1. Modelo unisectorial con capital físico y humano

1.
1.1.
Modelo unisectorial con capital físico y humano
El Modelo Básico
Función de producción Cobb-Douglas que exhibe retornos constantes a escala sobre K y
H:
0≤α≤1
Y = AK α H 1−α
donde H = Lh, L esta jo y H solo crece debido a aumentos en la cantidad promedio h.
Es por ello que L no es fuente de retornos de crecimiento:
A(βK)α (L(βh))1−α = AβK α β 1−α (Lh)1−α
= βAK α H 1−α
= βY
El problema que se propone resolver el modelo es:
∫
máx U =
u
Sujeto a :
∞
u[C(t)]e−ρt dt
(1)
0
K̇ = IK − δK
(2)
Ḣ = IH − δH
(3)
AK α H 1−α = C + IK + IH
(4)
J = u[C(t)]e−ρt + v(IK − δK) + µ(IH − δH) + w(AK α H 1−α − C − IK − IH )
(5)
El Hamiltoniano es:
La condiciones de primer orden son:
∂J
∂C
∂J
∂IK
∂J
∂IH
∂J
∂K
∂J
∂H
∂J
∂w
=
∂u −ρt
e
− w = C −θ e−ρt = 0 ;
∂C
u(C) =
C 1−θ − 1
1−θ
(6)
=v−w =0
(7)
=µ−w =0
(8)
= wAαK α−1 H 1−α − vδ = −v̇
(9)
= wAK α (1 − α)H −α − µδ = −µ̇
(10)
= AK α H 1−α − C − IK − IH = 0
(11)
1
Por ende, como w = v
C −θ = veρt
−θ ln C = ln v + ρt
ln C = −θ−1 (ln v + ρt)
(12)
(13)
(14)
La ecuación (9) cuarta condición arroja:
y por tanto
v̇ = v(δ − AαK α−1 H 1−α )
(15)
v = exp[(δ − AαK α−1 H 1−α )t]
(16)
Sustituyendo en la ecuación (14)
ln C = −θ−1 [(δ − Aα(KH −1 )−(1−α) )t + ρt]
= θ−1 (Aα(KH −1 )−(1−α) − δ − ρ)t]
Luego,
[
]
C(t) = C(0) exp θ−1 (Aα(KH −1 )−(1−α) − δ − ρ)t
(17)
De aquí se obtiene la tasa de crecimiento del consumidor
[
]
γC = θ−1 (Aα(KH −1 )−(1−α) − δ − ρ)
(18)
donde Aα(KH −1 )−(1−α) − δ es el producto marginal neto del capital humano. Como v =
w = µ , se sigue que el producto marginal neto del capital humano es igual al del capital
físico.
Aα(KH −1 )−(1−α) − δ = Aα(KH −1 )α − δ
α(KH −1 )−(1−α) = α(KH −1 )α
KH −1 = α(1 − α)−1
Ahora dado lo anterior:
(
)−(1−α)
α KH −1
= α[α(1 − α)−1 ]−(1−α)
= αα−1 (1 − α)1−α
La tasa neta de retorno para el capital físico (y por ende para el capital humano) es:
r∗ = Aα(KH −1 )−(1−α) − δ
= Aα
α−1
(1 − α)
1−α
2
(19)
(20)
Lo cual es constante, debido a que la función de producción (según vimos)exhibe retornos
constantes a escala, por ende no hay retornos decrecientes cuando la razón KH −1 permanece constante y cuando K y H crecen a la misma tasa. Cuando KH −1 es constante se
sigue que γC es constante e igual a:
[
]
γC∗ = θ−1 Aαα−1 (1 − α)1−α − δ − ρ
(21)
Sustituyendo en la función de producción se obtiene:
Y = AK α H 1−α
= AKK α−1 H 1−α
= AK(KH −1 )−(1−α)
[
]−(1−α)
= AK α(1 − α)−1
[
]1−α
= AK (1 − α)α−1
Es decir, el modelo equivale a un modelo AK .
1.2.
La restricción de la inversión bruta no negativa
Si la economía empieza con dos fondos de capital K(0), H(0), cuyo cociente K(0)H(0)−1 se
desvía del valor α(1 − α)−1 requerido para el crecimiento balanceado se requiere ajustar los
fondos para que se ubique en dicho valor. Como no es realista exponer que las inversiones
son reversibles debemos imponer las restricciones IK ≥ 0 y IH ≥ 0. Esto elimina la
posibilidad de ajustar instantáneamente la razón K(0)H(0)−1 .
Si K(0)H(0)−1 α(1−α)−1 el deseo de reducir H y aumentar K conduciría a escoger IH = 0
en este caso Ḣ = −δH y M sigue la trayectoria:
H(t) = H(0)e−δt
(22)
Con lo que H se deprecia a la tasa dada δ . Si IH = 0 el problema de optimización del hogar
puede expresare mediante una función de Hamilton simplicada:
J = u[C(t)]e−ρt + v(AK α H 1−α − C − δK)
(23)
Este planteamiento es equivalente a modelo neoclásico de crecimiento en el que los hogares
escogen consumo e inversión en una forma de capital K sujeto a un proceso tecnológico
exógeno que aumenta la cantidad de otro factor, en este caso H , aquí H crece a una tasa
−δ
El modelo clásico de Ramsey establece que la solución posee la propiedad de convergencia,
tanto γK = K̇K −1 como γY = Ẏ Y −1 desciendan monotónicamente en el tiempo haca
γ ∗ > 0. Como muestra la Figura 1 muestra la tasa de crecimiento de la producción depende
−1
del ratio entre los dos stocks de capital
mínima corresponde
( KH
)∗ . La tasa de crecimiento
−1
al ratio en el estado estacionario KH
= α(1 − α)−1 . A cada ratio en el estado
estacionario , la( tasa de
)∗ crecimiento aumenta simétricamente al aumentar la diferencia
entre KH −1 y KH −1 .
3
Figura 1: El efecto desequilibrio en el modelo de sector único.
Figura 2: Efectos desequilibrio con costes de ajustes de capital humano.
Si aceptamos por otra parte que los costes de ajustes derivados de la modicación
del capital humano son superiores a los derivados de las modicaciones del capital físico
, en este caso, la tasa de crecimiento es más sensible a KH −1 en la región en la que
KH −1 < (KH −1 )∗ que la región donde KH −1 > (KH −1 )∗ (Figura 2).
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