l - Carlos Pitta

Capítulo 7
Funciones de Producción
1
La Función de Producción
• La función de producción de una firma
para un bien (q) muestra el máximo
monto de ese bien que puede ser
producido usando combinaciones
alternativas de (k) y trabajo (l)
q = f(k,l)
2
Producto Marginal Físico
• Para estudiar las variaciones en un sólo insumo,
definimos al producto marginal físico como el
producto adicional que puede ser producido si
empleamos una unidad más del insumo
manteniendo los otros insumos constantes
Producto Marginal Físico del Capital
Producto Marginal Físico del Trabajo
MPk
q
k
fk
MPl
q
l
fl
3
Productividad Marginal
Decreciente
• El producto marginal físico de un insumo
depende de cuánto de ese insumo se ha
utilizado
• En general, asumiremos una
productividad marginal decreciente:
MPk
k
2
f
k
2
fkk
f11
0
MPl
l
2
l
f
2
fll
f22
0
4
Productividad Marginal
Decreciente
• Debido al fenómeno de la Productividad
Marginal Decreciente, un economista del siglo
XIX llamado Thomas Malthus se preocupó del
efecto del crecimiento poblacional sobre la
productividad del trabajo
• Pero los cambios en la productividad marginal
del trabajo a través del tiempo también
dependen de cambios en otros factores
productivos, como el capital
– Así, sucede que muchas veces flk > 0
5
Producto Físico Promedio
• La productividad del trabajo es medida
muchas veces a través de la
productividad media (AP):
APl
producto
trabajo
q
l
f (k , l )
l
• Note como APl depende del monto del
capital usado
6
Una función de producción
con dos insumos
• Suponga que la función de producción
puede ser representada por:
q = f(k,l) = 600k 2l2 - k 3l3
• Para construir MPl y APl, debemos
asumir algún valor para k
– Suponga que k = 10
• Entonces, la función se transforma a:
q = 60,000l2 - 1000l3
7
Una función de producción
con dos insumos
• La función de productividad marginal es:
MPl = q/ l = 120,000l - 3000l2
la cual decrece cuando l crece
• Ello implica que q alcanza un máximo:
120,000l - 3000l2 = 0
40l = l2
l = 40
Para ése
monto de k!
• Así, agregar trabajo más allá de l = 40
reducirá el producto total
8
Una función de producción
con dos insumos
• Para encontrar la productividad
promedio, asignamos k=10 y dividimos:
APl = q/l = 60,000l - 1000l2
• APl alcanza su máximo en:
APl/ l = 60,000 - 2000l = 0
l = 30
9
Una función de producción
con dos insumos
• De hecho, cuando l = 30, tanto APl como
MPl son iguales a 900,000
• Así, cuando APl se encuentra en su
máximo, tanto APl como MPl son iguales
10
Mapas de Isocuantas
• Para ilustrar la posibilidad de sustituir
un insumo por otro, es útil usar un
mapa de isocuantas
• Una isocuanta muestra combinaciones
de k y l que producen cierto nivel de
producto (q0)
f(k,l) = q0
11
Mapas de Isocuantas
• Cada isocuanta representa un nivel diferente de
producción
– El producto crece cuando nos movemos al noreste
k por período
q = 30
q = 20
l por período
12
Tasa Marginal de
Sustitución Técnica (TMST)
• La pendiente de una isocuanta muestra
la tasa a la cual l puede sustituirse por k
k por período
kA
- pendiente = Tasa Marginal de
Sustitución Técnica (TMST)
A
B
kB
TMST > 0 y decreciente al
incrementarse el trabajo
usado
q = 20
l por período
lA
lB
13
Tasa Marginal de
Sustitución Técnica (TMST)
• La Tasa Marginal de Sustitución
Técnica (TMST) muestra la tasa a la
cual el trabajo puede ser sustituido por
capital mientras mantenemos constante
el producto en una isocuanta dada:
TMST (l por k )
dk
dl
q q0
14
TMST y las Productividades Marginales
• Tomemos el diferencial total de la función
de producción:
dq
f
dl
l
f
dk
k
MPl dl MPk dk
• Sobre una isocuanta dq = 0, así que:
MPl dl
TMST (l por k )
MPk dk
dk
dl
q q0
MPl
MPk
15
TMST y las Productividades Marginales
• Debido a que MPl y MPk serán ambas no
negativas, la TMST será positiva (o cero)
• Sin embargo, en general no es posible
derivar una TMST decreciente partiendo
únicamente del supuesto de productividad
marginal decreciente
16
TMST y las Productividades Marginales
• Para demostrar que las isocuantas son
convexas, nos gustaría demostrar que
d(TMST)/dl < 0
• Dado que TMST = fl/fk
dTMST
dl
dTMST
dl
[ f k ( fll
flk dk / dl ) fl ( f kl
( f k )2
d ( fl / f k )
dl
f kk dk / dl )]
17
TMST y las Productividades Marginales
• Usando el hecho de que dk/dl = -fl/fk en una
isocuanta, y por el teorema de Young (fkl = flk)
dTMST
dl
( f k2 fll
2 f k fl f kl
3
( fk )
fl 2 f kk )
• Dado que asumimos que fk > 0, el
denominador es positivo
• Dado que asumimos que fll y fkk son
negativos, el cociente será negativo si fkl
es positivo
18
TMST y las Productividades Marginales
• Intuitivamente, parece razonable que fkl =
flk debe ser positivo
– Si más trabajadores tienen más capital, serán más productivos
• Pero ocurre que algunas funciones de
producción tienen fkl < 0 en algunos
rangos de insumos
– Cuando asumimos una TMST decreciente estamos asumiendo
que MPl y MPk disminuyen lo suficientemente rápido como para
compensar cualquier posible efecto de productividad cruzada
negativo
19
Una TMST decreciente
• Suponga que la función de producción es:
q = f(k,l) = 600k 2l 2 - k 3l 3
• Para ésta función:
MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2
MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3
– Estas productividades marginales serán
positivas para valores de k y l para los cuales
kl < 400
20
Una TMST decreciente
• Esto es así debido a qué:
fll = 1200k 2 - 6k 3l
fkk = 1200l 2 - 6kl 3
Esta función de producción muestra
productividades marginales
decrecientes para valores los
suficientemente altos de k y l
– fll y fkk < 0
si kl > 200
21
Una TMST decreciente
• Una diferenciación cruzada de
cualquiera de las productividades
marginales significa:
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
La cual es positiva únicamente para
kl < 266
22
Una TMST decreciente
• Así, para ésta función de producción, la
TMST es decreciente en todo el rango de k
y l en donde las productividades
marginales son positivas
– Para valores elevados de k y l, las
productividades marginales decrecientes son
suficientes para anular la influencia de un
valor negativo de fkl y asegurar la convexidad
de las isocuantas
23
Retornos a Escala
• ¿Cómo responde el producto a
incrementos de todos los insumos
conjuntamente?
– Suponga que todos los insumos se
doblas… ¿Conseguirá ello doblar el
producto?
• Retornos a escala han sido de interés a
los economistas desde los tiempos de
Adam Smith!
24
Retornos a Escala
• Smith identificó dos fuerzas que entran
en juego cuando los insumos son
duplicados:
– Una división del trabajo y una mayor
especialización (efecto positivo)
– Una pérdida de eficiencia debido a que la
administración se torna más difícil dado el
mayor tamaño de la firma
25
Retornos a Escala
• Si la función de producción está dada por q =
f(k,l) y todos los factores son multiplicados por la
misma constante positiva (t >1), Entonces:
Efecto en el
Producto
f(tk,tl) = tf(k,l)
Retornos a
Escala
Constantes
f(tk,tl) < tf(k,l)
Decrecientes
f(tk,tl) > tf(k,l)
Crecientes
26
Retornos a Escala
• Es posible que una función de producción
exhiba retornos constantes a escala para
algunos niveles de utilización de insumos, y
retornos decrecientes o crecientes para otros
niveles
– Los economistas nos referimos al grado de
los retornos a escala con la noción implícita
de que solo estamos considerando un
rango de variación (relativamente pequeño)
en el uso de insumos
27
Retornos a Escala Constantes
• Funciones de producción con retornos
constantes a escala son homogéneas
de grado 1 en insumos:
f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq
• Esto implica que las funciones de
productividad marginal son
homogéneas de grado 0
– Si una función es homogénea de grado k,
sus derivadas son homogéneas de grado
28
k-1
Retornos a Escala Constantes
• La productividad marginal de cada
insumo depende del cociente de capital
y trabajo (y no así de los niveles
absolutos de los insumos)
• La TMST entre k y l depende
únicamente del cociente de k a l, y no
de la escala de operaciones
29
Retornos a Escala Constantes
• La función de producción será
homotética
• Geométricamente, todas las isocuantas
son una expansión radial unas de las
otras
30
Retornos a Escala Constantes
• A partir de un rayo desde el origen (un cociente
k/l constante), la TMST será igual en todas las
isocuantas
k por periodo
Las isocuantas se encuentran
igualmente espaciadas
mientras crece el producto
q=3
q=2
q=1
l por periodo
31
Retornos a Escala
• Los retornos a escala pueden ser
generalizados a una función de
producción con n insumos
q = f(x1,x2,…,xn)
• Si todos los factores son multiplicados
por una constante positiva t, tenemos:
f(tx1,tx2,…,txn) = tkf(x1,x2,…,xn)=tkq
– Si k = 1, tenemos retornos constantes a escala
– Si k < 1, tenemos retornos decrecientes a escala
– Si k > 1, tenemos retornos crecientes a escala
32
Elasticidad de Sustitución
• La elasticidad de sustitución ( ) mide el
cambio proporcional en k/l relativo al
cambio proporcional de la TMST en una
isocuanta dada
% (k / l )
% TMST
d (k / l ) TMST
dTMST k / l
ln(k / l )
ln TMST
• El valor de siempre será positivo debido
a que k/l y TMST se mueven en la misma
dirección siempre
33
Elasticidad de Sustitución
• Tanto la TMST como k/l cambiarán al
movernos del punto A al punto B
es el cociente de estos
cambios proporcionales
k por periodo
TMSTA
A
TMSTB
(k/l)A
(k/l)B
B
mide la curvatura
de la isocuanta
q = q0
l por periodo
34
Elasticidad de Sustitución
• Si es alta, la TMST no cambiará
mucho en relación a k/l
– Las isocuantas serán relativamente planas
• Si es baja, la TMST cambiará en un
monto sustancial cuando k/l cambia
– Las isocuantas serán fuertemente curvadas
• Es posible que cambie sobre una
isocuanta o a medida que la escala de la
producción cambia
35
Elasticidad de Sustitución
• Generalizar la elasticidad de sustitución
a muchos insumos genera diversas
complicaciones
– Si definimos la elasticidad de sustitución
entre dos insumos como el cambio
proporcional en el cociente de los dos
insumos en relación al cambio proporcional
en la TMST, necesitamos mantener
constante tanto el producto como los
niveles de los otros insumos
36
Función de Producción Lineal
• Suponga que la función de producción es:
q = f(k,l) = ak + bl
• Esta función de producción muestra
retornos constantes a escala
f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l)
• Todas las isocuantas son líneas rectas
– La TMST es constante
– =
37
Función de Producción Lineal
El trabajo y el capital son sustitutos perfectos
k por periodo
TMST es constante a medida
que k/l cambia
pendiente = -b/a
q1
q2
=
q3
l por periodo
38
Proporciones Fijas
• Suponga que la función de producción
es:
q = min (ak,bl) a,b > 0
• El trabajo y el capital siempre tienen
que ser utilizados en una proporción fija
– La firma siempre operará en un rayo
donde el cociente k/l es constante
• Dado que k/l es constante,
=0
39
Proporciones Fijas
No es posible ningún tipo de sustitución
entre el trabajo y el capital
k/l está fijo en b/a
k por periodo
=0
q3
q3/a
q2
q1
l por periodo
q3/b
40
Función de Producción CobbDouglas
• Suponga que la función de producción es
q = f(k,l) = Akalb A,a,b > 0
• Esta función de producción puede mostrar
cualquier tipo de retornos a escala
f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l)
– Si a + b = 1
Retornos constantes a escala
– Si a + b > 1
Retornos crecientes a escala
– Si a + b < 1
Retornos decrecientes a escala
41
Función de Producción CobbDouglas
• La función de producción Cobb-Douglas es
lineal en logaritmos
ln q = ln A + a ln k + b ln l
– a es la elasticidad de producción con respecto
ak
– b es la elasticidad de producción con respecto
al
42
Función de Producción CES
• Suponga que la función de producción es
q = f(k,l) = [k + l ] /
1,
0, > 0
– >1
Retornos crecientes a escala
– <1
Retornos decrecientes a escala
• Para esta función de producción
= 1/(1- )
–
–
–
=1
==0
Función de producción lineal
Función de producción de proporciones fijas
Función de producción lineal Cobb-Douglas
43
Función de Producción
Leontief Generalizada
• Suponga que la función de producción es
q = f(k,l) = k + l + 2(kl)0.5
• Las productividades marginales son
fk = 1 + (k/l)-0.5
fl = 1 + (k/l)0.5
• Por lo tanto,
TMST
fl
fk
1 (k / l )0.5
1 (k / l ) 0.5
44
Progreso Técnico
• Los métodos de producción cambian
con el tiempo
• Después del desarrollo de técnicas de
producción superiores, los mismos
niveles de producción podrán ser
alcanzados con menos factores
– Las isocuantas se desplazan hacia adentro
45
Progreso Técnico
• Suponga que la función de producción es
q = A(t)f(k,l)
Donde A(t) representa a todas las
influencias que determinan a q (distintas
de k y l )
– Cambios en A sobre el tiempo significan
progreso técnico
• A se muestra como una función del tiempo (t)
• dA/dt > 0
46