R3-2. Una esfera metálica esta semi

R3-2. Una esfera metálica esta semi-introducida en líquido
dieléctrico de permitividad ε. Establecer los Campos D y E así como
las distribuciones de carga libre y de polarización.
Dentro de la esfera metálica trivialmente se verifica
r
E=0
,
r
D=0
Debido a la simetría el campo va a ser radial en cada lado de la interfase. Pero el valor de
éste podría, en principio, ser diferente en cada medio. Sin embargo en la superficie de
separación, debido a la irrotacionalidad del campo electrostático se ha de cumplir la
condición de continuidad:
Et 1 = Et 2
pero esta componente tangencial a la superficie, debido a la geometría del problema
coincide justo con el valor completo del campo a cada lado de la superficie de separación.
Esto asegura que el Campo E va a tener el mismo valor independientemente de que el
medio en que sea calculado, solo dependiente de la distancia a la esfera:
r r
E = E (r ) en todo el espacio
El campo D va a ser por el contrario diferente a cada lado de la superficie del líquido:
por al ley de Gauss:
r r
D
∫ ds = QL
Entonces como
r
r
D = εE
Σ
y tenemos dos medios de constantes ε y ε0
r r
r r
r r
∫ Dds = ∫ Dds + ∫ Dds =
Σ
Σ1
Σ2
4π 2
r (ε + ε 0 )E (r ) = Q
2
donde Σ1 y Σ2 son los cascarones esféricos superior e inferior respectivamente
Despejando encontramos el valor del campo en todo el espacio:
r
E (r ) =
r
Q
U
r
2πr 2 (ε + ε 0 )
r
r
y como D = εE :
r
D(r ) = ε
r
Q
U
r en el líquido
2πr 2 (ε + ε 0 )
y
r
D(r ) = ε 0
r
Q
U
r al aire
2πr 2 (ε + ε 0 )
En cuanto a las distribuciones de carga
•
σL
r r
hemos estudiado que σ L = D ⋅ n , que indica que la distribución superficial de carga libre
en la superficie de la esfera es mayor en la parte sumergida que en la que está en contacto
con aire. Su valor no es más que el valor de D despojado de su carácter vectorial.
• ρL
la densidad volúmica de carga será cero en el interior de la esfera por ser metálica. Lo
mismo ocurre con el exterior ya que o bien es aire o dieléctrico que en cualquier caso no
posee cargas libres.
•
σP
r r
r r
ésta viene dada por σ P = P ⋅ n donde P = E (ε − ε 0 ) por lo tanto es cero en el aire (es
evidente ya que no hay dieléctrico si consideramos el aire “casi vacío”), mientras que su
valor en la parte del liquido en contacto con la esfera es σ P = (ε − ε 0 ) E ( R)
ρP
en la parte superior tenemos vacío, por lo que no tiene sentido hablar de cargar de
r
polarización. En el líquido P es radial y ρ P = −∇ ⋅ P = 0 ya que el dieléctrico es
homogéneo.
•
Juan José Gómez 3ºFísica 02/03