UNIDAD

UNIDAD
2
Magnetismo
n esta unidad aprenderemos cuáles son las propiedades de los imanes,
cómo crear imanes artificiales.
Seremos capaces de “visualizar”
los campos magnéticos creados
por los imanes o por conductores
por los que circula una corriente
eléctrica. Analizaremos lo que le
pasa a un conductor eléctrico
colocado dentro de un campo
magnético al circular una corriente
eléctrica por él. Aprenderemos por
qué se mueve un motor.
E
Con la aplicación de la ley de
inducción de Faraday, junto con la
Campo magnético del Sol. (NASA / SVS )
de Lenz, nos iniciaremos en el
camino de la producción y distribución masiva de energía eléctrica, pues en ellas se basa el
funcionamiento de los generadores y transformadores eléctricos. Comprenderás cuáles son las
consecuencias y posibilidades que ofrecen las corrientes variables al atravesar un conductor
eléctrico.
Para sacar el máximo provecho a estas leyes es necesario conocer el comportamiento de
los materiales magnéticos, sobre todo los ferromagnéticos. Aprenderemos cómo conducir el
flujo magnético de la forma más efectiva a través de un circuito magnético.
Los objetivos que nos proponemos alcanzar con el estudio de esta unidad son los siguientes:
1. Conocer cómo crear y cuantificar un campo magnético.
2. Aplicar las reglas del tornillo, la mano derecha e izquierda a los campos magnéticos.
3. Calcular las fuerzas que ejercen entre sí dos conductores.
4. Aplicar las leyes de inducción Faraday y de Lenz junto a sus consecuencias.
5. Determinar la fuerza electromotriz en casos sencillos.
6. Conocer el comportamiento de los materiales magnéticos.
7. Resolver circuitos magnéticos.
34
Ley de
Hopkinson
Circuitos
Magnéticos
Diamagnéticos
Paramagnéticos
Ferromagnéticos
Materiales Magnéticos
Fuerza
electromotriz
Corrientes
Parásitas
Ley de
Faraday / Lenz
Curva
Magnetización
Ciclo de
Histéresis
Ley de Biot
y Savart
Campos
Magnéticos
Flujo
Magnético
Teorema de
Ampére
Regla de la
Mano derecha
Fuerza sobre
Conductores
Regla del
Tornillo
Regla de la
Mano izquierda
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1. IMANES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. CAMPO MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Concepto de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Líneas de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ley de Biot−Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Regla del tornillo, del sacacorchos o de la mano derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. TEOREMA DE AMPÈRE: FORMULACIÓN Y APLICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. FUERZA SOBRE UN CONDUCTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Regla de la mano izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Fuerza sobre conductores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Fuerza sobre una espira elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. INDUCCIÓN MAGNÉTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. F.e.m. inducida sobre una espira con movimiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. F.e.m. inducida en una espira giratoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Regla de la mano derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Inducción mutua y autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Corrientes parásitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. MATERIALES MAGNÉTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Campo magnético en el interior de los materiales. Excitación magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Curva de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Ciclo de histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. CIRCUITOS MAGNÉTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Ley de Hopkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Resolución de circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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UNIDAD
MAGNETISMO
2
1. Imanes
Desde la antigüedad se conoce la existencia de ciertos
materiales, como la magnetita, que son capaces de atraer limaduras
de hierro; estos materiales son los imanes. Los materiales
susceptibles de ser atraídos por los imanes son los llamados
materiales ferromagnéticos como el hierro, el cobalto, el níquel o
sus aleaciones, que estudiaremos más adelante.
En un imán de barra podemos observar que la concentración
de limaduras es mayor en los extremos, zonas denominadas polos
del imán. En los polos la fuerza de atracción es máxima. La zona
donde no se atraen limaduras es la zona neutra del imán.
Polos de un imán (museovirtual.csic.)
Si tomamos un imán y lo partimos por la mitad, cada una de las partes resultantes es un nuevo imán, con sus
dos polos. Si los trozos resultantes los volvemos a partir obtendremos de nuevo otros imanes, más pequeños
pero con sus dos polos; resulta que no podemos separar los polos de un imán.
Todos los imanes tienen un polo norte (N) y
un polo sur (S). La interacción entre los polos es
la siguiente:
● Polos del mismo nombre se repelen.
● Polos de diferente nombre se atraen.
La propia Tierra es un gran imán, como dedujo
Fuerzas entre imanes. (M.C.M.)
el físico inglés William Gilbert (1544-1603) en 1600, al observar
que la aguja de una brújula siempre se orientaba en dirección
norte-sur. El polo norte de un imán es aquel que, si pendemos dicho imán de un hilo por la zona neutra, acabará
orientándose hacia el norte magnético. El norte magnético y el norte geográfico terrestres no coinciden exactamente
y a su diferencia se la llama declinación magnética.
Para que un material ferromagnético adquiera imantación permanente basta con someterlo a la acción de un
campo magnético externo. Este fenómeno es conocido como
imantación por inducción y gracias a él es posible fabricar
imanes artificiales. Este mismo fenómeno de imantación por
inducción explica por qué en una sucesión de clavos atraídos
por un imán estos atraen a su vez otros clavos.
De manera similar, si frotamos reiteradamente una aguja
de acero sobre un imán, siempre en la misma dirección, la aguja
queda imantada y hemos fabricado, con un sencillo experimento,
lo que llamamos un imán permanente.
Por otro lado, las propiedades magnéticas de los materiales
dependen de su temperatura. En el caso de los materiales férricos
o ferromagnéticos, sus propiedades magnéticas disminuyen
con el incremento de la temperatura hasta alcanzar la
temperatura o punto de Curie para la cual se anulan. La
temperatura de Curie para el hierro es de 770 ºC.
36
Imantación de una aguja. (INTEF)
2. Campo magnético
El concepto de campo aplicado a cargas eléctricas se puede extender a los imanes y cargas en movimiento.
2.1. Concepto de campo magnético
Hemos visto que un imán es capaz de atraer limaduras de hierro y es capaz
de modificar el espacio que lo rodea porque ha creado un campo magnético.
Un campo magnético es una perturbación del espacio que rodea a una carga
eléctrica en movimiento o a un imán.
Si en una región donde existe un campo magnético colocamos una aguja
imantada, ésta se orientará en cada punto según la dirección de las líneas del
campo (como muestran las flechas rojas de la figura), esto se debe a que el
campo magnético modifica (o perturba) a efectos electromagnéticos la región
donde está presente. A cada punto del espacio se le puede asignar una magnitud
vectorial que se representa por la letra B.
La unidad de campo magnético o inducción magnética es el SI es el tesla
Líneas de campo de un imán . (M.C.M.)
(T) – en homenaje al ingeniero Nikola Tesla (1856−1943)– ; otra unidad de
campo magnético o inducción magnética es weber por metro cuadrado (Wb/m2 ó Wb·m−2).
→
Si una carga eléctrica q se mueve dentro un campo magnético B aparece sobre ella una fuerza de origen
magnético. Dicha fuerza puede calcularse aplicando la ley de Lorentz –por el físico y matemático holandés
Hendriok Antoon Lorentz (1853−1928)–:

 
F = q⋅v ∧ B
Donde
→
F es la fuerza en newtons (N)
q es la carga eléctrica en culombios (C)
→
v es velocidad de la carga en metros por segundo (m/s)
→
B es el campo magnético en teslas (T)
El símbolo Λ representa el producto vectorial de dos vectores.
2.2. Líneas de fuerza
Fuerza sobre una carga. (M.C.M.)
Un campo magnético se puede “visualizar” utilizando el concepto de
líneas de campo o líneas de fuerza. Las propiedades de estas líneas son:
● Salen del polo norte de un imán y entran por el polo sur.
● Son cerradas.
● Nunca se cortan.
● Cuanto más juntas se encuentran, más intenso es el campo magnético en esa región; piensa en los polos
de un imán.
A continuación vemos dos representaciones de campos magnéticos:
37
UNIDAD
MAGNETISMO
2
Campo creado por un imán esférico. (C.A.L.)
Campo creado por una espira. (M.C.M.)
Para representar las líneas de campo perpendiculares a un plano se representan con aspas (×) si penetran
en él; y con puntos (·), si salen.
2.3. Flujo magnético
La definición de flujo magnético es la siguiente:


Φ = ∫B ⋅dS
S
El flujo magnético (Φ) podemos interpretarlo físicamente como el número
de líneas de campo magnético que atraviesan una superficie (S).
La unidad de flujo en el SI es el weber (Wb).
Una consecuencia importante es que B se puede expresar como
Φ
B=
S
Flujo magnético en una superficie. (M.C.M.)
y, en consecuencia, su unidad es el weber por metro cuadrado (Wb/m2 ó Wb·m−2).
Una diferencia importante entre el flujo eléctrico y el flujo magnético es que el flujo magnético a través de
cualquier superficie cerrada siempre es nulo:
 
Φ = ∫ B ⋅ d S = 0
S
El significado físico de ello es que las líneas de campo magnético son siempre cerradas, no existen cargas
magnéticas aisladas, por eso no podemos separar los polos de un imán.
2.4. Ley de Biot−Savart
En 1820, el danés Hans Christian Oersted (1777−1851), descubrió que
era posible crear un campo magnético haciendo circular una corriente eléctrica
a través de un conductor.
Más tarde, los físicos franceses Jean Baptiste Biot (1744−1862) y Félix
→
Savart (1791−1841) determinaron la contribución
al campo magnético dB
→
de una pequeña porción de conductor dl recorrida por una corriente I en un
→
punto P del espacio cuya posición está dada por r tal como se indica en la
figura.
38
Ley de Biot- Savart. (M.C.M.)
→
→
Definimos ur como un vector unitario con la misma dirección y sentido que r , la contribución de esa pequeña

 
porción al campo magnético es:
 μ0 ⋅ I dl ∧ u r
dB =
⋅
r2
4π
La contribución total de un conductor de longitud L en el punto P al campo magnético está dada por la siguiente

 
expresión:

μ0 I dl ∧ u r
B=∫
r2
4π
L
La ley de Biot−Savart nos exige plantear y resolver integrales, lo que
no siempre resulta sencillo. A continuación se indican las ecuaciones
simplificadas para calcular dos casos típicos: el campo magnético creado
por un conductor rectilíneo y el creado por una espira.
El campo creado por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula
una corriente I a una distancia r de él viene dado por:
 μ0 I 

⋅ ur
B=
2π r
El campo creado por una espira circular recorrida por una corriente I y
de radio r a una distancia a de su centro viene dado por:
⎤ 
 μ0 ⎡

I·r 2
B=
⎢
⎥ ur
2 ⎢ ( r 2 + a 2 )3 ⎥
⎣
⎦
El valor del campo en el centro de la espira cuando a = 0 vale:
 μ0 I 

⋅ ur
B=
2 r
Campo magnético creado por un hilo indefinido. (M.C.M.)
Ejemplo
1. Calcular el flujo magnético que crea un hilo conductor de longitud indefinida recorrido por una corriente I, sobre un
cilindro de altura h y radio r cuyo eje coincide con el del conductor.
Solución:
La definición de flujo debemos aplicarla a la superficie del cilindro. La superficie está formada
por la tapa inferior, la tapa superior y la superficie lateral; como podemos ver en la figura, el
flujo se reparte entre las tres superficies:
 
 
 
 
Φ = ∫ B ·d S = ∫ B ·d S + ∫ B ·d S + ∫ B ·d S , analicemos cada una de las integrales.
S
Tap Inf
● Flujo sobre las tapas:
 
ΦTap Inf = ∫ B ·d S =
Tap Inf
Tap Sup
∫
Sup Lat
B·dS ·cos(90º ) = 0 ⇒ ΦTap Inf = 0 , porque el ángulo que forman
Tap Inf
→ →
Flujo sobre un cilindro.
B y dS siempre es de 90º. Lo mismo ocurre para la tapa superior.
(M.C.M.)
● Flujo sobre la superficie lateral:
 
ΦSup Lat = ∫ B ·d S = ∫ B·dS ·cos(90º ) = 0 ⇒ ΦSup Lat = 0, vuelve a ocurrir exactamente lo mismo que antes.
Sup Lat
Sup Lat
Los tres flujos son cero.
ΦTap Inf = 0 , ΦTap Sup = 0 y ΦSup Lat = 0 lo que significa que el flujo total es:
Φ = ΦTap Inf + ΦTap Sup + ΦSup Lat = 0 ⇒ Φ = 0
Lo podríamos haber deducido sin realizar ninguna operación; recuerda que el flujo magnético en una superficie
cerrada siempre es cero.
39
UNIDAD
MAGNETISMO
2
2.5. Regla del tornillo, del sacacorchos o de la mano
derecha
Esta regla permite determinar el sentido del campo magnético generado por
un conductor recorrido por una corriente eléctrica; su enunciado es el siguiente:
Tómese el conductor con la mano derecha de forma que el dedo pulgar
apunte en el sentido de la corriente, entonces el sentido del campo
magnético creado está dado por la dirección del resto de los dedos.
Fíjate en la representación gráfica de la derecha.
Regla del tornillo. (C.A.L.)
Actividades
1. Si la corriente que circula en los casos siguientes es de 6 A:
a)
b)
c)
a) Calcula la inducción generada alrededor de un conductor rectilíneo en una línea concéntrica de radio 0,15 cm
y situada en un plano perpendicular al eje conductor.
b) Si el conductor es una espira circular, ¿cuál debe ser el radio de la espira para obtener en su centro la misma
inducción magnética que la del apartado anterior?
c) ¿Qué valor de inducción se obtiene en el centro de una bobina plana de 100 espiras cuyo radio es de 4 cm?
2. Calcula el flujo magnético en una espira circular de 10 cm de radio atravesada por un campo magnético perpendicular
de 6 T. ¿Y si giramos 30º la espira? ¿Y si la giramos hasta que la superficie de la espira se quede paralela a las
líneas de campo?
3. ¿Qué harías para saber si por un conductor pasa corriente continua si no tuvieses ningún aparato eléctrico de
medida? ¿Cómo puedes determinar su sentido?
4. Calcula el flujo de la inducción magnética a través de una superficie plana rectangular determinada por los vértices
A(5,−1,1), B(5,2,1), C(5,−1,−1) y D(5,2,−1) en un espacio coordenado, estando las coordenadas expresadas en
→
metros. La inducción magnética es constante y uniforme en todo el espacio y su valor es de B = (4, −2, 6) Wb/m2.
Recuerda
ü Un campo magnético es una perturbación del espacio que rodea a una carga eléctrica en movimiento o un imán.
ü Los campos magnéticos se pueden representar a través de líneas de fuerza.
ü El flujo magnético es una medida de la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesan una superficie.
ü Para calcular el campo magnético que crea un conductor recorrido por una corriente eléctrica en un punto del
espacio podemos utilizar la ley de Biot-Savart.
ü La regla del tornillo nos permite conocer el sentido de un campo magnético creado por una corriente eléctrica o
viceversa.
40
3. Teorema de Ampère: formulación y aplicación
El teorema de Ampère es a los campos magnéticos lo que el teorema de Gauss es a los campos eléctricos.
El enunciado del teorema de Ampère es el siguiente:
La circulación del vector inducción magnética (B) a lo largo de una línea cerrada es proporcional al
valor de la corriente encerrada.
Su expresión matemática es:
 

∫ B ⋅ dl = μ0 ⋅ ∑ I
→
El sentido de la circulación está dado por el sentido de dl . El signo de
las corrientes abrazadas por la línea cerrada se obtiene aplicando la regla
del tornillo a cada corriente que queda dentro de la línea de circulación.
Si aplicamos el teorema de Ampère a la figura, los signos de las corrientes
son los indicados en la expresión siguiente:
 

B
⋅
dl
= μ0 ⋅ (− I1 + I 2 + I 3 )
∫
El teorema de Ampère es especialmente útil cuando se dan ciertas
condiciones de simetría:
Aplicación teorema de Ampère. (M.C.M.)
→
● Que el módulo de B sea constante.
→ →
● Que B y dl mantengan un ángulo constante en todos los puntos de la línea de circulación.
Cuando se cumplen las condiciones anteriores el cálculo de la integral de circulación es muy sencillo.
Lo normal es que las corrientes encerradas por la línea que define la circulación sean iguales, en el caso de
N corrientes idénticas el teorema de Ampère toma la forma habitual:
 

∫ B ⋅dl = μ0 ⋅ N I
Ejemplo
2. Determina el campo magnético creado por una línea indefinida rectilínea recorrida por una corriente I aplicando el
teorema de Ampère.
Solución:
Para aplicar el teorema de Ampère haremos las siguientes suposiciones:
a) El campo magnético creado a una distancia r siempre vale lo mismo.
b) La línea de→
integración
más adecuada es una circunferencia de radio r, de
→
está forma dl y B siempre forman 0º entre sí. Fíjate en la imagen de la derecha.
Aplicando el teorema de Ampère a la circunferencia de radio r, resulta:
 
 2π
 μ0 ⋅ I 
B·dl
=
B
⋅
dl
=
B·
2
π
⋅
r
=
μ
⋅
I
⇒
B=
ur
0
∫
∫0
2π ⋅ r
Observa que dentro de la circunferencia de radio r hay un único conductor que
la atraviesa, por lo tanto N = 1
41
Conductor de longitud indefinida. (M.C.M.)
UNIDAD
MAGNETISMO
2
Ejemplos
3. Calcular el campo magnético creado por un solenoide de longitud total L y N espiras aplicando el teorema de
Ampère.
Solución:
Suponemos que
● Las espiras están muy juntas.
● La longitud del solenoide es mucho mayor que su anchura.
Bajo las hipótesis anteriores el campo magnético queda confinado en el
interior del solenoide y toma un valor constante y paralelo a las generatrices
del cilindro tal como se muestra en la figura.
Apliquemos el teorema de Ampère al camino señalado en verde en la
figura y tendremos:
Campo creado por un solenoide. (M.C.M.)
  b   c   d   a  
∫ B ·dl = ∫ B ·dl + ∫ B ·dl + ∫ B ·dl + ∫ B ·dl = μ0 ⋅ N '⋅ I
a
b
c
d
N’ es el número de espiras que están contenidas en la longitud abarcada por l.
c 
 a  
 

B
·dl
y ∫ B ·dl son nulas porque B y dl sonn perpendiculares.
∫
b
d
b 
 


=
a
porque
B
0
y
la
integral
B
·dl
también
es
nul
∫
∫ B ·dl = B ⋅ l.
d
La integral
c
a
 
μ ⋅ N '⋅ I
La circulación vale: ∫ B ·dl = B ⋅ l = μ0 ⋅ N '⋅ I ⇒ B = 0
l
Definamos n como el número de espiras por unidad de longitud (n = N / L). Al estar las espiras distribuidas
uniformemente sobre la longitud del solenoide, el cociente N '/ l es también igual a n, por lo N / L = N '/ l .
El campo magnético en el interior del solenoide es:



μ ⋅N ⋅I
B= 0
= μ 0 ⋅ n ⋅ I ⇒ B = μ 0 ⋅ n ⋅ I ur
L
4. Determinar aplicando el teorema de Ampère el campo magnético creado en un toroide de N espiras enrolladas
sobre un anillo de radio medio rm y espesor e de forma que rm >> e.
Solución:
Las espiras se encuentran distribuidas uniformemente sobre el anillo y están muy apretadas; en estas condiciones
el campo magnético fuera del toroide es nulo, solo existe en su interior, y su valor es constante.
Tomando como camino de circulación la circunferencia de radio rm, el campo magnético y el camino de integración
coinciden como en el ejemplo 2.
Aplicamos el teorema de Ampère sobre la circunferencia de radio rm y obtenemos el valor del campo magnético en
el interior del toroide:
 
 2π
 μ0 ⋅ N ⋅ I 

B·dl
=
B
⋅
dl
=
B·
2
π
⋅
r
=
μ
⋅
N
⋅
I
⇒
B
=
u
m
r
0
∫
∫0
2π ⋅ rm
El número de espiras por unidad de longitud, n = N / 2·rm, el campo magnético se expresa como



B = μ 0 ⋅ n ⋅ I ur
Expresión que coincide con la del solenoide. Un toroide se puede considerar como un solenoide de forma circular.
42
4. Fuerza sobre un conductor
→
→
Un conductor de longitud dl situado dentro de un campo magnético B por el que circula una corriente eléctrica
→
I aparece sometido a una fuerza dF de valor


 
dF = I ⋅ dl ∧ B
La fuerza total sobre el conductor de longitud L vale


 
F = ∫ I ⋅ dl ∧ B
L
→
Debemos recalcar que el sentido del vector dl es el mismo
que I.
Para el caso de un conductor de longitud L dentro de un campo
magnético uniforme la fuerza
sobre él es:
 que aparecerá
 
F = I ⋅L∧ B
Fuerza sobre un conductor. (M.C.M.)
4.1. Regla de la mano izquierda
Esta regla permite determinar de forma sencilla el sentido de la fuerza que aparece sobre un conductor. Su
enunciado es el siguiente:
Tómese la mano izquierda de forma que el campo magnético entre por la palma de la mano; sitúese el
dedo medio en la dirección y sentido de la corriente que circula por el conductor, entonces el sentido
de la fuerza está dado por la posición del pulgar.
Lo encontramos gráficamente representado en la figura.
Regla de la mano izquierda. (C.A.L.)
43
UNIDAD
MAGNETISMO
2
4.2. Fuerza sobre conductores paralelos
Dos conductores eléctricos separados una distancia d, recorrido
cada uno por una corriente I1 e I2, respectivamente, están sometidos
a una fuerza cuyo valor por unidad de longitud es:
 μ0 ⋅ I1 ⋅ I 2 
F=
u
2π ⋅ d
Veamos cómo se obtiene la expresión anterior:
→
El conductor 2 está bajo la acción de un campo magnético B2l creado
por la corriente I1 que circula por el conductor 1 de valor:

μ ⋅I 
B21 = 0 1 uϕ
2π ·d
El conductor 2 por estar recorrido por una corriente I2 y bajo la influencia
de un campo magnético aparece sometido a una fuerza de valor:
μ ⋅I
F '21 = I 2 ⋅ L ⋅ B21 = I 2 ⋅ L ⋅ 0 1
2π ⋅ d
Fuerza entre dos conductores paralelos. (M.C.M.)
Por lo que la fuerza por unidad de longitud es:
F=
F '21 μ0 ⋅ I1 ⋅ I 2
=
L
2π ⋅ d
Justo la expresión que obtuvimos al principio.
Sobre el conductor 1 también aparece una fuerza de igual valor y sentido opuesto a la que apareció sobre el
coonductor 2. Siguiendo el mismo razonamiento tenemos que ell conductor 2 genera un campo magnético de valor

μ ⋅I 
B12 = 0 2 uϕ que actúa sobre el conductor 1 y que al estar recorrido por una intensidad I1 aparece sobre él una
2π ·d
μ ⋅I
fuerza F12' = I1 ⋅ L ⋅ B12 = I1 ⋅ L ⋅ 0 2 , por lo que la fuerza por uniidad de longitud es:
2π ⋅ d
F=
F12' μ0 ⋅ I1 ⋅ I 2
=
L
2π ⋅ d
Las fuerzas que aparecen sobre los conductores dependiendo de los sentidos de las corrientes que los
recorren pueden ser:
● De atracción, si las corrientes tienen el mismo sentido en ambos conductores.
● De repulsión, si las corrientes tienen sentidos opuestos en ambos conductores.
Si en la expresión anterior hacemos que I1 = I2 = 1 A y d = 1 m, entonces definimos el amperio como la
corriente que al circular por dos conductores rectilíneos paralelos de longitud indefinida, separados un metro de
distancia provoca en ellos la aparición de una fuerza de 2·10−7 N por cada metro de conductor.
Las fuerzas de origen magnético pueden ser muy intensas, sobre todo en las instalaciones de potencia,
cuando se produce un cortocircuito, debido a las altas intensidades que aparecen en los conductores. Es lo que
se denomina efecto electrodinámico. Estas fuerzas tienen que ser soportadas por los conductores, los embarrados
y los soportes de los armarios eléctricos y, en caso de no resistirlas, pueden suponer la deformación de tales
soportes o la destrucción del armario.
44
4.3. Fuerza sobre una espira elemental
Si colocamos una espira rectangular de longitud l y
ancho b recorrida por una intensidad I en un campo
→
magnético uniforme B , como la espira de la ilustración.
En dicha ilustración pueden verse los sentidos de
las fuerzas que aparecen sobre los lados de la espira.
→
Las fuerzas F' actúan sobre los lados de longitud b y
tienden a abrir la espira.
→
Las fuerzas F actúan sobre los lados de longitud l.
→
El módulo de estas fuerzas F vale:
F=l·B·I
→
→
El par de fuerzas F crea un momento o par τ de
valor:
  

τ = b ∧ F = b ⋅ l ⋅ B ⋅ I ⋅ sen ϕ uτ
Fuerzas espira cuadrada. (C.A.L.)
Este momento de fuerzas provoca el giro de la espira y es justamente el principio en que se basan los
motores eléctricos.
→
Otra forma de calcular el momento de fuerzas creado por el par de fuerzas F pasa por definir el concepto de
→
momento magnético m de una espira como el vector que se obtiene al multiplicar la superficie de la espira por
la intensidad que la recorre. El sentido de este vector es el que se obtiene aplicando la regla del tornillo según
sentido de la corriente que circula por la espira. Su expresión matemática es:


m = I ⋅S



→
El momento magnético de nuestra espira es m = I ⋅ b ⋅ l ⋅ uS , donde us es un vector unitario perpendicular al
→
plano de la espira, con el sentido del vector S
Aplicando el concepto de momento magnético de una espira, el par o momento generado por la pareja de
→
fuerzas F sobre una espira vale:
  
τ =m∧B
Si aplicamos esta fórmula a nuestra espira tenemos:
  

 

τ = m ∧ B = I ⋅ b ⋅ luS ∧ B = I ⋅ b ⋅ l ⋅ B ⋅ sen ϕ uτ
Es decir, obtenemos la misma expresión de más arriba.
  
La expresión τ = m ∧ B es general y vale para cualquier tipo de espira, no está limitada a espiras de forma
rectangular solamente.
45
UNIDAD
MAGNETISMO
2
Actividades
5. Un conductor A, largo y rectilíneo conduce una corriente de 5 A y otro B paralelo y distante 15 cm es recorrido por
una corriente de 10 A en sentido opuesto. Se nos pide calcular:
a) El módulo, dirección y sentido de la fuerza por unidad de longitud ejercida por el conductor A sobre el B.
b) ¿Existe algún punto donde colocar un conductor C de forma que no aparezca sobre
él ninguna fuerza?
6. La espira de la figura mide 30 × 50 mm y circula por ella una corriente de 2,5 A. El
campo magnético es de 3 T según la dirección indicada.
a) Calcula y dibuja las fuerzas que aparecen sobre cada conductor de la espira.
b) Calcula e indica el par de fuerzas que aparece y el sentido de giro.
Espira alineada. (M.C.M.)
7. Calcula el radio de curvatura que describirá un electrón que penetra a una velocidad de 106 m·s−1 en un campo
magnético de 0,75 T de forma que el vector velocidad y el campo son perpendiculares. Datos: masa del electrón
9,1·10−31 Kg, carga del electrón −1,16·10−19 C.
Recuerda
ü Sobre un conductor situado dentro de un campo magnético y recorrido por una corriente eléctrica se produce una
fuerza que tiende a desplazarlo. Si el conductor está doblado en forma de una espira, se produce un momento
de fuerzas que tienden a hacerla girar. Este es el principio de funcionamiento de los motores eléctricos.
ü Con la regla de la mano izquierda podemos obtener el sentido de la fuerza que aparece sobre un conductor
situado dentro de un campo magnético cuando es recorrido por una corriente eléctrica.
46
5. Inducción magnética
La inducción magnética es fundamental para comprender las actuales máquinas eléctricas. El primero en
estudiarlo fue Michael Faraday (1791-1867), quien, en 1831, tras realizar una serie de experimentos, hizo
evidente el fenómeno de inducción magnética al constatar:
1º Que si un imán se acerca a una bobina conectada a un
galvanómetro la aguja de este se mueve.
2º Que el movimiento de la aguja solo existe mientras el imán
se mueve.
3º Que el fenómeno también se observa al contrario, es decir,
si la bobina se acerca al imán.
4º Que cuanto más rápido sea el movimiento del imán, más
rápidamente y con mayor amplitud se mueve la aguja.
5º Si el imán se sustituye por una espira conectada a una
pila que se puede gobernar por un interruptor, cada vez
que se abra o cierre el interruptor, el galvanómetro mueve
su aguja.
Experimento de Faraday. (C.A.L.)
6º Si el interruptor permanece cerrado, la aguja del galvanómetro no se mueve.
De estos experimentos Faraday dedujo lo que conocemos como principio o ley de inducción de Faraday,
que dice:
En un conductor atravesado por un flujo magnético variable se induce una fuerza electromotriz
proporcional a la variación del flujo que lo atraviesa con respecto al tiempo.
La expresión matemática de esta ley es:
 
 
dΦ
d (B ⋅ S )
ΔΦ
Δ( B ⋅ S )
ε =−
=−
=−
o mejor aún ε = −
dt
dt
Δt
Δt
El signo menos indica que una disminución del flujo provoca un aumento de la fuerza electromotriz inducida,
y al contrario.
En el caso de una bobina de N espiras, la fuerza electromotriz vale:
ε = −N
dΦ
dt
La unidad de fuerza electromotriz en el SI es el voltio (V).
Recordemos que la forma de crear una fuerza electromotriz por inducción es:
1. Variando el campo magnético que atraviesa una espira; esto es el fundamento de los transformadores.
2. Cambiando el valor de la superficie de la espira frente al campo magnético, fundamento de los generadores
eléctricos.
3. Variando ambos.
47
UNIDAD
MAGNETISMO
2
Para determinar el sentido de la f.e.m. se puede aplicar la ley de Lenz –debida al estonio−alemán Heinrich
Friedich Lenz (1804−1865)– cuyo enunciado es:
El sentido de la f.e.m. inducida es tal que siempre se opone a la variación del flujo magnético que la
origina.
La ley de Lenz explica de una forma sencilla el efecto del signo menos en la ley de inducción de Faraday.
Ejemplos
5. Aplicación de la ley de Lenz a una espira que se introduce o retira de un campo magnético uniforme.
Solución:
La posición inicial de la espira es la indicada en la figura inferior izquierda. Al no variar el flujo, no aparece sobre
ella ningún tipo de f.e.m. Al introducirla, el flujo que atraviesa a la espira aumenta, entonces la espira debe reaccionar
de forma tal que aparezca una f.e.m. que cree un flujo que se oponga a este aumento del flujo en la espira. La
única forma de que esto ocurra es que aparezca una intensidad, en el sentido indicado en la figura inferior de la
derecha, que hace disminuir el flujo total que atraviesa la espira. Observa que las líneas de campo que crea la
f.e.m. en la espira es contrario a las líneas de campo creadas por el imán.
Si la espira se desplaza hacia fuera, el sentido de la corriente y del campo generado es el opuesto.
Espira moviéndose en un campo magnético. (M.C.M.)
6. Aplicación de la ley de Lenz a una espira situada dentro de un campo magnético variable.
Solución:
Si el campo crece, el flujo dentro de la espira aumenta (estamos en la misma situación que en el ejemplo anterior
al introducir la espira); por la ley de Lenz aparecerá una corriente en la espira que tiende a disminuir el flujo total
en el interior de la espira. Si disminuye ocurre justo al revés.
Espira dentro de un campo creciente. (M.C.M.)
Espira dentro de un campo decreciente. (M.C.M.)
48
5.1. F.e.m. inducida sobre una espira con movimiento
lineal
Tenemos una espira rectangular en el interior
→
de un campo magnético uniforme de valor B
que se mueve a una velocidad de v m/s, tal como
se muestra en la imagen de la derecha.
El flujo que inicialmente atraviesa la espira
es: Φ1 = B ⋅ l ⋅ X .
Al arrastrar la espira hacia fuera a una
velocidad v, la espira se desplaza una distancia
∆X = v · ∆t en un tiempo ∆t .
Desplazamiento lineal de una espira. (M.C.M.)
El flujo en esta nueva situación es: Φ2 = B ⋅ l ⋅ ( X − Δ X ) ; y la variación de flujo es:
ΔΦ = Φ2 − Φ1 = − B ⋅ l ⋅ Δ X = − B ⋅ l ⋅ v ⋅ Δt
Aplicando la ley de Faraday la fuerza electromotriz ε vale:
ε =−
ΔΦ
Δ(− B ⋅ l ⋅ v ⋅ Δt )
=−
= B ⋅l ⋅v
Δt
Δt
ε = B ⋅l ⋅v
Hay que reseñar que la expresión anterior se puede generalizar. Así, la f.e.m. que aparece sobre un conductor
de longitud L que se desplaza a una velocidad v dentro de un campo magnético B, vale:
  
ε = v× B ·L
(
)
La existencia de la fuerza electromotriz provoca la aparición de una intensidad I en la espira, que al estar en
el interior de un campo magnético se encuentra sometida a una fuerza que actúa sobre el lado CD y valdrá:
Fm = B·l·I
Esta fuerza Fm tiene el mismo módulo y sentido contrario a la fuerza F que se tira de la espira para que esta
se mueva a velocidad constante v.
Observa que obtenemos una fuerza electromotriz a costa de ejercer una fuerza de arrastre sobre la espira.
Hemos transformado así una fuerza de origen mecánico en una fuerza electromotriz de origen electromagnético,
hemos creado un generador.
49
UNIDAD
MAGNETISMO
2
5.2. F.e.m. inducida en una espira giratoria
Si ahora a nuestra espira rectangular de
dimensiones S = b·l la hacemos girar a una
velocidad de ω rad·s−1 sobre un eje que pasa por
su centro, el flujo que atraviesa esta espira es:
 
Φ = B ⋅ S = B ⋅ S ⋅ cos ϕ
Observemos que el flujo cambia entre un valor
máximo de Φmax = B · S, cuando la espira está
alineada con el campo (φ = 0 rad), pasa a valer
cero cuando está perpendicular al campo
magnético (φ = rad), toma un valor mínimo Φmin
= −B · S (φ = 3/2 rad) y retorna a la situación
inicial para repetir el ciclo en los sucesivos giros
de la espira. Aplicando la ley de Faraday y
recordando que φ = ω·t rad, tenemos:
ε =−
Espira dentro de un campo magnético. (C.A.L.)
dΦ
d ( B ⋅ S ⋅ cos (ωt ))
=−
= B ⋅ S ⋅ ω ⋅ sen(ω t ) = Φmax ⋅ ω ⋅ sen(ω t )
dt
dt
Obtenemos así una fuerza electromotriz senoidal, por lo que hemos obtenido un generador de tensión
senoidal elemental.
Recuerda
ü El flujo y la f.e.m. están desfasadas 90 º.
ü Φ ( t ) = B ⋅ S ⋅ cos( ω t ) = B ⋅ S ⋅ sen(
ü ε ( t ) = B ⋅ S ⋅ ω ⋅ sen( ω t )
π
− ω t)
2
5.3. Regla de la mano derecha
Esta regla permite, de una forma sencilla, determinar el sentido
de la f.e.m. que aparece sobre una espira que se mueve en el interior
de un campo magnético.
Observa la ilustración adjunta. La regla de la mano derecha la
enunciamos así:
Tómese la mano derecha de forma que el campo magnético
entre por la palma de la mano, colóquese el dedo pulgar
según la dirección y sentido del movimiento, entonces el
sentido de la fuerza electromotriz está dado por el dedo medio.
Si aplicamos esta regla a la espira moviéndose dentro un campo
magnético uniforme o a la espira del anterior Ejemplo 5 veremos
que los resultados coinciden.
50
Regla mano derecha. (C.A.L.)
5.4. Inducción mutua y autoinducción
En este apartado trataremos de dar respuesta a una primera cuestión: ¿Pueden influirse mutuamente dos
espiras o bobinas?
Partimos de dos bobinas como las indicadas en la figura, la
primera de ellas con N1 vueltas, por la que circula una corriente
variable I1 y a la que llamaremos circuito primario. La segunda bobina
tiene N2 vueltas y esta recorrida por una corriente variable I2. A
esta bobina la llamaremos circuito secundario.
El circuito primario al estar recorrido por una intensidad variable
I1 crea un campo magnético variable que causa un flujo variable Φ1
Inducción mutua. (M.C.M.)
y parte de él, Φ21 “alcanzará” al circuito secundario induciendo una
f.e.m. ε2. El flujo Φ21 depende de la corriente del circuito primario, por lo que es correcto escribir Φ21 = α21 · I1 y,
aplicando el principio de inducción al circuito secundario, se tiene que:
ε 2 = − N2 ⋅
dΦ21
dI
dI
= − N 2 ⋅ α 21 1 = − M 21 ⋅ 1
dt
dt
dt
Al coeficiente M21 se le conoce como coeficiente de inducción mutua entre la espira 1 y la espira 2.
Aplicando el mismo razonamiento al circuito secundario, por el que circula una corriente variable I2, que
provocará un campo variable que alcanzará al circuito primario, provocando una variación de flujo, Φ12, que
originará una f.e.m. ε1 en el circuito primario, podemos escribir:
Φ12 = α12 ⋅ I 2
ε1 = − N1 ⋅
dΦ12
dI
dI
= − N1 ⋅ α12 2 = − M 12 ⋅ 2
dt
dt
dt
Los coeficientes M21 y M12 son iguales, M21 = M12 = M, y se llama coeficiente de inducción mutua. Este coeficiente
depende únicamente de factores geométricos, es decir, de la forma de las bobinas y de la separación entre ellas.
El cálculo de M se realiza aplicando las ecuaciones siguientes:
M = N1 ⋅
dΦ12
dΦ
ó M = N 2 ⋅ 21
dI 2
dI1
La unidad del coeficiente de inducción mutua en el SI es el henrio (H).
La respuesta a nuestra pregunta inicial es que sí: entre dos espiras o bobinas cercanas, recorridas cada una
por una corriente eléctrica variable, existe efectivamente una influencia mutua. La importancia de este fenómeno
es esencial para la comprensión del funcionamiento de un transformador.
Después de la anterior pregunta surge otra: ¿Puede influirse a sí misma una espira o bobina?
Tomemos una bobina de N vueltas por la que circula una corriente variable I, esta corriente crea un flujo
variable, Φ, que depende de I (Φ = α·I); como consecuencia de la ley de inducción de Faraday aparece sobre
ella una f.e.m. Procediendo de forma análoga al caso anterior se tiene:
ε = −N ⋅
dΦ
d[ α ⋅ I]
dI
dI
= −N ⋅
= −N ⋅α ⋅ ⇒ ε = −L ⋅
dt
dt
dt
dt
51
UNIDAD
MAGNETISMO
2
Aparece una nueva constante L, coeficiente de autoinducción o inductancia. La determinación de L se
realiza aplicando la siguiente expresión:
L= N⋅
dΦ
dI
La inductancia de un circuito se define con el cociente entre la variación de flujo magnético que lo atraviesa
cuando es sometido a una variación de corriente. La unidad de la inductancia en el SI es el henrio (H):
H=
V
Wb
⋅s = Ω ⋅s =
A
A
El fenómeno de la autoinducción se pone de manifiesto en las operaciones de apertura/cierre de un circuito
que lleva acoplado una bobina (relés, inductancias, motores, etc.) que provocan sobretensiones que pueden
perturbar a cargas vecinas o destruir al propio aparato. En ocasiones podemos aprovechar este efecto para
provocar tensiones elevadas de forma controlada, como ocurre con la chispa que salta de una bujía en un motor
de explosión al provocar la ignición (explosión) de la mezcla de gasolina y aire en el interior del cilindro del motor.
Ejemplo
7. Calcular el coeficiente de autoinducción de un solenoide de N espiras, de sección S y longitud L, con L >> S.
Solución:
El campo magnético creado por un solenoide largo y estrechoo es B =
Φ = B⋅S =
μ0 ⋅ N ⋅ I ⋅ S
L
μ0 ⋅ N ⋅ I
, por lo tanto el flujo vale:
L
Aplicando la definición de L obtenemos su valor:
S⎞
⎛
d ⎜ μ0 ⋅ N ⋅ I ⋅ ⎟
dΦ
S
L⎠
L=N⋅
=N⋅ ⎝
= N 2 ⋅ μ0 ⋅
dI
dI
L
S
L = N 2 ⋅ μ0 ⋅
L
Observa que el valor del c oeficiente de autoinducción depende únicamente de las medd idas de la bobina.
Para los siguientes epígrafes debemos tener en cuenta que el símbolo de la bobina es este:
Bobina. (M.C.M.)
● Régimen transitorio en una bobina
En el circuito de la figura adjunta tenemos un circuito RL de corriente
continua. En régimen permanente una bobina se comporta como
un cortocircuito (si I es constante, entonces ε = 0); nosotros vamos a
estudiar el régimen transitorio de este circuito. Cerramos S1 y dejamos
S2 abierto, la ecuación del circuito es:
E = R ⋅i + L
di
dt
Circuito RL. (M.C.M.)
52
La solución de esta ecuación diferencial es:
i(t) =
t
−
⎞
E⎛
L/R
1
−
e
⎜
⎟
R⎝
⎠
Podemos observar en la imagen que la corriente no se establece de forma
instantánea, sino que está retardada por la presencia de la bobina. El cociente
τ =L / R se llama constante de tiempo del circuito y nos indica con qué rapidez
el circuito alcanza el régimen permanente. Se interpreta τ como el tiempo que
tarda la corriente del circuito en alcanzar en el 63,2 % de su valor final. Para
tiempos superiores a 5τ, el circuito se considera en régimen estacionario o
permanente.
Curva de carga circuito RL.(M.C.M.)
Si ahora abrimos S1 y cerramos S2 la intensidad que circula no desaparece
de forma instantánea, se produce un cierto retardo, la intensidad de descarga
vale:
i(t) =
t
E − L/R
e
R
Curva de descarga circuito RL. (M.C.M.)
Durante un tiempo la energía almacenada en la bobina se descarga sobre la resistencia.
● Energía almacenada por una bobina
Una bobina es capaz de almacenar energía en su interior, lo mismo que un condensador, en este caso la
energía almacenada está asociada al campo magnético que se ha creado en el interior de la bobina. La energía
almacenada por una bobina de inducción L, inicialmente descargada y cargada a un valor máximo I vale:
W=
1
L⋅I2
2
Expresión que presenta un gran parecido con la energía almacenada por un condensador, que vale
W = 1/2·C·U 2.
5.5. Corrientes parásitas
Una de las consecuencias del principio de inducción es la aparición
de corrientes parásitas o corrientes de Foucault en el interior de un
conductor sometido a la acción de un campo magnético variable.
Estas corrientes en algunos casos son indeseables, como ocurre en
las máquinas eléctricas, como motores, generadores o transformadores,
en los que provocan pérdidas y, por tanto, disminuyen su rendimiento.
Para reducir estas pérdidas se utilizan núcleos laminados en vez de
núcleos macizos; los núcleos macizos están hechos en una única pieza
mientras que los núcleos laminados están constituidos por varias láminas de acero al silicio aisladas eléctricamente
entre sí mediante un tratamiento especial llamado Carlite.
En otros casos las corrientes parásitas pueden ser útiles, como sucede en los frenos de corriente, empleados
para frenar motores o evitar que el disco de un contador de energía eléctrica se embale (acelere). Otras aplicaciones
prácticas las encontramos en los hornos de inducción, para fundir las piezas metálicas, o en las cocinas u
hornillos de inducción, para cocinar los alimentos. En estos casos provocan calor, que es lo que se desea.
53
(M.C.M.)
UNIDAD
MAGNETISMO
2
Actividades
8. Un conductor de cobre de 20 cm de longitud se mueve formando un ángulo de 90º con un campo magnético
uniforme de 0,5 T. El conductor se mueve a una velocidad de 25 m/s. Calcula el valor de la f.e.m. que aparece
sobre ese conductor y su sentido.
9. Se sitúa una espira cuadrada de 0,8 m2 en un campo magnético de 6 T, de forma que la espira está perpendicular
a las líneas de inducción.
a) ¿Qué flujo la atraviesa?
b) Si la espira gira 30º en un intervalo de medio segundo, ¿qué flujo la atravesará una vez girada?
c) ¿Qué fuerza electromotriz inducida se ha generado durante el giro?
10. Una bobina rectangular de 40 espiras tiene una sección de 200 cm2. Si se establece un campo magnético de
dirección coincidente con el eje de la bobina, calcula el valor absoluto de la tensión inducida en los extremos de la
espira cuando la intensidad del campo magnético responde a la siguiente expresión:
⎧ B (t ) = 200 ⋅ t
⎪
⎨ B (t ) = 6 − 400 ⋅ t
⎪⎩ B (t ) = 0
si 0 < t < 10 ms
si 10 ≤ t ≤ 15 ms
en cualquier otro caso
Representa gráficamente B(t) y la tensión inducida.
11. Una espira rectangular de 100 cm2 gira a una velocidad de 1000 r.p.m. en el seno de un campo magnético uniforme
y de valor igual a 1T. Calcula la f.e.m. inducida en la espira si:
a) El campo magnético tiene la misma dirección que el eje de giro de la espira.
b) El campo magnético tiene una dirección perpendicular al eje de giro de la espira.
12. A una bobina con un coeficiente de autoinducción (L) de 50 H se le aplica la corriente eléctrica que vemos en la imagen.
Calcula la tensión que aparece en la bobina:
a) Durante los dos primeros segundos.
b) Durante los siguientes cinco segundos.
c) Durante los últimos dos segundos.
13. Una bobina tiene 100 espiras y su coeficiente de autoinducción es de 5 mH, por ella pasa una corriente I = 2,5 A.
¿Qué flujo produce?
14. Una espira cuadrada de lado a penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor B y
ancho 2a a una velocidad constante de v m/s. Determina la f.e.m. en cada una de las regiones, antes de entrar,
mientras entra, al estar dentro y al salir.
Recuerda
ü El principio de inducción de Faraday junto con la ley de Lenz nos dicen cómo calcular el valor y sentido de la
f.e.m. sobre un circuito cuando es atravesado por un flujo magnético variable.
ü Sobre una espira que gira en un campo magnético uniforme aparece una f.e.m. senoidal y si la espira está cerrada
aparece una corriente.
ü El coeficiente de inducción mutua determina cómo se influyen entre sí dos circuitos próximos y el coeficiente
de autoinducción cómo se influye a sí mismo.
ü Las bobinas inducen f.e.m. que retrasan la apertura o cierre en los circuitos eléctricos.
ü Las corrientes parásitas son consecuencia de la presencia de campos variables dentro de los materiales conductores.
54
6. Materiales magnéticos
Todos los materiales tienen propiedades magnéticas en mayor o menor grado; una forma de poner en evidencia
estas propiedades es colocando un determinado material en el interior de un campo magnético. Según el
comportamiento del material tenemos:
a) Materiales diamagnéticos: son aquellos que son repelidos por el campo magnético. Son materiales
diamagnéticos el Cu, Bi, Pb, Ag, vidrio, etc.
b) Materiales paramagnéticos: son aquellos que se sienten atraídos por el campo magnético. Son materiales
paramagnéticos Al, Pt, Na, etc.
c) Materiales ferromagnéticos: son un caso particular de los paramagnéticos, pero en su caso se sienten
muy atraídos por el campo magnético. Son materiales ferromagnéticos el Fe, Ni, Co y sus aleaciones.
Desde el punto de vista de sus aplicaciones técnicas, los materiales más interesantes son los materiales
ferromagnéticos.
6.1. Campo magnético en el interior de los materiales.
Excitación magnética
Hasta ahora hemos estudiado los campos magnéticos en el vacío, es decir, que el campo estaba creado
exclusivamente por la corriente eléctrica que circula por los
devanados. En la práctica se utilizan materiales ferromagnéticos
y es necesario determinar su contribución al campo magnético
total. El estudio se realiza utilizando un solenoide circular o anillo
de Rowland –debido a J.H. Rowland que lo utilizó para estudiar
las propiedades de muchos materiales– consistente en un anillo
hecho del material magnético que se vaya a estudiar arrollado
por una bobina con muchas vueltas uniformemente distribuidas
sobre él, tal como se muestra en la figura.
Anillo de Rowland. (C.A.L.)
Estudiaremos por separado la contribución del campo
magnético debido al circuito de excitación y la contribución del campo magnético debido a la presencia del
material magnético para después sumar los efectos de cada uno de ellos y obtener el campo magnético total.
Veamos cada efecto por separado.
a) Efecto del circuito de excitación Depende del número de espiras N, de la longitud del arrollamiento L y
de la intensidad que circula por él I. Este efecto no considera el tipo de material. Definimos una nueva
magnitud la excitación magnética o intensidad magnética H. El valor de H se calcula según la siguiente
expresión:
N·I
H=
L
La unidad de H es el amperio·vuelta/metro (Av·m−1). Recordemos que el valor del campo magnético en un
toroide de longitud L, es:
 μ0 ⋅ N ⋅ I 
B=
u
L



Combinando las dos expresiones anteriores, tenemos: B = μ0 ⋅ H .
La anterior expresión no está limitada a formas sencillas como la del toroide, su aplicación es universal.
55
UNIDAD
MAGNETISMO
2
b) Efecto del material
→
Definimos una nueva magnitud, la imanación M , que refleja la contribución del material al campo magnético.
→
→
→
Para muchos materiales la expresión de M es de la forma M = χm ·H donde χm es la susceptibilidad magnética
del material.
El campo total es la suma de ambos efectos y vale:





 







B = μ0 ⋅ H + μ0 ⋅ M = μ0 ⋅ ( H + M ) = μ0 ⋅ ( H + χ m ⋅ H ) ⇒ B = μ0 ⋅ ( 1 + χ m )·H
Llamamos permeabilidad magnética relativa del material a µr = 1 + χm , con lo que al final obtenemos.





B = μ0 ⋅ μ r ⋅ H = μ ⋅ H
Siendo esta la expresión más utilizada:



B = μ⋅H
Repasemos las nuevas constantes que han aparecido:
− Permeabilidad magnética de la sustancia, µ. Su unidad es Wb·A−1·m−1.
− Permeabilidad magnética del vacío, µ0 = 4π·10−7 Wb·A−1·m−1.
− Permeabilidad magnética relativa, µr de la sustancia, es una magnitud adimensional.
La permeabilidad magnética relativa, µr , puede tomar los valores siguientes:
− Para el vacío, µr = 1.
− Para materiales paramagnéticos, µr es ligeramente mayor que 1.
− Para materiales diamagnéticos, µr es ligeramente menor que 1.
− Para materiales ferromagnéticos, µr es mucho mayor que 1.
6.2. Curva de magnetización
→
→
La curva de magnetización de un determinado material es la representación grafica de B = µ · H ; un ejemplo se
muestra en la gráfica de al lado. Podemos observar que no existe una relación lineal entre B y H, dado que µ varía con la
excitación magnética.
En las curvas de magnetización de los materiales ferromagnéticos se pueden
distinguir tres zonas:
− La zona lineal indicada con la letra a, donde µ crece muy rápidamente,
consiguiéndose, para pequeños valores de la excitación magnética, valores
elevados de campo magnético. La contribución al campo magnético se
debe a la imanación M.
− La zona del codo de saturación, marcada con la letra b, en la que el campo
magnético sigue creciendo pero no tan rápido como antes. En esta zona
es en la que trabajan normalmente las máquinas eléctricas (transformadores,
motores, etc.).
− La zona de saturación, marcada con la letra c, en ella el incremento
del campo magnético es muy pequeño, a pesar de la elevada excitación
magnética, por eso se dice que el material está saturado. La contribución
se debe a la corriente que circula por el devanado. Si continuamos
aumentando la excitación se puede quemar la bobina por exceso de
corriente.
56
Curva típica de magnetización. (M.C.M.)
Zonas de la curva de magnetización. (M.C.M.)
6.3. Ciclo de histéresis
Si a un material ferromagnético, inicialmente no magnetizado o
desmagnetizado (la curva 0A es la curva de primera magnetización), se le
somete primero a una excitación magnética positiva y después se reduce
haciéndola negativa para volver a hacerla positiva, es decir, se realiza un
ciclo, el material se comporta de una forma peculiar dada por la gráfica de la
derecha.
Puntos característicos de la curva de histéresis:
− Punto A: el material alcanza la saturación magnética.
Curva de histéresis. (M.C.M.)
− Punto B: H disminuye de forma que pasa de su máximo valor positivo
a cero, fíjate que el campo magnético no desaparece; hay un campo permanente, Br, llamado magnetismo
remanente o remanencia. Este magnetismo es interesante para los imanes permanentes.
− Punto C: en este punto el campo magnético en el material es nulo, pero para conseguirlo se ha tenido
que utilizar una excitación magnética negativa, Hc, llamada fuerza coercitiva.
Si se sigue disminuyendo la excitación magnética, se alcanza el punto D, opuesto al punto A. Si ahora la
excitación magnética comienza a aumentar, llegaremos de nuevo al punto A,
completando un ciclo, el ciclo de histéresis magnética de ese material.
El fenómeno de histéresis aparece cuando se trabaja con excitaciones variables.
En las máquinas eléctricas ocasiona calentamientos del material con las
consiguientes pérdidas y reducción de su rendimiento. La energía perdida por
unidad de volumen es proporcional al área encerrada por la gráfica del ciclo de
histéresis.
En las máquinas eléctricas las pérdidas ocasionadas por las corrientes parásitas
y por la histéresis se conocen como pérdidas magnéticas o pérdidas en el
hierro.
Cuando nos interese reducir estas pérdidas emplearemos materiales
Materiales magnéticos duros/blandos. (M.C.M.)
magnéticamente blandos con una fuerza coercitiva pequeña. En otro tipo de
aplicaciones puede interesar que la desmagnetización sea dificultosa; entonces se emplearán materiales
magnéticamente duros con una elevada remanencia.
En la figura de al lado se aprecian las diferencias entre los materiales duros y los blandos.
Recuerda
ü Los materiales según su comportamiento magnético pueden ser diamagnéticos, paramagnéticos o ferromagnéticos.
– En los materiales ferromagnéticos el campo magnético creado por ellos depende de su permeabilidad magnética
→
→
(su naturaleza magnética) y de la excitación magnética aplicada ( B = µ · H ).
– Un material ferromagnético puede trabajar en tres zonas: zona lineal, codo de saturación y zona de saturación.
– Los materiales ferromagnéticos sometidos a ciclos alternos de magnetización/desmagnetización provocan
pérdidas de energía por histéresis.
57
UNIDAD
MAGNETISMO
2
7. Circuitos magnéticos
Cuando hablamos de circuitos magnéticos nos referimos a caminos bien
definidos por donde pasan las líneas de campo dentro de un material
ferromagnético. Veamos algunos ejemplos de circuitos magnéticos.
En el anillo de la derecha, que llamamos toroidal, por tener forma de toro, es
decir, forma de anillo, se observa que todas las líneas de campo están confinadas
en el interior del material ferromagnético, formando un circuito magnético con
forma de anillo; todo el flujo está contenido en dicho anillo.
En el circuito de la derecha, la continuidad del circuito se ha roto; hay ahora
dos pequeños espacios conocidos como entrehierros; en ellos las líneas de
campo alteran su trayectoria –expandiéndose o estrechándose: en la figura se
estrechan porque van a pasar a través de un material ferromagnético–, para
después volver a entrar en el circuito.
Anillo toroidal. (M.C.M.)
En la figura de la derecha también podemos observar que existen líneas de
campo que se cierran por fuera del circuito, en el aire, estas líneas crean un flujo
de dispersión que reduce el flujo que va circular por el circuito, reducen el flujo útil.
En la práctica industrial interesa que los flujos de dispersión y los entrehierros
sean lo más pequeño posible para evitar excitaciones elevadas.
Circuito con entrehierro. (M.C.M.)
7.1. Ley de Hopkinson
Consideremos nuevamente un arrollamiento toroidal de N espiras, de sección S, de longitud L y recorrido por
una intensidad I sobre un material ferromagnético de permeabilidad µ.
→
→
El campo magnético en su interior vale B = µ · H ; tomando módulos, tenemos:
B = μ⋅H = μ⋅
N ⋅I
L
Como Φ = B · S, podemos escribir:
Φ =μ⋅
N ⋅I ⋅S N ⋅I Θ
Θ
=
= ⇒Φ =
L
L
ℜ
ℜ
μ ⋅S
En el desarrollo anterior aparecen nuevos términos:
L
− ℜ=
se llama reluctancia del circuito magnético. La reluctancia expresa la mayor o menor
μ ·S
dificultad que tiene un campo magnético para atravesar a un determinado material. Es un concepto análogo
al de resistencia en un circuito eléctrico. Su unidad en el SI es el amperio·vuelta por weber (Av/Wb).
− Θ = N · I, es conocida como fuerza magnetomotriz (f.m.m.) del circuito, representa al agente que
crea el flujo magnético en el interior del circuito. Su unidad en el SI es el amperio·vuelta (Av). Juega
el mismo papel que una fuente de tensión en un circuito eléctrico.
El enunciado de la ley de Hopkinson es el siguiente:
En un circuito magnético el flujo magnético es directamente proporcional a la fuerza magnetomotriz e
inversamente proporcional a la reluctancia del circuito magnético.
58
Su expresión matemática es:
Φ=
Θ
ℜ
flujo=
fuerza magnetomotriz
reluctanci a
La expresión anterior la podemos transformar en Θ = Φ · ℜ, expresión formalmente idéntica a la ley de Ohm
para circuitos eléctricos, por lo que la ley de Hopkinson también se le llama Ley de Ohm de los circuitos magnéticos.
Como sabes, la ley de Ohm tiene la expresión siguiente:
E=I·R
Donde:
E es la f.e.m. de la pila o generador del circuito eléctrico.
I es la corriente eléctrica que recorre el circuito.
R es la resistencia eléctrica que presenta el circuito.
Comparando los términos de la ley de Ohm y de la ley de Hopkinson podemos establecer una analogía entre
un circuito eléctrico y uno magnético.
⎧ E = Θ = N·I
Θ = Φ ⋅ ℜ⎫ ⎪
⇒
I =Φ
E = I ⋅ R ⎭⎬ ⎪⎨
⎩R = ℜ
Gracias a esta analogía es posible convertir un problema de circuitos magnéticos en uno de circuitos eléctricos.
7.2. Resolución de circuitos magnéticos
En las figuras siguientes, y en las cuestiones posteriores que planteamos a través de un ejemplo, se muestra
cómo resolver circuitos magnéticos en serie y en paralelo con su circuito eléctrico equivalente.
N I = Φ·(ℜ1 + ℜ2)
Circuito magnético a). (M.C.M.)
Circuito eléctrico equivalente. (M.C.M.)
Φ 1 = Φ2 + Φ3
N I=Φ1·[ℜ1 + ℜ2 · ℜ3 /(ℜ2 + ℜ3 )]
Circuito magnético b). (M.C.M.)
Circuito eléctrico equivalente. (M.C.M.)
59
2
UNIDAD
MAGNETISMO
Ejemplo
8. Dado un núcleo toroidal de hierro cuya permeabilidad relativa es de
500, con una sección recta de 8 cm2 y 15 cm de diámetro medio, se
bobina con 400 espiras de hilo de cobre. El núcleo tiene un entrehierro
de δ = 2 mm. Determina:
a) El valor de la corriente que debe circular por el arrollamiento para
que el flujo magnético en el entrehierro sea de 10−4 Wb.
(μ0 = 4π·10−7 Wb·A−1·m−1).
b) El valor de la corriente que debe circular por el arrollamiento para
que el flujo magnético en el entrehierro sea de 10-4 Wb si no hubiera
entrehierro.
Núcleo con entrehierro. (M.C.M.)
Soluciones:
a) Tenemos dos materiales, el núcleo y el entrehierro, ambos recorridos por el mismo flujo. Para ser rigurosos,
eso no es del todo cierto, pues como podemos ver en la figura, las líneas de campo en el entrehierro se ensanchan;
pero si el entrehierro es pequeño se puede considerar que el flujo es el mismo. Por lo que tenemos 2 reluctancias:
la reluctancia del núcleo ℜFe y la reluctancia del entrehierro ℜδ colocadas en serie, lo mismo que el circuito
magnético que vemos en la anterior figura Circuito magnético a). Calculemos la reluctancia de cada material.
lFe − δ 2π ·Rm − δ 2 π ⋅ 7,5·10−2 − 2·10−3
Av
=
=
= 993 521
−7
−4
μ ⋅S
μ0 ⋅ μr ⋅ S 4 π ⋅ 10 ⋅ 500 ⋅ 8 ·10
Wb
−3
δ
δ
Av
2·10
ℜδ =
=
=
= 1 989 437
−4
−7
μ ⋅ S μ0 ·μr ·S 4 π ·10 ⋅ 1· 8 ·10
Wb
ℜ Fe =
Recordemos que para el aire se toma μr = 1 (entrehierro). En la figura situada al lado de la anterior del circuito
magnético, tenemos el circuito equivalente y la ecuación que hay que aplicar [N I = Φ·(ℜFe + ℜδ )]; lo único que
nos queda es despejar I:
I=
Φ ·( ℜ Fe + ℜ´ ) 10−4 ⋅ (993 521 + 1 989 437)
=
= 0,75 A
N
400
b) Ahora solo hay un único material, el núcleo, por lo que se puede aplicar la Ley de Hopkinson directamente.
Calculemos el nuevo valor de la reluctancia en el núcleo.
ℜ Fe =
lFe
2π ·Rm
2 π ⋅ 7,5·10−2
Av
=
=
= 937 5 00
−7
−4
μ ⋅ S μ0 ·μr ·S 4 π ·10 ⋅ 500 ⋅ 8·10
Wb
N I = Φ·( ℜFe ); despejando I, tenemos:
I=
Φ ·ℜ Fe 10−4 ⋅ 937 500
=
= 0,23 A
N
400
La corriente ahora es 1/3 de la del caso anterior, razón por la que interesa que los entrehierros sean lo más
pequeño posible, porque se necesitan intensidades menores para conseguir los mismos flujos.
60
Actividades
15. Una bobina de 100 espiras es recorrida por una intensidad continua. Se sabe que su núcleo es ferromagnético
con una longitud media de 20 cm y una sección media de 4 cm2. Calcula la intensidad que recorre la bobina para
que el flujo sea de 1 mWb. La permeabilidad relativa vale 1500. μ0 = 4π·10−7 H/m.
16. Un material tiene una permeabilidad magnética de 12·10−7 T·m/A. Calcula su permeabilidad magnética relativa y
determina si el material es diamagnético, paramagnético o ferromagnético.
17. La inducción de un núcleo de hierro dulce de permeabilidad magnética 3·10−3 H/m es de 1,3 T. Si se sabe que la
bobina que crea el campo magnético inductor tiene 200 espiras, la sección transversal del núcleo de hierro es de
10 cm2 y la longitud media del núcleo es de 30 cm, calcula:
a) El flujo magnético.
b) El valor de la reluctancia del circuito magnético.
c) La fuerza magnetomotriz creada por la bobina.
d) La intensidad de campo magnético o excitación magnética.
18. Sobre el núcleo magnético de la figura (cotas en mm), está arrollada una bobina de 200 espiras. Se requiere un
flujo magnético en el núcleo de 0,4 mWb. La curva de imanación del material magnético está dada por la tabla
siguiente:
B (T)
H (Av/m)
a)
b)
c)
d)
e)
0,4
20
0,66
28
0,75
30
0,9
35
1,2
45
1,33
55
1,37
75
1,4
100
1,45
135
Se quiere saber:
a) La permeabilidad relativa del material.
b) La reluctancia del circuito magnético.
c) La intensidad necesaria para conseguir el flujo indicado.
d) En el caso de practicar un entrehierro de 2 mm, ¿cuál será la intensidad que consigue mantener el flujo anterior?
e) Si el conductor de la bobina no admite una intensidad mayor de 0,5 A, ¿cuántas vueltas debe tener la bobina
inductora si el circuito tiene un entrehierro de 2 mm?
Recuerda
ü Se crean circuitos magnéticos utilizando material ferromagnético.
ü En un circuito magnético se deben evitar los flujos dispersos y los entrehierros.
ü La reluctancia de un circuito magnético indica la oposición del mismo a ser atravesado por un flujo magnético.
ü Utilizamos la ley de Hopkinson para resolver circuitos magnéticos; podemos convertir un circuito magnético en
uno eléctrico equivalente.
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