: Pearson Education.
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias:





Curso virtual de análisis de sistemas dinámicos. Recuperado en
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html
Design and analyze control systems. Recuperado en
http://www.mathworks.com/help/control/index.html
Modelado de Sistemas Hidráulicos. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=oQRzGwQud1I
Problemas resueltos de sistemas automáticos. Recuperado en
http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html
Teoría de control básica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html
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