09 - Carlos Pitta

Material para Ayudantía No. 8, Funciones de Producción (Capítulo 6 Nicholson)
1.
Suponga que la función de producción para utensilios viene dada por:
En donde q representa la cantidad anual de utensilios producidos, k representa el capital utilizado por año,
y l representa al activo trabajo que se utiliza, también anual.
a) Suponga que k=10; grafique el producto marginal total y promedio. ¿En qué nivel de trabajo alcanza
un máximo la productividad promedio? ¿Cuántos utensilios se producen en este punto?
b) De nuevo suponga que k=10, y grafique la curva de producto marginal del trabajo. ¿En qué nivel de
trabajo su producto marginal se torna cero?
c) Suponga que el capital se incrementa a 20. ¿Cómo cambian tus respuestas de las partes (a) y (b)?
d) ¿Qué clase de retornos a escala exhibe la función de producción de utensilios?
2.
Suponga la función de producción Cobb Douglas dada por:
Donde 0<α<1 y 0<β<1.
a) Muestre qué: fk>0, fl>0, fkk<0, fll<0, fkl=flk>0
b) Muestre qué: εq,k=α y εq,l=β
c) Los resultados de la parte (b) sugieren que para esta función εq,t= α+β. Demuestre que este resultado
intuitivo es correcto.
d) Demuestre que esta función es cuasicóncava
e) Demuestre que la función es cóncava para α+β ≤ 1, pero no cóncava para α+β >1
3.
Considere la función de producción:
En donde 0≤βi≤1, i=0 … 3.
a) ¿Qué restricciones deben mostrar los parámetros βi para que la función exhiba retornos constantes a
escala?
b) Muestre que en el caso de retornos constantes a escala esta función exhibe productividades marginales
decrecientes, y que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado 0
c) Calcule la elasticidad de sustitución σ. Aun cuando σ no es, por lo general, constante, ¿Para qué valores
de βi es σ = 0, σ = 1, σ = ∞?
4.
Demuestre que el Teorema de Euler implica que para una función de producción q=f(k,l) con retornos
constantes a escala debe ocurrir qué:
Y use dicho resultado para demostrar que para tales funciones de producción, si MP l>APl, MPk debe ser
negativa. ¿Qué implicancias tiene ese hecho en relación a dónde debe ocurrir la producción? ¿Puede una
firma producir en un punto en que APl sea creciente?
1
7.2
a.
kl 0.8k 2 0.2l 2
q
When k = 10, 10l
0.2l 2 80 q = 10L – 80 – .2L2.
Marginal productivity =
dq
10 .4l 0 , maximum at l = 25
dl
2
dq
dl 2
AP l
.4 ,
The total product curve is concave.
q / l 10 .2l 80 / l
To graph this curve:
dAPl
dl
80
.2 0 , maximum at l = 20.
l
When l = 20, q = 40, APl = 0 where l = 10, 40.
b.
MP l 10 .4l ,
10 .4l
0,
l
25
See above graph.
c.
k
20
q 20l .2l 2 320
APl 20 .2l
MPl
d.
20 .4l ,
320
; reaches max. at l = 40, q = 160
l
0 at l = 50 .
Doubling of k and l here multiplies output by 4 (compare a and c). Hence the function exhibits
increasing returns to scale.
2.
7.5 q
Ak l
a.
fk
1
Ak
l
fl
Ak l
f kk
(
f ll
0
1
0
2
1) Ak
(
1) Ak l
f kl
1
Ak
1
l
l
0
2
0
0
b.
q
k
q
l
k
q
l
q
f (tk , tl )
t
eq ,k
eq ,l
k
q
k
q
1
Ak
l
Ak l
1
.
c.
eq ,t
Ak l
lim(t
q t
t q
1)
lim(
1
)t
q
t
q
d. Quasiconcavity follows from the signs in part a.
e. Concavity looks at:
f kl2
f kk f ll
A2k 2
(
2 2
2
l
1) A2k 2
1) (
(1
2 2
l
2
2
2
A2k 2
2 2
l
2
)
This expression is positive (and the function is concave) only if
3
a. If q
q
0
'
0
1
2
kl
kl
1
2
2
k
2
k
3
2
1
l doubling k, l gives
3
l 2q when
0
=0
b. MPl 0.5 1 (k / l )0.5
MPk 0.5 1(l / k )0.5
3
2 which are homogeneous of
degree zero with respect to k and l and exhibit diminishing marginal
productivities.
c.
=
=
( q / l) ( q / k )
2
q
q
k l
2
1
+
1
[
values of k, l.
2
(k/l ).5 + 3 (l/k ).5 ] +
q [0.25 1 (kl ) .5 ]
2
3
which clearly varies for different
4
q
f ( k , l ) exhibits constant returns to scale. Thus, for any t > 0, f (tk , tl )
tf ( k , l ) .
Euler’s theorem states tf (k , l ) f k k f l l . Here we apply the theorem for the case
where t = 1: hence, q f (k , l ) f k k f l l , q l f l f k (k l ) . If
f l q l then f k 0 , hence no firm would ever produce in such a range.