Solución

Examen final extraordinario de física: ondas y electromagnetismo
19 junio 2013
(Las notas y estos problemas resueltos aparecerán en la página web; esta hoja no hay que entregarla)
EN EL EXAMEN SE EVALÚA FUNDAMENTALMENTE EL PLANTEAMIENTO Y
JUSTIFICACIÓN DE RESOLUCIÓN DE CADA DEL PROBLEMA, QUE DEBE SER CLARA Y
CONCISA. SE DEBE EVITAR TAJANTEMENTE COPIAR DEMOSTRACIONES
1) Dos impulsos viajan con velocidades de 1m/s y 2m/s en la misma dirección y sentido como muestra la figura. En
el instante t=0s se encuentran en la
configuración también mostrada en la
figura. Dibuje la configuración de la
INTERFERENCIA de los impulsos en el
instante t=2s. (No justifique nada, sólo
dibuje
la
gráfica
¡con
las
correspondientes unidades, TODAS!).
Solución:
-------------------------------------------------------------------------------------------------2) La expresión de la onda estacionaria generada en la cavidad resonante de un clarinete es y=Acos(Bπt)sen(πCx).
La onda corresponde al modo siguiente al fundamental, la longitud de la cavidad resonante es de 15cm y la
frecuencia de la onda 1.7Hz. Determine el valor de las constantes B y C, dibuje la correspondiente onda estacionaria
y compruebe las c.c. (c.c. del clarinete: un extremo fijo y el otro libre; la cavidad resonante del clarinete está
localizada entre las posiciones x=0cm y x=15cm).
Solución: El modo siguiente al fundamental tiene la forma de la figura
si las c.c. son las propuestas. Inmediatamente vemos que λ=4L/3,
siendo L la longitud de la cavidad resonante. Por otra parte πCx debe
ser kx=2πx/λ, es decir πCx=2πx/λ o lo que es lo mismo C=2/λ=2×3/4L=1/10 cm-1. Y Bπt debe
ser ωt=2πft, es decir Bπt=2πft o lo que es lo mismo B=2f=2×1.7Hz=3.4s-1. La expresión queda
finalmente Acos(3.4s-1πt)sen(πx/10cm). Observe que siempre y=0 para x=0, que es la condición
de extremo fijo. En cambio en x=L, y=Acos(3.4s-1πt)sen(π1.5cm) que describe es un m.a.s. de
amplitud Asen(π1.5cm) como corresponde a la condición de extremo libre.
(También podría dibujarse el modo justo al revés, con el extremo fijo en x=L, pero entonces no
le correspondería la expresión dada que obliga a que el extremo fijo esté en x=0).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------3) Un observador inmóvil percibe el sonido de un emisor que está localizado en un autogiro, también inmóvil, justo
1000m por encima del observador. En un cierto instante se deja caer el emisor sobre el observador hasta que le da
en la cabeza. ¿Cuánto ha cambiado la frecuencia percibida por el observador desde que el emisor empieza a caer
hasta que le da en la cabeza? (Frecuencia del emisor
Solución:
El
emisor
tiene
velocidad
f = 15.0 Hz , velocidad del sonido 340m/s).
inicial
nula
y
velocidad
final
v final = 2 gh =
= 2 * 9.81 * 1000m / s = 140m / s . Las correspondientes frecuencias percibidas, inicial y final, por el
observador son respectivamente de acuerdo con el efecto Doppler: f o,1 = f × v /( v − vinicial ) = 15.0 Hz
y f o, 2 = fv /( v − v final ) = 25.5Hz y por tanto, el cambio es de ∆f o = 10.5Hz .
------------------------------------------------------------------------4) El plano y la superficie esférica de la figura están cargados con una densidad de
carga σpla=+2×8.85×10-12C/m2 y σesf=-(√2)×8.85×10-12C/m2 respectivamente. El
plano, infinito, está localizado en y=0 y el centro de la superficie esférica en
(0,2,0)m; la esfera tiene un radio de 1m. Determine el valor del campo eléctrico
total que generan, el plano y la superficie esférica, en P=(0,1,1)m .
Solución: El módulo del campo creado por una superficie cargada
plana e infinita es E =| σ | / 2ε 0 , independientemente de la posición.
La dirección perpendicular al plano, y el sentido alejándose del plano (σpla >0). Por tanto el

campo creado por el plano en P es: E pla = (0,σ pla / 2ε 0 ,0) = (0,1,0) N / C . El campo creado por la
superficie esférica FUERA de la esfera es el mismo que el creado por toda la carga de la
superficie, Q, si fuera colocada en el centro de la esfera (ver notas de clases). La carga Q es
σesf×4πR2. El campo que crea la carga Q, si fuera colocada en el centro de la esfera, es radial,
hacia el centro de la esfera (σesf<0) y de módulo
Eesf = k | Q | / r 2 =| Q | / 4πε 0 r 2 , siendo r la distancia del centro de la
esfera al punto P (es fácil ver que r =
| σ esf | 4πR 2
2m ). Sustituyendo:
2 × 8.85 × 10-12 C/m 2 1m 2
2
=
N / C . Éste es el
2
-12 2
2
2
2m × 8.85 × 10 C /Nm
2
4πr ε 0

módulo, las componentes son: Eesf = (0, Eesf × cos 45º ,− Eesf × sin 45º )

Eesf = (0, Eesf 2 / 2,− Eesf 2 / 2) = (0,1 / 2,−1 / 2) N / C . El campo total es
Eesf =
=
 

E = E pla + Eesf = (0,3 / 2,−1 / 2) N / C , cuyo módulo es E = 5 / 2 N / C
--------------------------------------------------------------------------5) Una masa con carga positiva describe una órbita ciclotrónica, de 6m de radio en el plano XY, debido a la presencia
de un campo magnético uniforme de 1T:

B = (0,0,1)T
(ver figura). En el momento que
pasa por el origen (ver figura) se suprime instantáneamente el campo magnético y a la vez
se introduce el campo eléctrico uniforme

E = (0,1,0) N / C
que se mantiene durante 4s. Al
final de estos 4s se suprime el campo eléctrico y se recupera el magnético anterior. ¿Cuál es
el valor del radio R de la órbita ciclotrónica que la masa describe al final?
Solución: La velocidad que tiene la masa en el instante de aparecer el

campo eléctrico es: v0 = (0, rqB / m,0) . La masa es acelerada

por el campo eléctrico con una fuerza qE durante 4s en la





dirección OY alcanzando una velocidad final v f = v0 + at = v0 + qEt / m ; con esta
velocidad sin campo eléctrico y de nuevo con el anterior campo magnético la masa



describe una órbita de radio R = mv f / qB . Como v f , v0 y E solo tienen componente
“y” es inmediato sustituir para obtener: R = m( v0 + qEt / m) / qB = r + Et / B = ... = 10m
----------------------------------------------------------------------------------------------------6) Un cable de longitud infinita está situado en el eje OZ. En la posición z=0 el cable hace un
lazo antes de seguir por el eje OZ (ver figura). El lazo tiene forma de circunferencia con un
radio de 2m y perpendicular al eje OZ, es decir está contenido en el plano z=0. Por el cable
pasa una corriente eléctrica de 1A. Determine el valor del campo magnético creado en el
centro del lazo (circunferencia) debido a la corriente de TODO el cable.

Solución: El campo B creado por todo el cable es la suma del campo creado


por un hilo recto infinito, Bhilo , y una espira circular, Besp .
El módulo del campo magnético creado por la espira en
su centro está dado por Besp = µ0 I / 2 R , es perpendicular
a la espira y el sentido dado por la regla del “sacacorchos”, es decir:

Besp = (0,0,− µ0 I / 2 R) como se muestra en la figura. El módulo campo creado
por el hilo a una distancia R del mismo es Bhilo = µ0 I / 2πR , es perpendicular
al hilo y el sentido el dado por la regla del “sacacorchos”, es decir

Bhilo = ( − µ0 I / 2πR,0,0) como se muestra en la figura. El campo total es finalmente

B = ( − µ0 I / 2πR,0,− µ0 I / 2 R ) = ( −1,0,−π ) µ0 I / 2πR sustituyendo los valores de las variables queda:

Tm
B = ( −1,0,−π )4π × 10 − 7
1A / 2π 2m = ( −1,0,−π )10 − 7 T .
A