1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Si tenemos una

1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales
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1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales
Si tenemos una igualdad que relaciona una variable independiente con la n-ésima derivada
de una variable dependiente, es una ecuación diferencial ordinaria
t2
d2
d
y + t y + y = t3
2
dt
dt
(1)
La ecuación (1) es de segundo orden, donde t es la variable independiente, y y la
variable dependiente).
d3
x = xt
dt 3
(2)
La ecuación (2) es de tercer orden, donde t es la variable independiente, y x la variable
dependiente).
Definición 1.2.1 Se dice que una función f cualquiera definida para toda x en algún
intervalo I , (donde I puede ir de a < x < b , a ≤ x ≤ b , 0 < x < ∞ , −∞ < x < ∞ , etc.) es
solución de una ecuación diferencial en el intervalo si sustituyendo en dicha ecuación la
reduce a un identidad.
En otras palabras una función y = f ( x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la
ecuación, es una solución de una ecuación diferencial. [14]
F  x, f ( x), f ´( x)... f n ( x)  = 0
∀ x ∈
I (para toda x que pertenece a I )
(3)
Una relación g ( x, y ) = 0 se llama una solución implícita de (3) si esta relación define por
lo menos una función real f de la variable x en un intervalo I tal que esta función sea
una solución explícita de (3) en ese intervalo.
Las dos soluciones, explícita e implícita, generalmente se llaman soluciones simples.
Ejemplo 1.2.1 Teniendo y = e − ax comprobar que es solución de la ecuación diferencial,
y´+ ay = 0
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Dado que derivando y = e − ax obtenemos y´= − ae − ax o y sustituyéndola en la ecuación
tenemos que − ae − ax + ae − ax = 0 , lo cual satisface la ecuación diferencial.
10
c := 3
5
−x
e
c := 2
−x
2e
c := 1
−x
3e
1
0.5
0
0.5
1
−x
−e
c := −1
−x
− 2e
c := −2
5
10
x
Figura 1.2.1 Gráfica de la función y = ce − x para valores de c = 1, 2,3, −1, −2
Ejemplo 1.2.2 Siendo y =
x4
comprobar que es una solución de la ecuación no lineal
64
dy 1 1 2
− xy = 0 en el intervalo de (−∞, ∞)
dx 2
Ya que derivando y tenemos
dy 4 3
dy 1 3
=
x , O bien
= x
dx 64
dx 16
(4)
1/ 2
 x4 
1 3
x − x 
De tal manera que sustituyendo en la ecuación diferencial (4),
16
 64 
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=0
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Simplificando
12
1 3 1 x2
x − x( )
16
2 8
Ejemplo 1.2.3 Tenemos y =
en el intervalo de (−∞, ∞) .
Ya que derivando y tenemos
= 0 , o bien 0 = 0 , para toda región R
dy
x4
, es una solución de la ecuación no lineal
− xy1 2 = 0
dx
16
dy 4 3
dy 1 3
= x , o bien
= x
dx 16
dx 4
De tal manera que sustituyendo (5) en la ecuación diferencial
O bien
(5)
1 3
x4
x − x( )1/ 2 = 0
4
16
1 3
x2
x − x( ) = 0 , 0 = 0 Para toda región R
4
4
Ejemplo 1.2.4 La función y = xe x es una solución de la ecuación lineal y´´−2 y´´+ y = 0 en
el intervalo −∞ < x < ∞ .
Evaluando, obtenemos la primera y segunda derivada de la función, y´= xe x + e x ,
y´´= xe x + e x + e x , o bien y´´= xe x + 2e x para todos los reales (∀ \)
Sustituyendo en la ecuación diferencial y´´−2 y´´+ y = 0
Obtenemos ( xe x + 2e x ) − 2 ( xe x + e x
) + xe
x
=0
Simplificando, observamos que se reduce a la identidad 0 = 0 . Lo cual implica que sí sea
una solución.
Habrá que denotar que no toda ecuación diferencial tiene solución.
Soluciones Implícitas y Explícitas
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Definición 1.2.2 Una función f ( x) tal que al sustituirla en lugar de y en la ecuación
diferencial satisface la ecuación para toda x en el intervalo I , es una solución explícita de
la ecuación en I .
2
Ejemplo 1.2.5 Demostrar que y = e x es una solución explícita de
dy
= 2 xy
dx
(6)
De tal manera que derivando y tenemos
2
dy
= 2 xe x
dx
dy
= 2 xy observamos que en la derivada está contenido
dx
el valor de y, por lo cual es explícita.
O sea la ecuación diferencial (6),
El ejemplo anterior lo es también.
Ejemplo 1.2.6 La relación
diferencial
x 2 + y 2 − 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación
dy
x
=−
dx
y
(7)
Derivando implícitamente (7) tenemos que
O sea 2 x + 2 y
d ( x 2 ) d ( y 2 ) d (4)
+
−
=0
dx
dx
dx
dy
dy
2x
dy
x
= 0 , despejando
=−
=−
, o bien
dx
dx
2y
dx
y
Ejemplo 1.2.7 Demostrar que f ( x) = x 2 − x −1 es una solución explícita de la ecuación
lineal dada por
d2 y 2
−
y=0
dx 2 x 2
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(8)
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Si obtenemos las primera y segunda derivada de la función f ( x) = x 2 − x −1
Tenemos que f ´( x) = 2 x + x −2 , f ´´( x) = 2 − 2 x −3
Las cuales están definidas ∀x ≠ 0 , y al ser sustituida en la ecuación diferencial (8)
2 2
x − x −1 ) = 2 − 2 x −3 − 2 + 2 x −3 , simplificando la reducimos
2 (
x
a 0 = 0 , una identidad, por lo que concluimos que sí es una solución de la ecuación
diferencial en el intervalo (−∞, 0) y (0, ∞)
Observamos que 2 − 2 x −3 −
Ejemplo 1.2.8 Siendo f ( x) = e − x + e 2 x determinar que es una solución explícita de la
ecuación lineal , dada por
d 2 y dy
−
− 2y = 0
(9)
dx 2 dx
Si obtenemos las primera y segunda derivada de la función f ( x) = e − x + e 2 x
Tenemos que f ´( x) = −e − x + 2e 2 x ,
f ´´( x) = e − x + 4e 2 x , derivadas definidas ∀ x
Al ser sustituida en la ecuación diferencial (9), observamos que
e − x + 4e 2 x − (−e − x + 2e 2 x ) − 2(e − x + e2 x ) = e− x + 4e2 x + e − x − 2e 2 x − 2e− x − 2e 2 x = 0
Simplificando tenemos que 2e − x + 4e 2 x − 2e 2 x − 4e− x = 0 , reducida a una identidad 0 = 0
Como la solución está definida para todo valor de x concluimos que sí es una solución de
la ecuación diferencial en el intervalo ( −∞, ∞)
Solución Implícita
Se dice que una relación f ( x, y ) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial
en un intervalo I si define una o más soluciones explícitas en I . También se dice que una
función es una solución implícita de una ecuación diferencial si en algún intervalo se
satisface por alguna solución y = f ( x) .
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Ejemplo 1.2.9 Demostrar que x + y + e xy = 0 es una solución implícita de la ecuación
dy
diferencial no lineal (1 + xe xy ) + 1 + ye xy = 0
dx
Como podemos observar no es tan fácil el despejar y con respecto a x , pero para que se
cumpla la ecuación como solución, cualquier cambio de x implica un cambio de y , por
lo cual resulta difícil verificarlo, pero existe un teorema de la solución implícita el cual
garantiza la existencia de un función y ( x) y que además es diferenciable, o sea, derivando
con respecto a x y aplicando la regla del producto y la regla de la cadena
Tenemos que
d
dy
dy
( x + y + e xy ) = 1 +
+ e xy ( y + x )
dx
dx
dx
Factorizando
d
dy
( x + y + e xy ) = (1 + xe xy ) + 1 + xe xy
dx
dx
La cual es idéntica a la ecuación diferencial por lo que la relación es una solución implícita
en algún intervalo.
Ejemplo 1.2.10 La función
f ( x) = 2 sen ( x ) + 3cos ( x ) , está definida ∀ x ∈ \ , es
una solución explícita de la ecuación diferencial
y´´+ y = 0
(10)
Derivando f ´( x) = 2 cos ( x ) − 3sen ( x ) , y f ´´( x) = −2 sen ( x ) − 3cos x
Al sustituir en la ecuación (10)
Resulta  −2sen ( x ) − 3cos x  +  2 sen ( x ) + 3cos ( x )  = 0 esta se reduce a una identidad que
se cumple para todo valor de x .
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