Derivadas - Segundo Polanco Lequerica

Tema 12.-Derivadas- Mat. I - I.E.S. “Valle del Saja” (SPL)
TEMA 12 .-DERIVADAS
INTRODUCCIÓN
A partir del concepto de límite, introduciremos un concepto nuevo, el de derivada, que es
fundamental en el desarrollo del análisis matemático
La derivación permite resolver problemas como: encontrar la ecuación de la recta tangente a una
curva en uno de sus puntos o hallar los puntos en los que una función alcanza los máximos y
mínimos relativos.
El cálculo de derivadas está unido a dos grandes matemáticos: Newton y Leibniz.
El primero nació en 1642. En su primer año en Cambridge, estudió las obras de Euclides,
Descartes, Kepler, Vikte y Wallis. A partir de 1663, asistió a las clases de Barrow y se familiarizó
con las obras de Galileo, Fermat y otros. En 1665, hace sus primeros descubrimientos sobre las
series infinitas y comienza a pensar en la velocidad del cambio o fluxión de magnitudes que
varían, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. En 1666 tuvo que permanecer en su casa
porque el Trinity College estuvo cerrado a causa de la peste que asolaba a Inglaterra en aquella
época. De aquel período son sus principales descubrimientos: El teorema binomial, el cálculo, la
ley de gravitación universal y la naturaleza de los colores. En 1669, Barrow consigue que nombren
a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas. Allí permaneció hasta 1696, en que es
nombrado gobernador de la Casa de la Moneda Británica.
Halley, amigo de Newton, fue a preguntarle en cierta ocasión si sabía qué trayectoria seguiría un
planeta alrededor del Sol, en el supuesto de que la única fuerza que influyese fuese una fuerza que
disminuyera en relación con el cuadrado de la distancia al Sol. La respuesta de Newton fue
instantánea: “una trayectoria elíptica” . Fue Halley quien animó a Newton a publicar sus cálculos y
el resultado fue la obra más influyente y revolucionaria que haya aparecido jamás: Philosophie
naturalis principia matemática. En ella Newton razona cómo es físicamente el sistema solar y
establece las leyes de la dinámica. Sin embargo ni Halley ni Wallis pudieron hacerle publicar sus
estudios sobre el cálculo, hasta que el alemán Leibniz en 1684 publicó en la revista científica Acta
Eruditorum, un procedimiento para calcular tangentes a una curva cualquiera.
Aunque Newton llegó más lejos con el cálculo que Leibniz, éste inventó una notación muy
superior a la usada por Newton. Mientras Newton escribía la derivada de y como y', y la de x como
x', Leibniz usaba dy/dx y dx/dy
Algunos de los descubrimientos de Newton han ido mejorándose, completándose e incluso han
sido superados por otras teorías científicas. Sin embargo, la potencia de los descubrimientos
realizados es tan fuerte que nos permite resolver problemas de la índole más diversa tales como
determinar una velocidad, la energía de una máquina, el coste de un producto para obtener un
beneficio máximo, etc. Gracias al cálculo de derivadas, podemos resolver cualquier problema en el
que intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra
alcance un valor máximo o mínimo.
12.1- TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
Como ya estudiamos en el tema anterior:
Llamamos Tasa de variación de una función f(x) en el intervalo [a,b] y lo representaremos por
TVA[a,b] al valor f (b) - f (a).
Ejemplo: Calcular la TVA en [ 3,5] de f ( x ) =
x+2
2
x −1
TVA =
7
24
−
5
8
=
−8
24
=
−1
3
1
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Llamamos Tasa de variación media de una función f(x) en el intervalo [a,b] y lo
representaremos por TVM[a,b] al valor :
f ( b) − f (a)
b−a
7
Ejemplo: En el caso anterior TVM en [ 3,5] de f ( x ) =
x+2
2
x −1
−
5
−1
TVM = 24 8 =
5−3
6
La tasa de variación puede ser positiva, negativa o nula:
Geométricamente nos da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un
determinado intervalo.
Llamamos Tasa de variación instantánea de una función f(x) en el punto x y lo representaremos
por TVI[x] al valor :
lim f ( x + h) − f ( x)
h
h→0
Ejemplo: Calcula la TVI(a) de f (x) =x2 :
lim
h→0
f ( a + h) − f ( a )
h
2
2
2
2
2
2
a + h + 2 ah − a
h + 2 ah
( a + h) − a
= lim
=
= lim
= lim
h
h
h
h→0
h→0
h→0
lim ( h + 2 a ) = 2 a
h→0
2
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12.2- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La tasa de variación instantánea de una función f(x) en un punto es lo que, matemáticamente
entendemos como derivada de esa función en dicho punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a , que representamos por f´(a), si existe es el valor
del límite :
f ´(a ) = lim f ( a + h) − f (a )
h
h→0
Si f´(a) es un número real, la función f(x) es derivable en x = a,
Si f´(a) no es un número real, el límite no existe y la función no es derivable en x = a,
Ejemplo1: Calcula la derivada de f (x) = x en el punto x = 2 :
f ´(2) = lim
h→0
f ( 2 + h ) − f ( 2)
h
= lim
h→0
( 2 + h) − 2
h
h
= lim
=1
h→0h
;
f ´(2) = 1
luego
Ejemplo2: Calcula la derivada de f (x) = x2+1 en el punto x = 3 :
f ´(3) = lim
h→0
f (3 + h) − f (3)
h
2
2
= lim (3 + h) + 1 − 10 = lim h + 6 h = 6
h
h
h→0
h→0
;
f ´(3) = 6
luego
12.3- FUNCIÓN DERIVADA
Si una función f(x) es derivable en su dominio es posible definir una nueva función que asocie a
cada número real del dominio la derivada en ese punto.
Esta función así definida se llama función derivada o, simplemente, derivada.
Ejemplo_1: Calcula la derivada de f (x) = x
f ´( x ) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
h
= lim
h→0
( x + h) − x
h
h
= lim
=1
h
h→0
;
luego
f ´( x ) = 1
Ejemplo_2: Calcula la derivada de f (x) = x2+1
f ´( x ) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x)
h
= lim
h→0
[( x + h)
2
] [
]=
+1 − x2 +1
h
lim h
h→0
2
+ 2 xh
= 2x
;
luego
f ´( x ) = 2 x
h
3
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12.4- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
A continuación representamos la posición de la recta AP cuando el incremento de la variable h
tiende a 0.
Observamos que a medida que h se hace mas pequeño los punto P1,P2,P3 .. se aproximan al punto A
y las rectas secantes AP1,AP2,AP3... tienen a la recta tangente t.
Las rectas AP1,AP2,AP3 que pasan por el punto A quedan determinadas por su pendiente. Esa
pendiente es la tasa de variación media
Por tanto la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en el punto A es:
m = lim f ( a + h) − f (a ) = f ´(a )
h
h→0
La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a coincide con la derivada en x = a
Ecuación de la recta tangente:
y – f(a) = f´(a) ( x - a)
Ecuación de la recta normal:
y – f(a) = [-1/f´(a)] ( x - a)
4
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12.5 CÁLCULO DE DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN
1.-Derivada de una constante:
Si y = k, entonces y´ = 0.
2.-Derivada de una función potencial:
Si y = xn, entonces y´ = n x n-1.
Si y = [f(x)]n, entonces y´ = n [f(x)] n-1 f´(x)
3.-Derivada del producto de un número por una función: Si y = k·f (x), entonces y´ = k f´(x)
4.-Derivada del producto de funciones : Si y = f(x) · g(x), entonces y´= f´(x) · g(x) + f(x) ·g´(x)
y=
5.-Derivada del cociente: Si
f ( x)
g ( x)
6.-Derivada de una raíz cuadrada:
1
Si y = x ⇒ y´=
2 x
⇒
y´=
Si
f ´(x)·g ( x) − f ( x)·g´(x)
[g ( x)]2
y=
f ( x)
⇒
y´=
f ´(x)
2 f ( x)
7.-Derivada de una raíz enésima:
Si
y=
n
x
⇒
y=
´
1
n
n
Si
n −1
x
y = n f ( x)
⇒
f ´(x)
y´=
n
n
f
n −1
( x)
8.-Derivada de la función logarítmica de base a:
log a e
x
9.-Derivada de la función neperiano:
1
Si y = Lnx ⇒ y´=
x
Si
y = log a x
⇒
y´=
⇒
y = log a f ( x)
Si
y = Ln f ( x)
Si
y = e f ( x)
⇒
y´= e f ( x ) f ´(x)
Si
y = a f ( x)
⇒
y´= a f ( x ) f ´(x) Ln a
⇒
y´=
log a e f ´(x)
f ( x)
Si
y´=
f ´(x)
f ( x)
10.-Derivada de la función exponencial de base e:
Si
y = ex
⇒
y´= e x
11.-Derivada de la función exponencial de base a:
Si
y = ax
⇒
y´= a x ·Ln a
12.- Derivada de las funciones trigonométricas:
Si y = sen x , entonces y´ = cos x
Si y = sen [f(x)], entonces y´ = f´(x) cos [f(x)]
Si y = cos x , entonces y´ = -sen x
Si y = cos [f(x)], entonces y´ = - f´(x) sen [f(x)]
Si y = tg x , entonces y´ = 1 + tg2x =
1
2
cos x
→
Si y = tg [f(x)] , entonces y´ = f´(x) [1 + tg2 [f(x)]] =
f´(x)
cos2 [f(x)]
13.- Derivada de las funciones inversas de las trigonométricas:
Si y = arccos (x) → y´=
-1
1-x2
=
Si y
arccos f(x) =
→ y´
-f´(x)
1−[ f(x)]2
5
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=
Si y
1
arcsen (x) =
⇒ y´
=
Si y
⇒ y´
arctag (x) =
=
Si y
1 − x2
1
=
Si y
1 + x2
arcsen f(x)=
⇒ y´
arctag f(x) =
⇒ y´
f´(x)
2
1 −[f(x)]
f´(x)
2
1 +[f(x)]
14.-Regla de la cadena:(Aplicable a todas las fórmulas)
Si
y= f
[ g ( x) ]
⇒
y´= f ´ [ g ( x) ] · g´(x)
15.-Derivada de una función elevada a otra función:
Si
y = f ( x) g ( x )
⇒

g ( x)· f ´(x) 
y´= f ( x) g ( x )  g´(x)·Ln f ( x) +
f ( x) 

16.-Derivación logarítmica:
Si
y = f ( x) ⇒ Ln y = Ln f ( x) ⇒
Ejemplo 1:
(fórmula 11)
y´ f ´(x)
f ´(x)
=
⇒ y´=
y
y
f ( x)
f ( x)
y=3
x
⇒
Ln y = x Ln 3 ⇒
y´
x
= Ln 3 ⇒ y´= 3 Ln 3
y
Ejemplo 2:
y=x
(fórmula 15)
x
⇒
Ln y = x Ln x ⇒
y´
= Ln x + x
y
1
x
= Ln x + 1 ⇒ y´= x [Ln x + 1]
x
12.6 DERIVACIÓN Y MONOTONÍA
En un determinado intervalo una función puede ser creciente (tasa de variación positiva),
decreciente (tasa de variación negativa) o constante (tasa de variación nula).
Del mismo modo ocurre con la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea (que
matemáticamente es la derivada). Por tanto:
Si f(x) es creciente
f `(x) > 0 ( pendiente de la recta tangente positiva)
Si f(x) es decreciente
f `(x) < 0 ( pendiente de la recta tangente negativa)
Si f(x) presenta un máximo o un mínimo
cero, recta horizontal ) .
f `(x) = 0 ( pendiente de la recta tangente
Por tanto para calcular los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento hallamos
la derivada e igualamos a cero, estudiando las raíces y el signo de f `(x).
6
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Ejemplo: Calcular los máximos, mínimos e intervalos de monotonía de f ( x ) =
x
3
− 4x
3
Solución : f ´(x) = x2-4
x < -2
x = -2
-2 <x <2
x=2
x>2
f ` (x)
+
0
-
0
+
f (x)
Creciente
M
decreciente
m
Creciente
12.7 DERIVACIÓN Y CURVATURA
Es evidente que aunque dos funciones sean crecientes en un intervalo [a,b], este crecimiento puede
manifestarse de tres formas diferentes:
a) crece siempre igual
b) crece cada vez mas deprisa
c) crece cada vez mas despacio
(de igual forma podemos considerar el decrecimiento)
Este diferente comportamiento se caracteriza por la curvatura.
Veamos que ocurre en cada caso
a) La tasa de variación media es siempre constante.
La curva no gira ni hacia la izquierda ni hacia la derecha.
La función se dice que es lineal y no tiene curvatura
b) La tasa de variación media va creciendo.
La curva va girando hacia la izquierda, es decir,
el sentido de giro es positivo (+).
La función se dice que es CONVEXA.
c) La tasa de variación media va decreciendo.
La curva va girando hacia la derecha, es decir,
el sentido de giro es negativo (-).
la función se dice que es CÓNCAVA.
Del mismo modo que definimos la función derivada de f(x) como f ´(x), podemos definir la función
derivada de la derivada primera como f ”(x) y se lee función derivada segunda de f(x),
análogamente derivada tercera, cuarta, etc.
7
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Ejemplo:
Si f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 4 , entonces f ´ (x) = 3 x2 + 4 x – 3 ; f ´´ (x) = 6x + 4 ; f ´´´ (x) = 6
Si f(x) es lineal en [a,b]
f ´(x) es constante
entonces f ´´(x) = 0
Si f(x) es convexa en [a,b]
f ´(x) es creciente
entonces f ´´(x) > 0
Si f(x) es cóncava en [a,b]
f ´(x) es decreciente
entonces f ´´(x) < 0
Una función tiene un punto de inflexión en x = a si la función cambia de curvatura en dicho punto
Si una función f(x) tiene un punto de inflexión en x = a
f ´´(a) = 0
f ´´(x) > 0
Punto de inflexión cóncavo-convexo
f ´´(x) < 0
Punto de inflexión convexo-cóncavo
f ´´(x) > 0
f ´´(x) < 0
Es importante destacar que el teorema recíproco no es cierto:
Sea f (x) = x4 , en este caso f ´´(x) = 12 x2, luego f ´´(0) = 0.
Y la función no tiene un punto de inflexión en x = 0, pues a la
izquierda y a la derecha de x = 0 ocurre que f´´(x) > 0.
f ´´(x) > 0
f ´´(x) > 0
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de las siguientes funciones:
a) f(x) = x3 – 4x
b) g(x) = x4 – 6x2
c) h (x) = x4 – x
8
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Asociarlas a las gráficas siguientes:
En el apartado 12.6 vimos que si una función tiene una máximo o un mínimo en un punto x = a,
entonces f´(a) = 0.
El teorema recíproco no es cierto:
Veamos la función f(x) = x3 . En este caso f ´(x)=3x2 y ocurre que f ´(0) = 0
f´(x) >0
f´(x) >0
¿Cómo se discrimina si un punto es máximo o mínimo?
Criterio 1: Usando solamente la derivada primera
f ´(x)
f (x)
x<a
-
x=a
0
mínimo
x>a
+
f ´(x)
f (x)
x<a
+
x=a
0
máximo
x>a
-
Criterio 2: Usando la derivada primera y la derivada segunda
Máximo
f ´(a ) = 0 y f ´´( a) < 0
Mínimo
f ´(a ) = 0 y f ´´( a) > 0
a
a
En el criterio segundo, si f ´´( a ) = 0 , se debe utilizar el criterio primero
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12.8 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
La derivabilidad de una función supone un progreso en relación con la simple continuidad de una
función; se trata de una función más restrictiva, ya que existen funciones continuas que no son
derivables.
Es decir:
Si f(x) es derivable en x = a entonces es continua en x = a
Es importante destacar que el teorema recíproco no es cierto, aunque
si una función NO es continua en x = a entonces NO es derivable en x= a.
Ejemplo: f(x) = x
m=-1
m=1
En x = 0 , las derivadas laterales son distinta, la función no es derivable
Cualquier función no será derivable en lo que llamamos punto anguloso ( cambio brusco de
pendiente).
Ejemplo:
y= x+3
Continua en todo R
NO es derivable en x = 3
y= x 2 - 4
Continua en todo R
NO es derivable en x = -2 y en x = 2
10