Ejemplos: i) - x = u e , ii) 2 + sen y= tan( xy) + 1,

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
Ecuación diferencial en derivadas parciales:
Una ecuación diferencial
es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes con respecto de una ó mas variables independientes.
es una ecuación diferencial que sólo contiene las derivadas parciales
de una ó más variables dependientes, respecto de dos ó más
variables independientes.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Ejemplos: i)
2 u
 x
2
2 u
- x  y = u e – xy ,
2
Clasificación según su tipo:
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
es una ecuación diferencial que sólo contiene derivadas ordinarias de
una variable dependiente con respecto a una sola variable
independiente.
Ejemplos: i) y’ + 2 y = x ln x ,
2 u
ii)
 x2
iii)
2 u
u
x
y z
2
dz
dx
+ sen y= tan( xy) + 1,
ii) y’’ + sen y = x y
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas
parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.
2
Ejercicio. Determine el orden y grado de la E.D.
d y
dy
 xe y ( )3  yx
2
dx
dx
Nota:
Toda ecuación diferencial de ordinaria de orden n en una sola variable se
(*)
puede expresar como: F(x, y, y’,..., y(n)) = 0
donde F es una función de valor real de n + 2 variables: x, y, y’,..., y(n)
Bajo ciertas condiciones la ecuación (*) también se puede expresar:
d n y = f(x, y, y’,..., y(n-1))
(**)
n
dx
La ecuación: (**) es la forma normal de la ecuación (*)
•
Clasificación según su linealidad: se dice que una ecuación
diferencial ordinaria de orden n es lineal si:
F(x, y, y',..., y(n)) = 0, si F es lineal en y, y',..., y(n-1), es decir,
an(x) y(n)+ an-1(x) y(n-1) ++ a1(x) y ' + a0(x) y = g(x),
donde an(x),…, a0(x) son funciones continuas en I y an(x) en 
Ejemplo Indique la(s) ecuación(es) diferencial(es) lineal(es):
i) y2 y’ + 2 y = x
iii) (1+x2)y’ + 2 x y = ex
ii) (3-x) y'' + y(3) = x tan(xy) iv) y(3) + x y(2) = 0
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA
SOLUCIÓN EXPLÍCITAS E IMPLICITAS
Una solución de la ecuación:
F(x, y, y’,..., y(n)) = 0 ó y(n) = f(x, y, y’,..., y(n-1)),
Consideremos una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n:
F(x, y, y’,..., y(n)) = 0 , donde xI
en un intervalo I es una función y = (x) definida en el intervalo I,
tal que existan , , ...,(n) en el intervalo I, y que verifique:
 (n)(x)= f(x, (x), ’(x),...,  (n-1)(x)), xI
Una solución explícita de la EDO es una función y = (x) que es n
veces continuamente diferenciable que satisface la EDO, es decir,
F(x, (x), ’(x),...,  (n)(x))= 0 , xI
Ejemplo: i) Analizar si y = e – x + x - 1 , es una solución de la
ecuación: y’ + y = x
Una solución implícita de la EDO es una relación: G(x, y) = 0, xI,
de modo que cuando derivemos implícitamente dicha relación,
obtendremos la EDO.
ecx
ii) Analizar si y 
,es una solución de la
x
ecuación: x y’ + y - ln(xy) = 0
Ejemplo
Analizar si y(x) tal que x2 + y2 = c, es una solución de la ecuación:
x
y'  
y
Ejemplo
x sent
dt  2 es una solución de la E.D.:
Analizar si y  x 0
t
x y’= y+x senx
CLASIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN
DE UNA EDO DE ORDEN N
solución general
•es una expresión que,
depende de n constantes
arbitrarias, contiene a
todas ó casi todas las
soluciones
de
dicha
ecuación.
solución particular
•es una expresión que se
obtiene de la solución
general a dar valores
particulares
a
las
constantes.
solución singular
•es una expresión
que no se pueden
obtener
de
la
solución general.
Ejemplo 1 Dada la ecuación diferencial: y’’ + y = 0.
DIBUJO APROXIMADO DE LAS SOLUCIONES
y = a senx + b cosx
i) La solución general es:
ii) La solución particular es: y = 3 senx - 5 cosx
Ejemplo 2 La ecuación diferencial: y’ = x y1/2, tiene como:
x2
2
I) solución general: y  (  k )
42
x
2
II) solución particular: y  (  1)
4
III) solución singular: y  0
Ejemplo:
a) Dibujar el campo direccional para la ecuación diferencial y’= -y
b) Dibujar la curva solución que pasa por el origen.
X
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2

Y
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1

y’
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-1

4
3
Esta ecuación diferencial expresa que la pendiente de la
curva solución en un punto (x,y) de la curva es f(x,y).
Estos segmentos rectilíneos indican la dirección hacia la que
una curva solución apunta, de modo que el campo
direccional ayuda a visualizar la forma general de la curva.
PROBLEMA DE VALORES INICIALES
Con frecuencia nos interesa resolver una EDO sujetas a
condiciones complementarias, las cuales son las
condiciones que se imponen a la función incógnita y = y(x)
y a sus derivadas, en algún intervalo I que contenga a x0.
d ny
 f ( x, y , y ',, y ( n 1) )
El problema: R esolver :
n
dx
sujeto a : y ( x0 )  y 0 , y '( x0 )  y1,, y ( n 1) ( x0 )  y n 1
2
donde y 0 , y1,, y n 1 sonconstantesreales
1
0
,se llama PROBLEMA DE VALORES INICIALES, conocido
también como el problema de valor inicial de n-ésimo orden .
Los valores dados de la función desconocida y(x) y de sus
primeras (n-1) derivadas en un solo punto x0: y(x0)= y0,
y’(x0)=y1,,y(n-1)(x0)= yn-1 se llaman las condiciones iniciales.
-1
-2
-3
-4
-4
forma: y’= f(x, y)
Si trazamos segmentos rectilíneos cortos, con pendiente
f(x,y), en varios puntos (x,y), se obtiene un conjuntos de
segmentos, denominado campo de direccional.
Ejemplo 3 La E.D. y’ + 2y = t3 e -2t, y(0) =1, tiene como
solución y  ( 1 t 4  1)e 2t
4
Solución
Dada la ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE VALORES
INICIALES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
a) P.V.I:
dy
 f ( x, y )
dx
y ( x0 )  y 0
Ejemplo: Resolver:
2
b) P.V.I:
d y
 f ( x, y )
d x2
y ( x0 )  y 0 , y '( x0 )  y1
i) y dx – x2 dy= 0, con y(1)= 2
ii) y’ = sen x – y, con y(0)= 0.5
(x0,y0)
(x0,y0)
EXISTENCIA Y UNICIDAD
Dado el P.V.I: y’ (x) = f (x, y), y (x0) = y0
TEOREMA (de existencia y unicidad )
(1)
Si la función f es continua en el rectángulo:
Al tener este problema surgen dos preguntas:
R = {(x, y)/ x-x0  a, y-y0  b} y satisface la condición de
i) ¿tendrá solución ?
Lipschitz en R ,es decir: f(x,y1) - f(x,y2)  Ky1 – y2, para todo
ii) ¿la solución será única?
(x,y1), (x,y2) R, donde K es una constante. Entonces, existe una
y solo una solución y = (x), de la ecuación (1) definida en el
EXISTENCIA: Para garantizar la existencia se impone la
continuidad de f
UNICIDAD: Para garantizar la unicidad de la solución, se
impone la continuidad de f y la condición de
Lipschitz.
intervalo [x0 - h, x0 + h], donde
COROLARIO
Si la función f, df son continuas en:
dy
R = {(x, y)/ x-x0 a, y-y0 b }, entonces, existe una y solo una
solución y = (x) de la ecuación (1), definida en el intervalo
b 1
[x0 - h, x0 + h], donde h  min {a, , };
M K
M  max f(x,y); K es una cota de
(x,y)  R
REPASO
df
en el rectángulo R
dy
Ejemplo
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Dada la EDO de primer orden:
(*)
y ' = f(x, y)  P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
Ejemplo: Resolver: x3 dx + (ey + y - 1) dy = 0
Ejemplo Resolver: (1 - x2 ) dy + sen(y) dx = 0
•
Se dice que una E.D.O. (*) es separable si la E.D.
se puede expresar como: y' = h(x) g(y)
En este caso, su solución general esta dada por:
1
 g(y) d y =  h( x)dx
Si: P(x) dx + Q(y) dy = 0, entonces, es la solución general.
 P  x  dx   Q  y  dy  c
EDO homogéneas
EDO reductibles a variables separadas.
•
Se dice que la función h(x,y) es homogénea de grado m
si:
h(tx,ty) = t m h(x,y)
•
Se dice que una EDO: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, es
homogénea si P(x,y) y Q(x,y) son funciones
homogéneas del mismo grado.
Las E.Ds. de la forma: y’ = f( a x + b y + c), donde a,b,c son
constantes.
Estas pueden transformar a una E.D. separable, si se realiza el
cambio de variable: z = a x + b y + c
Ejemplo Resolver: y’ =(y - x)1/3 + 1
PROPIEDAD
Toda EDO homogénea, puede transformarse a una EDO de
y
variables separable, mediante el cambio de variables z(x) 
x
Ejemplo: Hallar la solución general de: (x2+ 2xy) dx + x y dy = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Si para la ecuación diferencial: P dx + Q dy = 0, existe una F(x,y)
tal que
F
F
 P;
 Q,
x
y
entonces, ecuación diferencial se
denomina ecuación diferencial exacta.
La solución de esta ecuación viene dada, implícitamente, por la
expresión: F(x; y) = C
Criterio para la diferencial exacta
Sean continuas P(x,y) y Q(x,y), con derivadas parciales continuas
en una región rectangular R={(x,y)/ a < x < b, c < y < d }.
La E.D.: P dx + Q dy = 0, es exacta si y solo si  P   Q
y x
Método del factor integrante
A veces ocurre que la EDO: P dx + Q dy = 0, no es exacta ,
pero al multiplicar por una función  (x,y) la ecuación
resultante: ( P) dx + ( Q) dy = 0 es una ecuación
diferencial exacta.
En este caso, (x,y) se llama factor integrante de la ecuación
diferencial.
Casos especiales de factores integrantes:
 Si (P y – Q x)/ Q, es una función de x solamente, entonces un
Py Qx
factor de la ecuación diferencial es:
dx
( x )  e

Q
 Si (Q x – P y )/ P, es una función de y solamente, entonces un
Qx Py
factor de la ecuación diferencial es:
dy
( y )  e

P
Ejemplo: Resolver: (x2 + y2 + x ) dx + x y dy = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES DE LINEALES DE PRIMER
ORDEN
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de
la forma:
y’+ p (x) y = q (x); donde p y q son funciones continuas.
La solución general de dicha ecuación es:
y e
p ( x ) dx
Ejemplo: Resolver: y 
ECUACION DE BERNOULLI
Es una ecuación de la forma: dy + yP(x)= yn Q(x), n  0, n  1
dx
Si realizamos el cambio. z = y 1 – n , la E.D: de Bernoulli se
Transforma a una E.D. lineal
p ( x ) dx
  e
q( x)  c
2 2
( x  y ), y (2)  8
x