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Series
Series de potencias Fourier
Sumario:
1. Series de potencia
2. Intervalo de convergencia
3. Serie de Taylor generada por una función
4. Aplicación a los cálculos aproximados
Bibliografía
Castillo Series Tomo 1 .Capitulo 2 Pág. 181 a 240
Introducción
En la conferencia anterior estudiamos las series numéricas. Hoy comenzaremos
el estudio de las series funcionales dentro de las series funcionales se distinguen
las series de potencia y las series trigonométricas.
Desarrollo
f n x

 f x
x Dom f i x
n
n 1

 f x
n 1
n
es convergente
S 1 x  f 1 x
S 2 x  f 1 x  f

S n x  f
n
n
2
 l i mS n x S x
x
x
1
En una serie funcional la convergencia siempre será uniforme
Serie de potencia
Una serie de potencias con centro en x=a es una serie de la forma:
1
En el cual el centro es a, y los Cn son constantes llamadas coeficientes de la
serie.
Para el centro la serie siempre converge
Una serie de potencias con centro en x=0 es una serie de la forma:
(1)
Ejemplos
2
3
4
n
x
x
x
n 1 x
x     1

2 3 4
n
2
3
n






x

1
x

1
x

1
x

1
1




1
2¡
3¡
n¡
Definición
Se dice que una serie de potencias (1) es convergente

1. En x 1 , si y solo si
C
n 1
n
x 1n
converge
2. En el conjunto S , si y solo si (1) converge para cada x que pertenezca a
S.
Al conjunto de valores de x para los cuales la serie (1) converge se llama
dominio de convergencia de la serie de potencia.
A cada valor x del dominio de convergencia de una serie de potencia está
asociado un número real, que es la suma de la serie numérica correspondiente.
Por ello podemos considerar esta correspondencia como un función que
llamaremos función suma, definida en el dominio de convergencia de la serie de

potencia y que denotaremos por
f x   C n x n
n 1
La serie de potencia (1) representa a la función f en el dominio de convergencia
de la serie y a esta se le denomina desarrollo de la función f en serie de potencia.
Intervalo de convergencia
2
Nos interesa primeramente determinar el dominio de convergencia de una serie
de potencias.
Es evidente que la serie (1) converge para x = 0, pero existen otros valores de x
para los cuales la serie también converge ¿Cuáles son y como se determinan?
Para dar respuesta a esto veremos el estudio de dos importantes teoremas
Teorema
Si una serie de potencias converge para un valor x 1 (x 1  0) entonces la
serie converge absolutamente para x : x  x 1
Idea de la demostración

C
Si
n 1
n
xn
converge
para
x 1 l i mC n x 1 n  0 n 0 N : n  n 0 C n x 1 n 1
Considerando a
Cn x
x  x1
n
n
x
 Cn x
x 1n
n
1
 x
x1
n
Corolario
Si una serie de potencias diverge para un valor x 2 (x 2  0)de la variable,
entonces la serie diverge xR: x  x 2
Para determinar en que valores converge una serie de potencia el siguiente
teorema es fundamental.
Teorema

Si la serie de potencias
C x
n 1
n
n
converge por lo menos para un valor de
x , x 1 0), y diverge para un valor x , x 2  0 ) , entonces existe un valor real
x  Ry diverge
positivo R tal que RR la serie converge absolutamente si
x  R.al número R se le llama radio de convergencia de la serie.
si
3
Del teorema se desprende que la serie de potencias converge absolutamente en
el intervalo
] - R, R [.este intervalo recibe el nombre de intervalo de convergencia
En los intervalos  , R  y  R,   la serie diverge .En los puntos x = R y x
= - R la serie puede ser convergente o divergente.
Por tanto el dominio de convergencia puede ser en el intervalo abierto (- R, R).o
el intervalo [- R , R ] o uno de los intervalos semiabiertos [- R , R [ ó ]- R , R]
Evidentemente se tienen teoremas análogos para las series de potencias en (x- a)
, que pueden obtenerse , haciendo una traslación sobre el eje x es decir
,mediante el cambio de variable
x – a = t .el intervalo de convergencia es entonces de la forma] a - R, a + R [.
O sea
x a  R
Existen otras posibilidades para el dominio de convergencia de una serie de
potencia.
 La serie converge solamente en un punto, que es el centro de desarrollo
.en este caso diremos que R = 0. Si R = 0 la serie diverge  xR: x  0 
 La serie converge absolutamente para todo x .en este caso diremos que el
radio de convergencia es ∞.
Ejemplos:
 La serie geométrica
Es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y
divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

La serie de potencias

La serie de potencias
es absolutamente convergente para todo
solamente converge para x = 0
4
Los tres casos posibles para el radio de convergencia de una serie
aparecen en la Pág. 188 del L/T.
Determinación del radio de convergencia de una serie
Para muchas series de potencia su radio de convergencia puede ser determinado
aplicando el criterio de D’Alembert o el criterio de la raíz de Cauchy.

Sea la serie
Siendo
n 1
n 0
n
x n  C 0  C 1 x  C 2 x 2  C n x n 
C n 0 n

C
C
n
y cuya serie de los módulos es
x n  C 0  C 1 x  C 2 x 2  C n x n 
Si el limite l i m
C n 1
C
 L entonces R  1 l i m n
Cn
L
C n1
n
Para el caso en sea tal que el limite
lim
n
(2.1)
C n  L existe entonces el
n
radio de convergencia de dicha serie aplicándole criterio de la raíz se obtiene de
la forma
1
R 1 
L l i mn C n (2.2)
n
Si el límite no existe no pueden aplicarse las fórmulas obtenidas
Ejemplos
1) El radio de convergencia de la serie se puede determinar
n1
n
2
x n aplicando
la formula (2.1)
2
R 1 l i m n 2 1El intervalo de convergencia es]-1, 1 [
n 1
L
n
Para determinar el dominio de convergencia es necesario analizar las serie que
se obtienen para los casos de x = 1 y x = -1
5
Para x = 1 se obtiene le serie
n1
2
n
Para x = -1 se obtiene le serie
que es convergente

1 n

n
n2
que es absolutamente convergente
Por tanto el dominio de convergencia es [-1, 1]
Ver ejemplo 2.3 Pág. 191
Sobre la derivabilidad de las funciones definidas por SP
Dada la serie de potencia

C
n 0
n
x n C 0 C 1 x C 2 x 2 C n x n 
(1)
Se llama serie derivada a aquella serie que se obtiene derivando término a
término la serie derivada la forma

 nC
n 1
n
x n1 C 1  2 C 2 x  3C 3 x 2  n C n x n1 
La serie de potencia y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia.
En los extremos del intervalo ambas series pueden tener distinto
comportamiento. Por ejemplo la serie

n
y su serie derivada

n
x n converge en el intervalo [-1, 1]
n2
n 1
x
n
converge en el intervalo [-1, 1[.
Sobre la integrabilidad de las funciones definidas por SP

Si f (x) es la función suma de la serie de potencias
f x   C n x n
n 1
para ]-R, R[ , entonces la función f es integrable en cada subintervalo cerrado de
]-R, R[ y su integral se puede calcular integrando término a término la serie de
potencia .En particular para cada x del intervalo ]-R, R[ se tiene
6

 f td t  
x
C n n 1
x
n

1
n 0
0
la serie obtenida tiene el mismo
radio de convergencia que la serie original.
Serie de Taylor generada por una función
¿Qué propiedades debe tener una función f (x) para que exista una serie de
potencias que la represente? ¿Cómo hallar esa serie si existe?
Tal función si existe debe tener derivadas de todos los órdenes en un intervalo
abierto con centro en el centro de desarrollo de la serie.
Sea f (x) una función con estas características en un intervalo cerrado en x = a
f
donde C n 
y formemos la serie,
 n!a x a

f
n
a
n 0
n
a n  0, 1, 2,entonces
n!

 f a  f  ax  a  f a x  ase denomina la
2!
serie de Taylor generada por f en a o en potencias de (x-a).En particular
 n!a x

f
n
a
n 0

 f 0  f  0 x  f 0 x 2se denomina la serie de Maclaurin
2!
generada por f .
Del Análisis Matemático recordemos la fórmula de Taylor con resto la cual
establece que si una función f (x tiene derivadas hasta el orden n+1 en un
intervalo abierto centrado en a entonces

f (x)  
k
f
a x  a k
k!
n 0
 R n x donde Rn (x) es el error que se
comete al aproximar F por su polinomio de Taylor y se denomina término del
error .
El resto en forma de Logrange
c x  a n1
n 1!
R n x  f
n 1
, donde a < c < x, c R
Teorema Pág. 217
Sea f (x) una función con derivadas de todos los órdenes en un intervalo
x  a  r La condición necesaria y suficiente para que la serie de
Taylor generada por f alrededor de a, converja hacia f en el intervalo
x  a  r es
7
l i mR x0
n 
n
x x  a  r
Teorema Pág. 218
Sea f (x) una función con derivadas de todos los órdenes en un intervalo
x  a  r .Si existe una constante M tal que
f n 1 x  M  x a  r , a  r , n 1 entonces

l i mR n x  0
n 


 x a  r , a  r
Orientación del estudio independiente
Estudiar
 Epígrafe 2.5 Cálculos aproximados con ayuda de las series Pág. 229 a
240.
 Ejemplos de las Pág. 231 y 232.
 Puntos fundamentales de las Pág. 240 a 242
 Estudiar para la
CP 3 .Ejercicios resueltos I y VI.
CP 4 .Ejercicios resueltos IV- VI
Resolver
CP 3 De los ejercicios propuestos el ejercicio (1,3) Pág. 269
CP 4 De los ejercicios propuestos el ejercicio VI (1) Pág. 272
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