calculo de betas para el mercado bursátil colombiano

CALCULO DE BETAS PARA EL MERCADO BURSÁTIL
COLOMBIANO “CBMB”
Paola Andrea Rodríguez Benítez, Andrea Pimiento Castañeda.
Introducción
El mercado de valores en Colombia ha comenzado una escala de ascenso
como nueva opción para invertir y mejorar la rentabilidad de capitales. Debido a
su imprescindible crecimiento y la escases de herramientas que permitan dar
confiabilidad y seguridad a la hora de calcular los β cuando se valoran las
compañías, tales como medida de riesgo y rentabilidad mínima; se diseña un
modelo que permite optimizar el cálculo de los β de la acción del Banco de
Bogotá superando las falencias que tiene la metodología con la que
actualmente se calcula esta variable. Es importante mencionar que una mala
estimación del β puede subvalorar o sobrevalorar el valor de una compañía,
generar una percepción errada en cuanto al riesgo de activo con respecto al
mercado y de la rentabilidad mínima esperada por el accionista interpretada en
consecuencias económicas.
En este documento primero se exponen las
metodologías de cálculo del β, del modelo propuesto ARCH-M y de las pruebas
utilizadas, a continuación se hace una explicación de la obtención del modelo
final con los respectivos análisis y resultados, y finalmente se plasman las
conclusiones del documento.
Marco teórico y matemático
Por lo expuesto anteriormente continuación se muestra la forma como se
calcula el β tradicionalmente. Para el cálculo del β normalmente se utiliza la
ecuación (1):
(1)
Dónde:
es la rentabilidad del activo y
la rentabilidad del mercado.1
Esta metodología es criticada porque no tiene estructura temporal. Es
importante mencionar que las mejores estimaciones de los β son aquellas que
tienen en cuenta los rezagos, la volatilidad y la temporalidad; por ello, es
necesario hacer ajustes adicionales ya que por lo general, en los mercados
1
SANSORES GUERRERO. Edgar, (2008), “El modelo de valuación de activos de capital aplicado a
mercados financieros emergentes: el caso de México”, México.
poco profundos, las acciones tienden a reaccionar a las rentabilidades del
mercado con un retraso, siendo relevante cuando se modelan los β con series
diarias, generando un sesgo en los β a la baja2.
Por lo anterior, en este proyecto se calcula el β del Banco de Bogotá mediante
un modelo ARCH-M superando las falencias mencionadas anteriormente. El
Banco de Bogotá es el banco con más trayectoria en el país, inició laborares en
1870, convirtiéndose en la mejor entidad del grupo Aval en cuanto a tecnología,
ventas, utilidades y recordación en de marca. Su acción es de alta liquidez, lo
cual permite que sea una buena serie para modelar gracias a la alta volatilidad
que posee, por consiguiente se analizó la acción de esta entidad.
Adicionalmente y de acuerdo al estudio de GUZMAN P.M (1997) concluye que
el modelo ARCH-M aplica para un 50% de las 33 acciones analizadas, se
analizará el coeficiente β de Ecopetrol esperando confirmar la hipótesis. Dado
que según el estudio el modelo tradicional sería suficiente para una estimación
del β en algunos casos. La acción de Ecopetrol es una de las acciones más
tranzadas en la Bolsa de Valores de Colombia haciendo que su volatilidad sea
importante. Ecopetrol es una de las compañías líderes en Colombia y en los
últimos años ha logrado posicionarse a nivel mundial, por estas cualidades se
decide analizar la acción de esta organización.
El coeficiente β, que forma parte del modelo CAPM como prima de riesgo
indica según su resultado que tan riesgoso es el activo en el mercado y si crece
al mismo ritmo, por encima o por debajo con respecto al mercado así:
βi > 1, indica que el activo analizado crece en mayor proporción con respecto al
mercado, por lo tanto el activo es riesgoso.
βi < 1, indica que el activo analizado crece en menor proporción con respecto al
mercado, por lo tanto el activo no es muy riesgoso.
βi = 1, indica que el activo analizado crece en igual proporción con respecto al
mercado, por lo tanto el activo tienen riesgo moderado.3
2
GARCÍA. Estévez Pablo, (2005), “Problemas en la aplicación del CAPM”. Madrid, España.
El CAPM es el modelo de valoración de activos de capital cuyo objetivo es
cuantificar e interpretar la relación que existe entre riesgo y rendimiento. A
través de esta relación lineal, se estable el equilibrio entre los mercados
financieros. Para la construcción de este modelo se deben asumir los
siguientes supuestos:4

Los inversionistas son personas adversas al riesgo.

Los inversionistas cuidan el balance entre el retorno esperado y su
varianza asociada para conformar los portafolios.

No existen fricciones en el mercado.

Existe una tasa libre de riesgo a la cual los inversionistas pueden
endeudarse o colocar sus fondos.
La ecuación del CAMP es:
(2)
Dónde:
β = coeficiente que mide el grado de riesgo del activo con respecto al
rendimiento de mercado Riesgo no diversificable, o sistemático, del activo i.
= Retorno esperado del mercado durante el periodo t
= Retorno esperado del activo i en el periodo t
La descripción de construcción del CAMP se encuentra en el anexo 1.
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la metodología del cálculo del β ha
sido criticada, por ello se propone un modelo ARCH-M para superar las fallas
del modelo tradicional. Los modelos ARCH (modelos de heterocedasticidad
condicional autoregresiva) trabajan con series estacionarias, logrando capturar
3
BELTRÁN, LÓPEZ. Víctor Julio, (2006), “Determinación del coeficiente beta en el modelo CAPM”,
Manizales, Colombia.
4
BRAVO, ORELLANA. Sergio, (2004), “CAPM Historia y Fundamentos”, ESAN.
los conglomerados de volatilidad, suponiendo que la varianza incondicional es
constante en el tiempo, mientras que la varianza condicional es variable. La
especificación del ARCH (q) se concluye a partir de:
(3)
√
∑
Dónde
(4)
(5)
es una función que modela el valor esperado de
un proceso independiente de
es ruido blanco con varianza condicional
. Además, debe cumplir las siguientes condiciones:
y∑
y es
para
.5
Engle, Lilien y Robins (1987) idearon una generalización de los modelos ARHC
(ARCH-M) los cuales han sido estudiados en profundidad ya que permiten que
la media condicional dependa de la varianza condicional siendo esta un
regresor del modelo. La idea fundamental de los mercados en general es que
los inversionistas adversos al riesgo requieren una compensación para retener
un activo riesgoso. Dado que el riesgo de un activo puede ser medido por la
varianza del rendimiento, la prima al riesgo puede incrementarse en función de
la varianza condicional del rendimiento. Los modelos ARCH-M se usan en el
mercado de capitales en los modelos CAPM para calcular el β, donde el
objetivo es comparar dos variables: el rendimiento del título y el rendimiento del
mercado; la relación entre estos dos excesos de mercado está dada por una
constante β la cual expresa el exceso de rendimiento de un título sobre el
rendimiento que ofrece el mercado.
Las series utilizadas para la aplicación del modelo ARCH-M corresponden a
los retornos de los precios diarios de la acción del Banco de Bogotá y del
5
CANO,GAMBO. Carlos Andrés, OROZCO, CHÁVEZ. Marcela; SÁNCHEZ, BETANCUR. Luis Alfonzo, (20012007), “Mecanismo de trasmisión de las tasas de interés en Colombia”, Universidad EAFIT, Colombia.
IGBC6. Los retornos se calculan por la teoría de variación temporal, en serie
continua, de tal manera que el rendimiento diario es definido de la siguiente
forma:
(6)
Dónde
es el precio del activo del día de hoy y
es el precio del activo de
ayer. Es importante resaltar que los retornos del IGBC actúan como
rendimientos del mercado.
El modelo ARCH-M incorpora directamente el efecto ARCH en las variables
explicativas. Este modelo, se constituye de modo que la desviación estándar y
la varianza sean una medida del riesgo y el rendimiento esperado es una
función creciente del nivel que presenta la varianza condicional.7
Engle, Lilien y Robins (1987) expresan esta idea, formulando el rendimiento en
exceso del activo riesgoso que se desea retener, como:
(7)
Dónde:
Es el rendimiento en exceso del activo que se desea reterner
La prima de riesgo necesaria para inducir al inversionista a retener el
activo
Choque no estimable del rendimiento en exceso de los activos
El modelo asume, que la prima de riesgo se incrementa en función de la
varianza condicional de
6
, es decir, el incremento de la varianza condicional de
IGBC: Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia, el cual es el resultado de ponderar las
acciones más liquidas y de mayor capitalización que se negocian en la Bolsa, es decir aquellas que tienen
una mayor rotación y frecuencia. (www.bvc.com.co)
7
HERNÁNDEZ, Rubén. (2005), “Análisis comparativo de las volatilidades de los mercados bursátiles”,
Argentina.
los rendimientos aumenta la compensación necesaria para inducir a los
inversionistas a retener el activo a largo plazo.8
De esta forma, es ideal para evaluar el rendimiento de las acciones ya que la
volatilidad debida al nerviosismo del mercado, repercute en los rendimientos
del instrumento.
Pruebas que confirman el efecto ARCH
Para confirmar que existe un efecto ARCH que de indicios para correr un
modelo ARHC se utilizas las siguientes pruebas
El test ARCH-LM consiste en definir si hay efecto ARCH, para lo cual se
deben realizar los siguientes pasos:
1. Se corre la regresión de
en
y se obtienen los residuales
por mínimos cuadrados ordinarios (MCO)
.
2. Regresión auxiliar: se realiza la regresión por MCO de,
Obteniendo el
.
3. El estadístico de prueba es:
Donde
número de observaciones.
4. Criterio de decisión:
Se rechaza
cuando el
8
cuando
(
tiende a chi cuadrado) o
á (nivel de significancia). 9
GUZMÁN, PLATA. María de la Paz, (1997), “Los modelos CAPM y ARCH-M. Obtención de los
coeficientes beta para una muestra de 33 acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores”,
México.
9
CANO, GAMBO. Carlos Andrés, OROZCO, CHÁVEZ. Marcela; SÁNCHEZ, BETANCUR. Luis Alfonzo, (20012007), “Mecanismo de trasmisión de las tasas de interés en Colombia”, Universidad EAFIT, Colombia.
Para constatar que la volatilidad y los retornos del mercado ejercen impacto en
los retornos del activo para que tenga sentido usar un modelo ARCH-M se
utilizó el test de causalidad de Granger y el mecanismo impulso respuesta
calculada mediante modelos VAR (vectores autorregresivos). El test de
Granger permite identificar de forma sencilla relaciones de posible causalidad
entre las variables. El objetivo teórico de este test es determinar si una variable
causa a otra variable . Si
1.
puede ayudar en la predicción de , la regresión de
gran
2.
causa , se cumplen 2 condiciones:
en
tiene un
.
no puede ayudar en la predicción de .10
Los modelos VAR (vectores autorregresivos) constituyen una herramienta
econométrica de series de tiempo de aplicación relativamente joven en el
análisis macroeconómico. Los modelos econométricos estructurales, o de la
econometría tradicional, postulan una ecuación donde la variable endógena
depende de una o varias variables consideradas exógenas al modelo. En estos
los modelos de vectores autorregresivos, todas las variables son consideradas
endógenas, lo que permite capturar de mejor manera los movimientos de las
variables y la dinámica de sus interrelaciones.11 La aplicación del modelo VAR,
permitirá medir el impacto del IGBC, hacia otras variables y viceversa, por
medio del mecanismo de impulso respuesta.
Aplicación y Resultados del modelo
Para calcular el β del Banco de Bogotá, se emplearon las series del logaritmo
de los retornos del activo a partir de los precios diarios de la acción del Banco
de Bogotá12, y del logaritmo de los retornos del mercado que se tomaron de los
10
RAMÓN. Mahía, “Tratamiento básico de series estadísticas introducción al procedimiento de
regresión”, Madrid, España.
11
STOCK, James; WATSON, Mark W. (2001). “Vector autoregressions” Journal of Economic Perspectives,
vol. 15, núm. 4
12
La serie de los retornos del Banco de Bogotá se llama Retbancobog para las salidas de los modelos
valores diarios del IGBC13, desde del 14 de Abril de 2008 hasta el 15 de Abril
de 2011, generando series cinco (5) días (784 observaciones) para cada una.
Esta ventana de tiempo, recoge períodos de alto riesgo como los vividos en la
crisis subprime, períodos de alta incertidumbre que generan gran volatilidad,
variable que impacta al coeficiente β en la realidad, que no se refleja en el
modelo tradicional. Así mismo, registra periodos de relativa normalidad que
proporcionan varios escenarios durante los 3 años recreando el ciclo del precio
de cualquier activo obteniendo así mejores resultados en la estimación del β.
Inicialmente se comprobó la estacionariedad de los retornos del mercado y del
activo con la prueba de Dickey Fuller. 14 En la gráfica 1 se muestra el
comportamiento de los retornos del mercado dando indicios de estacionariedad
y en la tabla 1 se muestra la prueba donde se rechaza la hipótesis nula porque
es menor al α (nivel de significancia) confirmando la estacionariedad de los
retornos del mercado. En la gráfica 2 se muestra el comportamiento de los
retornos del activo donde se identifica que la serie puede ser estacionaria y en
la tabla 2 se presenta la prueba donde se rechaza la hipótesis nula ratificando
la estacionariedad de los retornos del activo.
13
La serie de los retornos del mercado se llama RetIGBC para las salidas de los modelos.
Según esta prueba se confirma la estacionariedad de la serie cuando se rechaza la hipótesis nula (la
serie tiene raíces unitarias) lo cual indica que la serie es estacionaria o que no tiene raíces unitarias
teniendo en cuenta que el p-valor debe ser menor al α. El alfa utilizado para esta investigación es del
10%.
14
Análisis de los retornos del mercado
Gráfico 1: Gráfica de serie temporal o el
Tabla 1: Prueba de Dickey Fuller para los
comportamiento
retornos del mercado
de
mercado.
los
retornos
del
ln igbc
NullHypothesis: RetIGBC has a unitroot
Exogenous: None
LagLength: 1 (Automatic - basedon SIC, maxlag=20)
.100
.075
.050
t-Statistic
.025
.000
AugmentedDickey-Fuller test
statistic
Test criticalvalues:
1% level
5% level
10% level
-.025
-.050
-.075
-.100
II
III
IV
I
II
2008
III
IV
I
II
2009
III
IV
2010
I
Prob.*
-20.72118 0.0000
-2.567922
-1.941228
-1.616427
II
Fuente: Construcción propia
2011
Fuente: Construcción propia
Análisis de los retornos del activo
Gráfico 2: Gráfica de serie temporal o el
Tabla: 2 Prueba de Dickey Fuller para los
comportamiento de los
retornos
del activo.
ln banco
bog
retornos del activo
NullHypothesis: LN_BANCO_BOG has a
unitroot
Exogenous: None
LagLength: 7 (Automatic - basedon SIC, maxlag=20)
.100
.075
.050
.025
.000
t-Statistic
Prob.*
-.025
-.050
-.075
-.100
II
III
2008
IV
I
II
III
IV
I
II
2009
III
2010
Fuente: Construcción propia
IV
I
2011
II
AugmentedDickey-Fuller test
statistic
Test criticalvalues:
1% level
5% level
10% level
-8.409596 0.0000
-2.567945
-1.941232
-1.616425
Fuente: Construcción propia
Después de la confirmación de la estacionariedad de los retornos del mercado
y del activo, se estima la serie de la volatilidad de los retornos del activo y del
mercado para comprobar que impacto generan éstas sobre los retornos y así
incluirlas en el modelo ARCH-M. Para construir la serie de la volatilidad del
Banco de Bogotá15 ̂
se inició observando el correlograma de los retornos
del activo (ver Anexo 2) confirma que no es ruido blanco; es decir, que los
datos se pueden modelar porque su comportamiento no es aleatorio. Por lo
15
La estimación de la serie de la volatilidad de los retornos del activo se nombró Volabog. esta
volatilidad es la estimación de la varianza condicional.
tanto se propone un modelo ARMA (ver Anexo 3), la ecuación de retornos
esperados del activo es:
̂
(8)
Dónde ( ̂
son los retornos estimados del Banco de Bogotá.
El correlograma de los errores (ver Anexo 4) del modelo (8) indica que los
errores son ruido blanco es decir que el modelo es correcto para la serie, con
prueba de la inversa de las raíces del polinomio (ver Anexo 5) se garantiza la
estacionariedad e invertibilidad del modelo y finalmente el correlograma de los
errores cuadrados no son ruido blanco (ver Anexo 6), lo cual confirma que
existe efecto ARCH y que es viable modelar la volatilidad de los retornos del
activo, por lo cual para constatar que la volatilidad no es constante y no
depende del tiempo se realizó el test ARCH-LM que indica que tiene sentido
modelar la volatilidad condicional de los retornos del activo (ver Anexo 7). En
la tabla 3 se muestra el p-valor del test ARCH-LM, lo que confirma que existe
efecto ARCH y que tiene sentido modelar la volatilidad condicional de los
retornos del activo.
Tabla 3: Test ARCH-LM para los retornos del activo.
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic
Obs*R-squared
39.19566
37.36457
Prob. F(1,757)
0.0000
Prob. Chi-Square(1) 0.0000
Fuente: Construcción propia
De acuerdo a los resultados del test ARCH-LM, el cual proporciona la base
para estimar la volatilidad condicional de los retornos del activo sumado a que
el correlograma de los errores cuadrados de la estimación de los retornos del
activo ( ̂
indican efecto ARCH, se propone un modelo GARCH (1,1) para
estimar la volatilidad condicional de los retornos del activo (ver Anexo 8).
Se presenta a continuación el modelo GARCH (1,1) en función de la volatilidad
rezagada y los errores cuadrados rezagados una vez en el tiempo.
̂
(9)
Dónde ( ̂ ) es la estimación de la volatilidad del activo en el tiempo.
Para estimar la volatilidad del mercado16 ( ̂ ), se inició viendo el correlograma
de los retornos del mercado (ver Anexo 9) este confirma que no es ruido blanco
es decir que los datos se pueden modelar porque su comportamiento no es
aleatorio. Por tanto se propone un modelo ARMA (1,2) (ver Anexo 10). La
ecuación de retornos esperados del mercado es:
̂
(10)
Donde ( ̂ ) es los retornos estimados del IGBC.
El correlograma de los errores (ver Anexo 11) del modelo anterior indica que
los errores son ruido blanco es decir que el modelo es correcto para la serie,
con la prueba de la inversa de las raíces del polinomio (ver Anexo 12) se
garantiza la estacionariedad e invertibilidad del modelo y con el correlograma
de los errores cuadrados se muestra que estos no son ruido blanco (ver Anexo
13), lo que confirma que existe efecto ARCH siendo viable la modelación de la
volatilidad de los retornos del mercado, por consiguiente se realizó el test
ARHC-LM para constatar que la volatilidad no es constante y no depende del
tiempo, dicho test indicó que es coherente modelar la volatilidad condicional de
los retornos del mercado (ver Anexo 14). En la tabla 4 se muestra el p-valor
del test ARCH-LM que confirma que existe efecto ARCH y que tiene sentido
modelar la volatilidad condicional de los retornos del mercado.
Tabla 4: Test ARCH-LM para los retornos del mercado.
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic
Obs*R-squared
56.20241
52.55938
Prob. F(1,780)
0.0000
Prob. Chi-Square(1) 0.0000
Fuente: Construcción propia
16
La estimación de la serie de la volatilidad de los retornos del mercado se nombró Volmer. esta
volatilidad es la estimación de la varianza condicional.
Según los resultados del test ARCH-LM confirma que puede existir evidencia
estadística para modelar la volatilidad condicional de los retornos del activo
adicional a que el correlograma de los errores cuadrados de la estimación de
los retornos del mercado ( ̂
) indican efecto ARCH se propone un modelo
GARCH (1,1) para estimar la volatilidad condicional de los retornos del
mercado (ver Anexo 15).
̂
(11)
Dónde ( ̂ ) es la estimación de la volatilidad del mercado en el tiempo.
En resumen se crearon a partir de modelos GARCH la estimación de la
volatilidad condicional de los retornos generados por el precio de las acciones
del Banco Bogotá ( ̂ ) también la estimación de la volatilidad condicional de los
retornos generados por el valor del IGBC ( ̂ ) , mismas que serán incluidas en
el modelo final para el cálculo del β superando las falencias del modelo
tradicional, generando una estimación del β más robusta, eficiente y, menos
sesgada a la realidad que tiene en cuenta la temporalidad y la volatilidad.
Previo a esto se aplicaron metodologías que permiten identificar la “causalidad”
entre varias variables, en este caso entre los retornos del mercado, los retornos
del activo, la volatilidad del mercado y la volatilidad del activo. La primera el test
de Granger en la tabla 5, se observa que la volatilidad del mercado impacta la
volatilidad del activo, a su vez los retornos del mercado impactan los retornos
del activo y finalmente la volatilidad del mercado impacta la rentabilidad del
activo. La segunda, el mecanismo de impulso respuesta, se estimó un modelo
VAR para obtener dicha herramienta (ver Anexo 16) en la Gráfica 3, se ratifican
los resultados del test de Granger, donde el impacto que ejerce la rentabilidad
del mercado sobre la rentabilidad del activo es significativa ante choques
aleatorios a la otra variable; así mismo el impacto de la volatilidad del mercado
sobre la volatilidad del activo y finalmente pero no menos importante el impacto
que ejerce la volatilidad del mercado sobre los retornos del activo.
Tabla 5: Test de Granger caso Banco de Bogotá.
NullHypothesis:
Obs
F-Statistic
Prob.
Volmer does not Granger Cause Volabog
RetIGBC does not Granger Cause Retbancobog
Volmer does not Granger Cause Retbancobog
771
782
781
40.5903
11.8866
5.90210
2.E-17
8.E-06
0.0029
Fuente: Construcción propia
Gráfica 3: Mecanismo impulso respuesta Banco de Bogotá.
Respuesta de retornos del mercado a retornos del activo
Respuesta de volatilidad del mercado a volatilidad del activo
Fuente: Construcción propia
Fuente: Construcción propia
Respuesta de volatilidad del mercado a rentabilidad del activo
Fuente: Construcción propia
De acuerdo a los resultados de las metodologías anteriores que ratifican que
existe evidencia estadística para modelar los retornos del activo incluyendo en
su estimación
los retornos del mercado, la volatilidad de mercado y la volatilidad del activo,
porque éstas generan impacto sobre los retornos del activo y así se propone
finalmente un modelo ARCH.
Se estiman los retornos en media de los activos con efecto ARIMA (efecto
temporal) donde se incluye los retornos del mercado y la volatilidad del activo.
Dentro de la estimación de la volatilidad del activo se incluye la volatilidad del
mercado (ver Anexo 17).
El modelo ARCH-M estimado es:
̂
(12)
Dónde
es los retornos del activo y la volatilidad del activo es:
(13)
Donde
0.5468.
es la volatilidad del mercado, Por lo cual el β del Banco de Bogotá es
Ahora, se modela el β de la serie de los retornos de la acción del Banco de
Bogotá con el modelo tradicional y el resultado es 0.6594 (ver Anexo 18).
Como existe una diferencia entre los valores del coeficiente β del modelo
tradicional y del modelo ARCH-M en la tabla 6 se presenta el análisis de los
efectos que trae para cada uno de los escenarios donde se usa del β.
Tabla 6 Análisis del β tradicional Vs β con modelos ARCH-M.
β
Valor
β Tradicional
0.6594
β ARCH-M
0.5468
Análisis
Valoración
Análisis Riesgo
Cuando
en
la
valoración el β es
menor al real el
CAPM es menor al
igual que el WACC
por lo tanto el valor
de la compañía
aumenta. En este
caso si se usa el β
tradicional
se
estaría
sobrevalorando la
compañía.
En este caso si se
tiene en cuenta el
β tradicional se
incurría en un
mayor nivel de
riesgo
con
respecto
al
β
ARCH-M
Análisis
Rentabilidad
La
rentabilidad
mínima
del
accionista se puede
medir con el β si se
tiene en cuenta el
tradicional seria un
porcentaje más alto
de rentabilidad pero
sería
una
información errada lo
cual
perjudica
económicamente al
inversionista porque
el retorno mínimo
sería menor.
Fuente: Construcción propia
A continuación se presenta un ejemplo para ver el impacto que genera una
mala estimación del coeficiente β cuando se usa en la valoración de
compañías, en el ejemplo se estima el valor de una compañía que solo tiene un
flujo de caja libre de 100 pesos en total, para poder hacer un análisis relativo de
los efectos que se presentan en el valor de la empresa usando tanto el β
tradicional como el β ARCH-M se suponen los datos presentados en la tabla 7
Ceteris Paribus las demás variables:
Tabla 7 Datos Ejemplo.
Datos
Rf
4%
Rm
7%
Costo Deuda
12%
Mezcla
Pasivos
50%
Patrimonio
50%
Tasa Impuesto
33%
Flujo de Caja Libre
100
Fuente: Construcción Propia
A partir de éstos datos se calcula el CAPM y el WACC para dos escenarios el
primero con el coeficiente β estimado con el modelo ARCH-M y el segundo con
el coeficiente β estimado con el modelo tradicional, obteniendo los resultados
presentados en la tabla 8 con los cuales se puede notar ante un β de mayor
valor el CAPM aumenta al igual que el WACC. Continuado con el desarrollo del
ejemplo se calcula el valor de la compañía la cual como se mencionó
anteriormente posee solamente un flujo de caja libre de 100 pesos, para cada
escenario. En la tabla 9 se muestran los resultados de la valoración los cuales
indican que con un WACC mayor el valor de la compañía es más pequeño.
Midiendo los efectos económicos con el ejemplo anterior se llega a la
conclusión que por cada 100 pesos de flujo de caja libre traído a valor presente
con el WACC estimado a partir del β tradicional se está sobrevalorando la
compañía en 0.1477 pesos comparándolo con el mismo flujo traído a valor
presente con el WACC estimado a partir del β ARCH-M. Es importante aclarar
que si se valora el Banco de Bogotá con datos reales esta diferencia en el
cálculo de los β generaría un impacto importante porque si se usara el β
tradicional se estaría mostrando una sobrevaloración en el valor de la
compañía. Por ello la mejor estimación del β para el Banco de Bogotá es con
un modelo ARCH-M
Tabla 8 Calculo del CAMP y del WACC ejemplo.
Escenario ARCH-M Escenario Tradicional
β ARCH-M 0,5468 β Tradicional 0,6594
CAPM
17
WACC
18
5,64% CAPM
5,98%
6,84% WACC
7,01%
Fuente: Construcción Propia
Tabla 9: Valor de la compañía ejemplo.
Escenario ARCH-M
VPN FCL
19
Escenario Tradicional
93,5977282 VPN Flujo 1 93,4499963
Fuente: Construcción Propia
Con el fin de concluir la hipótesis que el modelo ARCH-M aplica para el 50% de
los activos analizados según el estudio de GUZMÁN PM (1997) se hace
extensivo para el caso Colombiano analizando el modelo para Ecopetrol.
Mostrando los siguientes resultados.
Resultados análisis Ecopetrol
Para verificar el impacto que generan unas variables sobre otras se utilizaron el
test de Granger y el mecanismo de impulso respuesta con el objetivo de definir
si es significativo incluir dentro del modelo de la estimación del coeficiente β la
volatilidad del mercado y del activo.
En la tabla 10 se muestran los resultados del test, observando que la volatilidad
del mercado impacta la volatilidad del activo, a su vez los retornos del mercado
impactan los retornos del activo y finalmente la volatilidad del mercado impacta
la rentabilidad del activo. Para ratificar dichos resultados se recurrió al
mecanismo de impulso respuesta en la Gráfica 4 se aprecia que existe un
impacto de la volatilidad de Ecopetrol sobre sus retornos pero no es
significativa es decir que ante choques aleatorios sobre la volatilidad del activo
los retornos se ven influenciados pero en una proporción muy mínima, al igual
que el impacto de la volatilidad del mercado sobre sus retornos.
17
El CAPM se calculó con la siguiente ecuación
18
El WACC se calculó con la siguiente ecuación
, donde
es el costo de la deuda, la tasa de impuesta a la renta, el costo de los recursos propios que se
calcula con el modelo CAPM, es la deuda (Debt.) y es el capital (Equity).
19
El VPN se calculó con la siguiente ecuación
La volatilidad del mercado impacta la volatilidad del Ecopetrol pero el impacto
de estas sobre los retornos no es significativo, el correlograma de los errores
cuadrados y el test ARCH-LM indican que existe efecto ARCH pero al intentar
estimar un modelo ARCH-M el estadístico es mayor al nivel de significancia lo
cual informa que las variables adicionales con respecto al modelo tradicional no
son significativas como las volatilidades y que no afectan en una proporción
importante la estimación de los retornos del activo. Por ello se llega a la
conclusión que no hay lugar para un modelo ARCH-M, en este caso el modelo
tradicional para la estimación del β es suficiente. El β para Ecopetrol estimado
con el modelo tradicional es 1.0639 (ver Anexo 19).
Tabla 10: Test de Granger caso Ecopetrol20
NullHypothesis:
Obs
F-Statistic
Prob.
Volmer does not Granger Cause Volaeco
Voleco does not Granger Cause Retecopetrol
Volmer does not Granger Cause Retecopetrol
781
8.5611
4.7440
6,5306
0.0002
0.0090
0.0015
Fuente: Construcción propia
Gráfica 4: Mecanismo impulso respuesta Ecopetrol
Respuesta de volatilidad del activo a retornos del activo
Fuente: Construcción propia
Respuesta de volatilidad del mercado a retornos del mercado
Fuente: Construcción propia
Respuesta de volatilidad del mercado a volatilidad del activo
Fuente: Construcción propia
20
Donde Volmer es la volatilidad del mercado, Voleco es la volatilidad de los retornos de la acción de
Ecopetrol y Retecopetrol son los retornos de los precios de la acción de Ecopetrol
Conclusiones
Se concluye para el caso del Banco de Bogotá, según las pruebas de Granger
y el mecanismo impulso respuesta se propone un modelo ARCH-M, incluyendo
la temporalidad y la volatilidad del mercado, en comparación con el beta
tradicional se observa una diferencia significativa en el resultado, teniendo en
cuenta que el modelo se acerca más a la realidad.
La diferencia obtenida en cálculo del β con los dos modelos sugiere
sobrevaloración o subvaloración en el caso de valoración de empresas
generando pérdidas o ganancias para el comprador y vendedor de la
compañía. Desde el punto de vista como medida de riesgo la diferencia hace
que el activo sea menos riesgoso y menos rentable lo cual haría que dicho
activo fuera más atractivo para un inversionista adverso al riesgo.
Siguiendo los resultados del estudio de Guzmán P.M (1997), en su artículo se
confirma la hipótesis para Colombia que el modelo ARCH-M para el cálculo del
β aplica para el 50% de los activos analizados, por lo cual se presenta el
ejemplo de ECOPETROL, en el cual según la pruebas de Granger y el
mecanismo impulso respuesta, indican que la volatilidad del mercado no
genera un impacto significativo en el rendimiento de la acción por lo cual la
estimación del beta con el modelo tradicional es suficiente.
Este modelo es replicable para cualquier acción que cotice en la Bolsa de
Valores de Colombia. Es importante aclarar que es primordial realizar las
pruebas correspondientes para evaluar si el modelo es aplicable o si es
suficiente el modelo tradicional. Si se puede aplicar el modelo es de gran
utilidad porque minimiza las probabilidades de obtener una mala estimación del
β, optimiza las falencias del modelo tradicional, tiene un estructura temporal e
incluye la volatilidad dentro de la estimación, factores que hacen que el
coeficiente β sea menos sesgado a la realidad.
Adicionalmente este modelo se podría aplicar para una muestra más grande de
activos para re comprobar la hipótesis y comparar en dado caso el resultado de
los β, con lo cual se pueden hacer análisis más detallados de los indicadores
donde se utiliza este coeficiente, también se podría aplicar a otro país para
comprobar si los resultados son consistentes con respecto al caso Colombiano
y Mexicano.
Finalmente una buena estimación del β evita que al momento de valorar una
compañía se sobrevalore o subvalore, se den datos errados acerca de la
rentabilidad mínima y el nivel de riesgo de un activo lo cual puede ocasionar
pérdidas o la toma de malas decisiones.
Referencias Bibliográficas
Ayala. Mary, (1981), “Capital AssetPricingModel”, Universidad de Florida,
Estados Unidos.
Beltrán López. Víctor Julio, (2006), “Determinación del coeficiente beta en el
modelo CAPM”, Universidad Nacional De Colombia Sede Manizales,
Manizales, Colombia.
Burbano. J .Antonio, (1997) “El modelo CAPM en Colombia”, Universidad de
Los Andes, Bogotá, Colombia.
Engle, R.F., Lilien, D.M. y Robins, R.P. (1987) “Estimating Time Varying Risk
Premia in Term Structure”,Econométrical.
García. S, Oscar, León. (2003) “Valoración de empresas – Gerencia del Valor
EVA”, Medellín, Colombia.
Guzmán. Plata, María de la Paz, (1997), “Los modelos CAPM y ARHC-M.
Obtención de los coeficientes beta para una muestra de 33 acciones que
cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores”, Universidad Autónoma de México,
México.
Sansores. Guerrero. Edgar, (2008), “El modelo de valuación de activos de
capital aplicado a mercados financieros emergentes: el caso de México”.
Ciudad de México, México.
Skrifter. Utgivna y Svenska. Handelshögskolan, (2004),”Conditionalmoments in
assetpricing”, SwedishSchool of Economist and Business Administration, Vasa,
Finlandia.
ANEXOS
Anexo 1: Construcción del Modelo CAPM
Edgar Sansores Guerrero en su artículo
“El modelo de valuación de activos de
capital aplicado a mercados financieros
emergentes: el caso de México, M.C.”
(2008) resalta la construcción del modelo
CAPM como sigue:
por lo que los rendimientos esperados del
portafolio del mercado
son:
y
Como lo muestra Sharpe, cualquier punto
sobre la línea de la frontera eficiente puede
ser descrito como:
β
Sustituyendo b:
Línea del Mercado de Capitales: La
óptima combinación de un activo libre de
riesgo y un portafolio riesgoso para un
inversionista se localiza sobre la recta
denominada “Frontera Eficiente Lineal”.
Esta línea parte del punto denominado ,
el cual representa el rendimiento del activo
libre de riesgo.
)
,
estos puntos para cualquier portafolio
eficiente se ubicarán a lo largo de la línea
con intercepto en
y pendiente
)
ésta pendiente es conocida
como la prima de riesgo, y la frontera
eficiente lineal llamada línea del mercado
de capitales.
Gráfica 1: Frontera Eficiente
Fuente: El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros
emergentes
Esta línea deberá ser tangente al conjunto
de portafolios eficientes del inversionista.
Línea del Mercado de Valores: Cuando
un portafolio resulta eficiente su desviación
estándar muestra el nivel de riesgo de
dicho portafolio y su relación con los
rendimientos esperados resulta lineal.
Cuando un portafolio es ineficiente esta
relación lineal no se cumple. Esta situación
se explica de la siguiente forma. Sí se lleva
a cabo la combinación de una acción con el
portafolio de mercado (punto AM).
Gráfica 3: Línea de Mercado de capitales
Gráfica 2: Conjunto portafolios eficientes
Fuente: El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros
emergentes
Fuente: El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros
emergentes
El punto de tangencia con el conjunto M es
igual al portafolio del mercado, el cuál en
teoría contiene una cantidad positiva de
cada acción disponible. Para comprobar
que M es el portafolio de mercado, y no
cualquier otro portafolio, Sharpe (1966)
determina lo siguiente. Se considera que el
punto M se sitúa sobre la frontera eficiente,
Y si se considera al punto Z como cualquier
portafolio ubicado sobre la línea AM. Dicho
portafolio tendrá como rendimiento:
y varianza
.
A partir de esto se puede determinar que la
pendiente de la curva AM al punto M es:
(
)
Además en el punto AM la pendiente de la
curva es la misma que la pendiente de la
línea del mercado de capitales. Si esto no
sucede, entonces habrá una combinación
de A y M la cual será superior a la línea del
mercado de capitales.
Gráfica 4: Curva AM
= término de error aleatorio de la
regresión en el periodo t.
= tasa de rendimiento del activo i en el
periodo t.
Se requiere que la regresión cumpla con
los supuestos de mínimos cuadrados
ordinarios para que el coeficiente beta sea
el mejor estimador no sesgado.
El coeficiente beta se puede interpretar
como el grado de respuesta de la
variabilidad de los rendimientos de la
acción a la variabilidad de los rendimientos
del mercado.
Anexo 2 Gráfica 1: Correlograma de los
retornos del activo.
Fuente: El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros
emergentes
Para determinar la línea del mercado de
valores, resulta necesario que la pendiente
del punto AM sea igual a la pendiente de la
línea del mercado de capitales, es decir:
.
En donde
,
siendo
la covarianza de los
rendimientos del activo con el rendimiento
del mercado
por lo cual:
.
Siendo la pendiente la prima de riesgo, la
cual podemos establecer como:
(
)
En donde
. Por lo que la regresión
Fuente: Construcción propia
Anexo 3 Tabla 1: Modelo ARMA para la
estimación de los retornos del activo.
Dependent Variable: Retbancobog
Method: LeastSquares
Date: 05/21/11 Time: 17:40
Sample (adjusted): 5/19/2008 4/15/2011
Includedobservations: 760 afteradjustments
Convergenceachievedafter 4 iterations
del coeficiente del CAPM, resulta:
21
Dónde:
= intercepto de la regresión o rendimiento
autónomo.
β = coeficiente que mide el grado de riesgo
del activo con respecto al rendimiento de
mercado.
= rendimiento del mercado durante el
periodo t.
21
SANSORES GUERRERO. Edgar, (2008), “El
modelo de valuación de activos de capital
aplicado a mercados financieros emergentes: el
caso de México”, México.
MA Backcast: 5/12/2008 5/16/2008
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(13)
-0.124863 0.035507 -3.516601 0.0005
AR(7)
0.123055 0.035440 3.472241 0.0005
AR(24)
0.079484 0.035576 2.234224 0.0258
AR(8)
0.140590 0.035377 3.974016 0.0001
AR(9)
-0.100701 0.035502 -2.836482 0.0047
MA(1)
-0.060855 0.036325 -1.675283 0.0943
MA(5)
-0.080008 0.036488 -2.192701 0.0286
Fuente: Construcción propia
Anexo 4 Gráfica 2: Correlograma de los
errores de la estimación de los retornos del
activo.
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: LeastSquares
Date: 05/21/11 Time: 17:59
Sample (adjusted): 5/20/2008 4/15/2011
Includedobservations: 759 afteradjustments
Variable
C
RESID^2(-1)
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
0.000154
2.06E-05 7.474486 0.0000
0.221875 0.035440 6.260644 0.0000
Fuente: Construcción propia
Anexo 8 Tabla 3: Modelo GARCH (1,1)
para la estimación de la volatilidad de los
retornos del activo.
Fuente: Construcción propia
Anexo 5 Gráfica 3: Prueba de la inversa de
las raíces del polinomio de la estimación de
los retornos del activo.
Dependent Variable: Retbancobog
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Date: 05/21/11 Time: 19:43
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
Sample (adjusted): 4/16/2008 4/15/2011
1.5
Includedobservations: 783 afteradjustments
1.0
Convergenceachievedafter 6 iterations
AR roots
MA roots
0.5
MA Backcast: 4/15/2008
0.0
Presamplevariance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1)
-0.5
Variable
-1.0
-1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Fuente: Construcción propia
Anexo 6 Gráfica 4: Correlograma de los
errores cuadrados de la estimación de los
retornos del activo.
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
AR(1)
-0.936467 0.013149 -71.21711 0.0000
MA(1)
0.919337 0.004736 194.1299 0.0000
VarianceEquation
C
2.84E-05 4.08E-06 6.949041 0.0000
RESID(-1)^2
0.176502 0.026382 6.690165 0.0000
GARCH(-1)
0.675058 0.038762 17.41568 0.0000
Fuente: Construcción propia
Anexo 9 Gráfica 5: Correlograma de los
retornos del mercado.
Fuente: Construcción propia
Anexo 7 Tabla 2: Prueba ARCH-LM para la
estimación de los retornos del activo.
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic
39.19566
Obs*R-squared 37.36457
Prob. F(1,757)
0.0000
Prob. Chi-Square(1) 0.0000
Fuente: Construcción propia
Anexo 10 Tabla 4: Modelo ARMA para la
estimación de los retornos del mercado.
Dependent Variable: RetIGBC
Method: LeastSquares
Date: 05/17/11 Time: 19:31
Sample (adjusted): 4/16/2008 4/15/2011
Includedobservations: 783 afteradjustments
Convergenceachievedafter 3 iterations
MA Backcast: 4/14/2008 4/15/2008
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1)
0.131555 0.035485 3.707380 0.0002
MA(2)
-0.107848 0.000968 -111.4540 0.0000
Fuente: Construcción propia
Anexo 11 Gráfica 6: Correlograma de los
errores para la estimación de los retornos
del mercado.
Fuente: Construcción propia
Anexo 14 Tabla 5: Test ARCH-LM para la
estimación de los retornos del mercado.
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic
56.20241
Prob. F(1,780)
Obs*R-squared
52.55938
Prob. Chi-Square(1) 0.0000
0.0000
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: LeastSquares
Date: 05/17/11 Time: 19:35
Sample (adjusted): 4/17/2008 4/15/2011
Includedobservations: 782 afteradjustments
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Fuente: Construcción propia
Anexo 12 Gráfica 7: Prueba de la inversa
de las raíces del polinomio para la
estimación de los retornos del mercado.
C
0.000113
RESID^2(-1)
1.82E-05 6.186954 0.0000
0.259254 0.034582 7.496827 0.0000
Fuente: Construcción propia
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
1.5
Anexo 15 Tabla 6: Modelo GARCH (1,1)
para la estimación de la volatilidad de los
retornos del mercado.
1.0
0.5
AR roots
MA roots
0.0
VarianceEquation
-0.5
C
-1.0
9.66E-06 2.24E-06 4.317997 0.0000
RESID(-1)^2 0.154381 0.023817 6.482037 0.0000
-1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
GARCH(-1) 0.770487 0.034191 22.53493 0.0000
Fuente: Construcción propia
Anexo 13 Gráfica 8: Correlograma de los
errores cuadrados para la estimación de los
retornos del mercado.
Fuente: Construcción propia
Anexo 16 Tabla 7: Modelo VAR.
Vector AutoregressionEstimates
Date: 05/21/11 Time: 18:48
Sample (adjusted): 5/05/2008 4/15/2011
Includedobservations: 770 afteradjustments
Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]
LN_BANCO_BOG LN_IGBC VOLABOG VOLMER
Retbancobog(-1)
Retbancobog(-2)
RetIGBC(-1)
RetIGBC(-2)
AR(7)
0.068702
0.034326
2.001431
0.0453
AR(24)
0.080658
0.029476
2.736412
0.0062
MA(1)
-0.149102
0.036679
-4.065001
0.0000
MA(5)
-0.110996
0.031663
-3.505581
0.0005
MA(13)
-0.409926
0.118667
-3.454420
0.0006
-0.172882
0.000852 0.000763 -6.87E-05
(0.04354)
(0.03740) (0.00025) (0.00022)
[-3.97059]
[ 0.02279] [ 3.06403] [-0.31702]
-0.032327
-0.009528 0.000548 0.000123
C
2.07E-05
6.73E-06
3.073289
0.0021
(0.04384)
(0.03766) (0.00025) (0.00022)
RESID(-1)^2
0.071802
0.021343
3.364098
0.0008
[-0.73735]
[-0.25302] [ 2.18610] [ 0.56565]
GARCH(-1)
0.630830
0.090676
6.956999
0.0000
VOLMER
0.137326
0.050345
2.727708
0.0064
0.242267
0.143987 -0.000779 -0.000664
(0.05040)
(0.04329) (0.00029) (0.00025)
[ 4.80665]
[ 3.32607] [-2.69993] [-2.64565]
-0.083635
-0.102331 -0.000312 0.000151
(0.05061)
(0.04347) (0.00029) (0.00025)
[-1.65254]
[-2.35416] [-1.07599] [ 0.60036]
3.540582
0.324609 0.760448 0.050099
(7.31648)
(6.28408) (0.04187) (0.03643)
[ 0.48392]
[ 0.05166] [ 18.1640] [ 1.37534]
VarianceEquation
Fuente: Construcción propia
Anexo 18 Tabla 9: Modelo Tradicional
Banco de
Bogotá (estimación del
coeficiente β).
Dependent Variable: Retbancobog
Volabog(-1)
Method: LeastSquares
Date: 05/21/11 Time: 18:08
Sample (adjusted): 4/15/2008 4/15/2011
Includedobservations: 784 afteradjustments
Volabog(-2)
-2.893667
2.517330 -0.058943 -0.054267
(7.26213)
(6.23739) (0.04155) (0.03616)
[-0.39846]
[ 0.40359] [-1.41846] [-1.50092]
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
LN_IGBC
Volmer(-1)
Volmer(-2)
22.53038
24.20854 -0.097917 0.852077
(8.66379)
(7.44127) (0.04958) (0.04313)
[ 2.60052]
[ 3.25328] [-1.97512] [ 19.7541]
-25.62462
-30.52263 0.317723 0.093558
0.659481 0.034163 19.30408 0.0000
Fuente: Construcción propia
Anexo 19 Tabla 10: Modelo Tradicional
Ecopetrol (estimación del coeficiente β).
(8.71413)
(7.48451) (0.04986) (0.04338)
Dependent Variable: Retecopetrol
[-2.94058]
[-4.07811] [ 6.37190] [ 2.15646]
Method: LeastSquares
0.001271
0.000789 2.50E-05 8.98E-06
Sample (adjusted): 4/15/2008 4/15/2011
(0.00075)
(0.00065) (4.3E-06) (3.7E-06)
Includedobservations: 784 afteradjustments
[ 1.68854]
[ 1.22012] [ 5.80004] [ 2.39798]
Date: 05/17/11 Time: 21:03
C
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Fuente: Construcción propia
Anexo 17 Tabla 8: Modelo ARCH-M para la
estimación de los retornos del activo.
Dependent Variable: Retbancobog
Method: ML – ARCH
Date: 05/19/11 Time: 21:04
Sample (adjusted): 5/19/2008 4/15/2011
Includedobservations: 760 afteradjustments
Convergenceachievedafter 49 iterations
MA Backcast: 4/30/2008 5/16/2008
Presamplevariance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = C(9) + C(10)*RESID(-1)^2 + C(11)*GARCH(-1) +
C(12)*VOLMER
Variable
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
@SQRT(GARCH)
0.064740
0.025837
2.505689
0.0122
LN_IGBC
0.546888
0.028833
18.96763
0.0000
AR(13)
0.366264
0.118194
3.098849
0.0019
LN_IGBC
1.063945 0.025731 41.34896 0.0000
Fuente: Construcción propia