producto escalar

PRODUCTO ESCALAR
INTRODUCCIÓN
El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos
operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número real por un
vector.
Las propiedades que se derivan de estas dos operaciones reciben el nombre de propiedades afines, y
nos permiten resolver problemas tales como la incidencia, el paralelismo y la intersección de rectas.
Ampliando el conjunto de estas dos operaciones podremos trabajar con otros conceptos como
distancias, ángulos y áreas.
La nueva operación es el producto escalar de vectores libres de plano.
En el conjunto de los vectores libres del espacio, además de ampliar las operaciones del espacio
vectorial con el producto escalar se pueden añadir otras dos operaciones más, el producto vectorial y
el producto mixto.
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ÁNGULO DETERMINADO POR DOS VECTORES LIBRES
 
Sean u y v dos vectores
no nulos de los vectores libres del plano y A un punto arbitrario del

 libres
 
plano afín. Sean AB y AC dos representantes de los vectores u y v con origen común en el punto
A.
 
 
u = AB y v = AC
 
Se llama ángulo determinado por los vectores libres u y v al menor de los ángulos que forman las
 
semirrectas AB y AC y podemos designarlo como u
,v .
( )
( )
 
α = u
,v
Será
0º ≤ α ≤ 180º
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2
Si uno de los vectores libres coincide con el vector nulo, el concepto de ángulo determinado por dos
vectores libres carece de sentido.
 
El ángulo que forman u y v es α
Recuerda que
cos ( 360º −α=
) cos α
( )


 
Decimos que el ángulo u
, v tiene sentido positivo cuando el sentido de recorrido de u hacia v es
contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, y negativo cuando coincide con el sentido de giro
de las agujas del reloj.
Ángulo con sentido positivo
 
α = u
,v
Ángulo con sentido negativo
 
−α = v
,u
( )
( )
Recuerda que
cos ( −α=
) cos α
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3
PRODUCTO ESCALAR
Definición
 
 
Dados dos vectores libres del plano u y v , se llama producto escalar de los vectores u y v , que
 
representamos como u ⋅ v , al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
   
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α
( )
 
donde α = u
,v .
Si alguno de los vectores es el vector nulo, por definición, el producto escalar será cero, dado que en
tal caso dijimos que carecía de sentido hablar del ángulo que forman los vectores.


El producto escalar asocia a cada par de vectores u y v un único número real, luego es una
aplicación
⋅
V2 × V2 → 
 
 
(u, v ) → u ⋅ v
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El producto escalar puede ser un número real positivo, negativo o nulo. El signo del producto escalar


dependerá del signo del coseno dado que u ≥ 0 y v ≥ 0 .
• El producto escalar será positivo si los vectores son no nulos y forman un ángulo agudo.
• El producto escalar será cero si alguno de los vectores es nulo o, siendo ambos no nulos, forman
un ángulo recto (son perpendiculares).
• El producto escalar será negativo si los vectores son no nulos y forman un ángulo obtuso.
 
 
 
Sean u y v dos vectores no nulos, u ≠ 0 y v ≠ 0 .
0º ≤ α < 90º
α =90º
90º < α ≤ 180º
 
u ⋅v > 0
 
u ⋅v =
0
 
u ⋅v < 0
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Casos particulares
 
   
2
• En el caso particular de que u = v , se tiene u ⋅ u = u ⋅ u ⋅ cos
0º
=
u

  2
u ⋅u =
u
1
El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo.
De donde también podemos obtener la expresión

 
=
u
u ⋅u
• Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, su producto escalar es igual al producto
de sus módulos.
   
 
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos
0º
=
u
⋅v

1
• Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentidos opuestos, su producto escalar es igual al
valor opuesto del producto de sus módulos.
   
 
u ⋅ v =u ⋅ v ⋅ cos180º
=
−
u
⋅v



−1
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Propiedad
 
 
 
Sean u y v dos vectores no nulos, u ≠ 0 y v ≠ 0 .
 
 
El producto escalar de u y v es cero si y solo si los vectores u y v son perpendiculares.
 
 
u ⋅ v= 0 ⇔ u ⊥ v
Demostración
(⇒)
( ⇐)
 
 
 
u ⋅ v= 0 ⇒ u ⋅ v ⋅ cos α= 0 ⇒ cos α= 0 ⇒ α= 90º ⇒ u ⊥ v
 
≠
0
≠
0
 
   
 
u ⊥ v ⇒ α = 90º ⇒ u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos90º
=
0
⇒
u
⋅v = 0

=
0
A los vectores no nulos cuyo producto escalar es cero los llamamos vectores ortogonales.
Definición
Se dice que dos vectores libres no nulos son ortogonales si su producto escalar es cero, es decir,


dados dos vectores, u ≠ 0 y v ≠ 0 ,
 
 
u y v ortogonales ⇔ u ⋅ v =
0
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Interpretación geométrica del producto escalar
 
 
Sean u = AB y v = AC .


 
Se llama vector proyección de v sobre u al vector v′ = AC ′ , donde C ′ es la proyección ortogonal de

C sobre la recta que contiene a u .

Podemos notarlo por proyu v y tenemos
 

proyu v = AC ′
Usando este vector vamos a interpretar geométricamente el producto escalar.
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Ángulos agudos
En el triángulo rectángulo C'CA

AC ′ v′
cos α
= = =
v
AC
de donde

proyu v

v
Ángulos obtusos
En el triángulo rectángulo C'CA

AC ′ v′
=
cos (180º −α=

) =

v
AC
de donde


v ⋅ cos α = proyu v

proyu v

v


v ⋅ cos (180º −α ) = proyu v
Teniendo en cuenta que
cos (180º −α ) = − cos α
obtenemos
   

 

u ⋅ v= u ⋅ v ⋅ cos α= u ⋅ proyu v= u ⋅ proyu v


u y proyu v tienen la misma dirección y sentido


− v ⋅ cos α = proyu v


v ⋅ cos α = − proyu v
   

 

u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α = − u ⋅ proyu v = u ⋅ proyu v


u y proyu v tienen la misma dirección y sentidos
opuestos
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El producto escalar de dos vectores es igual al producto
escalar de uno de ellos por el vector proyección del otro
sobre él.
  

u ⋅ v = u ⋅ proyu v
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Propiedades del producto escalar
PE1) Conmutativa
   
u ⋅v = v ⋅u
PE2) Homogénea
 
 
( λ ⋅ u ) ⋅ v = λ ⋅ (u ⋅ v )
PE3) Distributiva del producto escalar respecto a la suma de vectores
  
   
u ⋅ ( v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
PE4) Definido positivo

Para cualquier vector u no nulo de V2
 
u ⋅u > 0
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Espacio vectorial euclídeo
Se llama espacio vectorial euclídeo a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto
escalar.
El espacio vectorial de los vectores libres del plano con el producto escalar que hemos definido es un
espacio vectorial euclídeo.
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Vectores unitarios


Se dice que un vector u es unitario si su módulo es la unidad, u = 1.


Dado un vector v , no nulo, se pueden obtener dos vectores unitarios con la misma dirección que u ,
el vector

 v
u= 
v
y su opuesto

v

−u =− 
v
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Base ortonormal
Recordamos que para que un conjunto de vectores formen una base se necesita que sean linealmente
independientes y formen un sistema generador.
Algunos tipos particulares de bases son:
• Se dice que una base es normada si todos los vectores que la componen son unitarios.


 
u
=
1
B = {u1 , u2 } es normada ⇔ u=
1
2
• Se llama base ortogonal a una base cuyos vectores son ortogonales dos a dos
 
 
0
B = {u1 , u2 } es ortogonal ⇔ u1 ⋅ u2 =
• Se dice que una base es ortonormal si sus vectores son unitarios y ortogonales dos a dos.
 


 
u
0
y
u
=
1
B = {u1 , u2 } es ortonormal ⇔ u=
1 ⋅ u2 =
1
2


u=
u
=
1
1
2
 
u1 ⋅ u2 =
0
Base normada
Base ortogonal
 


u
0
y
u=
u
=
1
1 ⋅ u2 =
1
2
Base ortonormal
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EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR
 
Consideremos la base ortonormal B = {i , j }

i=

 
=
j 1 e i ⋅ j =0


Los vectores i y j son unitarios y ortogonales.

La dirección del vector i es horizontal y sentido a la derecha.

La dirección del vector j es vertical y sentido hacia arriba.




Los vectores i y j son perpendiculares, i ⊥ j .
Productos escalares de los vectores de la base
   
i ⋅ i = i ⋅ i ⋅ cos 0º = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
   
i ⋅ j = i ⋅ j ⋅ cos90º = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0
   
j ⋅ i = j ⋅ i ⋅ cos90º =1 ⋅ 1 ⋅ 0 =0
   
j ⋅ j = j ⋅ j ⋅ cos 0º = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
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

Dados los vectores u ( x1 , y1 ) y v ( x2 , y2 ) por sus componentes respecto a la base ortonormal
 
B = {i , j } , su producto escalar será




u ( x1 , y1 ) ⇒ u = x1 i + y1 j 




v ( x2 , y2 ) ⇒ v = x2 i + y2 j 
 
u ⋅ v=




( x1 i + y1 j ) ⋅ ( x2 i + y2 j )








= ( x1 i ) ⋅ ( x2 i ) + ( x1 i ) ⋅ ( y2 j ) + ( y1 j ) ⋅ ( x2 i ) + ( y1 j ) ⋅ ( y2 j )
 
 
 
 
= ( x1 ⋅ x2 ) ⋅ ( i ⋅ i ) + ( x1 ⋅ y2 ) ⋅ ( i ⋅ j ) + ( y1 ⋅ x2 ) .( j ⋅ i ) + ( y1 ⋅ y2 ) ⋅ ( j ⋅ j )




1
0
0
1
= x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2
Por lo tanto, la expresión analítica del producto escalar respecto de una base ortonormal es

u ( x1 , y1 ) 
 
⇒
u
⋅ v = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2


v ( x2 , y2 ) 
El producto escalar de dos vectores se obtiene realizando el producto de las primeras componentes
de los vectores y sumándole el producto de las segundas componentes.
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Expresión analítica del módulo de un vector
Sabemos que

 
=
u
u ⋅u
 

Si u ( x, y ) respecto a la base ortonormal B = {i , j } , su módulo será

u=
 
u ⋅u =
x⋅x + y⋅ y=
x2 + y 2
Por lo tanto

u ( x, y ) ⇒

u = x2 + y 2
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Ángulo de dos vectores
De la definición de producto escalar podemos despejar el coseno del ángulo que forman dos vectores
dados
   
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α
de donde
 
u ⋅v
cos α =  
u⋅v
El coseno del ángulo que forman dos vectores es igual al producto escalar de los vectores dividido
entre el producto de sus módulos.


Dados los vectores u ( x1 , y1 ) y v ( x2 , y2 ) por sus componentes respecto a la base ortonormal
 
B = {i , j } , el coseno del ángulo que forman será

u ( x1 , y1 ) 
x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2

 ⇒ cos α = 2
v ( x2 , y2 ) 
x1 + y12 ⋅ x2 2 + y2 2
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EJERCICIOS
 
 
1. Las componentes de u y v en la base ortonormal B = {i , j } son, respectivamente, (1, 3) y
( −2, 5) . Calcula:
a)
 
u ⋅v

b) u
c)

v
 
d) Ang ( u , v )

2. Halla un vector ortogonal a u ( 3, 4 ) y de módulo 1.
 
 
3. Dados los vectores u y v , cuyas componentes en la base B = {i , j } son ( 2,1) y ( −3, 2 ) , calcula:
 

 
  
b) ( u + v ) ⋅ v
c) u
d) Ang ( u , v )
a)
u ⋅v
4. ¿Cuántos vectores hay ortogonales a uno dado? ¿Y si fijamos su módulo?
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