Funciones Proposicionales

Funciones Proposicionales
Carmen SÁNCHEZ DÍEZ
En la exposición de definiciones, teoremas, conclusiones relativas a afirmaciones,
negaciones o interpretaciones de muy diversos resultados, aparecen siempre en la
matemática, y en todas sus ramas, expresiones de tipo lógico que están
generalmente controladas por cuantificadores tanto universales como existenciales.
Son funciones de símbolos cuya estructura lógica es la de una función
proposicional.
Función proposicional
Sea S un conjunto de símbolos y sea (P,∧,∨ ) el álgebra de Boole de las
proposiciones lógicas. Denominamos función proposicional en variable sobre S, a
una correspondencia tal que a cada símbolo de S le corresponda una proposición de
P.
f :S → P
∀x ∈ S , f ( x) = a x ∈ P
Obviamente, la imagen, a x , del elemento x puede ser una proposición verdadera o
bien una proposición falsa. Llamaremos VS f al conjunto de valores de S para los
cuales f(x) es una proposición verdadera. O sea:
VS f = {x ∈ S / f ( x)}
Esto nos indica que la condición necesaria y suficiente para que un elemento
h ∈ S pertenezca al conjunto VS f es que f(h) sea una proposición verdadera:
h ∈ VS f ⇔ f (h)
Se definen la conjunción, disyunción o negación de funciones proposicionales del
mismo modo que se definen para las proposiciones lógicas:
Negación: es el conector que cambia el valor de verdad de la proposición que
conecta. Su tabla de verdad:
f(x)
1
0
f’(x)
0
1
Conjunción: es el conector de dos funciones proposicionales, f(x), g(x), que da lugar
a una proposición verdadera si ambas funciones son proposiciones verdaderas y a
una proposición falsa en caso contrario
1
f(x)
1
1
0
0
g(x)
1
0
1
0
f ( x) ∧ g ( x)
1
0
0
0
Disyunción: es el conector de dos funciones proposicionales, f(x), g(x), que da lugar
a una proposición falsa si ambas funciones son proposiciones falsas y a una
proposición verdadera en caso contrario
f(x)
1
1
0
0
g(x)
1
0
1
0
f ( x) ∨ g ( x)
1
1
1
0
Es útil el uso de los símbolos de cuantificación, los cuantificadores ordinarios, para
representar la conjunción o disyunción de un número discreto de valores de una
función proposicional:
[
]
Sea S = h1 , h2 ,..., hk ,... . Podemos simbolizar:
.
[ f (h1 ) ∧ f (h2 ) ∧ ... ∧ f (hk ) ∧ ...] por (∀x ∈ S ) f ( x) , o
bien, (∀x ) f ( x) si se
sobreentiende la pertenencia de x al conjunto S.
.
[ f (h1 ) ∨ f (h2 ) ∨ ... ∨ f (hk ) ∨ ...] por (∃x ∈ S ) f ( x) , o bien, (∃x ) f ( x)
si la
pertenecia a S se sobreentiende.
Es decir, se verifican las equivalencias:
(∀x ) f ( x) ⇔ [ f (h1 ) ∧ f (h2 ) ∧ ... ∧ f (hk ) ∧ ...]
(∃x ) f ( x) ⇔ [ f (h1 ) ∨ f (h2 ) ∨ ... ∨ f (hk ) ∨ ...]
[
]
Siempre que x ∈ h1 , h2 ,..., hk ,...
Propiedades:
Se verifican, para la conjunción, disyunción y negación
proposicionales, las propiedades elementales siguientes:
de
funciones
1. VS ( f ( x ) ∧ g ( x ) ) = VS f ( x) I VS g ( x)
Demostración:
h ∈ VS ( f ( x) ∧ g ( x) ) ⇔ f (h) ∧ g (h) ⇔ h ∈ VS f ( x) ∧ h ∈ VS g ( x) ⇔
⇔ h ∈ VS f ( x) I VS g ( x)
2. VS ( f ( x ) ∨ g ( x ) ) = VS f ( x) U VS g ( x)
Demostración:
2
h ∈ VS ( f ( x) ∨ g ( x) ) ⇔ f (h) ∨ g (h) ⇔ h ∈ VS f ( x) ∨ h ∈ VS g ( x) ⇔
⇔ h ∈ VS f ( x) U VS g ( x)
3. VS ( f ( x ) ∧ g ' ( x ) ) = VS f ( x ) − VS g ( x )
Demostración:
h ∈ VS ( f ( x) ∧ g ' ( x) ) ⇔ f (h) ∧ g ' (h) ⇔ h ∈ VS f ( x) ∧ h ∈ VS g ' ( x) ⇔
⇔ h ∈ VS f ( x) ∧ h ∉ VS g ( x) ⇔ h ∈ VS f ( x) − VS g ( x)
4. VS f ' ( x ) =⊄ VS f ( x)
(el símbolo ⊄ significa “complementario de”)
Demostración:
h ∈ VS f ' ( x) ⇔ f ' (h) ⇔ h ∉ VS f ( x) ⇔ h ∈⊄ VS f ( x)
Propiedades derivadas del uso de los cuantificadores:
Es sencillo establecer relaciones muy simples entre expresiones que usan el
cuantificador universal, ∀ , con expresiones que utilizan el cuantificador existencial
∃ . Se tiene:
1. (∃x ) f ( x ) ∨ (∃x )g ( x) ⇔ (∃x ) f ( x ) ∨ g ( x )
[
]
[
]
2.
[(∃x ) f ( x) ∧ (∃x )g ( x)] ⇔ (∃x )[ f ( x) ∧ g ( x)]
3.
[(∀x ) f ( x) ∨ (∀x )g ( x)] ⇔ (∀x )[ f ( x) ∨ g ( x)]
4.
[(∀x ) f ( x) ∧ (∀x )g ( x)] ⇔ (∀x )[ f ( x) ∧ g ( x)]
5. (∀x ) f ( x) ⇒ f ( x 0 ) ⇒ (∃x ) f ( x )
6.
[(∀x ) f ( x)]' ⇔ (∃x ) f ' ( x)
7.
[(∃x ) f ( x)]' ⇔ (∀x ) f ' ( x)
Las dos últimas fórmulas, en concreto, permiten escribir las leyes de De Morgan de
manera sencilla:
(∃x ) f ( x) ⇔ [(∀x ) f ' ( x)]'
(∀x ) f ( x) ⇔ [(∃x ) f ' ( x)]'
Las funciones proposicionales de dos o más variables:
Sean S1,S2 dos conjuntos de símbolos y sea (P,∧,∨ ) el álgebra de Boole de las
proposiciones lógicas. Denominamos función proposicional en dos variables sobre S1
y S2, a una correspondencia tal que a cada símbolo del producto cartesiano S1xS2 le
corresponda una proposición de P.
f : S1 xS 2 → P
3
∀( x, y ) ∈ S1 xS 2 , f ( x, y ) = axy ∈ P
Asimismo, si consideramos n conjuntos de símbolos, S1,S2,…,Sn, y siendo (P,∧,∨ ) el
álgebra de Boole de las proposiciones lógicas, denominamos función proposicional
en n variables sobre S1 ,…, Sn, a una correspondencia tal que a cada símbolo del
n
producto cartesiano S1 × ... × S n = Π Si le corresponda una proposición de P.
i =1
n
f : Π Si → P
i =1
n
∀( x1 ,..., xn ) ∈ Π Si , f ( x1 ,..., xn ) = ax1 ... x n ∈ P
i =1
Podemos disminuir el número de variables de la función proposicional fijando
algunas de ellas. Así, por ejemplo, las funciones proposicionales siguientes son
funciones de una sola variable:
(∀x ) f ( x, y ), (∃x ) f ( x, y )
(∀y ) f ( x, y), (∃y ) f ( x, y)
son funciones proposicionales de la variable y.
son funciones proposicionales de la variable x.
Y las propiedades para estas funciones proposicionales son las mismas que las
propiedades vistas anteriormente para funciones proposicionales de una sola
variable.
En general, con respecto al uso de los cuantificadores se verifican de forma obvia
las propiedades:
1) (∃x )(∃y ) f ( x, y ) ⇔ (∃y )(∃x ) f ( x, y )
2) (∀x )(∀y ) f ( x, y ) ⇔ (∀y )(∀x ) f ( x, y )
3) (∃x )(∀y ) f ( x, y ) ⇒ (∀y )(∃x ) f ( x, y )
y, si los espacios de símbolos coinciden (S1=S2), se tiene:
1) (∀x, y ) f ( x, y ) ⇒ (∀x ) f ( x, x ) ⇒ (∃x ) f ( x, x ) ⇒ (∃x, y ) f ( x, y )
2) (∃x )( f ( x ) ∧ g ( x ) ) ⇒ (∃x, y )( f ( x ) ∧ g ( y ) ) ⇒ (∃x ) f ( x ) ∧ (∃y )g ( y ) ⇔
⇔ ((∃x ) f ( x ) ∧ (∃x )g ( x ) )
3) (∀x )( f ( x ) ∨ g ( x ) ) ⇒ (∀x, y )( f ( x ) ∨ g ( y ) ) ⇒ (∀x )( f ( x ) ∨ g ( x ) )
Ejemplos:
1) La expresión de la continuidad de una función f en un punto x0 ∈ R es, en
la formulación de Cauchy:
(∀ε )(∃δ )(∀h )( h < δ ⇒
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) < ε ) , con ε > 0, δ > 0
2) La continuidad de una función
expresa por:
f en un
(∀ε )(∀x )(∃δ )(∀h )( h < δ ⇒
intervalo abierto a < x < b se
f ( x + h) − f ( x) < ε )
4
3) Si intercambiamos en la expresión anterior
condición de la continuidad uniforme:
(∀ε )(∃δ )(∀x )(∀h )( h < δ ⇒
(∃δ )
por
(∀x )
tenemos la
f ( x + h) − f ( x) < ε )
Bibliografía:
Hilbert, D._Ackermann, W.; “Elementos de Lógica Teórica”, Editorial Tecnos, 1962,
Madrid.
Suppes, P._Hill, S.; “Introducción a la Lógica Matemática”, Ed. Reverté, 1986,
Barcelona.
Russel y Whitehead, “Principia Matemathica”, Ed. Cambridge University Press,
1927-1994, Cambridge.
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