Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
243005 – SISTEMAS DINÁMICOS
SISTEMAS ELÉCTRICOS
Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de
corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de
nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen
de un nodo es cero. La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que
en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de
cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. Un modelo matemático de un
circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff.
Esta sección presenta una serie de ejemplos que permiten modelar
matemáticamente sistemas eléctricos sencillos, es decir, sistemas que involucran
resistencias, condensadores y bobinas.
Ejemplo 1 Encuentre un modelo matemático que relacione la tensión de entrada
ei (t ) con la corriente de salida io (t ) , para el circuito eléctrico RL en serie de la
figura:
Figura 1 Circuito RL en serie
Solución:
Si se desea relacionar la tensión de entrada ei (t ) con la corriente de salida io (t ) ,
se puede aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff a la malla, así:
ei (t )  eR (t )  eL (t )
Donde eR (t ) corresponde al voltaje sobre la resistencia y eL (t ) es la caída de
voltaje en la bobina, de esta manera se puede escribir la ecuación diferencial que
relaciona ei (t ) con io (t ) :
di (t )
ei (t )  Rio (t )  L o
dt
Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de primer
orden:
dio (t ) R
1
 io (t )  ei (t )
dt
L
L
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Ejemplo 2 Encuentre un modelo matemático que relacione el voltaje de entrada
ei (t ) con el voltaje de salida eo (t ) , para el circuito eléctrico RC en serie de la
figura:
Figura 2 Circuito RC en serie
Solución:
El parámetro de entrada en este caso es el voltaje ei (t ) , y el parámetro de salida
es el voltaje sobre el condensador eo (t ) , como se trata de un circuito en serie, se
puede aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff para la malla de esta forma:
ei (t )  eR (t )  eC (t )
Donde eR (t ) corresponde al voltaje sobre la resistencia y eC (t ) es la caída de
voltaje en el condensador, de esta manera se puede escribir la ecuación:
ei (t )  Ri(t ) 
1
i (t )dt
C
eC (t )  eo (t ) 
1
i (t ) dt
C
Teniendo en cuenta que:
Se obtiene,
i (t )  C
deo (t )
dt
Por lo que la ecuación diferencial que relaciona ei (t ) con eo (t ) es:
ei (t )  RC
deo (t )
 eo (t )
dt
Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de primer
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orden:
deo (t )
1
1

eo (t ) 
ei (t )
dt
RC
RC
Ejemplo 3 Encuentre un modelo matemático que relacione el voltaje de entrada
ei (t ) con la corriente de salida io (t ) , para el circuito eléctrico RLC en serie de la
figura:
Figure 3 Circuito RLC en serie
Solución:
Si se desea relacionar la tensión de entrada ei (t ) con la corriente de salida io (t ) ,
se puede aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff a la malla, así:
ei (t )  eR (t )  eL (t )  eC (t )
Donde eR (t ) corresponde al voltaje sobre la resistencia, eL (t ) es el voltaje en la
bobina y eC (t ) es la caída de voltaje en el condensador, de esta manera se puede
escribir la ecuación diferencial que relaciona ei (t ) con io (t ) :
ei (t )  Rio (t )  L
dio (t ) 1
  io (t )dt
dt
C
Derivando esta última ecuación se tiene que:
dei (t )
dio (t )
d 2io (t ) 1
R
L
 io (t )
dt
dt
dt 2
C
Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de segundo
orden:
d 2io (t ) R dio (t ) 1
1 dei (t )


io (t ) 
2
dt
L dt
LC
L dt
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas:
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
Dorf, R & Bishop, R. (2011). Mathematical models of systems. En: Modern control
systems. (12a. ed.). (pp. 49-160). Estados Unidos: Prentice Hall.
Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Theoretical foundation and background
material: Modeling of dynamic systems. En: Automatic control systems (9a.ed.).
(pp. 147-252). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
Ogata, K. (2004). Electrical systems. En: System Dynamics (4a. ed.). (pp. 105163). Estados Unidos: Pearson Education.
Ogata, K. (2010). Modelado matemático de sistemas mecánicos y eléctricos. En:
Ingeniería de control moderna (5a. ed.). (pp. 63-99). Madrid, España: Pearson
Education.
Nise, N. (2011). Modeling in the frequency Domain. En: Control Systems
Engineering (6a ed.). (pp. 33-116). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias:
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




Circuitos RC y RL - Aplicaciones ecuaciones diferenciales de primer orden.
Recuperado en: https://www.youtube.com/watch?v=Ans9yM9xKL0
Curso virtual de análisis de sistemas dinámicos. Recuperado en
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html
Design and analyze control systems. Recuperado en
http://www.mathworks.com/help/control/index.html
Ecuaciones dinámicas de circuitos eléctricos Ejemplo 1. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=91cZjbkEi1g
Ecuaciones dinámicas de circuitos eléctricos Ejemplo 2. Recuperado en
https://www.youtube.com/watch?v=sjtF8YKqsjM
Problemas resueltos de sistemas automáticos. Recuperado en
http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html
Teoría de control básica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html
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