Hoja 3

Grado en Ingenierı́a Informática
Probabilidad y Estadı́stica 2012-2013
Hoja 3
Variable normal. Varias variables.
1. Hallar el área que queda bajo la curva normal en los siguientes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
A la derecha de 1,25.
A la izquierda de −0,40.
Entre −1,35 y 1,35.
Fuera del intervalo de −1,5 a 1,5.
2. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que se distribuye según una
normal N(100, 15). Calcular:
(a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga un coeficiente superior a
120.
(b) Suponiendo que un individuo con carrera universitaria debe tener un coeficiente
superior a 110, hallar la probabilidad de que un licenciado tenga un coeficiente
superior a 120.
3. Tiramos 400 veces una moneda.
(a) Hallar la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 160 y 190.
(b) Hallar el intervalo de la forma (200 − a, 200 + a), tal que la probabilidad de que el
número de caras obtenido esté en dicho intervalo sea del 95%.
4. Un botánico ha observado que la anchura X de las hojas del álamo sigue una
distribución N(µ, σ) con µ = 6 cm, y que el 90% de las hojas tiene una anchura inferior
a 7.5 cm. Hallar σ. Hallar la probabilidad de que una hoja mida más de 8 cm.
5. La anchura en milı́metros de una población de coleópteros sigue una distribución
N(µ, σ). Se estima que el 77% de la población mide menos de 12 mm y que el 84% mide
más de 7 mm. Hallar µ y σ.
6. El peso de una gacela (en kg) es una variable aleatoria X que se distribuye según
una N(50, 6). Si capturamos 10 gacelas, se pide:
(a) Indicar la distribución de la variable aleatoria Y =“número de gacelas de las 10
capturadas que pesan menos de 47 kg” y calcular P(Y = 2).
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que podamos transportar las 10 gacelas en un vehı́culo
que admite una carga de 438 kg? ¿Y si admite una carga de 465 kg?
7. La longitud (en milı́metros) de un tornillo que sale de fábrica viene dada por una
variable aleatoria N(10, 1). El tornillo se considera desechable si su longitud es menor
de 8 mm o mayor de 12 mm. La fábrica empaqueta los tornillos en cajas de 101 tornillos
y se compromete a descambiar toda caja con más de un tornillo defectuoso. Calcula la
probabilidad de descambiar una caja.
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8. Se tiran dos dados. Consideramos las variables aleatorias:
X
Y
= “número de puntos del primer dado”;
= “número mayor de puntos de los dos obtenidos”.
(a) Hallar la función de masa conjunta y las marginales.
(b) Calcular las probabilidades de los distintos valores de X si sabemos que Y = 4.
9. Dos sustancias A y B se encuentran en la sangre en cantidades X e Y respectivamente. Estas cantidades varı́an de un individuo a otro. La densidad conjunta de estas
cantidades es
⎧
2
⎪
2
⎪
si x, y ∈ (0, 3);
⎨ 81 xy ,
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
0,
en caso contrario.
(a) Hallar la densidad marginal, la media y la desviación tı́pica de Y .
(b) Hallar la probabilidad de que, en un individuo tomado al azar, haya más sustancia A
que B.
10. Sean X e Y dos variables aleatorias con función de densidad conjunta:
1,
si |y| < x < 1;
f (x, y) =
0,
en caso contrario .
(a) Comprobar que f es una función de densidad.
(b) Hallar las medias de X e Y . Calcular las funciones de densidad marginales.
(c) Hallar P(X < 0.5; Y < 0), P(X > 0.5; −0.5 < Y < 0.5), P(X < 0.5) y P(Y < 0.5).
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