F - Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial

Lógica informática
Curso 2003–04
Tema 5: Otros sistemas
proposicionales
José A. Alonso Jiménez
Andrés Cordón Franco
Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Universidad de Sevilla
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.1
Sistemas proposicionales
x
x
Sistemas estudiados:
u
Tablas de verdad.
u
Método de Quine.
u
Formas normales.
u
Tableros semánticos.
u
Resolución.
Otros sistemas proposicionales:
u
Sistemas axiomáticos.
u
Cálculo de secuentes.
u
Deducción natural (DN).
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.2
DN: Reglas de la conjunción
x
Reglas de la conjunción:
u
Regla de introducción de la conjunción:
F G
∧i
F ∧G
u
Reglas de eliminación de la conjunción:
F ∧G
∧e1
F
u
Ejemplo: p ∧ q, r ` q ∧ r:
1:
2:
3:
u
p¦q , r
q
q¦r
F ∧G
∧e2
G
premises
¦e2 1.1
¦i 2,1.2
Adecuación de las reglas de la conjunción:
* ∧i : {F, G} |= F ∧ G
* ∧e1 : F ∧ G |= F
* ∧e2 : F ∧ G |= G
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.3
DN: Reglas de la doble negación
x
Reglas de la doble negación
u
Regla de eliminación de la doble negación:
u
Regla de introducción de la doble negación:
u
Ejemplo: p, ¬¬(q ∧ r) ` ¬p ∧ r:
1
2
3
4
5
u
:
:
:
:
:
p , ÂÂ(q¦r)
ÂÂp
q¦r
r
ÂÂp¦r
¬¬F
¬¬e
F
F
¬¬i
¬¬F
premises
ÂÂi 1.1
ÂÂe 1.2
¦e2 3
¦i 2,4
Adecuación de las reglas de la doble negación:
* ¬¬e : {¬¬F } |= F
* ¬¬i : {F } |= ¬¬F
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.4
DN: Regla de eliminación del condicional
x
Regla de eliminación del condicional:
F
u
Regla de eliminación del condicional:
u
Ejemplo: ¬p ∧ q, ¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p:
1:
2:
u
premises
çe 1.1,1.2
Ejemplo: p, p → q, p → (q → r) ` r:
1
2
3
4
u
Âp¦q , Âp¦qçrëÂp
rëÂp
F →G
→e
G
:
:
:
:
p , pçq , pç(qçr)
q
qçr
r
premises
çe 1.1,1.2
çe 1.1,1.3
çe 2,3
Adecuación de la regla de eliminación del condicional: {F, F → G} |= G
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.5
DN: Regla derivada de modus tollens (MT)
x
Regla derivada de modus tollens (MT)
u
Regla derivada de modus tollens (MT):
u
Ejemplo: p → (q → r), p, ¬r ` ¬q:
1:
2:
3:
u
premises
çe 1.2,1.1
MT 1.3,2
Ejemplo: ¬p → q, ¬q ` p:
1:
2:
3:
u
pç(qçr) , p , Âr
qçr
Âq
F → G ¬G
MT
¬F
Âpçq , Âq
ÂÂp
p
premises
MT 1.2,1.1
ÂÂe 2
Ejemplo: p → ¬q, q ` ¬p:
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.6
DN: Regla de introducción del condicional
x
Regla de introducción del condicional
u
Regla de introducción del condicional:
F
...
G
→i
F →G
u
Ejemplo: p → q ` ¬q → ¬p:
1:
pçq
2:
3:
Âq
Âp
4:
u
ÂqçÂp
premise
assumption
MT 2,1
çi 2-3
Adecuación de la regla de introducción del condicional:
Si F |= G, entonces |= F → G.
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.7
DN: Regla de introducción del condicional
u
u
Ejemplo: ¬q → ¬p ` p → ¬¬q:
1:
ÂqçÂp
2:
3:
4:
p
ÂÂp
ÂÂq
5:
pçÂÂq
premise
assumption
ÂÂi 2
MT 3,1
çi 2-4
Ejemplo (de teorema): ` p → p:
1:
p
2 : pçp
LI 2003–04
assumption
çi 1-1
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.8
DN: Regla de introducción del condicional
u
Ejemplo: ` (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r)):
1:
qçr
assumption
2:
ÂqçÂp
assumption
3
4
5
6
7
p
ÂÂp
ÂÂq
q
r
assumption
ÂÂi 3
MT 4,2
ÂÂe 5
çe 6,1
:
:
:
:
:
8:
9:
pçr
çi 3-7
(ÂqçÂp)ç(pçr)
10 : (qçr)ç((ÂqçÂp)ç(pçr))
LI 2003–04
Cc Ia
çi 2-8
çi 1-9
Otros sistemas proposicionales
5.9
DN: Regla de introducción del condicional
u
Ejemplo: p ∧ q → r ` p → (q → r):
1:
2:
p
premise
assumption
3:
4:
5:
q
p¦q
r
6:
qçr
7:
LI 2003–04
p¦qçr
pç(qçr)
assumption
¦i 2,3
çe 4,1
çi 3-5
çi 2-6
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.10
DN: Regla de introducción del condicional
u
Ejemplo: p → (q → r) ` (p ∧ q) → r:
1:
2
3
4
5
6
:
:
:
:
:
7:
LI 2003–04
pç(qçr)
p¦q
p
qçr
q
r
(p¦q)çr
premise
assumption
¦e1 2
çe 3,1
¦e2 2
çe 5,4
çi 2-6
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.11
DN: Regla de introducción del condicional
u
Ejemplo: p → q ` p ∧ r → q ∧ r:
1:
pçq
:
:
:
:
:
p¦r
p
r
q
q¦r
2
3
4
5
6
7:
LI 2003–04
p¦rçq¦r
premise
assumption
¦e1 2
¦e2 2
çe 3,1
¦i 5,4
çi 2-6
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.12
DN: Reglas de la disyunción
x
Reglas de la disyunción:
u
u
Reglas de introducción de la disyunción:
F
∨i
F ∨G 1
Regla de eliminación de la disyunción:
F ∨G
F
...
H
H
u
G
∨i
F ∨G 2
G
...
H
∨e
Ejemplo: p ∨ q ` q ∨ p:
1:
premise
2:
3:
p
qëp
assumption
ëi2 2
4:
5:
q
qëp
assumption
ëi1 4
6:
LI 2003–04
pëq
qëp
ëe 1,2-3,4-5
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.13
DN: Reglas de la disyunción
u
Ejemplo: q → r ` p ∨ q → p ∨ r:
1:
qçr
2:
pëq
assumption
3:
4:
p
për
assumption
ëi1 3
5:
6:
7:
q
r
për
assumption
çe 5,1
ëi2 6
8:
9:
LI 2003–04
premise
për
pëqçpër
ëe 2,3-4,5-7
çi 2-8
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.14
DN: Reglas de la disyunción
u
Ejemplo: (p ∨ q) ∨ r ` p ∨ (q ∨ r):
1:
2:
pëq
premise
assumption
3:
4:
p
pë(qër)
assumption
ëi1 3
5:
6:
7:
q
qër
pë(qër)
assumption
ëi1 5
ëi2 6
8:
pë(qër)
ëe 2,3-4,5-7
9:
10 :
11 :
r
qër
pë(qër)
assumption
ëi2 9
ëi2 10
12 :
LI 2003–04
(pëq)ër
pë(qër)
ëe 1,2-8,9-11
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.15
DN: Reglas de la disyunción
u
Ejemplo (distributiva): p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r):
1:
2:
3:
premise
¦e1 1
¦e2 1
4:
5:
6:
q
p¦q
(p¦q)ë(p¦r)
assumption
¦i 2,4
ëi1 5
7:
8:
9:
r
p¦r
(p¦q)ë(p¦r)
assumption
¦i 2,7
ëi2 8
10 :
LI 2003–04
p¦(qër)
p
qër
(p¦q)ë(p¦r)
ëe 3,4-6,7-9
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.16
DN: Regla de copia
u
Ejemplo (usando la regla hyp): ` p → (q → p):
1:
LI 2003–04
p
assumption
2:
3:
q
p
4:
qçp
çi 2-3
5 : pç(qçp)
çi 1-4
assumption
hyp 1
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.17
DN: Reglas de la negación
x
x
Extensiones de la lógica para usar falso:
u
Extensión de la sintaxis: ⊥ es una fórmula proposicional.
u
Extensión de la semántica: v(⊥) = 0 en cualquier valoración.
Reglas de la negación:
⊥
⊥e
F
u
Regla de eliminación de lo falso:
u
Regla de eliminación de la negación:
u
Adecuación de las reglas de la negación:
F
¬F
¬e
⊥
* ⊥ |= F
* {F, ¬F } |= ⊥
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.18
DN: Reglas de la negación
u
Ejemplo ¬p ∨ q ` p → q:
1:
Âpëq
2:
Âp
assumption
3:
4:
5:
p
Ù
q
assumption
Âe 2,3
Ùe 4
6:
pçq
çi 3-5
7:
q
assumption
8:
9:
p
q
10 :
pçq
11 :
LI 2003–04
pçq
premise
assumption
hyp 7
çi 8-9
ëe 1,2-6,7-10
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.19
DN: Reglas de la negación
u
Regla de introducción de la negación:
F
...
⊥
¬i
¬F
u
Adecuación: Si F |= ⊥, entonces |= ¬F .
u
Ejemplo: p → q, p → ¬q ` ¬p:
1:
2
3
4
5
:
:
:
:
6:
LI 2003–04
pçq , pçÂq
p
q
Âq
Ù
Âp
premises
assumption
çe 2,1.1
çe 2,1.2
Âe 4,3
Âi 2-5
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.20
DN: Reglas de la negación
u
Ejemplo: p → ¬p ` ¬p:
1:
pçÂp
2:
3:
4:
p
Âp
Ù
5:
LI 2003–04
Âp
premise
assumption
çe 2,1
Âe 3,2
Âi 2-4
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.21
DN: Reglas de la negación
u
Ejemplo p ∧ ¬q → r, ¬r, p ` q:
1:
2
3
4
5
:
:
:
:
6:
7:
u
p¦Âqçr , Âr , p
premises
Âq
p¦Âq
r
Ù
assumption
¦i 1.3,2
çe 3,1.1
Âe 1.2,4
ÂÂq
q
Âi 2-5
ÂÂe 6
Ejemplo: p → (q → r), p, ¬r ` ¬q:
1:
2:
3:
LI 2003–04
pç(qçr) , p , Âr
qçr
Âq
premises
çe 1.2,1.1
MT 1.3,2
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.22
DN: Reglas del bicondicional
u
Regla de introducción del bicondicional:
u
Ejemplo: p ∧ q ↔ q ∧ p:
1
2
3
4
:
:
:
:
p¦q
p
q
q¦p
5 : p¦qçq¦p
6
7
8
9
:
:
:
:
q¦p
q
p
p¦q
10 : q¦pçp¦q
11 : p¦qêq¦p
LI 2003–04
F →G G→F
↔i
F ↔G
assumption
¦e1 1
¦e2 1
¦i 3,2
çi 1-4
assumption
¦e1 6
¦e2 6
¦i 8,7
çi 6-9
êi 5,10
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.23
DN: Reglas del bicondicional
u
Reglas de eliminación del bicondicional:
u
Ejemplo: p ↔ q, p ∨ q ` p ∧ q:
1:
:
:
:
:
p
pçq
q
p¦q
assumption
êe1 1.1
çe 2,3
¦i 2,4
6
7
8
9
:
:
:
:
q
qçp
p
p¦q
assumption
êe2 1.1
çe 6,7
¦i 8,6
p¦q
F ↔G
↔ e2
G→F
premises
2
3
4
5
10 :
LI 2003–04
pêq , pëq
F ↔G
↔ e1
F →G
ëe 1.2,2-5,6-9
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.24
DN: Reglas derivadas: modus tollens
u
Regla derivada de modus tollens (MT):
1:
LI 2003–04
FçG , ÂG
2:
3:
4:
F
G
Ù
5:
ÂF
F → G ¬G
MT
¬F
premises
assumption
çe 2,1.1
Âe 1.2,3
Âi 2-4
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.25
DN: Reglas derivadas: introducción de doble negación
u
Regla de introducción de la doble negación:
1:
LI 2003–04
F
F
¬¬i
¬¬F
premise
2:
3:
ÂF
Ù
4:
ÂÂF
assumption
Âe 2,1
Âi 2-3
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.26
DN: Reglas derivadas: reducción al absurdo (RAA)
u
Regla de reducción al absurdo:
1:
LI 2003–04
ÂFçÙ
2:
3:
ÂF
Ù
4:
5:
ÂÂF
F
¬F
...
⊥
F
RAA
premise
assumption
çe 2,1
Âi 2-3
ÂÂe 4
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.27
DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM)
u
Ley del tercio excluido (LEM):
1:
Â(FëÂF)
assumption
2:
3:
4:
F
FëÂF
Ù
assumption
ëi1 2
Âe 1,3
ÂF
FëÂF
Ù
Âi 2-4
ëi2 5
Âe 1,6
8 : ÂÂ(FëÂF)
9 : FëÂF
Âi 1-7
ÂÂe 8
5:
6:
7:
LI 2003–04
Cc Ia
F ∨ ¬F
LEM
Otros sistemas proposicionales
5.28
DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM)
u
Ejemplo: p → q ` ¬p ∨ q:
1:
2:
premise
LEM
3:
4:
5:
p
q
Âpëq
assumption
çe 3,1
ëi2 4
6:
7:
Âp
Âpëq
assumption
ëi1 6
8:
LI 2003–04
pçq
pëÂp
Âpëq
ëe 2,3-5,6-7
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.29
DN: Reglas de deducción natural
x
Reglas de deducción natural:
Introducción
∧
∨
→
LI 2003–04
F G ∧i
F ∧G
F
F ∨ G ∨i1
G ∨i
F ∨G 2
F
..
G
F → G →i
Cc Ia
Eliminación
F ∧ G ∧e
1
F
F ∨G
F
F
..
H
H
F ∧ G ∧e
2
G
G
..
H
∨e
F → G →e
G
Otros sistemas proposicionales
5.30
DN: Reglas de deducción natural
x
Reglas de deducción natural:
Introducción
¬
F
..
⊥
¬F ¬i
F
¬F ¬e
⊥
⊥
⊥ ⊥e
F
¬¬
¬¬F ¬¬e
F
↔
x
Eliminación
F → G G → F ↔i
F ↔G
F ↔G↔e
1
F →G
F ↔G↔e
2
G→F
Adecuación y completitud del cálculo de deducción natural.
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.31
Bibliografı́a
x
C. Badesa, I. Jané y R. Jansana Elementos de lógica formal. (Ariel,
2000) Cap. 16: Cálculo deductivo.
x
R. Bornat Using ItL Jape with X (Department of Computer Science,
QMW, 1998)
x
J.A. Dı́ez Iniciación a la Lógica, (Ariel, 2002)
Cap.
4: Cálculo deductivo.
Deducibilidad.
x
M. Huth y M. Ryan Logic in computer science: modelling and reasoning about systems. (Cambridge University Press, 2000) Cap. 1: Propositional
logic.
x
Fitting, M. First-Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd
ed.) (Springer, 1995) Cap. 4.2: Natural deduction.
x
E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martı́n Lógica computacional (Thomson,
2003) Cap. 3.6: El método de la Deducción Natural
LI 2003–04
Cc Ia
Otros sistemas proposicionales
5.32