Física Moderna y Cosmología

Física Moderna y Cosmología
Rubén M. Cabezón
Jordi Òrrit
Dept. Física e Ingeniería Nuclear
UPC
1
FÍSICA MODERNA Y COSMOLOGÍA
Tipo de asignatura:
Créditos:
Departamento responsable:
Coordinación:
Semestre:
Libre elección
4.5 (Teóricos: 3, Prácticos: 1.5)
Física e Ingeniería Nuclear.
Rubén Cabezón, Jordi Òrrit
2º
OBJETIVOS DOCENTES
El objetivo de esta asignatura es presentar de forma sencilla los conceptos pilares en los que se sustenta el
conocimiento científico actual de nuestro universo. Se proporcionarán los conocimientos esenciales en las
materias de física cuántica, física nuclear, astrofísica y cosmología; siempre en un marco cualitativo
evitando, en lo posible, las complejidades inherentes a la materia. La finalidad última es que el alumno
adquiera una capacidad de análisis crítico frente a las noticias y desarrollos científicos que se encuentre
en el día a día.
CONTENIDOS
BLOQUE I: Física Moderna
1.
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
2. FÍSICA CUÁNTICA
Radiación de cuerpo negro. Ley de Planck. Cuantización. Aplicaciones: microscopio de efecto túnel.
Parejas EPR y teleportación cuántica.
3. FÍSICA NUCLEAR Y DE PARTÍCULAS
Partículas elementales. Leyes de conservación. Reacciones nucleares. Aceleradores de partículas.
4. FÍSICA MODERNA
Teorías de unificación. Supercuerdas y Física Multidimensional.
BLOQUE II: Astrofísica y Cosmología
1.
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
2. FÍSICA ESTELAR
Las estrellas. Diagrama H-R. Nacimiento y evolución. Objetos compactos y variables cataclísmicas.
3. ASTRONOMÍA GALÁCTICA Y EXTRAGALÁCTICA
Catálogos históricos. Cúmulos estelares, nebulosas y galaxias. Indicadores de distancia.
4. COSMOLOGÍA
Teoría Newtoniana de la Gravitación. La Relatividad General. El Principio Cosmológico. La Ley de
Hubble. La Radiación de Fondo. Modelo inflacionario. Historia de la evolución del universo.
5. ASTROFÍSICA Y COSMOLOGÍA DEL S. XXI
Materia y energía oscura. Ondas gravitatorias. GRB. ¿“Antes” del Big Bang?. Astrobiología. El viaje
interestelar.
EVALUACIÓN
50% - Exposición oral de un trabajo bibliográfico.
50% - Examen escrito tipo test.
2
Propuestas para posibles trabajos
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GRAN T-CAN. El nuevo telescopio en canarias.
Instrumentación en Astrofísica y repercusión en el avance científico.
El Large Hadron Collider (LHC). Estado actual y perspectivas de futuro.
La partícula de Higgs.
Agujeros negros supermasivos.
Supernova Cosmology Project y el futuro del universo.
La evolución de los aceleradores de partículas y perspectivas de futuro.
Detectores de ondas gravitatorias.
Interferometría óptica.
Métodos de propulsión. Presente y futuro.
Próximas misiones espaciales y proyectos de investigación astrofísica y/o cosmológica.
Reacciones nucleares como fuente de energía.
Fusión Nuclear: ¿La energía del futuro?
El Ordenador Cuántico
De Hiroshima a la Bomba de Hidrógeno: El peligro de una guerra nuclear.
M-Theory: ¿La teoría última?
3
Índice
•
Bloque I: Física Moderna y de Partículas ............................. 5
•
•
•
•
•
•
•
•
El Modelo Estándar. Historia acelerada
Radiación de Cuerpo Negro
Ley de Planck
Cuantización
El modelo Estándar
Números Cuánticos
Reacciones Nucleares
6
7
10
11
20
23
24
Bloque II: Astrofísica y Cosmología .................................. 29
•
•
•
•
•
•
•
•
Física Estelar
Ecuación de equilibrio hidrostático
Ecuaciones de Friedmann
Derivación clásica de las Ecuaciones de Friedmann
Definiciones de parámetros cosmológicos y relaciones
Modelo de Friedmann-Robertson-Walker
Cronología del Universo
Breve historia de la Cosmología clásica
30
34
36
38
40
41
42
43
•
Cuestiones y Problemas ....................................................... 48
•
Glosario ................................................................................ 57
•
Biografías ............................................................................. 67
•
Anexos.................................................................................. 81
•
•
•
•
•
Anexo I: Factores de conversión
Anexo II: Constantes físicas
Anexo III: Ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio
Anexo IV: Modelos particulares e históricos del Universo
82
83
84
86
Bibliografía .......................................................................... 88
4
Bloque I:
Física Moderna y de
Partículas
5
El Modelo Estándar: historia acelerada.
Arquitectos
Fecha
Partículas
Fuerzas
Tales
(milesio)
600 a.C.
Agua
No se mencionan
Empédocles
(de Agrigento)
460 a.C.
Tierra, aire, fuego
y agua
Amor y discordia
Demócrito
(de Abdera)
430 a.C.
El átomos invisible El movimiento violento
e indivisible, o áconstante
tomo.
Comentario
Fue el primero en explicar el
mundo mediante causas
naturales, no mediante los
dioses. En el lugar de la
mitología puso la lógica.
Aportó la idea de que hay
múltiples partículas que se
combinan para formar todos los
tipos de materia.
Su modelo requería demasiadas
partículas, cada una con una
forma diferente, pero su idea
básica de que hay un á-tomo
que no puede ser partido sigue
siendo la definición básica de
partícula elemental.
Le gustaban los átomos, pero no
hizo que su causa avanzase. Su
gravedad es un dolor de cabeza
para los peces gordos en la
década de 1990.
Su teoría era incompleta,
limitada, pero la idea de que
hay partículas de radio “nulo”,
puntuales, que crean “campos
de fuerza”, es esencial en la
física moderna.
Se precipitó al resucitar la
palabra de Demócrito –el átomo
de Demócrito-, pero dio una
pista al decir que los átomos
diferían en peso, no en su
forma, como pensaba
Demócrito.
Aplicó el atomismo a la
electricidad al conjeturar que
las corrientes estaban formadas
por “corpúsculos de
electricidad”, los electrones.
Tomó la idea de Dalton y
organizó todos los elementos
químicos conocidos. En su tabla
periódica apuntaba con claridad
una estructura más profunda y
significativa.
Al descubrir el núcleo, reveló
una nueva simplicidad dentro
de todos los átomos de Dalton.
Isaac Newton
(inglés)
1687
Átomos duros, con
masa,
impenetrables.
Roger J. Boscovich
(dálmata)
1760
“Puntos de fuerza”, Fuerzas atractivas y
indivisibles y sin
repulsivas que actúan
forma o dimensión. entre puntos
John Dalton
(inglés)
1808
Los átomos, las
unidades básicas
de los elementos
químicos: el
carbono, el
oxígeno, etc...
La fuerza de atracción
entre los átomos
Michael Faraday
(inglés)
1820
Cargas eléctricas
Electromagnetismo (más
la gravedad)
Dmitri Mendeleev
1870
Más de cincuenta
átomos, dispuestos
en la tabla
periódica de los
elementos.
No hace cábalas sobre
las fuerzas
Ernest Rutherford
(neozelandés)
1911
Dos partículas:
núcleo y electrón
Bjorken, Fermi,
Friedman, GellMann, Glashow,
Kendall, Lederman,
Perl, Ritcher,
Schwartz, Steinberg,
Taylor, Ting, más un
reparto de miles
1992
Seis quarks y seis
leptones, más sus
antipartículas. Hay
tres colores de
quarks.
La fuerza nuclear
(fuerte), más el
electromagnetismo y la
gravedad.
El electromagnetismo, la Incompleto.
interacción fuerte, la
débil: doce partículas que
llevan las fuerzas, más la
gravedad.
La gravedad (para el
cosmos). Fuerzas
desconocidas (para los
átomos)
“La partícula divina” – Leon Lederman.
6
Física Cuántica
1.- Radiación del cuerpo negro.
Al calentar un cuerpo éste desprende radiación electromagnética. Consideremos un
cuerpo; por el Principio de Conservación de la Energía podemos escribir:
Ei (energía recibida) = Er (energía reflejada) + Ea (energía absorbida) + Et (energía
transmitida)
Las energías en S.I. se miden en Joules (J).
Los casos relevantes son los estados de equilibrio, Ea = Erad (energía radiada), ya que
solo entonces se puede medir la temperatura (T). Para estudiar las características de los
cuerpos se pueden definir los siguientes coeficientes
r=
Er
Ei
Poder Reflector
a=
Ea
Ei
Poder Absorbente
t=
Et
Ei
Poder Transmisor
Casos particulares
r = 1 ; a ≈ t ≈ 0 ; buen reflector
t = 1 ; a ≈ r ≈ 0 ; buen transmisor
a = 1; r ≈ t ≈ 0 ; buen absorbente → Cuerpo Negro
Dichos coeficientes cumplen: r + a + t =1
Por lo tanto, toda la luz que llega a un cuerpo negro es absorbida por éste. Si, además el
cuerpo se encuentra en equilibrio térmico, la energía absorbida por el cuerpo es liberada
posteriormente en forma de radiación térmica (Erad). La Ea calienta el cuerpo y ello
hace que el cuerpo emita radiación. Para que la radiación emitida se encuentre en el
rango del visible la temperatura a la que llegue el cuerpo debe ser suficientemente
elevada (∼600 K).
Para un análisis más real, los poderes deberían medirse para cada frecuencia diferente.
Por lo tanto, el método más correcto es tomar como variables la frecuencia (ν), y la
temperatura (T).
Definimos la radiación térmica
E rad = e ⋅ S ⋅ t
7
donde e es el Poder Emisor (W/m2), S la superficie (m2) y t (s) el tiempo. Aunque cada
cuerpo tiene diferentes e para cada ν y cada T, se puede hacer una aproximación en que
e tenga el mismo valor para cualquier ν y T.
e se relaciona con a de la siguiente forma
e
= RT
a
(E. R. Kirchoff (1824-1887))
donde RT es la Radiancia Total (W/m2) para una cierta temperatura T. Esta relación es
universal (es la misma para todos los cuerpos). Esta ley implica que los buenos
absorbentes son también los buenos emisores.
El cuerpo negro es el absorbente/emisor perfecto:
e0 = R
(a0 = 1)
Ejemplos:
e
Cobre:
e0
e
Hierro:
e0
e
Madera:
e0
= 0,04
= 0,70
= 0,90
donde e0 es el poder emisor del cuerpo negro.
RT puede ser calculada integrando la Radiancia Espectral o Densidad de Radiancia
RT(ν) para todo el espectro de frecuencias.
RT =
z
∞
0
bg
RT ν dν
Ley de Stefan-Boltzmann
RT = σ ⋅ T 4
σ (constante de Stefan-Boltzmann) = 5,670·10-8 W/m2K4
el estudio práctico (debido a Stefan) se realiza a través de la radiancia y el teórico
(realizado por Boltzmann) a través de la densidad de energía almacenada en el cuerpo.
Densidad de Energía, ρT: Energía por unidad de volumen a una cierta temperatura T.
Unidades: J/m3.
8
R T = ρT
c
4
donde c es la velocidad de la luz, c = λν (λ: longitud de onda). Análogamente al caso de
la radiancia podemos escribir:
∞
ρ T = ∫ ρ T (ν )dν
(ρT(ν ): Densidad de Energía Espectral)
0
Llegados a este punto, la cuestión fundamental es determinar la función que relaciona
ρT(ν) con ν y T. Esta cuestión fue tratada ampliamente a finales del siglo XIXprincipios del siglo XX.
Primera ley de Wien o Ley del desplazamiento
W.Wien dedujo que la función debía ser de la forma ρT(ν) = ν3·f(ν/T) (1893), aunque
no determinó f(ν/T). Sin embargo, de este modo conseguía reducir el problema a una
función de una variable (ν/T). Además, dedujo que la función tenía un máximo y que la
posición de éste se desplazaba con la temperatura (Ley del desplazamiento de Wien)
λ 0 ⋅ T = 0,29cm ⋅ k
donde λ0 es la longitud de onda que hace máxima la densidad espectral de energía. Si
tenemos en cuenta que ν0 = c/λ0 podemos ver que la posición del máximo de densidad
en un diagrama ρT - ν/T se desplaza a la derecha a medida que aumentamos la
temperatura del cuerpo.
Segunda ley de Wien
En 1896, W.Wien, en función del comportamiento observado, propuso la siguiente
función
ρ T (ν ) = α ⋅ν ⋅ l
3
−β
ν
T
donde α y β son dos constantes. Comparando con las medidas obtenidas
experimentalmente, se puede observar que los puntos experimentales se ajustan bastante
bien a lo que predice la teoría en la parte alta del espectro (Zona de Wien), para
frecuencias tales que ν > ν0, sin embargo existe bastante discrepancia para frecuencias
por debajo de la frecuencia que hace máxima la densidad de energía(ν0).
Ley de Rayleigh-Jeans
J.H. Jeans y J.W.S. Rayleigh propusieron lo siguiente
8πν 2 R
ρ T (ν ) = 3
T
c N
donde NA es el número de Avogadro (=6,022·1023 mol-1 ) y R la Constante de los Gases
9
Ideales (= 8,314 J/K·mol). Por otro lado, R/NA = K (Constante de Boltzmann =
1,381·10-23 J/K).
Esta ecuación se dedujo mediante la física clásica. Sin embargo no tiene máximo y para
altas frecuencias diverge, con lo que al integrar se obtiene una densidad de energía
infinita. A este problema se la llamó catástrofe del ultravioleta.
Por otro lado, para bajas frecuencias, ν < ν0, la función se ajusta bastante a lo observado
por lo que a esta zona del espectro se la conoce como Zona de Rayleigh-Jeans.
Espectro electromagnético
2.- Ley de Planck.
En octubre de 1900 M.K.E.L.Planck propuso la siguiente fórmula
ρ T (υ ) =
8πν 3
c3
1
l
hυ
KT
−1
donde h era una constante universal nueva, la Constante de Planck (h = 6,626·10-34 J·s
= 4’1357·10-15 eV·s)
Ésta se ajusta a los valores obtenidos experimentalmente para todo el espectro. Además,
las leyes de Wien y Rayleigh-Jeans se pueden obtener de ésta mediante aproximaciones
para bajas o altas frecuencias.
En diciembre del mismo año, Max Planck presentó una demostración teórica de esta ley
en la cual hacía una polémica suposición que él llamó “acto de desesperación”. Esta
suposición consistió en la Hipótesis Cuántica, por la cual establecía que
E em = h ⋅ν ⋅ n
abs
donde el producto hν (Constante de Planck por frecuencia) es conocido como cuantum
(o cuanta) de energía, la energía mínima necesaria para que se produzca emisión o
10
absorción de radiación. Por otro lado, n determina el grado de la energía o el número de
cuantums que son absorbidos o emitidos por el cuerpo, es decir, la energía radiativa
intercambiada entre un cuerpo negro y su entorno es siempre un múltiplo de hν. El
modelo que Planck propuso para basar dicha demostración describía el comportamiento
de un conjunto de partículas cargadas o resonadores que oscilaban entorno a un punto
de equilibrio (así es como se describía la materia por aquel entonces). Sin embargo, la
novedad que Planck introdujo fue el hecho de que aquellos resonadores o péndulos
diminutos variaban su energía a saltos (cuantums) en lugar de hacerlo de forma continua
como establecía la física clásica ( Resonadores de Planck). El hecho de que la energía
pudiera ser discreta en lugar de continua representaba una profunda ruptura con la
concepción clásica de la física.
3.- Cuantización.
Interacción Radiación-Materia
Efecto fotoeléctrico: Ocurre para radiación del tipo visible o ultravioleta (hν ∼ 1eV)
En 1887, E.Hertz observó que las descargas eléctricas entre dos electrodos eran más
vistosas y se producían más fácilmente si incidía luz ultravioleta en el cátodo.
P.E.A.Lenard demostró que esto sucede debido a que la radiación ultravioleta libera
electrones del metal. A este fenómeno se le llamó efecto fotoeléctrico.
En 1905, A.Einstein propuso una teoría en la que iba más allá de lo que había postulado
Planck en 1900 al afirmar que la radiación no sólo era emitida de forma cuantizada por
electrones oscilantes en un cuerpo negro, sino que, además, la radiación en si misma
estaba discretizada en paquetes o cuantums de energía E = hν
ν (que más tarde recibieron
el nombre de fotones). De este modo la luz, además de tener propiedades ondulatorias
(como ya se había demostrado anteriormente), presentaba propiedades corpusculares.
Para apoyar esta teoría y basándose en el trabajo anterior de Lenard, Einstein citó el
efecto fotoeléctrico. Según Einstein, en el efecto fotoeléctrico un fotón es
completamente absorbido por un electrón del fotocátodo, el cual, al escapar del metal,
tiene una energía cinética que viene dada por
E cin = hν − w
donde w es la Función Trabajo o energía necesaria para liberar un electrón y depende
de cada material. De esto se desprende que la energía cinética de los portadores de carga
liberados depende de la frecuencia de los fotones y, por lo tanto, del color de la
radiación incidente. Esto contradecía la teoría ondulatoria por la cual la Ecin dependía de
la intensidad. Además, existe una frecuencia mínima ν = w/h por debajo de la cual un
fotón no tiene la energía necesaria para arrancar un electrón del cátodo.
Las magnitudes que definen un fotón son las siguientes:
Masa en reposo:
m=0
Velocidad:
c (en el vacío)
11
Energía:
ε = hν = hω ; h =
Cantidad de movimiento:
p=
hν
c
h
2π
Efecto Compton: Ocurre para radiación del tipo rayos X (hν ∼ 1KeV)
A.H.Compton descubrió en 1923 que al hacer incidir rayos X de longitud de onda λ0
conocida sobre grafito aparecían dos picos de dispersión, uno de fotones de longitud de
onda λ0 y otro de fotones de longitud de onda λ1, en lugar de uno sólo de λ0 que es lo
que la teoría clásica predecía. Para explicar este resultado es necesario considerar dos
procesos. En un proceso un fotón choca elásticamente con un electrón cediéndole una
pequeña cantidad de su energía. Como consecuencia el fotón dispersado tendrá menor
energía que antes de colisionar y, por lo tanto, una longitud de onda más grande λ1. La
relación entre λ0 y λ1 viene dada por
∆λ = λ1 − λ 0 = λC (1 − cos (ϑ ))
donde ∆λ es el corrimiento Compton, λ1 es la longitud de onda del fotón dispersado,
λ0 es la longitud de onda del fotón incidente, λC = h/mec = 0,02426 Α es la Longitud de
Onda de Compton y me la masa del electrón .
En este proceso hemos considerado que el fotón incidente choca con un electrón libre o
con un electrón cuya energía de enlace es mucho menor que la energía cinética del fotón
y por lo tanto queda libre después del choque. Sin embargo, si el electrón está muy
fuertemente ligado al átomo el fotón no consigue arrancarlo y, debido a la atracción
núcleo-electrón, es el átomo entero el que retrocede al colisionar con el fotón. Así pues,
se debe considerar que el fotón choca contra todo el átomo, por lo cual debemos
substituir me por la masa atómica M, M >> me. En este caso el corrimiento Compton es
muy pequeño, ∆λ ∼ 0, y los fotones dispersados dan lugar a un pico de dispersión con
longitud de onda prácticamente igual al de los fotones del haz incidente. Este proceso se
conoce con el nombre de dispersión Thomson. La mayor o menor intensidad de un
pico respecto otro dependerá de la energía (y por lo tanto de la frecuencia y de la
longitud de onda) de los fotones incidentes.
En toda la descripción anterior del efecto Compton hemos considerado la radiación
electromagnética como un haz de partículas o fotones, lo que en su tiempo vino a
confirmar el comportamiento corpuscular de la luz. En este experimento se combinaban
relatividad y física cuántica por primera vez lo cual confirmaba de algún modo las dos
teorías.
Creación y de Pares: Ocurre para radiación del tipo rayos γ (hν ∼ 1MeV)
Se ha observado que cuando un fotón con una energía suficientemente elevada incide
sobre un núcleo, desaparece dando lugar a la creación de un electrón y un positrón
(antipartícula que tiene las mismas propiedades que un electrón pero su carga tiene
signo opuesto).
El proceso inverso es la aniquilación de pares. En este caso un electrón y un positrón
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inicialmente en reposo se combinan hasta que terminan colapsando el uno contra el otro.
Durante esta proceso forman lo que se conoce como positronio, que se comporta de
forma parecida al átomo de hidrógeno, y que tiene una vida media de 10-10 segundos. En
la aniquilación se deben formar al menos dos fotones (en algunos casos se forman tres)
para no violar la conservación del momento cinético.
Modelos Atómicos
J.J.Thomson (1903)
En el modelo atómico que propuso los electrones se encontraban dentro de una
distribución continua de carga positiva. Por su analogía éste modelo fue conocido como
“pastel de pasas” o “sandía”. En átomos excitados los electrones vibrarían alrededor de
sus posiciones de equilibrio, lo que explicaría, por ejemplo, la radiación emitida por un
material el ser calentado.
E.Rutherford (1911)
Observó que cuando un haz de partículas α (núcleos de He) incidía en una lámina de
oro, algunas partículas se desviaban y otras no. Del análisis de la dispersión observada
dedujo que toda la carga positiva del átomo y prácticamente toda su masa se debían
concentrar en un núcleo situado en el centro del átomo y mucho más pequeño que éste
(Modelo Planetario). Las magnitudes atómicas que él predijo se acercan bastante a lo
observado (Rátomo ∼ 10-10, Rnúcleo ∼ 10-14).
Modelos espectrales
J.Balmer, en 1885, encontró una fórmula empírica que predecía el comportamiento de
las líneas espectrales de emisión observadas hasta entonces en el Hidrógeno:
λ = 3645,6
n2
n2 − 4
Con esta fórmula obtenemos la longitud de onda en Amstrongs de las líneas espectrales
que se observan para una parte determinada del espectro (serie de Balmer), las cuales
vienen determinadas por n (n=3 (Hα), 4 (Hβ), 5 (Hγ), 6 (Hδ)… y así hasta las nueve
primeras líneas de la serie, que eran las que se conocían hasta entonces.).
En 1890, J.R.Rydberg propuso una fórmula más general que la de Balmer
RH
RH
1
=
−
λ ( m + a ) ( n + b)
donde RH = 10967757,6 ± 1,2 m es la Constante de Rydberg para el hidrógeno, a y b
dependen del material, y m y n nos definen la línea del espectro que se quiera obtener.
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En el caso del hidrógeno obtenemos la fórmula de Balmer substituyendo a = b = 0, RH =
4
y m = 2.
K
Así pues, mediante esta fórmula y haciendo a = b = 0, podemos deducir las series de
líneas espectrales del hidrógeno:
Nombres
Intervalos de λ
(m,n)
Lyman
Ultravioleta
m = 1; n = 2,3,4,…
Balmer
UV cercano y visible
m = 2; n = 3,4,5,…
Pashen
Infrarrojo
m = 3; n = 4,5,6,…
Brackett
Infrarrojo
m = 4; n = 5,6,7,…
Pfund
Infrarrojo
m = 5; n = 6,7,8,…
N.Bohr (1913)
Bohr introdujo un modelo fundamentándose en la estabilidad atómica y de forma que
estuviera de acuerdo con ciertos resultados espectroscópicos. Al desarrollar este
modelo, Bohr se basó en las nuevas teorías de interacción radiación-materia y introdujo
propiedades cuánticas de manera que su modelo mezcla la física clásica con la física no
clásica. Los postulados sobre los cuales se sustenta el modelo de Bohr son los
siguientes:
1. Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la influencia
de la atracción de Coulomb entre el electrón y el núcleo, sujetándose a las leyes de
la mecánica clásica.
2. En lugar de una infinidad de órbitas que serían posibles en la mecánica clásica,
para un electrón sólo es posible moverse en una órbita para la cual su impulso
angular orbital L es un múltiplo entero de h , la constante de Planck dividida entre
2π. ( L = nh ; n = 1, 2, 3,…)
3. A pesar de que el electrón se acelera constantemente cuando se mueve en una de
estas órbitas permitidas, no radía energía electromagnética. Entonces, su energía
total E permanece constante.
4. Se emite radiación electromagnética si un electrón, que inicialmente se mueve en
una órbita de energía total Ei , cambia su movimiento de manera discontinua para
moverse en una órbita de energía total Ef . La frecuencia de la radiación emitida ν
es igual a la cantidad (Ei - Ef) dividida entre la constante h de Planck.
Ei − E f
)
(ν =
h
Bohr presentó un modelo para el átomo de hidrógeno con la intención de que pudiera
aplicarse a átomos más pesados. Aunque para átomos mayores el modelo es demasiado
sencillo y se hace necesaria la introducción de correcciones o la aplicación de métodos
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aproximados, para el átomo de hidrógeno e iones o isótopos monoelectrónicos funciona
correctamente. Algunos resultados para el átomo de hidrógeno que se obtienen mediante
este modelo son los siguientes:
Radio mínimo:
rmin ≈ 0,5 Þ
Velocidad máxima:
vmax ≈ 2·106 m/s
Energía del 1er nivel: E1 ≈ -13,6 eV (energía de ionización)
Reglas de cuantización de Sommerfield
En 1916, Wilson y Sommerfield enunciaron un conjunto de reglas para sistemas
periódicos que generalizaban los diferentes conceptos de cuantización de la energía y el
momento angular de sistemas físicos introducidos hasta entonces.
Para cualquier sistema físico en el cual las coordenadas sean funciones periódicas del
tiempo existe una condición cuántica para cada coordenada. Estas condiciones
cuánticas son
∫ p dq = n h
q
q
donde q es una de las coordenadas, pq es el impulso asociado con esa coordenada, nq
es un número cuántico que toma valores enteros y ∫ significa que la integración se
toma sobre un período de la coordenada q.
Dualidad Universal Onda-Corpúsculo
Postulado de de Broglie
En 1924, L. de Broglie postuló el comportamiento dual onda-partícula de la materia,
análogo al comportamiento ya demostrado de la radiación. De Broglie se basaba en la
simetría existente en la naturaleza. Por lo tanto, si la luz presentaba dualidad ondacorpúsculo, era de esperar que ocurriera lo mismo para la materia. De esta forma,
podemos considerar una partícula material en movimiento como una onda de materia
que se propaga. Las relaciones entre las magnitudes típicas que describen el movimiento
corpuscular (E, p) y las que describen el ondulatorio (ν, λ) son las siguientes
E = hν
p = hλ
donde λ = h/p es conocida como longitud de onda de de Broglie de una onda de
materia con momento lineal p.
15
Principio de Complementariedad
En 1927, Bohr introdujo el Principio de Complementariedad que apoyaba la dualidad
onda-corpúsculo como un comportamiento inherente a la naturaleza:
1. Los aspectos ondulatorio y corpuscular forman parte de la física en sí.
2. No son excluyentes.
3. Son complementarios en el sentido que en algunos casos para explicar la realidad
sirve un modelo y en otros sirve el otro.
Principio de Incertidumbre
El Principio de Incertidumbre de Heisenberg nos da una cota máxima de la precisión
con la que podemos medir dos variables canónicas conjugadas en física cuántica. Según
este principio en un experimento no se puede conocer simultáneamente el valor exacto
de una componente del momento lineal y, a la vez, el valor exacto de la coordenada de
posición correspondiente. El límite de precisión que el principio establece es el
siguiente
∆pφ ∆φ ≥ h / 2
φ = x, y, z
donde ∆pφ es la incertidumbre en la medida de la componente φ del momento lineal y
∆φ es la incertidumbre en la coordenada φ. El principio también se puede aplicar para E
yt
∆E∆t ≥ h / 2
donde ∆E es la incertidumbre en la energía de un sistema y ∆t es el tiempo característico
de un estado del sistema o su vida media.
El Principio de Incertidumbre no tiene en cuenta la precisión instrumental o la
indeterminación propia del experimento con el que se pretenden medir las propiedades
de un sistema (las cuales, en un caso ideal podemos tomar tan pequeñas como
queramos) sino que se fundamenta en el hecho de que al observar un sistema lo estamos
perturbando. Por ejemplo, suponiendo que se tuviera un equipo tan preciso que se
pudiera medir la coordenada x de un cuerpo de forma totalmente exacta, ∆x = 0,
entonces no se podría conocer de forma simultánea la componente x del momento
lineal, px, ya que su indeterminación sería infinita, ∆px = ∞, independientemente de la
precisión instrumental que se tuviera para medir las componentes de p. Por otra parte, el
Principio de Incertidumbre de Heisenberg se desprende de forma natural de los
conceptos sobre el comportamiento ondulatorio de la materia y la radiación introducidos
por Einstein y de Broglie.
16
Mecánica Cuántica
Erwing Schrödinger, en 1925, elaboró su teoría de la mecánica cuántica, la cual
generalizaba lo establecido por de Broglie anteriormente y le daba consistencia. Todo lo
relativo a la física cuántica realizado hasta entonces recibe el nombre de teoría
cuántica antigua y, aunque había dado muy buenos resultados y todavía hoy en día se
usa como una aproximación bastante precisa, lo cierto es que padecía algunos puntos
débiles y limitaciones que con la nueva teoría desaparecieron. La ecuación de
Schrödinger para una partícula o sistema sometido a una fuerza con un potencial V(x,t)
es:
−
∂Ψ ( x, t )
h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t )
+ V ( x , t ) Ψ ( x , t ) = ih
2
2m ∂x
∂t
donde ψ(x,t) es la función de onda de la partícula o del sistema físico. Las funciones de
onda que son solución de la ecuación reciben el nombre de funciones propias. Se trata
de una ecuación diferencial parcial de segundo orden. En este caso está escrita para el
caso unidimensional pero se puede generalizar para más dimensiones. Análogamente a
∂2
∂
la física clásica tenemos que − h 2 2 = (−ih ) 2 = P 2 , donde P es el operador
∂x
∂x
∂
momento lineal, y ih = E donde E es el operador energía.
∂t
Si el potencial no depende del tiempo, por separación de variables, Ψ ( x, t ) = φ ( x)ϕ (t ) ,
podemos escribir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
h 2 d 2φ ( x)
−
+ V ( x)φ ( x) = Eφ ( x)
2m dx 2
donde E son los valores propios de la energía.
En el caso de que para una partícula concreta se cumpla que E < | V | tendremos que la
partícula ocupa estados ligados y solo algunos valores de E están permitidos por lo que
la energía está cuantizada (Espectro Discreto). Cuando ocurre lo contrario E puede
tomar cualquier valor por encima de | V | (Espectro Continuo).
Por otro lado, a diferencia de la mecánica clásica o del electromagnetismo, en mecánica
cuántica las funciones de onda son complejas. Esto podría suponer un problema ya que
la parte imaginaria de la función de onda no tiene significado físico. Sin embargo,
aunque las funciones de onda contienen toda la información de un sistema que el
Principio de Incertidumbre nos permite conocer, no representan magnitudes físicas que
se puedan medir. La información física medible del sistema nos la da la densidad de
probabilidad, P(x,t)=ψ*(x,t) ψ(x,t) (donde ψ*(x,t) es el complejo conjugado de ψ(x,t).
M.Born, en 1926, postuló esta relación de la siguiente manera
Si en el instante t se realiza una medición para localizar a la partícula asociada con la
función de onda ψ*(x,t) entonces la probabilidad P(x,t)dx de encontrar a la partícula
en una coordenada entre x y x+dx es igual a ψ*(x,t) ψ(x,t)dx.
17
Por lo tanto, en mecánica cuántica, dada la imposibilidad de poder predecir de forma
determinista el resultado de un experimento, es necesario recurrir a la estadística para
calcular probabilidades y valores promedio. Por ejemplo, dada una magnitud física F
que relacionamos con el operador F(x,p,t), su valor promedio <F(x,p,t)> se calcularía de
la siguiente forma
< F ( x, p, t ) >=
+∞
∂
∫ Ψ * ( x, t ) F ( x,−ih ∂x , t )Ψ( x, t )dx
−∞
+∞
∫ Ψ * ( x, t )Ψ ( x, t )dx = 1
(densidad de probabilidad normalizada)
−∞
La desviación típica se calcularía de la siguiente forma
∆F ( x, p, t ) = (< F 2 > − < F > 2
Degeneración
En mecánica cuántica degeneración es el fenómeno que ocurre cuando dos o más
funciones propias (o estados propios) de un operador (momento lineal, energía,
posición,…) comparten el mismo valor propio. En el caso de la ecuación de
Schrödinger, por ejemplo, tendríamos degeneración si dos o más funciones de onda que
fuesen solución de la ecuación tuvieran el mismo valor de la energía E. A las funciones
propias que presentan esta peculiaridad se las conoce como funciones propias
degeneradas.
Momento Angular Intrínseco o de Spin
En 1922, Otto Stern y Walter Gerlach observaron como un haz de átomos de plata se
desdoblaba en dos componentes discretas al cruzar un campo magnético no uniforme.
Una componente se desviaba en la dirección y el sentido del campo magnético aplicado
mientras que la otra componente hacía lo propio en sentido opuesto. Como los átomos
son neutros, la única componente de la fuerza que debía actuar sobre ellos era la
paralela al campo aplicado (en este caso escogemos la dirección z de forma arbitraria),
fruto de la interacción entre la intensidad magnética y el momento dipolar
r
magnético µ ,
Fz =
∂B z
µz
∂z
(donde µz es la componente del momento dipolar magnético paralela al campo).
Según la mecánica clásica se debería obtener una distribución continua en función del
momento dipolar. Sin embargo se obtenían resultados discretos con lo cual se
confirmaba la cuantización.
Por otro lado, el momento dipolar magnético depende del momento angular
orbital al considerar la órbita electrónica de los átomos como una espira por donde
18
circula una cierta intensidad. En el caso del experimento Stern-Gerlach la única
contribución era la de la componente del momento angular en la dirección de la
coordenada z, que para los electrones atómicos está relacionada con el número cuántico
ml = -l,-l+1,…,0,…,l-1,l (el número cuántico l está relacionado con el cuadrado del
momento angular), el cual puede tomar un número de valores que siempre debe ser
impar. Además, el número atómico de la plata es 47 con lo que su último orbital es s (l
= 0) por lo que ml solo puede valer 0. Si se hace la aproximación que, debido al
apantallamiento de las capas de electrones inferiores con el núcleo, el único electrón que
contribuye a la interacción con el campo magnético es el del último orbital, se esperaría
que los electrones no se desviaran. Sin embargo como ya hemos dicho, el haz deflectado
se desdobla en dos componentes. Este hecho fue confirmado por Philipps y Taylor
(1927) quienes repitieron el experimento con átomos de hidrógeno, los cuales tienen un
único electrón que en su estado fundamental (esto se consigue con temperaturas
relativamente bajas) se encuentra en un orbital s (l = 0, ml = 0).
Estas inconsistencias con los resultados esperados fueron superadas en 1925,
cuando Samuel A. Goudsmit y George E. Uhlenbeck postularon la existencia de un
momento angular intrínseco que llamaron spin. El spin se suele presentar como un
momento angular asociado al giro constante del electrón sobre su propio eje, sin
embargo está visión es inconsistente con la física por lo que el spin debe entenderse
como una propiedad puramente cuántica, característica de las partículas microscópicas,
que no tiene análogo en la física clásica. Su relación con la componente z del momento
magnético dipolar es la siguiente
µ sz = − g s µ B m s
donde gs es el factor g de spin (que para el electrón se ha comprobado
eh
experimentalmente que vale 2), µ B =
= 0,927 ⋅ 10 − 23 A ⋅ m 2 recibe el nombre de
2m
magnetón de Bohr y ms es el valor propio de la componente z del momento angular de
spin y toma los valores -s,-s+1,…,0…,s-1,s, donde s es el spin asociado a una partícula
(para el electrón s = 1/2 ; ms = ±1/2). De esto se desprende que el incremento de energía
potencial de orientación dipolar que reciben las componentes desdobladas de un haz en
un experimento Stern-Gerlach, viene dado por
g µ B
r r
∆E = − µ s ⋅ B = − µ sz B z = ± s B z
2
El spin es un propiedad que poseen las partículas a escala microscópica y que afecta a
las propiedades de éstas, pero no tiene equivalente clásico por lo que hay que entenderlo
como un fenómeno exclusivo de la física cuántica.
19
Física Nuclear y de Partículas
1.- El modelo estándar.
Proporciona una teoría coherente de las interacciones fundamentales, válida para las
interacciones electromagnética, débil y fuerte. Ordena, además, la profusión existente de
hadrones (partículas elementales que experimentan la interacción fuerte)
Modelo Estándar de la Física de Partículas
Primera generación
Segunda generación
Tercera generación
QUARKS
u (Up)
d (Down)
c (Charm)
s (Strange)
t (Top/True)
b (Bottom/Beauty)
LEPTONES
νe (Neutrino electrónico)
e (Electrón)
νµ (Neutrino Muónico)
µ (Muón)
ντ (Neutrino Tauónico)
τ (Tauón)
FUERZAS
BOSONES GAUGE
γ (Fotón)
W- W+ Z0
Ocho Gluones
Gravitón ?
Electromagnetismo
Interacción Débil
Interacción Fuerte
Gravedad
Interacciones Fundamentales de la Naturaleza
Según el modelo estándar a cada interacción fundamental le corresponden una o varias
partículas bosónicas o bosones (partículas con spin entero). Estas partículas son los
quantums de energía que constituyen los campos causantes de dichas interacciones. Las
cuatro fuerzas de la naturaleza son las siguientes:
Electromagnética: De alcance infinito. Su bosón gauge es el fotón, γ (spin = 1). Es la
responsable de la electricidad y el magnetismo.
Nuclear Débil: De alcance finito ∆x ≈ 2·10-3 fm. Sus bosones gauge son las partículas
W+, W-, Z0 (spin = 1). Es la responsable de las desintegraciones nucleares del tipo β. (Su
unificación con la electromagnética da lugar a la interacción electrodébil)
Nuclear Fuerte: De alcance infinito. Su bosón gauge es al gluón (spin =1). Es la
20
responsable de que los nucleones permanezcan unidos.
Gravitatoria: De alcance infinito. Su bosón gauge es el gravitón pero aún no se ha
encontrado y es objeto de controversia. Es la responsable de las órbitas celestes.
Las leyes de conservación para el electromagnetismo, la interacción débil y la
interacción fuerte son:
Cantidad conservada
Fuerte
Electromagnética
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
No
Débil
Energía
Momento Lineal
Momento Angular
Carga
Número Leptónico Electrónico
Número Leptónico Muónico
Número Leptónico Tauónico
Número Bariónico
Isospín
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
1
No
Componente z del Isospín
Sí
Sí
No
Paridad
C-Paridad o Conjugación de Carga
Sí
Sí
Sí
Sí
No*
*
No
Color
No
Sí
Sí
Sabor
Sí
Sí
No
Inversión temporal
Sí
Sí
Sí
2
*
1
(∆I = ½ Para no leptónicos)
2
(∆Iz = ½ Para no leptónicos)
*
(Excepto por la violación poco frecuente en el decaimiento lento del sistema K0, Κ 0 )
Partículas Elementales
Según el modelo estándar, la materia ordinaria está formada por fermiones elementales
(spin semientero). Hay dos tipos de fermiones elementales, los leptones y los quarks.
Estos últimos, en la naturaleza, se encuentran formando partículas más complejas
llamadas hadrones. Los hadrones, a su vez, se clasifican en mesones (un quark y un
antiquark) y bariones (tres quarks). A éstas, les hemos de sumar sus correspondientes
antipartículas (partículas idénticas con igual masa y spin pero con la carga eléctrica de
signo opuesto).
En la siguiente tabla aparecen descritas algunas de las propiedades del fotón, de los
leptones y algunos hadrones:
21
Nombre
Fotón
Leptones
Mesones
Bariones
Símbolo
γ
νe
νµ
ντ
eµτΠ+
Π0
ΠΚ+
Κ0
Κ0
Κη0
η|
p
n
Λ0
Σ+
Σ0
ΣΞ0
ΞΩ-
Número Número Número Número
Comp. Z
Paridad
leptónico leptónico Leptónic bariónico
del
P
Le
Lu
B
isospín Iz
o Lτ
Masa en Tiempo
reposo
de vida Carga Q
(MeV/c2) media(s)
Spin s
0
∞
0
1
0
0
0
0
-
0
¿0?
∞
0
½
+1
0
0
0
-
0
¿0?
¿∞?
0
½
0
+1
0
0
-
0
¿0?
¿∞?
0
½
0
0
0
0
-
0
0,511
∞
105,7
1777
139,6
135
-1
½
+1
0
0
0
-
0
-6
-1
½
0
+1
0
0
-
0
-15
-1
½
0
0
+1
0
-
0
-8
+1
0
0
0
0
0
Impar
+1
-16
0
0
0
0
0
0
Impar
0
2,2·10
291·10
2,6·10
0,9·10
-8
-1
0
0
0
0
0
Impar
-1
-8
+1
0
0
0
0
0
Impar
+½
-11
0
0
0
0
0
0
Impar
-½
-8
0
0
0
0
0
0
Impar
+½
-8
-1
0
0
0
0
0
Impar
-½
-19
0
0
0
0
0
0
Impar
0
0
0
0
0
0
0
Impar
0
+1
½
0
0
0
1
Par
+½
139,6
2,6·10
493,8
1,2·10
497,8
8,6·10
497,8
5,2·10
493,8
1,2·10
549
2,5·10
958
>10
-21
938,3
∞
939,6
930
1116
1189
1192
1197
1315
1321
1672
0
½
0
0
0
+1
Par
-½
-10
0
½
0
0
0
+1
Par
0
-11
+1
½
0
0
0
+1
Par
1
2,5·10
8,0·10
>10
-14
0
½
0
0
0
+1
Par
0
-10
-1
½
0
0
0
+1
Par
-1
-10
0
½
0
0
0
+1
Par
+½
-10
-1
½
0
0
0
+1
Par
-½
-10
-1
½
0
0
0
+1
Par
0
1,5·10
3,0·10
1,7·10
1,3·10
Según el Modelo Estándar, toda la materia que observamos está hecha de seis quarks y
seis leptones. Estos quarks y leptones se agrupan en tres familias o generaciones de
cuatro miembros cada una. Los quarks más ligeros, denominados "arriba" (up) y "abajo"
(down) junto con el conocido electrón y su neutrino forman la primera generación. El
quark "extraño" (strange) y el quark "encanto" (charm), que son un poco más pesados
que los anteriores, forman junto con el muón y su neutrino la segunda familia;
finalmente el quark "belleza" (beauty) junto con el recientemente observado quark
"verdad" (truth) y el leptón tau y su neutrino constituyen la tercera y aún incompleta
familia, pues de la existencia del neutrino del leptón tau sólo se tienen pruebas
indirectas. Al nombre que recibe cada tipo de quark se le conoce como sabor.
22
Quark
D
U
S
C
B
T
Q
B
~
B
T
Número
Bariónico
S
C
Carga
‘Strangeness’
‘Charm’
‘Beauty’
‘Truth’
-1/3
2/3
-1/3
2/3
-1/3
2/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
2.- Números Cuánticos.
Por un lado, a los leptones se les asocia un número leptónico ligado a cada generación.
Los leptones de una generación tienen un valor del número leptónico de su generación
igual a 1, mientras que para sus antipartículas este número vale –1, y tienen valores
nulos para los números leptónicos de las otras dos generaciones.
Para los hadrones se define la extrañeza como S = [N(s)-N(s)], donde N(s) es el número
de quarks extraños presentes en un hadrón o en una reacción y N(s) es el número de
quarks no extraños. Análogamente podemos definir encanto, C, verdad, T, o belleza,
~
B . Se define número bariónico como B = [N(q)-N(q)]/3 donde N(q) es el número de
quarks y N(q) es el número de antiquarks. Usando estos números podemos definir
también la carga, Q = 2[Nu+C+T]/3 – [Nd+S+B]/3 donde Nu y Nd son el número de
quarks “arriba” y “abajo”, respectivamente, y se pueden calcular de forma análoga a S.
Para las partículas elementales se establece, además, una nueva simetría (que no es
exacta): el isospín. El isospín es una magnitud que se comporta igual que el spin. Las
~
partículas con la misma paridad, S, B, C, B , T y diferente carga reciben el nombre de
multipletes de isospín (tienen igual isospín I pero difieren en la tercera componente de
éste Iz). Se define la hipercarga como
~
Y=B+S+ C+ B +T
Y con ella se puede definir la 3ª componente del isospín
Iz = Q – Y/2
También podemos definir el isospín para núcleos atómicos de masa A, número atómico
Z y N = A – Z de la siguiente manera
Iz = (Z – N)/2
La interacción débil viola la simetría del isospín. Lo mismo pasa con la paridad (paridad
de las funciones de onda de las partículas) o con la c-paridad (paridad respecto la
substitución de una partícula por su antipartícula.
La interacción fuerte, en cambio, no conserva la carga de color o color de los quarks.
23
Todos los quarks pueden estar en uno de los tres estados de color: azul (b), verde (g) o
rojo (r). Los gluones de la interacción fuerte mantienen confinadas las cargas de color
de manera que nunca aparecen cargas del mismo color juntas. En un barión, por
ejemplo, los tres quarks tendrán colores diferentes de manera que la carga de color
resultante será nula (los tres colores juntos, así como el color de una partícula y su
antipartícula, se anulan).
3.- Reacciones Nucleares.
Procesos Nucleares
Los núcleos están compuestos por protones y neutrones, que se mantienen unidos por la
denominada fuerza fuerte. Algunos núcleos tienen una combinación de protones y
neutrones que no conducen a una configuración estable. Estos núcleos son inestables o
radiactivos. Los núcleos inestables tienden a aproximarse a la configuración estable
emitiendo ciertas partículas.
Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial
decreciente. Si N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de
un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes N se ha reducido a
N = N 0 e (-λt)
donde λ es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de
desintegración.
T
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo de tiempo fijo Τ1/2, denominado
semivida o periodo de semidesintegración, durante el cual el número de núcleos que
había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación N=N0/2 se obtiene
T1 =
2
ln 2
= τ ⋅ ln 2
λ
donde definimos τ como vida media.
La ley de desintegración puede deducirse del siguiente modo: si λ es la probabilidad de
24
desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de que un núcleo se desintegre en
un tiempo dt es λ·dt. Si hay N núcleos presentes, en el tiempo dt podemos esperar que
se desintegren (λdt)N núcleos. Por tanto, podemos escribir
El signo menos aparece por que N disminuye con el tiempo a consecuencia de la
desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente.
N0 es el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t = 0.
Los tipos de desintegración radiactiva se clasifican de acuerdo a la clase de partículas
emitidas.
Desintegración α
El elemento radiactivo de número atómico Z, emite un núcleo de Helio (dos protones y
dos neutrones), el número atómico disminuye en dos unidades y el número másico A en
cuatro unidades, produciéndose un nuevo elemento situado en el lugar Z-2 de la Tabla
Periódica.
( A, Z ) → ( A − 4, Z − 2) + (4,2)
Desintegración β
Esta desintegración tiene dos tipos de variantes.
Desintegración β-: El núcleo del elemento radiactivo emite un electrón, en
consecuencia, su número atómico aumenta en una unidad, pero el número másico no se
altera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z+1 de la Tabla Periódica.
n → p + e− +ν e
( A, Z ) → ( A, Z + 1) + e − + ν e
Desintegración β+: El núcleo del elemento radiactivo emite un positrón, en
consecuencia, su número atómico disminuye en una unidad, pero el número másico no
se altera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z-1 de la Tabla Periódica.
p → n + e+ +ν e
( A, Z ) → ( A, Z − 1) + e + + ν e
25
Desintegración γ
El núcleo del elemento radiactivo emite un fotón de alta energía (∼MeV), la masa y el
número atómico no cambian, solamente ocurre un reajuste de los niveles de energía
ocupados por los nucleones.
( A, Z ) → ( A, Z ) + γ
Captura electrónica
El núcleo del átomo captura un electrón y emite, a continuación, un neutrino
electrónico. Es un proceso alternativo a una desintegración β+. Si en un átomo es
posible una desintegración β+ también será posible un proceso de CA, pero no al revés.
p + e− → n +ν e
( A, Z ) + e − → ( A, Z − 1) + ν e
Fusión y Fisión
El principio físico de las reacciones de fisión y fusión se explica a partir de la energía de
enlace por nucleón en función del número másico A del núcleo. Los núcleos con una
energía de enlace mayor, 50 < A < 90, son los más estables. Si un núcleo muy pesado se
rompe en dos (fisión), el estado inicial tiene más masa que el estado final, este exceso
de masa se desprende en forma de energía según la fórmula E=mc2. Lo mismo ocurre
cuando dos núcleos ligeros se unen (fusión)
Figura 1 Energía de enlace por nucleón en función del número másico. Fuente:
26
CIEMAT
Fisión
Cuando un núcleo de Uranio 235 es bombardeado con neutrones, aún de baja energía, se
produce una violenta inestabilidad que hace que el núcleo se divida en dos fragmentos
aproximadamente iguales. Una reacción nuclear en cadena es posible porque, aparte de
los dos fragmentos liberados, se emiten neutrones y en este caso particular del Uranio
235 los neutrones son suficientes como para causar una nueva fisión. Con otros núcleos
es frecuente utilizar gran cantidad de energía para producir la fisión. Por ejemplo
elementos tal como el radio o el bismuto necesitan ser bombardeados con partículas alfa
de gran energía (40 Mev). En el otro extremo el Californio 252 (elemento fabricado por
le hombre) produce fisión espontáneamente y no se necesita del bombardeo de
neutrones. El Californio 252 también emite neutrones durante la fisión.
Fusión
Para que los núcleos cargados positivamente superen la repulsión electrostática que
existe entre ellos y se acerquen lo suficiente como para producir reacciones de fusión a
un ritmo adecuado se necesitan temperaturas del orden de los 100 millones de grados. A
esta temperatura los electrones se separan del núcleo y como resultado se tiene un
plasma con los electrones e iones moviéndose independientemente a gran velocidad.
Desde el punto de vista de operación de un primer reactor de fusión, la reacción más
interesante es la del deuterio 2D y tritio 3T (D-T)
El deuterio y el tritio son dos isótopos del hidrógeno. El deuterio es estable y muy
abundante en el agua. El tritio es radioactivo y no existe en la naturaleza pero puede
producirse a gran escala mediante la irradiación de litio con neutrones. El principal
producto de esta reacción de fusión es el helio que no es radioactivo, aunque el neutrón
producido a elevadas energías puede activar los materiales que envuelven el reactor. Las
condiciones para obtener un importante ritmo de fusión D-T son las más fáciles de
conseguir, los reactantes deben tener una energía cinética de unos 10 keV
(correspondiente a una temperatura ligeramente superior a 100 millones de K).
Existen otras reacciones posibles, pero las condiciones necesarias para que se produzcan
son más exigentes que la reacción D-T, por eso se contemplan como las reacciones de
los reactores de segunda generación. La reacción deuterio-deuterio (D-D)
tiene la ventaja de no utilizar tritio y de no producir neutrones de alta energía, pero la
temperatura necesaria para que la sección eficaz sea significativa es 10 veces mayor que
la necesaria para la reacción D-T. La reacción deuterio-helio 3 (D-3He)
27
es muy interesante porque no produce ni tritio ni neutrones. La elevada energía del
protón puede recuperarse por conversión directa a energía eléctrica, con eficiencias del
80%. Los principales inconvenientes son la elevada temperatura necesaria, sobre los 50
keV, y la escasez de 3He en la Tierra, aunque es posible obtenerlo en la luna.
28
Bloque II:
Astrofísica y Cosmología
29
Física Estelar
1.- Protoestrellas.
El proceso de formación estelar
fundamentalmente a dos razones:
•
•
aún
no
está
bien
comprendido
debido
Las estrellas en los primeros estadios de formación son poco luminosas y
difíciles de observar.
Emiten luz que se concentra en intervalos de radio e infrarrojo, con lo que no
se han podido observar hasta hace 20 años (que es cuando aparecieron
nuevos telescopios y satélites artificiales especializados para esas
frecuencias).
También existen hechos como los brotes masivos de formación estelar, que se dan en
algunas galaxias y que aún no se han podido explicar.
En nuestra galaxia, cada año, aproximadamente una masa solar de gas y polvo se
convierte en nuevas estrellas.
Una estrella, a grandes rasgos, se forma a partir de una nube de gas y polvo que
comienza un proceso de contracción a causa de:
•
•
Inestabilidades gravitatorias internas.
Explosión de alguna supernova cercana.
El gas, o disco protoestelar, es en su composición un 80% H y un 20% He,
aproximadamente. Eso sí, existen trazas de otros muchos elementos y/o compuestos
más complejos (denominados de forma genérica metales) que en su totalidad
representan bastante menos de un 1%. Esta composición es en realidad muy similar a la
composición general del propio universo.
Cuando el gas comienza a contraerse se forma un núcleo en el que la temperatura
comienza a aumentar. Este proceso continua hasta que la temperatura en el núcleo es
suficiente como para iniciar y sostener la reacción de fusión del H que da lugar He. Esto
ocurre a una temperatura del orden de 106 K. En ese momento las reacciones de fusión
son capaces de sostener el peso del gas que se contrae. Así una estrella es, en realidad,
un delicado equilibrio entre la presión de radiación de las fusiones nucleares (que
tienden a deshacerla) y la fuerza gravitatoria (que tiene a contraerla).
La masa mínima para formar una estrella es de 0.05 – 0.08·Msol. Júpiter tiene
0.001·Msol, así si tan sólo hubiera sido aproximadamente un orden de magnitud más
masivo habríamos tenido un sistema estelar doble y, probablemente, la vida no se
hubiera podido desarrollar en la Tierra.
30
2.- Estructura interna.
Una estrella se basa principalmente en el equilibrio hidrostático, es decir, no pueden
existir aceleraciones notables en la masa estelar. Esto significa que en un elemento de
masa dado todas las fuerzas que actúan sobre él se compensan.
Una estrella tiene una estructura interna que varía en función del estadio evolutivo en el
que se encuentre. En el caso del Sol se puede dividir en cinco partes principales:
• Núcleo
Depende de la estrella, pero suele rondar los 107 K de temperatura. Es donde se
producen las reacciones de fusión que aguantan la estrella e impiden que
colapse.
H + H → He + γ
• Zona Radiativa
Zona en la que los fotones generados en el núcleo interaccionan con la materia
estelar, perdiendo energía (hasta hacerse visible, sea absorbido o dispersado).
Recorrido libre medio de los fotones es de 1-2 cm. Pueden tardar hasta 2
millones de años en lograr salir del Sol.
• Zona Convectiva
Zona en la que el material caliente asciende y transmite energía al entorno,
calentándolo. Una vez se ha enfriado, se hunde. (Granulación solar,
Supergránulos y celdas de convección).
• Fotosfera
Es lo que vemos al mirar el Sol (u otra estrella). Es donde los fotones se liberan
y donde se forma el espectro de la estrella, que nos proporciona información
sobre:
1. Temperatura superficial (Sol: 5800 K)
2. Composición química.
3. Gravedad superficial.
4. Campos magnéticos.
5. Velocidad de rotación.
6. Turbulencias.
• Cromosfera
Centenares de veces menos luminosa que la fotosfera, la cromosfera es una capa
de la atmósfera estelar en la que hay material ionizado y la temperatura (virtual)
asciende a 104 K.
• Corona
Es un millón de veces menos luminosa que la fotosfera, no tiene forma regular y
es un indicador de la actividad estelar. Aunque aún no se conoce bien la
conexión.
Entre la cromosfera y la corona se producen intercambios de materia a través de
las protuberancias.
31
3.- Clasificación.
Existen diferentes métodos de clasificación en función de las diversas características
físicas de las estrellas, pero las dos más comunes son:
•
Clasificación espectral (de Harvard).
Basada en las líneas de Balmer de H, He neutro, Fe neutro, doblete H y K del
Ca, bandas de TiO.
Oh, Be A Fine Girl, Kiss Me
OBAFGKM
Tempranas
Calientes
Tardías
Frías
TIPO
TEMPERATURA
COLOR
ABUNDACIA
OTROS
O
30.000
Azul
< 1 º/oo
Elementos muy ionizados.
B
11.000 – 20.000
Blanco –
Azulado
1 º/oo
Rigel, Spiga
A
7.500 – 11.000
Blanco
6 º/oo
Sirio, Vega
F
6.000 – 7.500
Cremoso
1%
Líneas metálicas
G
5.000 – 6.000
Amarillo
10 %
Sol. Metales neutros. Bandas
moleculares.
K
3.500 – 5.000
Naranja
40 %
Arturo, Aldebarán. At. neutros
M
2.200 – 3.500
Rojo
50 %
Antares, Betelgeuse.
Esto responde al 99.5 % de todas las estrellas de la galaxia.
•
Clasificación MK.
También se clasifican según su luminosidad. Es la clasificación en clases de
luminosidad o, también llamada, de Morgan-Kinan.
CLASE
I
II
III
IV
V
VI
VII
DESCRIPCIÓN
Supergigantes
Gigantes brillantes
Gigantes
Subgigantes
Secuencia principal
Subenanas brillantes
Enanas blancas
32
La vida de una estrella depende drásticamente de su masa inicial. La siguiente tabla
muestra la vida media de una estrella y su posible final, en función de su masa.
MASA
ETAPA FINAL
M < 0.08
Enana Marrón
0.08 ≤ M ≤ 0.26
Enana Blanca
0.26 < M < 1.5
Nebulosa planetaria con
Enana Blanca
3 ≤ M < 15
Supernova
M ≥ 15
Supernova con Agujero
Negro o Estrella de
Neutrones
COMENTARIOS
No llega a combustionar H.
Convectivas. Permanecen homogéneas. Evolución
muy lenta. Convierten todo el H en He.
Pasa por Fase gigante gaseosa. Produce el Flash del
Helio.
Núcleo de carbono degenerado. Produce el Flash del
Carbono.
Núcleo de hierro rodeado de capas de combustión.
33
Ecuación de Equilibrio Hidrostático
Muchas estrellas permanecen de forma evidente en fases de muy larga
duración a lo largo de su evolución. La materia estelar no sufre grandes
aceleraciones, lo que significa que para un elemento de masa dado, todas las
fuerzas que actúan sobre éste se compensan las unas a las otras. Este tipo de
equilibrio mecánico se denomina “Equilibrio Hidrostático”, ya que este mismo
principio es el que gobierna la presión estratificación en, por ejemplo, una balsa
de agua.
Como aproximaciones consideramos estrellas gaseosas, sin rotación, sin
campos magnéticos y sin ningún tipo de compañeros cercanos. De esta forma
las únicas fuerzas a considerar son la de la gravedad y la debida al gradiente de
presión.
Como hablamos de presiones, usaremos la 2ª ley de Newton por unidad de
superficie.
Fi m d 2 r
∑i S = S ⋅ dt 2
(1)
Trabajando para un elemento de masa dm y una cáscara esférica de grosor dr,
obtenemos:
dP
frad = −
⋅ dr
(2)
dr
El signo viene para compensar el que si r aumenta la presión disminuye, por lo
que la derivada es negativa, mientras que la f resultante ha de ser positiva.
− G ⋅ m ⋅ dm
r2
fgra =
4πr 2
(3)
Substituyendo (2) y (3) en (1), obtenemos:
− Gm ⋅ dm dP
dm d 2 r
−
dr
=
⋅
dr
4πr 4
4πr 2 dt 2
Como lo que queremos es el equilibrio hidrostático, no pueden haber
aceleraciones, así las derivada de segundo orden de r respecto el tiempo ha de
ser 0. Con lo que queda:
dP − Gm dm
=
⋅
dr
4πr 4 dr
34
(4)
Solo nos queda saber como varía m con r. Pero es sencillo ya que basta con
evaluar la masa que hay en nuestra cáscara de material.
m = ρ·V
dm = ρ · dV
dm = ρ · 4πr2dr
dm
= 4πr 2 ρ
dr
(5)
Substituyendo (5) en (4) llegamos al resultado final:
dP − Gm
= 2 ⋅ρ
dr
r
(6)
Donde se ve claramente el equilibrio entre las dos fuerzas.
Esta es la forma Euleriana de describir el equilibrio hidrostático (i.e. con r como
variable independiente). Si tomamos m como variable independiente, en lugar
de r obtenemos la condición de equilibrio hidrostático en la formulación
c
Lagrangiana multiplicando (6) por ∂r ∂m = 4π ⋅ r 2 ρ
Gm
∂P
=−
4πr 4
∂m
35
h
−1
:
Ecuaciones de Friedmann
Los modelos FRW consideran la distribución de energía como un fluido perfecto.
Esencialmente todos los fluidos perfectos de relevancia en cosmología obedecen una
ecuación de estado del tipo,
p = wρ
donde w es una constante independiente del tiempo.
Resolviendo las ecuaciones de Einstein para un fluido perfecto obtenemos,
3 2
(a& + ε )
a2
−2a&& a& 2 + ε
χp =
−
a
a2
χρ =
(1)
(2)
A partir de (1) y sumándole tres veces (2) obtenemos,
b
g
χ ρ + 3p =
−6a&&
a
(3)
Que recibe el nombre de ecuación de Raychaudhuri, para los modelos FRW.
Sumando (1) y (2) obtenemos,
χ ( ρ + p) =
2 2
2a&&
(a& + ε ) −
2
a
a
(4)
Y derivando (1) respecto al tiempo:
χρ& =
6a&
−6
a&(a& 2 + ε ) + 2 a&&
3
a
a
(5)
Así, a partir de (4) y (5) obtenemos,
b
ρ& = −3 ρ + p
g aa&
(6)
La ecuación (6) también se obtiene directamente de imponer la conservación de la
energía ( ∇ µ T0µ = 0 ).
Toda la información está en las ecuaciones (1) y (2), y también en (1) y (6). Se puede
probar que (2) es deducible a partir de (1) y (6):
(1) •
(5)
(4)
(6)
36
(2)
(1)
Así, a las ecuaciones (1), (3) y (6) se les llama Leyes de Friedmann, a pesar de que
sólo dos son linealmente independientes:
b
ρ& = −3 ρ + p
b
g aa&
−6a&&
a
2
3 a& + ε
g
χ ρ + 3p =
χρ =
c
h
a
2
Donde ε es el llamado índice de curvatura, que puede tomar los valores –1, 0 y 1
según se trate del caso abierto, plano o cerrado respectivamente.
37
Derivación clásica de las Ecuaciones de Friedmann
La ecuación de Friedmann describe la expansión del universo, por lo que se trata de una
ecuación muy importante en Cosmología. Una tarea rutinaria para cualquier cosmólogo
es la de resolver esta ecuación haciendo uso de diferentes parámetros y condiciones
referentes al material que contiene el Universo.
Para deducirla consideraremos un observador que está en un medio, con una densidad
de masa ρ, en expansión uniforme. Como el Universo aparece igual en cualquier parte
podemos considerar que el centro de éste es un punto cualquiera.
Ahora imaginemos una partícula de masa m a distancia r de este centro. Esta partícula,
sólo notará la fuerza gravitatoria debida al material que se encuentra a un radio menor.
Así ese material tendrá una masa total M = 4πρr 3 3 , con lo que contribuirá con una
fuerza de:
GMm 4πGρrm
=
r2
3
F=
Con lo que nuestra partícula tendrá una energía potencial,
V =−
GMm
4πGρr 2 m
=−
r
3
Mientras que su energía cinética será,
T=
1 2
mr&
2
Ahora bien, podemos aplicar la conservación de energía y decir que la suma de energía
potencial y cinética de la partícula es una constante U (que no tiene porque ser la misma
para todas las partículas). Así,
U = T +V =
1 2 4π
mr& −
Gρr 2 m
2
3
(1)
Esta ecuación nos da la evolución de la separación r entre dos partículas cualquiera.
Ahora viene el punto crucial de este argumento. La clave está en recordar que el
Universo es homogéneo, lo cual quiere decir que todo lo derivado hasta ahora es válido
para cualquiera de los dos puntos, el central o el que está a distancia r. Esto nos permite
cambiar a un sistema de coordenadas diferente, denominado sistema de coordenadas
comóviles. Estas coordenadas, simplemente, están ligadas a la propia expansión del
r
medio. Como la expansión es uniforme, la relación entre la distancia real r y la
r
distancia comóvil, que llamaremos x , se puede escribir de la siguiente manera:
r
r
r = a (t ) x
38
(2)
Donde la propiedad de homogeneidad nos asegura que a es una función que tan sólo
depende de t. Una forma de visualizar esto es pensar en unas coordenadas asociadas a
una rejilla que se expande con el tiempo.
r
Al sistema original de coordenadas r se le llama sistema de coordenadas físicas.
La cantidad a(t) es crucial y recibe el nombre de factor de escala del universo y mide
la tasa universal de expansión. Así, si substituimos la ecuación (2) en la (1), podemos
reescribir la conservación de la energía en función del parámetro de expansión:
U=
1 2 2 4π
ma& x −
Gρa 2 x 2 m
2
3
Cabe recordar que x& = 0 , por la definición de coordenadas comóviles. Multiplicando
cada término de la ecuación por 2 ma 2 x 2 y reagrupando términos obtenemos:
FG a& IJ
H aK
2
=
8πG
kc 2
ρ− 2
3
a
Donde kc 2 = − 2U mc 2 x 2 .
Esta es la forma estándar de la ecuación de Friedmann.
En esta expresión k debería ser independiente de x, tal y como lo son los otros términos
de la ecuación, ya que si no la homogeneidad no se nos aseguraría. La única forma de
conseguir esto es que U ∝ x2. Notar que es la propia condición de homogeneidad la que
nos exige que la cantidad U, a pesar de ser constante para una partícula dada, cambie si
la miramos a diferentes separaciones x.
Finalmente, podemos observar que k es también independiente del tiempo, con lo cual
es una constante que no varía ni en el tiempo ni en el espacio, y tiene unidades de
[longitud]-2. Un universo en expansión tiene una única k, que no cambia en toda la
evolución. Esta constante nos dirá, en realidad, cuál es la geometría del universo, por lo
que se la llama curvatura.
39
Definiciones de Parámetros Cosmológicos y Relaciones
ρ < ρc
ρ = ρc
ρ > ρc
a&0
a0
Constante de Hubble actual:
H0 =
Función de Hubble:
H=
a&
a
Densidad Crítica:
ρc =
3H0
χ
Parámetro de Densidad:
Ω=
ρ
ρc
Función de Deceleración:
q=
− aa&&
a& 2
Ω0 < 1
Ω0 = 1
Ω0 > 1
ε = -1
ε=0
ε = +1
q0 < ½
q0 = ½
q0 > ½
Abierto
Plano
Cerrado
Si p0 ≈ 0 (universo pulverulento) tenemos a partir de la segunda ley de Friedmann:
− a&&0 χ
= ρ0
a0
6
− a0 a&&0 χρ 0 Ω 0
=
=
= q0
a&02
6 H02
2
Es decir, en los modelos FRW de universo pulverulento q0 y Ω0 no son independientes:
Ω0
= q0
2
40
Modelo de Friedmann-Robertson-Walker
Consideraremos nuestro espacio-tiempo del estilo RxΣ, donde R representa la dirección
temporal y Σ es una variedad diferencial tridimensional homogénea e isótropa.
Partiendo del Principio Cosmológico, entendemos que la isotropía da lugar a invarianza
bajo rotaciones, y la homogeneidad da invarianza bajo traslaciones. Así homogeneidad
e isotropía implican un espacio que tiene el máximo número posible de vectores de
Killing (i.e. un espacio máximamente simétrico). Así nuestra métrica puede ser:
ds2 = − dt 2 + a 2 (t )γ ij (u)dui du j
Aquí, t es una coordenada de tiempo, (u1, u2, u3) son las coordenadas en Σ y γ ij es la
métrica máximamente simétrica en Σ. La función a(t) se conoce como el factor de
escala y nos da una idea de como “de grande” es la hipersuperficie Σ en el tiempo t. Las
coordenadas usadas aquí se conocen como coordenadas comóviles, ya que la métrica
no posee términos cruzados del tipo dt·dui y las componentes de tipo espacio son
proporcionales a una única función de t. Así, un observador que permanezca a ui
constante se denomina observador comóvil. Sólo un observador comóvil verá el
universo realmente isótropo; de hecho, en la Tierra no somos “muy comóviles” y como
resultado observamos una anisotropía dipolar clara en el fondo cósmico de microondas
como resultado del efecto Doppler debido al movimiento propio de la Tierra.
Si el espacio es máximamente simétrico, será con total seguridad esféricamente
simétrico. Con lo que podemos reescribir nuestra métrica en coordenadas esféricas:
ds2 = − dt 2 + a 2 (t ) e 2 β ( r ) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ ⋅ dφ 2 )
(1)
Solucionando para un espaciotiempo esféricamente simétrico obtenemos un β(r):
1
β(r ) = − ln(1 − kr 2 )
2
Lo cual, substituyendo en (1) nos da lugar a la métrica de Robertson-Walker:
ds2 = − dt 2 + a 2 (t )
LM dr
N1 − kr
2
2
+ r 2 (dθ 2 + sin 2 θ ⋅ dφ 2 )
OP
Q
Cabe observar que el parámetro k es de gran relevancia. Tan sólo hay tres casos de
interés. k = -1, k = 0 y k = +1. El primero corresponde al caso de curvatura negativa
constante en Σ y se llama abierto; el segundo caso corresponde a curvatura nula y es el
denominado plano; y el tercero y último corresponde al caso de curvatura positiva
constante, que se llama cerrado.
41
Chronology of the Universe
The following diagram illustrates the main events occurring in the history of our
Universe. The vertical time axis is not linear in order to show early events on a
reasonable scale. The temperature rises as we go backwards in time towards the Big
Bang and physical processes happen more rapidly.
42
~ Breve Historia de la Cosmología Clásica ~
Comienzos
Con las invasiones bárbaras y la caída del
Imperio Romano puede decirse que el
pensamiento de la civilización y la cultura
antigua - los restos del Imperio - es más lenta en
la zona oriental. La sabiduría clásica no muere
ahí, sino que se va al exilio. Las obras griegas
son traducidas al sirio primero y árabe después,
en Bagdad. Así, es como la ciencia árabe tiene
un gran surgimiento a partir del siglo IX y,
algunas centurias después, maravillará al mundo
cristiano. La cultura islámica, y junto a ella el
idioma árabe, se propaga, vía el norte de Africa,
hasta la península ibérica en occidente y hasta
China por el oriente. La propagación de los
números hindúes hecha por los árabes en el
siglo IX a través de la obra del persa Mohamed
ibn Musa alkhawariznai es un ejemplo. La lista
de los grandes sabios islámicos es enorme. Uno
de los grandes es al-Biruni (973-1048) que,
entre otras cosas discute la rotación de la tierra
en torno a su propio eje, la explicación de las
fase de la luna y también formula la hipótesis
del movimiento de nuestro planeta en torno al
sol.
Otro ejemplo es al-Hazen (965-1038) quien
hace importantes contribuciones a la óptica
demostrando poseer una habilidad experimental
superior a los griegos. Su obra es más tarde
enriquecida por al Farisi (c.1300) y traducida al
latín, se estima que influirá en los estudios de
óptica hechos por Kepler tres siglos después.
Los árabes también ampliaron la geometría de
los griegos. En astronomía la contribución
principal que se conoce se produce en el
Califato de Córdoba (en esa época la España
musulmana es el país más poblado y próspero
de Europa) y en particular en la ciudad de
Toledo. En esta ciudad al-Zargali construye las
famosas “tablas toledanas” (1080) que dan la
posición de las estrellas. Además traducen,
estudian y propagan el ALMAGEST de
Tolomeo (siglo II) que da una visión
geocéntrica del Universo.
Sicilia, Provenza y Siria) provoca la irrupción
de la cultura griega y en particular del mundo
ideológico de Aristóteles.
Esto último plantea la necesidad de lograr
compatibilizar en una síntesis armónica el
pensamiento aristotélico y el cristiano, obra
cuyo principal ejecutor es el dominico Santo
Tomás de Aquino (1225-1274).
Mucho más tarde se harían traducciones directas
del griego al latín que parcialmente modificaron
la imagen del mundo griego y el pensamiento de
Aristóteles, al punto que suele hablarse del
“Aristóteles medieval” (la versión árabe) para
distinguirla del Aristóteles que surgió
directamente de fuentes griegas obtenidas en
pleno Renacimiento.
Nuevos vientos
Érase una vez, hace mucho tiempo, un grupo de
hombres atrevidos que comenzó a recuperar, y a
crear a partir de los recuperado, parte de lo que
había existido en aquel remoto pasado que los
bárbaros habían destruido y que el tiempo había
enterrado para la mayoría. Habían subsistido
ciertamente, pequeños y recónditos centros de
cultura durante la Edad Oscura. Y como ocurre
normalmente durante esos períodos de cambio,
había un poco de libertad, con flujos y reflujos,
dentro de un marco restrictivo dominante. Fue
en aquel período que nació Nicolás Copérnico.
Nicolás Copérnico (1473-1543)
Copérnico estudió por varios años en su propio
país, Polonia, especialmente en la Universidad
de Cracovia, que es donde se cree que concibió
las ideas que le harían pasar a la historia. Más
tarde, su tío y protector lo envió a estudiar a
Italia al mejor centro de derecho (Ley Canónica)
de la época, Bolonia. Después de Bolonia
estudió en Padua y Roma para finalmente
graduarse en Ferrara. Copérnico ingresó en
Bolonia un año antes del primer viaje de Colón.
Una idea del ambiente universitario en la
Universidad de Bolonia en esa época lo da la
organización que ella tenía. Al contrario que en
la importante Universidad de París, donde el
gobierno residía en la asociación de profesores,
en Bolonia el rector era elegido por los
estudiantes y, aunque debía actuar según las
recomendaciones de un consejo, en última
instancia su autoridad provenía de la asamblea
de estudiantes.
La atmósfera pública la daban personajes como
el papa Borgia (Alejandro VI) a quien se le
atribuye la paternidad de Lucrecia y César
Borgia. La figura de este último, y sus
Tal vez la reconquista de Toledo (1085) por los
cristianos pueda considerarse como un punto de
partida para la recuperación de la cultura
abandonada. Allí mismo en Toledo se forma
una escuela de traductores - venidos de lugares
tan lejanos como Austria, Inglaterra, Bélgica e
Italia - los que se dedican especialmente a
traducir del árabe al latín escritos sirios,
hebreos, árabes y caldeos. La avalancha cultural
que
comienza
a
infiltrar
occidente
(principalmente por España, pero también por
43
y corregida por su autor durante los últimos
treinta años de su vida sin decidirse a lanzarla a
la luz. El temor a la represión lo inhibía.
Cuando sintió que ya se le acercaba su fin tomó
la precaución de dedicárselo al papa, Pablo III,
invirtiendo gran esfuerzo en esa dedicatoria. Se
dio incluso el trabajo de desenterrar nombres de
algunos griegos clásicos que ya habían
especulado que el sol sería el centro del
universo. El libro recién impreso, llegó a manos
del papa al tiempo que Copérnico fallecía. En
Roma recién se había instituido la Inquisición y
en otro continente se había fundado la ciudad de
Santiago de Extremadura.
Copérnico usó crudas y, a veces, erradas
observaciones hechas por otros, como parte de
la fundamentación de su teoría y por eso se le ha
acusado de astrónomo mediocre. También se ha
dicho que Colón fue un mediocre navegante. Lo
esencial en ambos casos es el espíritu de
innovación llevado exitosamente a la práctica.
Este espíritu de renovación, de búsqueda de
formas nuevas, esa creatividad, dominante en
los siglos XV y XVI es lo que caracteriza ese
complejo movimiento revolucionario llamado
El Renacimiento.
actuaciones, fue la fuente de inspiración de “El
Príncipe” de Nicolás Maquiavelo. También en
esa época el fogoso orador Savonarola intentaba
en Florencia establecer una rara mezcla de
teocracia con visos democráticos. Su destino fue
la hoguera.
Copérnico tuvo entre sus profesores a uno de los
grandes eruditos en la cultura helénica y juntos,
profesor y discípulo, observaron el cielo
tratando de perfeccionar el complicado sistema
de deferentes y epiciclos de Tolomeo (referente
al movimiento de los planetas, la luna y el sol en
torno a un mismo centro: la tierra).
Después de varias tormentas y amotinamientos
que casi le resultaron fatales, Colón se
encontraba abandonado en una pequeña cueva
en Jamaica, cercano a su triste fin, el año en que
Nicolás Copérnico se graduaba con el diploma
de Doctor en Ley Canónica en Ferrara.
Terminados sus estudios se instaló en el
fortificado castillo de Heilsberg. Fue ahí donde
trabajó en detalle sus ideas originales de los
tiempos de Cracovia que le permitirían
reformular
totalmente
la
astronomía
describiendo el universo con el sol al centro. Al
poner por escrito sus ideas (1512) en breve
tratado titulado “Pequeño comentario”' sabía
que su obra subvertía las ideas de la época.
Tuvo la precaución de publicar solo unas pocas
copias, las que repartió entre sus amigos de más
confianza. Nicolás aún no tenía 40 años.
Una nueva estrella para revoluciones.
Tenía 26 años el inquieto danés cuando vio
aparecer un punto extremadamente brillante en
el cielo. Llegó a brillar tanto la estrella nova de
1572 que podía verse de día.
En ese momento Johannes Kepler era un niño
debilucho de solo un año, que había nacido
prematuramente de una modesta familia
alemana. Shakespeare como Galileo Galilei eran
niños de 8 años mientras Miguel de Cervantes,
de 25, recién se había recuperado de las heridas
de la batalla de Lepanto que le imposibilitaron
definitivamente su mano izquierda. En Nápoles,
el dominico Giordano Bruno comenzaba a tener
sus primeras dudas teológicas.
Con su juventud y amplios estudios, el danés
Tycho Brahe pudo demostrar que esa estrella
estaba más allá de la luna, contrario a la
explicación generalizada. Con esta observación
sólida y precisa Brahe echó por tierra la
hipótesis aristotélica de que “la esfera de las
estrellas fijas” era permanente e inmutable. El
interés que despertó el razonamiento de Brahe
ayudó bastante a establecer la teoría de
Copérnico planteada en Revoluciones. Aun así
faltaba bastante para que su aceptación fuese
general.
Pocos años después el mundo religioso de
Europa se remecía hasta sus bases al iniciarse el
quiebre de la unidad de la Iglesia (lo que se
conoce como la Reforma) cuando en 1517
Lutero lanza sus 95 tesis contra las
indulgencias.
Tal vez una generación antes las ideas de
Copérnico habrían pasado sin causar un
escándalo teológico, pero en ese período no
estaban los ánimos para aceptar cambios a las
creencias tan largamente establecidas. Aun así
por décadas el Vaticano no tomó una posición
clara y decididamente en contra, al punto que el
papa Clemente VII le pidió a Copérnico (1530)
que describiese con más detalle su teoría.
Lutero, en cambio, lo atacó desde el comienzo.
Es una ironía de la historia que, con el tiempo,
fue en las regiones protestantes donde primero
se propagaría y aceptaría la teoría heliocéntrica
de Copérnico.
Copérnico revisaba y revisaba su gran
manuscrito y se resistía a publicarlo sabiendo la
ola de críticas que iba a levantar en filósofos y
clérigos, y el peligro que eso implicaba. Su
obra, conocida como “Revoluciones”' (De
Revolutionibus Orbium Coelestium) fue escrita
La fama de Brahe indujo al rey de Dinamarca a
cederle una isla cerca de Copenhage para que
instalara un observatorio propio. El observatorio
fue provisto de excelente instrumental y muchos
44
asistentes, lo que le permitió llevar a cabo una
empresa de increíble paciencia y empuje
durante 20 años observando la posición de los
objetos celestes - en particular de los planetas con una precisión desconocida hasta entonces.
Brahe se vio forzado a emigrar a Praga (con su
observatorio) en el preciso momento en que
Kepler buscaba trabajo, ya que en Graz, donde
trabajaba Kepler, las autoridades comenzaban a
exigir ser católico.
Kepler fue el primer gran científico protestante.
Temeroso de ser expulsado, o algo peor, Kepler
llegó a trabajar a Praga como asistente principal
de Brahe. Pero Tycho vivió solo unos pocos
meses más, quedando el joven Kepler a cargo
del magnífico instrumental y de las cuidadosas
observaciones estelares que por 20 años había
acumulado el danés.
Kepler tuvo la osadía de aceptar lo que los datos
numéricos de Brahe indicaban y romper así con
una tradición de más de dos mil años: estableció
que los planetas giran en torno al sol en órbitas
elípticas obedeciendo leyes bien precisas que
han pasado a la historia. Su obra “Nueva
Astronomía”' se publicó en Praga (1607) cuando
tenía 36 años. Ella fue un golpe mortal a la
visión pitagórica-platónica que planteaba la
necesidad de la “perfección” de los
movimientos celestiales (circunferencias), que
aún el gran Copérnico había aceptado a priori.
Fructífero resultó el forzado exilio de Kepler.
Estando Revoluciones en el Indice, a Galileo se
le prohibió expresamente defender esas ideas.
Pero Galileo, que no se distinguía por su
docilidad, utilizó el resquicio legal de escribir
un libro en forma de diálogo entre tres
personajes “Diálogos sobre los dos sistemas del
mundo”, el sistema oficialista de Tolomeo y el
copernicano. Los diálogos pueden considerarse
como el primer manifiesto de la nueva ciencia.
Estudiando en la universidad de Pisa, Galileo se
distinguió antes que nada por su inclinación y
talento para las matemáticas y los experimentos
físicos, pero también por su hábito de discutir
con sus profesores y poner en tela de juicio lo
que se esperaba que fuese aceptado de acuerdo
al principio de autoridad tan en boga en la Italia
del siglo XVI. Abandonó la universidad sin
título alguno en 1585. Después de varios años se
instaló como profesor en la Universidad de
Padua, República de Venecia, por casi dos
décadas.
Kepler poseía una florida imaginación.
Aprovechando
los
conocimientos
que
clandestinamente le enseño su profesor en
Tübingen sobre las ideas de Copérnico, escribió
un libro donde relaciona el tamaño de las órbitas
de los planetas en base a ingeniosas
proporciones geométricas. Su libro lo hizo
famoso a los 25 años de edad (1596) y eso le
permitió establecer contacto apistolar con
Galileo y Brahe. En una carta de Galileo a
Kepler el primero le confiesa haber “aceptado
las ideas de Copérnico desde hace muchos
años”, pero agrega que nunca se ha atrevido a
decir tanto como eso en letra de molde. En
efecto, desde la muerte de Copérnico se había
ido haciendo cada vez más peligroso avanzar o
defender ideas que estuviesen en desacuerdo
con la doctrina oficial. Esta intolerancia poco a
poco pasó a invadir asuntos científicos
llegándose a incluir Revoluciones en el Indice
de libros prohibidos.
Aparte de ser una valiosa obra científica, los
diálogos fueron escritos en italiano de modo que
pudieron alcanzar una audiencia mucho mayor
en el país.
No dejando explícito quién tenía la razón logró
pasar la censura, aunque era claro para dónde se
inclinaba la balanza. Pero tan pronto salió el
libro a la publicidad (1632) Galileo fue acusado
de desobediencia y de haber obtenido permiso
de impresión por medios ilícitos. Tenía ya cerca
de 70 años este viejo luchador cuando tuvo que
vérselas con la Inquisición: fue recluido e
interrogado intermitentemente durante meses,
aunque aparentemente no fue víctima de otro
tipo de tortura física (común es esos años). Fue
sentenciado a cadena perpetua el 22 de Junio de
1633 pero, dada su avanzada edad, se le
concedió una especie de arresto domiciliario.
La cultura contra las prohibiciones.
Un gran difusor del sistema de Copérnico fue el
dominico Giordano Bruno. Bruno recorrió toda
Europa propagando sus ideas y escapando a la
persecución que en su contra provocaba con sus
libros, panfletos y disputas. Bruno defendía la
idea de que el mundo era infinito, el sol era tan
solo una estrella más, y todas las estrellas
poseían planetas a su alrededor. Además
predicaba una suerte de ideas antiaristotélicas y
antimetafísicas. Su vida fue una huida
permanente. Apresado por la Inquisición en
1592, fue condenado a la hoguera ocho años
más tarde, sellando el agitado siglo de
Copérnico. Bruno, más que un mártir de la
ciencia, lo fue de la libertad de expresión.
Con la muerte del rey de Dinamarca Tycho
45
De Galileo a Kepler
Patricio Cordero
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile
Padua, Agosto 4, 1597.
Me felicito por la suerte excepcional de tenerlo
como camarada en la búsqueda de la verdad.
Porque es lamentable que haya tan pocos que
busquen la verdad (...) Este no es el lugar, sin
embargo, para lamentarse de las miserias de
nuestro siglo, sino para regocijarnos con estas
hermosas ideas para demostrar la verdad. (...)
he aceptado las ideas de Copérnico desde hace
muchos años (...) pero no me he atrevido a
publicarlas hasta ahora, alarmado por el
destino de Copérnico, nuestro maestro.
El se ha ganado una fama imperecedera a los
ojos de unos pocos, pero una multitud infinita le
ha gritado y se ha burlado de él. (...) Me
atrevería a aparecer públicamente con mis
ideas si hubiese más personas que pensaran
como usted. Como no es así me abstendré.
De Kepler a Galileo
Graz, Octubre 13, 1597.
Usted nos recomienda, con su ejemplo personal
(...) apartarse ante la ignorancia general y no
arriesgarnos o imprudentemente oponernos a
los ataques violentos de la chusma letrada. (...)
Pero después que una inmensa tarea ha sido
iniciada en nuestra época (...) ¿no sería mucho
mejor empujar hasta la meta en un esfuerzo
mancomunado, ahora que está encaminada, y
gradualmente, con poderosas voces acallar a
esa chusma, que realmente no sopesa muy
cuidadosamente los argumentos? (...) Con sus
argumentos hechos públicos ayudaría a la vez a
sus camaradas que sufren tantos juicios
injustos, porque ellos obtendrían consuelo por
su consentimiento o protección dada la posición
influyente suya. (...)
Arriba el ánimo Galileo y preséntese
públicamente.
En este breve recuento nos hemos detenido en
apenas unos pocos personajes para ilustrar la
lucha entre la fuerza del poder y la fuerza de la
razón. La lucha entre la intolerancia dogmática
y la cultura que siempre se renueva y cambia.
Una gran cultura estuvo a punto de desaparecer
definitivamente, pero si algún espacio, algún
rincón de luz logra sobrevivir a persecuciones,
intolerancia y hogueras, ésta se recupera y
reanuda su camino. Porque aún fuerzas oscuras
tratan de detenerla, sin embargo se mueve.
46
Cuestiones y Problemas
47
Bloque 1
1. Para una temperatura dada, la longitud de onda a la que un cuerpo negro
radía más por unidad de longitud de onda es λ0= 4000Α. ¿Cuál será la
longitud de onda para la cual la radiación emitida será máxima si la
temperatura del cuerpo negro aumenta de tal forma que la razón de emisión
de radiación se triplica?
2. Demostrar que la Ley de Planck de la radiación del cuerpo se puede
aproximar por la 2ª Ley de Wien para altas frecuencias (Zona de Wien).
¿Cuánto deben valer las constantes α y β?
3. Demostrar que la Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro se puede
aproximar por la Ley de Rayleigh-Jeans para bajas frecuencias (Zona de
Rayleigh-Jeans del espectro).
4. En un experimento fotoeléctrico, hacemos incidir radiación electromagnética
sobre una lámina de sodio (w= 2,3 eV) que actúa como cátodo. A medida
que la lámina va emitiendo electrones se va cargando positivamente.
Cuando el potencial es lo bastante grande como para impedir que los
fotoelectrones escapen del cátodo, éste recibe el nombre de potencial de
frenado (con la energía potencial asociada Uf = eVf). ¿Cuanto valdrá el
potencial de frenado si hacemos incidir sobre le sodio radiación
monocromática de λ = 6000Α?
5. Al estudiar el efecto fotoeléctrico sobre cierto material se observa que el
potencial de frenado de los fotoelectrones vale 1’54 cuando la radiación
incidente tiene una longitud de onda de λ = 3500 Α, y vale 2’05 cuando la
longitud de onda es de λ = 4000 Α. ¿Cuál es la longitud de onda umbral a
partir de la cual no se va producir el efecto fotoeléctrico?
6. La energía de ionización de los electrones de valencia de un conjunto de
átomos vale 6 eV y para los de la capa más cercana al núcleo vale 2’2 KeV.
Si se les hace incidir radiación electromagnética de frecuencia ν = 1010 MHz,
razonar si se producirá efecto fotoeléctrico y/o efecto Compton.
7. Deducir la ecuación de Compton considerando una colisión elástica entre un
fotón y un electrón en reposo.(Ayuda: considerar la expresión de de Broglie
para el momento lineal, p=h/λ, y la expresión relativista, E = mec2, para la
energía del electrón en reposo)
8. Si el 5% de la luz visible de una bombilla incandescente se encuentra en el
rango visible del espectro electromagnético, ¿cuántos fotones son emitidos
por segundo por una bombilla de 60 Watts suponiendo que la luz visible
tiene una longitud de onda media de 5600Α?
48
9. Deducir a partir de la expresión de la energía para el electrón de un átomo
hidrogenoide según el modelo de Bohr*, la fórmula de Balmer para el
espectro del hidrógeno.
mZ 2 e 4
1
, donde Z es el número atómico que para el hidrógeno
2
2
(4πε 0 ) 2h n 2
vale 1, e es la carga del electrón, ε0 es la permitividad eléctrica en el vacío,
h vale h/2π siendo h la constante de Planck, m es la masa del electrón y n
es el número cuántico que hace referencia al nivel energético del electrón
ligado.
*E = −
10. Dada la fórmula de la energía de los niveles electrónicos del átomo de Bohr
del problema anterior calcular:
a) la constante de Rydberg para el hidrógeno substituyendo m por la masa del
electrón.
b) La constante de Rydberg para el hidrógeno substituyendo m por la masa
reducida de un átomo hidrogenoide, µ = mM/m+M, donde m es la masa del
electrón y M es la masa del núcleo (en el caso del hidrógeno es la masa del
protón). Sabiendo que los dos casos anteriores hacen referencia a, por un
lado, la aproximación de considerar la masa del núcleo infinita (al ser muy
grande al lado de la del electrón) y, por el otro, tenerla en cuenta
(corrección por masa nuclear finita), comparar el error que se comete en un
caso y en el otro si el valor experimental de la constante vale RH =
10967757,6 ± 1,2 m.
11. Calcular mediante el modelo de Bohr la energía necesaria para arrancar un
electrón (energía de ionización) de un átomo de He+ (helio simplemente
ionizado, es decir que ha perdido uno de sus dos electrones).
12. Calcular el momento lineal que recibe un átomo de deuterio (átomo de
hidrógeno con un neutrón en el núcleo) al emitir un fotón creado por una
transición electrónica del átomo entre los niveles n = 10 y n=1.
13. ¿Qué longitud de onda se puede asociar a una bala de 15,2g que viaja a
una velocidad de 265,8 m/s? ¿Deberían observarse en balas de estas
características comportamientos propios de un movimiento ondulatorio tales
como la difracción o la interferencia? ¿Por qué?
14. En el tubo de rayos catódicos de un osciloscopio de un laboratorio de física
se hace pasar un haz de electrones de 20eV de energía cinética por una
abertura redonda de 1’5mm de diámetro. ¿Se deben tener en cuenta los
efectos de la difracción?
15. Ningún instrumento óptico puede resolver los detalles de un objeto que es
más pequeño que la longitud de onda con la que se observa. Lo mismo pasa
con un microscopio electrónico, considerando su longitud de onda como la
49
longitud de onda de de Broglie. ¿Qué voltaje debe de aplicarse a los
electrones de un microscopio para lograr una resolución de 5000 Α?
16. ¿Qué interpretación se le da a la relación de incertidumbre energía-tiempo
en relación con la medición de la energía de estados atómicos excitados?
17. Dada una colección de n funciones de onda, Ψ1(x,t), Ψ2(x,t), Ψ3(x,t),…,
Ψn(x,t), que son solución de la ecuación de Schrödinger para un cierto
potencial V(x,t), demostrar que una combinación lineal cualquiera, Ψ(x,t) =
n
C1Ψ1(x,t) + C2Ψ2(x,t) + C3Ψ3(x,t) + … + CnΨn(x,t) = ∑ C i Ψi ( x, t ) , es
i =1
también una solución (linealidad de la ecuación de Schrödinger)
18. La función de onda para el estado de mínima energía de un oscilador
armónico simple unidimensional puede escribirse como
Ψ ( x, t ) = Al
−(
Κm 2 i Κ
x +
t)
2h
2 m
donde A es una constante real, m es la masa de la partícula y Κ es la
constante de la fuerza restauradora (F = -Κx).
a) Comprobar que la función de onda anterior es solución de la ecuación de
Schrödinger para el potencial de un oscilador armónico simple.
b)
Encontrar el valor de A para que la probabilidad de encontrar la partícula
sometida al potencial armónico en cualquier posición (normalizar la
función de onda)
+∞
∫ Ρdx = 1
−∞
donde P = Ψ*(x,t) Ψ(x,t) es la densidad de probabilidad de que una
partícula en el
instante t se encuentre en la posición x.
19. Un conjunto de funciones de onda soluciones de la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo para una partícula sometida a un potencial de
pozo cuadrado infinito
V=
∞
|x|>L
0
-L < x < +L
viene dado por
Ψn ( x) = An cos(k n x)
kn = (n+1)π/2L
50
n = 1, 2, 3,…
donde n determina el nivel o estado energético permitido para la partícula
ligada. Demostrar que efectivamente son soluciones de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo y que cumplen las condiciones
impuestas por el tipo de potencial al que está sometida la partícula.
Encontrar la expresión de la energía de la partícula en función del nivel de
energía discreto en el que se encuentra, n.
20. Para el sistema descrito en el problema anterior normalizar la función de
onda de la partícula en el estado de mínima energía, n=1. Calcular también
∂
el valor esperado de la posición X y el momento lineal P = −ih
utilizando
∂x
+∞
la función de onda para n=1.(Ayuda: <O>= ∫ Ψ * ( x, t )OΨ ( x, t )dx
−∞
21. Una partícula libre de masa m está descrita a t = 0 por la función de onda:
Ψ(x,0) = C exp(-x2/4)
a) Calcular la indeterminación en la posición.
b) Calcular la indeterminación en el momento.
c) Verificar que se trata de un paquete mínimo, es decir, que se cumple ∆x·∆p
= h/4π.
22. Analizar cuáles de las siguientes reacciones están permitidas, y, en el caso
de que lo estén, razonar por medio de qué interacción o interacciones se
pueden producir:
a) µ − → e − + ν e
b) p + p → γ + γ
c) p + n → Σ + + Λ0
d) p + e − → π + + e −
23. Discutir la conservación de carga, la conservación del número leptónico y
del número bariónico en las siguientes reacciones y clasificarlas como
electromagnéticas, fuertes o débiles:
a) π 0 → γ + γ
b) µ + → e + + ν e + ν µ
c) Σ + → Λ0 + e + + ν e
24. Deducir, partiendo de las leyes de conservación, la partícula que falta en las
siguientes reacciones:
a) π + → π 0 + ... + ν e
b) n → ... + e + + ν e
c) ν µ + ... → n + µ +
51
25. Discutir cuáles de las siguientes reacciones están permitidas por las leyes de
conservación. ¿Qué tipo de interacción (electromagnética, débil o fuerte)
puede originar la reacción en caso de que ésta no esté prohibida?
a) Λ0 → p + e −
b) Κ + + n → Σ + + π 0
c) n → p + e − + ν e
d) p → µ + + γ
26. Distinguir e identificar el tipo de los neutrinos de las siguientes reacciones
de acuerdo con las leyes de conservación:
a) π + → µ + + ν
b) Κ + → π 0 + e + + ν
c) µ − → e − + ν + ν
d) Λ0 → p + e − + ν
27. Indicar qué interacción es la responsable de las siguientes reacciones. Hacer
un diagrama de quarks, indicando qué tipo de bosón se intercambia y si hay
algún quark que cambia de sabor:
a) Λ → p + e − + ν e
b) Κ 0 → π − + e + + ν e
(Λ = (sud), p = (uud), Κ0 = ( s d), π- = (ud))
28. Teniendo en cuenta el contenido en quarks, hacer un diagrama esquemático
a nivel de quarks de la desintegración Λ→ p π0 indicando qué tipo de bosón
se intercambia y si alguno de los quarks sufre algún cambio de sabor.(Λ =
(uds), p= (uud), π- = (d u ))
29. El mesón Σ+ decae a pπ0 mediante la interacción débil. Dibujar un diagrama
esquemático de quarks de esta desintegración indicando qué tipo de bosón
se intercambia y si alguno de los quarks sufre algún cambio de sabor.(Σ+ =
(uus), p = (uud), π0 = (u u -d d ))/ 2 )
30. Utilizar los valores Q de las tres reacciones siguientes para calcular la
energía disponible para el decaimiento β del 14Si31
H 2 + 15P 31 →14 Si 29 + 2He 4
1
H 2 + 14 Si 29 →14 Si 30 + 1H 1
1
H 2 + 14 Si 30 →14 Si 31 + 1H 1
1
Q = 8,158 MeV
Q = 8,388 MeV
Q = 4,364 MeV
52
31. Calcular las energías de ligadura, B, de los núcleos de 4Be9, 8O16, 13Al27,
29
Cu63, 50Sn120, 74W184 y 92U238 utilizando la formula semiempírica de
masas*.
(N − Z )2
Z2
− bc 1 / 3 − δ , donde δ = + bδA-3/4 si Z
A
A
y N = A – Z son impares, 0 si Z o N son impares, y - bδA-3/4 si Z y N son
pareslos dos; bv = 15’7 MeV, bs = 18’6 MeV, bsym = 28’1 MeV, bc = 0’72 MeV
y bδ =34 MeV.
* B( A, Z ) = bv A − bs A 2 / 3 − bsym
32. Considerar una cadena de procesos radiactivos en la que intervienen tres
tipos de núcleos, 1, 2, 3, tal que 1 → 2 → 3. Las constantes de
desintegración de los dos procesos son λ1 y λ2. El núcleo tipo 3 es estable.
Encontrar el número de núcleos de cada tipo en función del tiempo.
Condiciones iniciales: N1(0) = N0, N2(0) = N3 = 0.
Bloque 2
1. Propón algún objeto de la vida cotidiana que tenga el mismo tamaño que
tendría un agujero negro con la masa de la Tierra. ¿Y una estrella de
neutrones?
2. Realiza una estimación de la presión en el interior del Sol a radio r=R/22/3 y
a r=0. Ayuda: Utilizar las ecuaciones del equilibrio hidrostático y de la
conservación de masa.
3. ¿Qué área recolectora para radiación solar hace falta para encender una
bombilla de 100 W, si la energía solar se pudiera convertir en energía
eléctrica con un 100% de eficiencia?.
4. Haz una estimación del radio máximo del horizonte de sucesos de un
agujero negro (radio de Schwarzschild) con la masa de la Tierra. ¿Y si
tuviera la masa del Sol?
5. Reescribe la fórmula del radio de Schwarzschild para una masa
esféricamente simétrica, en función, tan sólo, de masas solares.
6. Calcula la distancia máxima que se puede obtener mediante el método de la
paralaje, si se quiere observar objetos con una resolución de 1 arcsegundo.
7. Supongamos que cogemos una cucharadita del material de una estrella de
neutrones y lo traemos a la Tierra. ¿Cuánto pesaría? Describe qué sucedería
si lo dejásemos caer de una altura de aproximadamente un par de metros.
¿Qué tipo de movimiento surge?.
8. En un sistema S’ un suceso tiene lugar en el punto x’=10, y’=0, z’=0, donde
las coordenadas vienen dadas en metros y t’=1 s. Si un sistema S se mueve
53
respecto a S’ con una velocidad 3c/5 en la dirección negativa del eje de las x
y los orígenes de los dos sistemas coinciden para t=0, t’=0, ¿cuáles sin las
coordenadas del suceso visto desde S?
9. Dos sucesos P y Q separados espacialmente 3·108 m son simultáneos en
cierto sistema de referencia inercial S. Hallar las velocidades en la dirección
PQ de otros sistemas de referencia para que los sucesos estén separados
por intervalos de tiempo de 0’1 s, 1 s y 10 s respectivamente.
10. Una regla AB de longitud propia L se mueve con velocidad v relativamente a
S (AB y v son paralelos al eje OX de S). Un plano paralelo al plano XZ se
mueve con una velocidad u paralela a OY relativamente a S. Este plano
tiene un agujero de diámetro L’ (L’<L). Si en un cierto instante el centro de
la regla y el centro del agujero coinciden con el origen de coordenadas de S,
¿pasará la regla por el agujero?.
11. Las coordenadas de espacio-tiempo de dos pares de sucesos son:
Suceso X(m)
A1
0,3
A2
0,4
B1
0,7
B2
0,4
Y(m)
0,5
0,7
0,5
0,6
Z(m)
0
0
0
0
t(s)
2·10-9
3·10-9
5·10-9
4·10-9
• ¿Puede haber una conexión causal entre A1 y A2? ¿Y entre B1 y B2?
• ¿Hay algún sistema de referencia que vea simultáneos A1 y A2? ¿Y a B1 y
B2? En caso afirmativo hallar el sistema de referencia.
12. Da un ejemplo de homogeneidad con anisotropía.
13. Da un ejemplo de isotropía con inhomogeneidad.
14. Da un ejemplo de homogeneidad e isotropía.
15. Si H0 se hace pequeña, ¿qué pasa con la edad del Universo? ¿Y con el Radio
de Hubble? Razona tu respuesta.
16. ¿Es posible hallar una roca con una edad de 4.900 millones de años en un
Universo cuya H0 es 200 Km/Mpc·s?
17. Da ejemplos de fenómenos de diferentes longitudes de onda que es posible
encontrar en la naturaleza.
18. Si el Sol explotase ahora mismo, ¿cuánto tiempo tendríamos para escapar
del sistema solar?.
19. Si todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes ¿por qué
sucede la paradoja de los gemelos?. ¿Es realmente una paradoja?.
54
20. ¿Cómo cambiaría nuestra percepción del mundo si la velocidad de la luz
fuera de 50 Km/h?
21. Calcula tu radio de Schwartzschild. Calcula también el de la Tierra y el del
sol. Compáralos con algo conocido de un tamaño similar.
22. Completa la siguiente tabla:
Objeto
Masa (Ms) Radio (Km) Vesc (Km/s)
Tierra
0,00000304
6.370
Júpiter
0,001
71.500
Sol
1
696.000
Enana Blanca
0,8
10.000
Estrella de Neutrones
2
8
RSch (Km)
23. Supongamos que un objeto está 5 metros delante nuestro y 12 metros por
encima. ¿Cuál es la distancia total en el espacio-tiempo entre nosotros y el
objeto? ¿Coincidirá con nuestra afirmación cualquier otro observador?
¿Existe una noción de distancia entre dos objetos tal que todos los
observadores no acelerados están de acuerdo?
24. A partir de las tres constantes fundamentales (G, h y c) hallar las fórmulas
de la masa, la longitud y el tiempo de Planck, y calcular sus valores.
25. Un astronauta está en su nave espacial orbitando alrededor de un objeto. La
longitud aproximada de la órbita es de 106 Km, y el período orbital es de 5
minutos y 46 segundos. Calcular la masa del objeto alrededor del cual
órbita.
26. Una nave espacial viaja hacia una estrella situada a 95 ly de la Tierra. Si la
velocidad de la nave es de 2.2 ·108 m/s, ¿cuánto tiempo tarda la nave en
llegar a su destino visto desde, (a) la Tierra?, (b) un pasajero de la nave?
27. La longitud de onda correspondiente al Silicio doblemente ionizado (SiII) es
λ0 = 6406 Å. En una explosión de supernova se observa la misma línea
espectral desplazada por efecto Doppler a λ = 6150 Å. Deduce la velocidad
de expansión del material eyectado por la supernova. El material, ¿se acerca
o se aleja de nosotros?.
28. La longitud de onda más larga emitida en la serie de Balmer del Hidrógeno
es λ0 = 656 nm. En la luz de una galaxia distante, la longitud de onda
correspondiente resulta ser λ’ = 1458 nm. Encuentra la velocidad con la que
la galaxia se aleja de la Tierra. Compara el resultado del efecto Doppler
clásico con el relativista.
55
29. Para un radiador ideal (denominado cuerpo negro) la frecuencia donde la
emisión es máxima es proporcional a la temperatura absoluta T, según la
ley:
k
ν max = 2.8 × B × T
h
a) Hallar la fecuencia y la longitud de onda dominante en la radiación solar,
suponiendo que la emisión es la de un cuerpo negro perfecto a T=5800
K. ¿En qué banda del espectro se encuentra la emisión?
b) Hacer lo mismo para el fondo de radiación cósmico (T=2.728 K)
30. Un candidato para la materia oscura es el neutrino (en este caso se habla
de HDM, “Hot Dark Matter”). Suponiendo que el número total de neutrinos
sea el mismo que el de fotones presentes en la radiación (nγ = 3.7·108
fotones/m3), calcula la masa que tendría que tener un neutrino para que la
contribución de estas partículas a la densidad del Universo sea el 50% de la
densidad crítica.
56
Glosario
57
• Agujero Blanco. Surtidor de materia que no permite que nada caiga en él.
Inversión matemática de un agujero negro.
• Agujero de Gusano. Conexión topológica entre dos lugares muy
separados en nuestro Universo.
• Agujero Negro. Objeto, creado por la implosión de una estrella, que es
capaz de generar un campo gravitatorio tan intenso que ni la luz puede
escapar de él.
• Agujero Negro Primordial. Agujero negro característicamente mucho
menos masivo que el Sol, que fue creado en el Big Bang. Se han barajado
hipótesis que los tratan como defectos topológicos puntuales que podrían
haber actuado como disparadores de procesos de acreción en el universo
temprano que dieron lugar a las inhomogeneidades que se observan
actualmente.
• Antimateria. Forma de materia idéntica a la materia ordinaria a
excepción de que posee los números cuánticos de carga cambiados de
signo. Cuando materia y antimateria colisionan se convierten ambas en
pura energía, siguiendo la ecuación E=m·c2, aniquilándose mútuamente.
• Astrofísica. Rama de la Física que trata el estudio de los objetos cósmicos
y las leyes que los gobiernan.
• Astronomía. Rama de la Física especializada en la observación de objetos
cósmicos mediante telescopios y/o satélites.
• Banda. Intérvalo de frecuencias.
• Barión. Partícula que es un estado ligado de tres quarks. Todos los
bariones tienen spin semientero y son blancos. Su número bariónico es 1.
Son las partículas del las que está formada la materia “corriente”.
• Big Bang. Modelo matemático que propone que el origen del Universo se
debe a la creación explosiva del espacio y el tiempo.
•
Big Crunch. Fase final del recolapso gravitatorio del Universo. Es uno de
los posibles finales de éste. Sucederá si la densidad del Universo es mayor
que cierta densidad crítica.
• Bosón. Partícula de espín entero que no obedece el principio de exclusión
de Pauli.
• Campos cuánticos en el espacio-tiempo. Matrimonio parcial entre la
Relatividad General y la Mecánica Cuántica, en el que las ondas
58
gravitatorias y los campos no gravitatorios se consideran cuánticos,
mientras que el espacio-tiempo curvo en el que residen se considera
clásico.
• Casimir (efecto). El efecto Casimir es una pequeña fuerza atractiva entre
dos placas conductoras neutras colocadas paralelamente a una pequeña
distancia. Esta fuerza aparece como consecuencia de las fluctuaciones
cuánticas de vacío del campo electromagnético. El efecto fue predicho por
el físico germano Hendrick Casimir en 1948. De acuerdo con la teoría
cuántica, el vacío contiene pares virtuales partícula-antipartícula que se
crean y aniquilan continuamente. Casimir se dio cuenta que sólo los
fotones virtuales cuya longitud de onda encaja entre las dos placas
contribuyen a la densidad de energía de vacío. Por tanto, esta densidad de
energía de vacío será menor entre las placas que en el exterior,
produciéndose una diferencia de presión que tiende a acercar las placas
La fuerza F entre dos placas de área A separadas por una distancia a puede
ser calculada como :
F = p h c A/(480 a4)
siendo h la constante de planck y c la velocidad de la luz.
Esta fuerza minúscula fue medida en 1996 por Steven Lamoreaux dentro
de un margen de error del 5% con respecto a la predicción teórica.
• Color. El color de una estrella depende de la temperatura de su superficie;
longitudes de onda corta correspondes a altas temperaturas y viceversa.
Sin embargo, los astrónomos habitualmente no miden el color en una
única longitud de onda, sino que lo hacen al menos en dos de ellas y
comparan las medidas para determinar la temperatura. En los años 50 se
estableció el sistema de medida del color con tres bandas UBV:
ultravioleta (U) a 360 nm, azul (B) a 420 nm y visual (V) a 540 nm. Se
llama índice de color a la comparación entre dos de estas bandas. Por
ejemplo el índice UB es la comparación entre el ultravioleta y el azul y el
BV la comparación entre azul y visible. Comparando estos índices de
color se puede saber por ejemplo cuánta luz ha sido absorbida por polvo
interestelar (enrojecimiento interestelar).
• Combustión Nuclear. Reacciones de fusión nuclear que proporcionan la
energía de presión que sustentan las estrellas contra el colapso
gravitatorio.
• Compton (longitud de onda). La longitud de onda Compton es una
estimación del tamaño que una partícula presenta al interaccionar con la
radiación. Como depende sólo de la masa de la partícula m y de dos
constantes de la naturaleza, la constante de Planck h y la velocidad de la
luz c, es una buena estimación del "tamaño efectivo" de una partícula; la
59
longitud de onda Compton se calcula como h/mc.
• Conjetura de la Ausencia de Pelo. Conjetura de los años sesenta y
setenta (que se demostró verdadera en los años setenta y ochenta) de que
todas las propiedades de un agujero negro están determinadas
unívocamente por su masa, carga eléctrica y momento angular.
• Conjetura de la Censura Cósmica. Conjetura de que las leyes de la
Física impiden la formación de una singularidad desnuda, es decir, sin un
horizonte de sucesos que la oculte.
• Coordenadas Comóviles. Existe un sistema de referencia donde la
descripción del universo en expansión resulta más sencilla. En este
sistema de referencia podemos pensar en las galaxias como ocupando
posiciones fijas en la superficie de un globo hinchándose, como analogía
bidimensional del universo en expansión.
A medida que el globo se hincha, la distancia entre los puntos aumenta,
pero aún así podemos seguir describiendo una galaxia por la longitud y
latitud que ocupan en ese globo, que no cambia con el tiempo. En
cosmología es posible elegir un sistema de coordenadas similar desde un
sistema de referencia donde el fondo cósmico de microondas resulta
completamente isótropo y la ley de Hubble se cumple con exactitud. La
coordenada de distancia r de una galaxia elegida es tal que r(t) representa
la distancia a esa galaxia como suma de todas las subdistancias entre un
observador y otro que medirían un grupo de observadores colocados en la
línea de visión entre la galaxia y el observador situado en el origen
simultáneamente en el instante t de expansión. El instante simultáneo t
puede ser elegido por el hecho de que todos los observadores pueden
realizar su medida de distancia justo en la época cuando la temperatura del
fondo de cósmico de microondas es idéntica para todos. A la coordenada t
se le denomina tiempo cósmico. Por supuesto, la medida práctica de r es
imposible, por lo que tenemos que usar las relaciones entre esta
coordenada y las distancias aparentes observables.
• Corpúsculo. Nombre utilizado para un fotón en los siglos XVII y XVIII.
• Cuásar. Objeto compacto altamente luminoso del Universo distante, que
se cree está alimentado por un agujero negro gigante.
• Cuerpo negro. Un objeto que absorbiera toda la radiación
electromagnética que incidiera sobre él sería un cuerpo negro perfecto.
Después de calentarse, dicho cuerpo emitiría un espectro característico
según la temperatura alcanzada. El ejemplo más cercano a un cuerpo
negro que podemos construir en la Tierra sería un gran contenedor con un
pequeño agujero por el que introdujéramos radiación electromagnética
brillante. Después de calentarse, la radiación que surgiera del agujero
60
dependería sólo de la temperatura alcanzada. Aunque el concepto de
cuerpo negro parezca una idealización (y de hecho lo es), la radiación
procedente de muchos objetos astronómicos puede ser aproximadamente
descrita en términos de la temperatura de un cuerpo negro. Así por
ejemplo, el sol radia como un cuerpo negro a una temperatura de 6000 K.
El ejemplo natural más perfecto de cuerpo negro que se conoce es el de la
radiación de fondo cósmico a 2.7 K.
• Cyg A. Cygnus A. La primera radiogalaxia en ser firmemente
identificada.
• Cyg X-1. Cygnus X-1. Objeto masivo en el núcleo de nuestra galaxia que
probablemente sea un agujero negro.
• Degeneración electrónica. Estado de la materia en el que los electrones
han ocupado todos y cada uno de los niveles cuánticos permitidos. El
confinamiento les obliga a moverse a gran velocidad lo cual genera una
presión efectiva a causa del Pincipio de Exclusión de Pauli.
• Densidad crítica. Es la densidad necesaria para que la curvatura del
universo sea cero. En el presente del universo, la densidad crítica es r0 =
3H02/8pG = 1.879 h2 10-29 g/cm3, que corresponde a una densidad tan baja
como la de la masa de 2 ó 3 átomos de hidrógeno por metro cúbico.
• Desplazamiento Doppler. Desplazamiento de una onda hacia frecuencias
más elevadas cuando su fuente emisora se acerca al receptor, y hacia
frecuencias más bajas cuando se aleja.
• Deuterio. Isótopo del Hidrógeno formado por un protón y un neutrón.
También se le llama Hidrógeno Pesado, ya que tiene propiedades
químicas muy similares a las del Hidrógeno.
• Diagrama de inserción. Diagrama que sirve para visualizar las
deformaciones del espacio-tiempo a través de la curvatura de una
superficie bidimensional insertada en un espacio tridimensional.
• Disco de acreción. Disco de gas que rodea a un cuerpo compacto. La
fricción hace que el gas se mueva en espirales que se cierran poco a poco,
hasta que el gas acreta en el cuerpo.
• Ecuación de estado. Forma en la que la presión depende de la densidad.
• Electrónvoltio. (eV) En física de partículas se acostumbra a dar las masas
de las partículas en unidades de energía, puesto que existe una relación
sencilla entre estas dos magnitudes dada por la más famosa de las
ecuaciones de la física, E=mc2. 1 eV es la energía que adquiere un
61
electrón sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Por ejemplo
la masa del electrón expresada en estas unidades es de 0,51 MeV y la del
protón 938.27 MeV.
• Enana Blanca. Objeto compacto resultado de una estrella que ha agotado
todo su combustible nuclear y se enfría gradualmente. Se mantiene contra
el colapso gravitatorio gracias a la presión de electrones degenerados.
• Espectro. Descomposición de la luz en sus diferentes longitudes de onda.
Los astrónomos en general no miran por sus telescopios, sino que la luz
recogida pasa por un espectrógrafo,
que descompone la luz en sus
diferentes longitudes de onda,
frecuencias o "colores". Cada tipo de
átomo o ion puede emitir o absorber
determinada longitudes de onda. Por
ejemplo, los átomos en las capas
"frías" exteriores de una estrella
absorben la luz que proviene de
regiones interiores de ésta, produciendo líneas oscuras de absorción a
través del espectro. Dichas líneas pueden usarse para identificar los
átomos que forman la estrella. Por ejemplo, en el espectro inmediatamente
a la derecha, las líneas oscuras dobles provienen del calcio ionizado
emitiendo a una longitud de onda de 390 nm; las líneas a 410, 434, 486 y
656 nm corresponden al hidrógeno; la línea de 518 nm corresponde al
magnesio ionizado y la línea a 590 nm corresponde al sodio. En la parte
inferior podemos ver una representación muy habitual de un espectro, con
la longitud de onda en el eje horizontal y la intensidad de la línea (más
concretamente el flujo) en el eje vertical.
• Estrella de neutrones. Objeto muy compacto que se sustenta contra el
colapso gravitatorio gracias a la presión de neutrones degenerados.
• Éter. Medio hipotético que, según el pensamiento del siglo XIX, oscila
cuando pasan las ondas electromagnéticas y, mediante sus oscilaciones,
hace posible las ondas. Se creía que el éter estaba en reposo en el espacio
absoluto.
• Fermión. Partícula de espín semientero que obedece el principio de
exclusión de Pauli.
• Fisión Nuclear. Proceso de alta energía en el que un núcleo pesado se
divide en dos de masa intermedia, liberando una cantidad de energía del
orden del 1% de la masa del núcleo original.
• Fluctuaciones del vacío. Oscilaciones aleatorias impredecibles e
62
ineliminables de un campo, que son debidas a que pequeñas regiones del
espacio toman prestadas una cierta cantidad de energía durante un tiempo
inversamente proporcional, según el principio de incertidumbre de
Heisenberg.
• Flujo. Potencia por unidad de área. Por ejemplo, el flujo de energía
procedente del Sol que incide sobre la Tierra es de 1367 watts (W) por
metro cuadrado de superficie. La potencia total es dividida habitualmente
en bandas de frecuencia o bandas de longitud de onda que se mide en W
m-2 Hz.
• Fotón. Partícula de radiación electromagnética. Partícula cuántica
asociada a las ondas electromagnéticas.
• Fusión Nuclear. Proceso de muy alta energía en el que dos núcleos
ligeros se fusionan para formar uno más pesado. Un 10% de las masas
iniciales se convierte en energía, siendo, por tanto, diez veces más
eficiente que la físión nuclear. Este es el proceso mediante el cual las
estrellas obtienen su energía.
• Geodésica. Camino más corto entre dos puntos. Línea recta en un espacio
curvo.
• Ion. Átomo que ha perdido o ganado algunos electrones de sus órbitales,
con lo cual la carga de su núcleo ha quedado descompensado y ahora el
átomo, en conjunto, tiene una carga neta.
• Homogeneidad e isotropía. Entendemos por homogeneidad la
imposibilidad de distinguir características especiales entre dos volúmenes
de espacio diferentes y por isotropía la invarianza de las características del
universo con la dirección en qué miremos.
• Línea de universo. Camino o evolución de un cuerpo a través del
espacio-tiempo o a través de un diagrama espacio-temporal.
• Luminosidad. Potencia total emitida por una fuente de luz en un
determinado rango de frecuencias.
• Magnitud. Escala usada por los astrónomos para medir el flujo. Cada 5
unidades de magnitud corresponden a una caída del flujo de 100 veces.
Por ejemplo, el Sol tiene una magnitud de -26.5, mientras que Sirio, la
estrella más brillante de la noche, tiene magnitud -1.6. Las estrellas más
débiles a simple vista tienen una magnitud de 6.
• Masa de Planck. 10-5 g. Masa resultante de la combinación apropiada de
las tres constantes fundamentales h (constante de Planck), c (velocidad de
63
la luz) y G (constante de gravitación universal). Esta cantidad de masa
colocada dentro de una longitud de Planck (10-33 cm) crearía una densidad
del orden de ¡1093 g/cm3! que sería la densidad del universo cuando tenía
unos 10-43 segundos: el tiempo de Planck.
• Materia exótica. Materia que viola la condición de energía débil
promediada. Es decir, su masa es negativa visto desde algunos sistemas de
referencia. Necesario para mantener estables agujeros de gusano y para
crear cualquier tipo de distorsión del espacio-tiempo de un tipo similar.
• Materia oscura caliente. (del inglés Hot Dark Matter, abreviada HDM)
es cualquier tipo de partículas poco masivas que se mueven a velocidades
cercanas a la de la luz.
• Materia oscura fría. (del inglés Cold Dark Matter, abreviada CDM) es
cualquier tipo de partículas relativamente masivas que se mueven a
velocidades mucho menores que la velocidad de la luz.
• Megaparsec. (Mpc) Unidad de distancia equivale a unos 3,26 millones de
años luz.
• Mesón. Estado ligado de un quark y un antiquark. Todos los mesones
tienen spin entero. Su número bariónico es 0.
• MOND (MOdified Newtonian Dynamics). Teoría alternativa a la
dinámica Newtoniana propuesta por Mordehai Milgrom y que consiste
básicamente en modificar la segunda ley de Newton de la forma F = m
a2/a0, es decir que la fuerza sería proporcional al cuadrado de la
aceleración y se introduciría una constante a0 con unidades de aceleración
para salvar la coherencia de la ley. La motivación de esta modificación es
la de explicar la elevada velocidad de rotación que se mantiene casi
constante en la parte externa del disco de las galaxias. Sin embargo, el
gran problema de esta teoría es que no tiene una extensión relativista.
• Nanómetro. (nm) Unidad de longitud equivalente a una mil millonésima
de metro (10-9 m).
• Parámetro de densidad W. Es la relación entre la densidad del universo
en unidades de la densidad crítica.
• Partículas virtuales. Cuasi-partículas que se crean a partir de las
fluctuaciones del vacío cuántico y tras un tiempo inversamente
proporcional a su masa se desintegran.
• Plasma. Gas caliente, ionizado y eléctricamente conducto.
64
• Sistema de referencia inercial. Sistema de referencia que no gira y
sobre el que no actúan fuerzas externas o sobre el que todas las fuerzas
externas que actúan se anulan. El movimiento de este sistema está
gobernado tan sólo por su propia inercia; es decir, está en reposo o se
mueve a velocidad constante.
• Suceso. Un punto en el espacio-tiempo; es decir, una posición en el
espacio y un instante en el tiempo.
• Quarks. Postulados por Gell-Mann y Zweig. Se les considera
actualmente los ladrillos básicos de la materia. Nunca se encuentran
aislados, sino en estados ligados de dos o tres quarks. Responden a la
interacción nuclear fuerte mediante intercambio de gluones.
Símbolo
Spin
Carga
Número
Bariónico
S
C
B
T
Masa
Up
u
1/2
2/3
1/3
0
0
0
0
2-8 MeV
Down
d
1/2
-1/3
1/3
0
0
0
0
5-15 MeV
Charm
c
1/2
2/3
1/3
0
-1
0
0
1’0-1,6 GeV
Strange
s
1/2
-1/3
1/3
-1
0
0
0
100-300 MeV
Top
t
1/2
1/3
1/3
0
0
0
-1
180 (12)GeV
Bottom
b
1/2
-1/3
1/3
0
0
0
-1
4’1-4’5 GeV
Quark
• Quintaesencia. Quintaesencia es una generalización del concepto de
constante cosmológica. Una constante cosmológica pura se relaciona
habitualmente con la densidad de energía de vacío que surge de manera
natural en las teorías cuánticas de campos. La densidad de energía de
vacío por su propia naturaleza no cambia con el tiempo y está
uniformemente distribuida en el espacio. La ecuación de estado que
relaciona la presión P con la densidad ρ (recordemos por ejemplo que la
ecuación de estado para un gas ideal a temperatura constante sería la
ecuación de Clapeyron P=Kρ
ρ) para la constante cosmológica es P = - ρ ,
lo que significa que la expansión aumenta la cantidad de energía de vacío
y ésta tiene que ejercer una presión negativa. Esto puede generalizarse
suponiendo que existe un campo que produce una densidad de energía que
varía con el tiempo y que no tiene por que estar uniformemente
distribuida, de tal manera que podemos poner su ecuación de estado como
P / ρ = w con -1 < w < 0 con objeto de que no contradiga las
observaciones, y w siendo una función del parámetro de expansión.
• Teorías de Gran Unificación. (Abreviadas en inglés GUTs). Teorías que
65
tratan de unificar las todas las interacciones conocidas a excepción de la
gravitación: electromagnética, nuclear débil y nuclear fuerte. Suponiendo
que sea posible una Gran Unificación de todas las interacciones, entonces
todas las fuerzas que observamos no son más que diferentes aspectos de la
misma teoría unificada. Sin embargo, ¿cómo puede éste ser el caso,
cuando las interacciones fuerte, débil y electromagnética son tan
diferentes en intensidad y efecto? Aunque parezca extraño, los datos y la
teoría actuales sugieren que estas variadas fuerzas confluyen hacia una
única fuerza, cuando las partículas afectadas están a energías
suficientemente altas. De hecho, desde los años 60 existe una teoría
unificada de las interacciones electromagnética y débil (conocida
obviamente como electrodébil) y actualmente existen diferentes
propuestas de GUT, de tal forma que algunas propiedades del
comportamiento de las partículas a energía del orden de 1016 GeV son
conocidas y se pueden aplicar al estudio del universo cuando este tenía
unos meros 10-35 segundos.
• Tiempo de Planck. 10-43s. Intervalo de tiempo resultante de la
combinación apropiada de las tres constantes fundamentales h (constante
de Planck), c (velocidad de la luz) y G (constante de gravitación
universal), por lo que se considera la unidad natural de tiempo.
66
Biografías
67
Kepler, Johannes
(1571-1630)
Nacido el 27 de diciembre de 1571, en Weil der Stadt, en Württemberg.
Fue un niño enfermizo que padeció de furúnculos, dolores de
cabeza, miopía, infecciones de la piel, fiebres y afecciones al
estómago y a la vesícula. Con cuatro años, casi sucumbió con
los estragos de la viruela. Cursó estudios de teología y clásicas
en la Universidad de Tübingen. Tuvo como profesor de
matemáticas a Michael Maestlin, partidario de la teoría
heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en
principio por Nicolás Copérnico. Kepler aceptó la teoría
copernicana pensando que la simplicidad de su ordenamiento
planetario tenía que haber sido el plan de Dios. En el año 1594,
viaja a Graz (Austria), donde elaboró una hipótesis geométrica
compleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias. Posteriormente, dedujo que las
órbitas de los planetas son elípticas. Sostenía que el Sol ejerce una fuerza que disminuye de
forma inversamente proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas.
Publicó un tratado titulado Mysterium Cosmographicum en 1596. Fue profesor de astronomía y
matemáticas en la Universidad de Graz de 1594 hasta 1600. Fue ayudante del astrónomo danés
Tycho Brahe en su observatorio de Praga. A la muerte de éste en 1601, fue nombrado
matemático imperial y astrónomo de la corte del emperador Rodolfo II.
Una de sus obras más importantes durante este
“La vista debe aprender de la razón”
periodo fue Astronomía nova (1609), la gran
Johannes Kepler
culminación de sus cuidadosos esfuerzos para
calcular la órbita de Marte. El tratado contiene la
exposición de dos de las llamadas leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Según la
primera ley, los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol en un foco. La segunda, o regla del
área, afirma que una línea imaginaria desde el Sol a un planeta recorre áreas iguales de una
elipse durante intervalos iguales de tiempo. En el año 1612 se hizo matemático de los estados de
la Alta Austria. Publicó Harmonices mundi, Libri (1619), cuya sección final contiene otro
descubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la relación del cubo de la distancia
media (o promedio) de un planeta al Sol y el cuadrado del periodo de revolución del planeta es
una constante y es la misma para todos los planetas.
Le siguió Epitome astronomiae copernicanae (1618-1621), que reúne todos sus
descubrimientos en un solo tomo. Su última obra importante aparecida en vida fueron las
Tablas rudolfinas (1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del movimiento
planetario reducen los errores medios de la posición real de un planeta de 5° a 10'.
Isaac Newton se basó en las teorías de Kepler para formular su ley de la gravitación universal.
Kepler también realizó aportaciones en el campo de la óptica y desarrolló un sistema
infinitesimal en matemáticas, que fue un antecesor del cálculo.
Falleció el 15 de noviembre de 1630 en Regensburg. Compuso este epitafio para su lápida :
"Medí los cielos, y ahora las sombras mido.
En el cielo brilló el espíritu. En la tierra descansa el cuerpo."
68
Copérnico, Nicolás
(1473-1543)
Nació el 19 de febrero de 1473 en la ciudad de Thorn (en la actualidad Toru), en una familia de
comerciantes y funcionarios. Su tío fue el obispo Ukasz
Watzenrode, que se preocupó por que su sobrino entrara en las
mejores universidades. Cursó estudios en la Universidad de
Cracovia, posteriormente viajó a Italia para estudiar derecho y
medicina.
En enero de 1497 comienza sus estudios en derecho canónico en
la Universidad de Bolonia, se doctoró en astronomía en Roma.
También estudió medicina en Padua. Sin haber finalizado
medicina, se licenció en derecho canónico en la Universidad de
Ferrara en 1503 y volvió a Polonia. Residió en el palacio
episcopal de su tío en Lidzbark Warminski de 1503 a 1510,
trabajando en la administración de la diócesis.
Publicó su primer libro, una traducción del latín de cartas de ética de un autor bizantino del
siglo VII, Teofilatos de Simocata. De 1507 a 1515 escribió un tratado de astronomía, De
hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (conocido como el
Commentariolus), la obra sentó las bases de su concepción heliocéntrica.
Viaja a Frauenburg, en 1512, y
“Las matemáticas se escriben para los matemáticos”
toma parte en la comisión del
“El movimiento de la Tierra sola basta, pues, para explicar
quinto Concilio Luterano para la
tantas desigualdades aparentes en los cielos”
reforma del calendario (1515);
Nicolás Copérnico
escribió un tratado sobre el
dinero (1517) y escribe De revolutionibus orbium caelestium (Sobre las revoluciones de los
cuerpos celestes), que culminó en 1530 y fue publicado el 24 de mayo de 1543. La teoría de
Copérnico establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una vez al año
daba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su movimiento
rotatorio, se inclinaba sobre su eje. Una de sus aportaciones fue el nuevo orden de alineación de
los planetas según sus periodos de rotación. Notó que cuanto mayor era el radio de la órbita de
un planeta, más tiempo tardaba en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Fue objeto de
numerosas críticas, en especial de la Iglesia, por negar que la Tierra fuera el centro del
Universo.
Galileo y el astrónomo alemán Johannes Kepler fueron sus seguidores. Falleció el 24 de Mayo
de 1543 en Frombork, Polonia.
69
Galilei, Galileo
(1564-1642)
Galileo Galilei nació en Pisa el 15 de febrero de 1564.
Pertenecía a una antigua familia de Florencia y su padre, Vincenzio, se dedicaba al comercio,
que escasamente le daba para mantener a sus siete hijos de los
cuales Galileo era el mayor. Vincenzio Galilei no era un
simple comerciante, se interesaba por la música y publicó
numerosos libros. La educación que dio sus hijos es prueba de
su amplio espíritu, que se expresa en el prefacio de una de sus
obras (“Diálogos de la música antigua y moderna”, Florencia,
1581).
Inscrito en 1581 en la Universidad de Pisa, como estudiante
de medicina, Galileo descubrió la ley fundamental del
movimiento pendular viendo oscilar, según cuenta una
pequeña historia, la gran araña de la catedral de Pisa, y aplicó
esta ley a un instrumento que permite tomar el pulso a los
enfermos. Excluido de la Universidad de Pisa, a causa de su
espíritu libre e independiente, cuando cursaba su tercer año de
medicina, Galileo regresó a Florencia donde fue discípulo del
matemático Ricci y se distinguió muy pronto con un ensayo sobre el centro de gravedad de los
sólidos. En 1589, después de años de dificultades materiales, fue nombrado profesor de
matemáticas de la Universidad de Pisa donde emprende sus experimentos sobre la caída de los
cuerpos y el movimiento de los proyectiles.
En 1590 publicó sus
“Nunca me he encontrado con alguien tan ignorante de quien no
resultados en De motu
pudiese aprender algo”
gravium, recibidos con
“La matemática es el alfabeto con el que Dios escribió el mundo”
hostilidad por el público
“Digamos que existen dos tipos de mentes poéticas: una apta para
científico de la época a
inventar fábulas y otra dispuesta a creerlas”
causa de sus ataques
“El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos
y la verdadera filosofía está escrita en él... Pero no lo podemos leer a
contra la ciencia clásica.
menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres
Abandonó entonces la
con los cuales está escrito... Está escrito en lenguaje matemático y los
Universidad de Pisa para
caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”
ocupar una cátedra de
“Sin embargo, se mueve”
matemáticas en la Padua,
(Frase apócrifa pronunciada mientras abjuraba del heliocentrismo).
en la cual, durante
De acuerdo con una tradición que no merece excesivo crédito, Galileo
dieciocho años, gozó de
dirigió esta frase a su perro mientras recitaba, el 22 de junio de 1633,
una gloria sin sombras.
la anterior fórmula de abjuración.
En Padua es donde
Galileo Galilei
realizó
sus
trabajos
fundamentales sobre la estática y sobre las temperaturas y la noción de calor. Siguió enseñando
a sus discípulos el sistema de Tolomeo, pero se sabe que en aquella época ya estaba convencido
del valor del sistema de Copérnico y de los trabajos de Kepler (Carta a Kepler de 1597).
En 1609, por medio de una combinación de lentes, construyó un anteojo, llamado anteojo de
Galileo que presentó a los gobernantes de Venecia el 21 de agosto de 1609. Donó este anteojo a
los dogos de Venecia y el gran sabio se convirtió en una verdadera gloria nacional (con ayuda
de este anteojo podían verse los barcos en el Adriático, dos horas antes que a simple vista, desde
lo alto del campanile de San Marcos de Venecia).
Galileo construyó un centenar de anteojos, uno de los cuales, con un aumento de treinta veces,
fue el instrumento de sus primeros descubrimientos astronómicos descritos en una obra
publicada en 1610: Sidereus nuntius (El mensajero de los astros). Con este anteojo, Galileo
pudo observar, el primero de entre los hombres, que la Luna no era una esfera plana, sino que
poseía relieves, montañas, valles, etc.; que el Sol presentaba sobre su disco ciertas manchas que,
por su desplazamiento, indicaban que giraba sobre sí mismo; que el planeta Venus presentaba
70
fases como la Luna, cosa que demostraba que estaba animado de un movimiento de rotación
entorno al Sol tal y como creía Copérnico.
Descubrió también, en el mes de enero de 1610, cuatro satélites de Júpiter y se dio cuenta de
que las estrellas no poseían diámetro aparente, cosa que era un signo de su enorme lejanía.
Abandonó entonces sus enseñanzas en la Universidad de Padua y regresó a Florencia, donde se
convirtió en el adalid de las tesis de Copérnico, a pesar de que las teorías de éste fueran puestas
en el Indice, en 1616.
En 1623, publicó el Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo y, a pesar de ciertas
precauciones tomadas en su presentación, y del apoyo del papa Urbano VIII, el libro fue
prohibido en 1632 y Galileo citado ante el tribunal de la Inquisición.
La abjuración de Galileo tuvo lugar el miércoles 22 de junio de 1633, no en una plaza pública
como se dice algunas veces, sino en la sala de honor del convento de Santa María Sopra
Minerva. Después de este penoso proceso, el ilustre sabio fue sometido a residencia vigilada
primero en Siena y después en las afueras de Florencia, en Arcetri, donde reanudó sus trabajos
de mecánica que expuso en los Diálogos de las Nuevas Ciencias, obra que se imprimió
clandestinamente en Amsterdam, en 1638.
Los últimos cuatro años de su vida, Galileo los pasó en una oscuridad total: a fines de 1637
quedó completamente ciego.
Murió el día 8 de enero de 1642, cuando trabajaba con su hijo en la puesta punto de un reloj con
péndulo regulador. Galileo dejó tres hijos: dos hijas (que tomaron estado religioso) y un hijo,
que murió poco tiempo después que su padre.
71
Isaac Newton(1642-1727)
La mayoría de las personas están familiarizadas en cierto grado con el nombre de Isaac Newton,
debido a que su fama universal como descubridor de la ley de
la gravedad ha seguido intacta durante los dos siglos y medio
que han transcurrido desde su muerte.
Sin embargo, no es tan conocido el hecho de que, entre sus
colosales realizaciones, creó virtualmente las ciencias físicas
modernas y, en consecuencia, ha tenido una influencia más
profunda en la dirección de la vida civilizada que el auge y la
decadencia de los imperios. Quienes tienen autoridad para
emitir juicios a este respecto, le consideran, unánimemente, uno
de los pocos intelectuales supremos que ha producido la raza
humana.
Newton nació en el seno de una familia campesina, en la aldea de Woolsthorpe, en Inglaterra.
Se sabe muy poco sobre sus primeros años y al parecer su vida como estudiante en Cambridge
fue poco distinguida.
En 1665, una epidemia de peste hizo que las universidades cerraran sus puertas y Newton
regresó a su casa, en el campo, donde permaneció hasta 1667.
Allí, en dos años de soledad rústica- de los 22 a los 24 años de edad- su ingenio creativo explotó
en un torrente de descubrimientos no superados en toda la historia del pensamiento humano:
• las series binomiales para exponentes negativos y fraccionarios;
• el cálculo diferencial e integral;
• la gravitación universal como clave para explicar el mecanismo del sistema solar y
• la resolución de la luz solar en el espectro visual, por medio de un prisma, con sus
implicaciones para la comprensión de los colores del arco iris y la naturaleza de la luz
en general.
En sus últimos años, escribió las siguientes reminiscencias, sobre el periodo milagroso de su
juventud:
“En esos días, estaba en la mejor edad para los descubrimientos, y las matemáticas y la
filosofía (o sea, las ciencias) me interesaron más que nada, desde entonces”.
Newton fue siempre un hombre discreto y retraído y, en su mayor parte, se guardó para sí sus
descubrimientos monumentales. No tenía interés en publicarlos y la mayor parte de sus grandes
obras fueron arrancadas por los ruegos y la persistencia de sus amigos.
De todos modos, su capacidad única era tan evidente para su maestro Isaac Barrow quien, en
1669, dimitió su profesorado en favor de su alumno (¡un caso sin precedentes en la vida
académica!) y Newton se estableció en Cambridge durante los 27 años siguientes.
Sus descubrimientos matemáticos nunca se publicaron realmente en forma conexa y llegaron a
conocerse, en forma limitada, casi por accidente, por medio de conversaciones y de las
respuestas a preguntas que le hicieron por carta. Consideró sus descubrimientos en matemáticas
primordialmente como un instrumento fructífero para el estudio de problemas científicos y
como algo que, en sí mismo, tenía relativamente poco interés.
Mientras tanto, en Alemania, Leibniz había inventado también el cálculo, de manera
independiente; y debido a su constante correspondencia con los Bernoulli y a los trabajos
posteriores de Euler, el nuevo análisis se extendió en todo el continente, donde permaneció a la
cabeza durante 200 años.
No se sabe gran cosa sobre la vida de Newton en Cambridge, en los primeros años de su
profesorado; pero es seguro que entre sus principales intereses se contaron la óptica y la
construcción de telescopios.
Experimentó muchas técnicas para esmerilar vidrios (con herramientas diseñadas por él mismo)
y hacia 1670 construyó el primer telescopio de reflexión, el antepasado de los grandes
72
instrumentos que se utilizan actualmente en monte Palomar y en todo el mundo.
La pertinencia y la simplicidad de su análisis prismático de la luz solar, marcó ese trabajo inicial
como uno de los clásicos sin
“Si he logrado ver más allá que otros hombres es porque he
limitaciones de tiempo de las
estado a hombros de gigantes.”
ciencias experimentales.
“No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi
No obstante, eso era sólo el
opinión, me he comportado como un niño que juega al borde
comienzo, puesto que fue
del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una
penetrando cada vez más en los
piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal,
mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí
misterios de la luz y todos sus
completamente desconocido.”
esfuerzos en ese sentido
“Físicos, guardaos de los metafísicos.”
siguieron dando muestras de un
“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el
ingenio experimental del más
océano”
alto orden.
Sir Isaac Newton
Publicó
algunos
de
sus
descubrimientos; pero los científicos más destacados de su tiempo los recibieron con tanta
estupidez contenciosa, que Newton se retrajo nuevamente en su concha, con una mayor
resolución de trabajar, a partir de entonces, para su exclusiva satisfacción. Veinte años después,
confió a Leibniz las palabras siguientes:
“En cuanto a los fenómenos de los colores... Estoy convencido de haber descubierto la
explicación más segura; pero no quiero publicarla en libros, por temor de que los
ignorantes inicien disputas y controversias contra mi”.
A fines de la década de 1670, Newton tuvo uno de sus lapsos periódicos de desagrado por las
ciencias y dirigió sus energías hacia otros cauces. Todavía no había publicado nada sobre
dinámica o la gravedad y sus numerosos descubrimientos en esos campos permanecías
olvidados sobre su escritorio. Sin embargo, al fin, estimulado y enojado por las pretensiones y
las críticas de Robert Hooke y calmado por la intervención diplomática de Edmund Halley,
dedicó su atención nuevamente a esos problemas y comenzó a escribir su obra principal, “Los
principios matemáticos de la filosofía natural”, conocido como “Los Principia”.
Cuando Newton se dedicaba al trabajo científico se parecía a un volcán activo, con largos
periodos de inactividad, contrastados, de vez en cuando, por grandes erupciones de una
actividad casi sobrehumana. El libro Principia lo escribió en 18 meses de increíble
concentración, y cuando se publicó, en 1687, se reconoció inmediatamente que era una de las
realizaciones supremas de la mente humana.
En esa obra, estableció los principios básicos de la mecánica teórica y la dinámica de los
fluidos, aplicó el primer tratamiento matemático al movimiento ondulado, dedujo las leyes de
Kepler a partir de la ley de cuadrados inversos de la gravitación y explicó las órbitas de los
cometas; calculó las masas de la Tierra, el Sol y los planetas con sus satélites, explicó la forma
aplastada de la Tierra y utilizó esta idea para explicar la precesión de los equinoccios, además
de que estableció la teoría de las mareas. Estas son tan sólo unas cuantas de las numerosas
maravillas de su obra prodigiosa.
Los Principia es un libro de lectura difícil, porque tiene un estilo de inhumana lejanía que quizá
sea el más apropiado para la grandeza del tema. Asimismo contiene densas ecuaciones
matemáticas de geometría clásica, poco cultivada en su época y todavía menos en la actualidad.
En cuanto a la dinámica y mecánica celeste, logró concluir magníficamente la obra que habían
iniciado Copérnico, Kepler y Galileo. Ese triunfo fue tan completo que los trabajos de los
principales científicos en esos campos, durante los dos siglos siguientes, fueron poco más que
notas calcadas de esta síntesis colosal.
También vale la pena recordar que la espectroscopia ha contribuido, más que ninguna otra
ciencia, al progreso de los conocimientos astronómicos del universo en general; tuvo su origen
en el análisis prismático de la luz del Sol, que realizó Newton.
Después de la poderosa erupción de su ingenio que lo llevó a la creación de los Principia,
Newton volvió a alejarse de las ciencias. En 1696, abandonó Cambridge para ir a Londres, con
el fin de convertirse en Warden of the Mint (y posteriormente en Master), y durante el resto de
su larga vida, se introdujo un poco en la sociedad e inclusive comenzó a gozar un poco de su
73
posición única, en el pináculo de la fama como científico. Fue nombrado inspector y más tarde
director de la Casa de la Moneda en Londres, donde vivió hasta 1696. En 1703 fue elegido
presidente de la Sociedad Real, un cargo que ocupó hasta el final de su vida y en 1705 fue hecho
caballero por la reina Ana, como recompensa a los servicios prestados a Inglaterra.
Esos cambios de intereses y de
“La naturaleza y sus leyes permanecían escondidas en
ambiente no se reflejaron en una
la noche. Dijo Dios "Hágase Newton" y todo fue luz.”
disminución de su capacidad intelectual
Alexander Pope
inigualable. Por ejemplo, un atardecer,
al final de un día de trabajo agotador en la Moneda, se enteró del problema de la braquistócrona
de Johann Bernoulli- presentado como un desafío "para los matemáticos más brillantes del
mundo"- y lo resolvió esa misma noche, antes de acostarse.
La publicación de su obra Opticks, en 1704, fue mucho más importante para la ciencia. En ese
libro, reunió y amplió sus trabajos anteriores sobre la luz y los colores.
Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de la
alquimia, el misticismo y la teología. Falleció el 20 de marzo de 1727 en Londres tras un brusco
empeoramiento de su afección renal. Reposa en la abadía de Westminster. Newton dejó una
cuantiosa colección de manuscritos personales. Con sorpresa los investigadores descubrieron
miles de folios conteniendo estudios de alquimia, comentarios de textos bíblicos, así como
cálculos herméticos oscuros e ininteligibles.
74
Einstein, Albert
(1879-1955)
Nace el 14 de marzo de 1879 en Ulm (Baden-Württemberg), Alemania. Muere el 18 de abril de
1955 en Princeton (New Jersey), E.E.U.U.
Físico y matemático, fundador de la Teoría de la Relatividad, a la
cual va unida la gran fama que rodea su nombre.
Hijo de un pequeño industrial, sigue estudios regulares en su
ciudad natal hasta los 15 años. En 1894, debido a las dificultades
económicas, se traslada a Italia con su familia y poco después
viaja a Suiza, donde, en 1895 suspende el examen que le habría
permitido estudiar ingeniería eléctrica en Zurich. Tras un año de
preparación en la escuela de Arau, entra en el Politécnico de
Zurich; obtiene el diploma en 1900 y adopta la ciudadanía suiza al
año siguiente.
En 1902 consigue un empleo en la Oficina Federal de Patentes de
Berna; este período es probablemente el más fecundo para su
actividad científica, logrando, hacia el año 1905, los frutos de sus largas investigaciones: los
Annalender Physik publican dos escritos fundamentales del joven científico; el primero contiene
la enunciación de la Teoría Cuántica del Efecto Fotoeléctrico (por el que le dan el Nobel en
1921), y el segundo, bajo el título de Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, es la
primera enunciación de los principios de la Teoría de la Relatividad Especial.
En este mismo año, 1909, Einstein es nombrado profesor de la universidad y más tarde del
Politécnico de Zurich, cargo que ejerce hasta 1914, año en que por consejo de Max Plank, se
traslada a Berlín, permaneciendo casi veinte años en la Academia Prusiana de Ciencias y
sucediendo a Van't Hoff en la dirección del Kaiser Wilhelm Institut.
En todos estos años que siguen a 1905, aunque sus estudios se encaminan con preferencia al
desarrollo de la Teoría de la Relatividad, Einstein aporta ideas fundamentales en otros campos
de la física teórica: en 1906 formula la teoría de los movimientos Brownianos, y en 1907 da a
conocer la teoría cuántica de los calores específicos, estudios que continúa en los años
siguientes.
A la generalización de la teoría de la relatividad y a la conexión entre los fenómenos
gravitacionales y movimientos acelerados Einstein dedica en Zurich, Praga y Berlín gran parte
de su actividad, sacando deducciones cuantitativas de las hipótesis fundamentales que puedan
ser verificadas experimentalmente: afirma que los rayos luminosos de las estrellas se curvan al
pasar por las proximidades del Sol (1911) ; da una interpretación de algunas irregularidades del
movimiento de Mercurio, que no encontraban explicación en el ámbito de la mecánica
newtoniana (1915), y explica teóricamente el desplazamiento hacia el rojo de las líneas
espectrales.
En 1916 publica la Teoría general de la Relatividad, obra que el mismo juzga como su mayor
contribución al pensamiento científico; en varias ocasiones llega a decir que la Teoría de la
Relatividad restringida habría sido enunciada incluso sin necesidad de su intervención, ya que
su enunciación estaba en el ambiente, mientras que con bastante mayor dificultad se habría
pensado, en ausencia de hechos experimentales, en tocar la teoría de la gravitación que parecía
definitivamente afirmada por Newton.
Einstein elabora una teoría que une los fenómenos de la gravitación y del electromagnetismo en
una sola fórmula , que simplifica en 1953 en la ecuación E=mc2.
Debido a la persecución racial nazi deja Alemania, estableciéndose en Bélgica y después en
Estados Unidos, trabajando en el Instituto de Estudios Superiores de Princeton y adoptando en
1940 la ciudadanía americana.
Hombre sencillo descuida toda exterioridad y formalismo, y estas cualidades humanas
contribuyen en alto grado a granjearle la simpatía del gran público.
75
El alcance filosófico de su obra ha sido y sigue siendo muy grande, puesto que la radical
modificación de los conceptos de espacio y tiempo introducida por la Teoría de la Relatividad
lleva consigo implicaciones filosóficas de gran importancia.
La eliminación en el dominio de la Física de los conceptos de un espacio y de un tiempo
absoluto ha constituido una verdadera revolución del pensamiento científico. Según Newton, los
hechos se desarrollaban en un cuadro inmutable, constituido por un espacio y un tiempo
absolutos; Einstein da la vuelta literalmente a ese punto de vista, pues según la Teoría de la
Relatividad no tiene sentido hablar de espacio y de tiempo, sino en relación a los fenómenos que
allí se desarrollan. Para llegar a este punto de vista tan revolucionario hace falta una
extraordinaria libertad de pensamiento que permita derribar conceptos que durante dos siglos
habían sido los pilares de la Física. Einstein demuestra poseer esta libertad y el coraje intelectual
para atacar por los cimientos un edificio científico cuyo prestigio derivaba de grandiosos éxitos.
Pero aunque sus ideas han
“Dios no juega a los dados”
producido profundos cambios
“La mecánica cuántica es muy imponente. Pero una voz interior
en las bases del pensamiento
me dice que todavía no es la última verdad. La teoría aporta
físico y fuese todo lo
mucho; sin embargo, casi no nos acerca al secreto de El Viejo. En
contrario a un conservador,
cualquier caso, estoy convencido de que Él no juega a los dados”
persigue hasta los últimos
“¿Cómo explicar que las matemáticas, un producto de la mente
años el ideal propio de la
humana, independiente de la experiencia, se adapte tan
admirablemente bien a los objetos de la realidad?”
Física clásica: en cada
“No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de
fenómeno de la realidad
explicárselo a tu abuela”
objetiva puede establecerse
“Si
crees
que
tienes
problemas con las matemáticas, no te
una clara relación entre causa
preocupes, te aseguro que los míos son peores”
y efecto. Tal planteamiento
no es compartido por la
Albert Einstein
mayor parte de los físicos
contemporáneos, los cuales, fundándose en los principios de la Teoría Cuántica, sostienen que
los acontecimientos que se desarrollan a escala atómica no son singularmente concebibles de
modo completo (Principio de Indeterminación). Esta profunda divergencia de ideales científicos
lleva a Einstein a rechazar generalizaciones que consideraba arbitrarias de la Teoría Cuántica,
de la cual es sin embargo uno de los fundadores.
Son también notables sus ideas en otros terrenos. Por ejemplo, en 1914 se niega a firmar el
manifiesto de los intelectuales alemanes que trata de justificar la agresión alemana contra
Bélgica; se dedica a proteger a los judíos y darles una patria en Palestina; protesta contra la
violencia nazi, y no ahorró esfuerzos para ayudar a los perseguidos por la política hitleriana.
En 1939, Fermi, Szilard y Eugene Xigner se dirigen a él para pedirle que, con su autoridad,
solicite el apoyo del presidente Roosvelt para el proyecto de preparación de la bomba atómica.
La elección para Einstein es dramática: seguir negando todo apoyo a cualquier iniciativa
bélica, corriendo el riesgo de que los alemanes lleguen a ser los primeros en poseer la terrible
arma, o renunciar a ideas afirmadas durante decenios. La necesidad de oponerse a la amenaza
del dominio nazi sobre el mundo le induce a abandonar sus dudas y a escribir la histórica carta
que da la señal de partida a los proyectos para la producción de la bomba atómica
norteamericana. Pero durante diez años, desde 1945, fecha de la destrucción atómica de
Hiroshima y Nagasaki, hasta su muerte, Einstein pone todo su prestigio al servicio de la causa
del empleo pacífico de la energía atómica. Cuando a Einstein le preguntaron, qué armas se
emplearían en la tercera guerra mundial contesto: “No lo sé, pero en la cuarta se usarán palos y
piedras”.
76
En 1948 se creó el estado de Israel. Cuando Chain Weizmann, el primer presidente de Israel y
un viejo amigo de Einstein, murió en 1952, a Einstein le ofrecieron la presidencia. Rechazó el
ofrecimiento diciendo “Estoy profundamente conmovido por el ofrecimiento del Estado de
Israel y a la vez tan entristecido que me es imposible aceptarlo”.
El propio Einstein nunca entendió la fascinación pública que provocaba con cada cosa que
hacía, afirmando en una ocasión “¿Por qué nadie me entiende y gusto a todo el mundo?”. Cada
14 de Marzo, Einstein recibía numerosas tarjetas de felicitación de personas de todo el mundo.
Murió el 19 de Abril de 1955 en el hospital de Princeton. Fue incinerado y sus cenizas
enterradas en un lugar desconocido.
Después de la muerte de Einstein, sus hijas Margot y Helen Dukas permanecieron en la casa
hasta sus muertes en 1986 y 1982 respectivamente. Tal y como fue su deseo la casa en la que
vivió sus últimos años nunca se convirtió en un museo.
77
Niels Bohr (1885-1962)
Físico danés, galardonado con el premio Nobel, que hizo
aportaciones fundamentales en el campo de la física nuclear y
en el de la estructura atómica.
Bohr nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885; era hijo de
un profesor de fisiología y estudió en la universidad de su
ciudad natal, donde alcanzó el doctorado en 1911. Ese mismo
año fue a la Universidad de Cambridge (Inglaterra) para estudiar
física nuclear con J.J. Thomson, pero pronto se trasladó a la
Universidad de Manchester para trabajar con Ernest Rutherford.
La teoría de la estructura atómica de Bohr, que le valió el
Premio Nobel de Física en 1922, se publicó en una memoria
entre 1913 y 1915. Su trabajo giró sobre el modelo nuclear del
átomo de Rutherford, en el que el átomo se ve como un núcleo
compacto rodeado por un enjambre de electrones más ligeros. El modelo de átomo de Bohr
utilizó la teoría cuántica y la constante de Planck. El modelo de Bohr establece que un átomo
emite radiación electromagnética sólo cuando un electrón del átomo salta de un nivel cuántico a
otro. Este modelo contribuyó enormemente al desarrollo de la física atómica teórica.
En 1916, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague como profesor de física, y en 1920 fue
nombrado director del Instituto de Física Teórica de esa universidad, recién constituido. Allí,
Bohr elaboró una teoría que relaciona los números cuánticos de los átomos con los grandes
sistemas que siguen las leyes clásicas, y realizó otras importantes aportaciones a la física
teórica. Su trabajo ayudó a impulsar el concepto de que los electrones se encuentran en capas y
que los de la última capa determinan las propiedades químicas de un átomo.
En 1939, reconociendo el significado de los experimentos de la fisión de los científicos
alemanes Otto Hahn y Fritz Strassmann, Bohr convenció a los físicos en una conferencia en
Estados Unidos de la importancia de estos experimentos. Más tarde, demostró que el uranio 235
es el isótopo del uranio que experimenta la fisión nuclear.
Bohr regresó posteriormente a Dinamarca, donde fue obligado a permanecer después de la
ocupación alemana del país en 1940. Sin embargo, consiguió llegar a Suecia con gran peligro de
su vida y de la de su familia. Desde Suecia, la familia Bohr viajó a Inglaterra y por último a los
Estados Unidos, donde Bohr se incorporó al equipo que trabajaba en la construcción de la
primera bomba atómica en Los Álamos (Nuevo México), hasta su explosión en 1945. Bohr se
opuso, sin embargo, a que el proyecto se llevara a cabo en total secreto, y temía las
consecuencias de este siniestro nuevo invento. Deseaba un control internacional.
En 1945, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague donde, inmediatamente, comenzó a
desarrollar usos pacifistas para la energía atómica. Organizó la primera conferencia 'Átomos
para la paz' en Ginebra, celebrada en 1955, y dos años más tarde recibió el primer premio
'Átomos para la paz'. Bohr murió el 18 de diciembre de 1962 en Copenhague.
78
Max Planck ( 1858 - 1947 )
Nació en Kiel, Alemania. Después de estudiar en Munich y Berlin, Planck obtuvo su grado de
doctor en 1879. Después de ocupar un cargo en la Universidad de Kiel, Planck fue nombrado
profesor de Física Teórica de la Universidad de Berlin en
1899 sustituyendo a Kirchhoff, permaneció aquí hasta
1926. Planck fue premiado en 1918 con el premio Nobel
por su descubrimiento de la naturaleza cuantizada de la
energía.
Al comenzar su carrera, Planck se dedicó al estudio de la
Termodinámica, tema éste por el que se interesó a lo
largo de toda su vida. Se propuso deducir la ley teórica de
la radiación de cuerpo negro. El éxito que coronó su
esfuerzo marca el comienzo de la física cuántica, y lo que
ahora se conoce como constante de Planck apareció por
primera vez en un artículo suyo de 1900.
La vida de Planck estuvo llena de tragedias personales.
Uno de sus hijos fue muerto en acción en la Primera
Guerra Mundial, y dos hijas suyas murieron durante el
parto en el mismo periodo. Su casa fue destruida por
bombas en la Segunda Guerra Mundial, y su hijo Erwin fue ejecutado por los nazis en 1944
después de habérsele acusado de planear el asesinato de Hitler.
Se convirtió en presidente del Kaiser Wilhem Institute de Berlin en 1930. En su honor dicho
centro cambió su nombre por el de Insituto Max Planck después de la Segunda Guerra Mundial.
Pasó los dos últimos años de su vida en Göttingen como un honrado y respetado científico y
humanista.
79
Werner Karl Heisenberg (1901-1976)
Físico y Premio Nobel alemán, que desarrolló un sistema de mecánica cuántica y cuya
indeterminación o principio de incertidumbre ha ejercido una profunda influencia en la física y
en la filosofía del siglo XX.
Heisenberg nació el 5 de diciembre de 1901 en Wurzburgo
y estudió en la Universidad de Munich. En 1923 fue
ayudante del físico alemán Max Born en la Universidad de
Gotinga, y desde 1924 a 1927 obtuvo una beca de la
Fundación Rockefeller para trabajar con el físico danés
Niels Bohr en la Universidad de Copenhague. En 1927 fue
nombrado profesor de física teórica en la Universidad de
Leipzig. Después fue profesor en las universidades de
Berlín (1941-1945), Gotinga (1946-1958) y Munich (19581976). En 1941 ocupó el cargo de director del Instituto
Kaiser Wilhelm de Química Física (que en 1946 pasó a
llamarse Instituto Max Planck de Física).
Estuvo a cargo de la investigación científica del proyecto de
la bomba atómica alemana durante la II Guerra Mundial. Bajo su dirección se intentó construir
un reactor nuclear en el que la reacción en cadena se llevara a cabo con tanta rapidez que
produjera una explosión, pero estos intentos no alcanzaron éxito. Estuvo preso en Inglaterra
después de la guerra.
Heisenberg, uno de los primeros físicos teóricos del mundo, realizó sus aportaciones más
importantes en la teoría de la estructura atómica. En 1925 comenzó a desarrollar un sistema de
mecánica cuántica, denominado mecánica matricial, en el que la formulación matemática se
basaba en las frecuencias y amplitudes de las radiaciones absorbidas y emitidas por el átomo y
en los niveles de energía del sistema atómico. El principio de incertidumbre desempeñó un
importante papel en el desarrollo de la mecánica cuántica y en el progreso del pensamiento
filosófico moderno.
En 1932, Heisenberg fue galardonado con el Premio Nobel de Física. Entre sus numerosos
escritos se encuentran Die physikalischen Prinzipien del Quantentheori (Los principios físicos
de la teoría cuántica, 1930), Cosmic Radiation (Radiación cósmica, 1946), Physics and
Philosophy (Física y filosofía, 1958) e Introduction to the Unified Theory of Elementary
Particles (Introducción a la teoría unificada de las partículas elementales, 1967).
80
Anexos
81
ANEXO I
Factores de Conversión
Longitud
1 año luz (ly) = 9’460 · 1012 Km
1 parsec (pc) = 3’086 · 1013 Km = 3’26 ly
1 micra (µm) = 10-6 m
1 angstrom (Å) = 10-10 m
1 fermi (fm) = 10-15 m
Masa
1 MeV/c2 = 1’78266270(54)·10-30 Kg
1 unidad de masa atómica (uam) = 1’6605·10-27 Kg = 931’49432(28) MeV/c2
Volumen
1 litro (l) = 1000 cm3 = 1 dm3
Densidad
1 g/cm3 = 1000 Kg/m3
Fuerza
1 newton (N) = 105 dinas (dyn)
1 kilopondio (Kp) = 9’807 N
Energía
1 joule (J) = 1 N·m = 107 ergios (erg) = 0’2389 cal
1 caloría (cal) = 4’186 J
1 kilowatt hora (KWh) = 3’60·106 J = 860’0 Kcal
1 electrón-voltio (eV) = 1’602·10-19 J
1 MeV = 103 KeV = 106 eV
Potencia
1 watt (W) = 1 J/s
Presión
1 N/m2 = 10 dyn/cm2 = 9’869·10-6 atm
1 atmósfera (atm) = 1’013·105 N/m2
82
ANEXO II
Constantes Físicas
Aceleración de la gravedad
g = 9’806 m/s2
Constante de gravitación
G = 6’673·10-11 N·m2/Kg2
Radio medio de la Tierra
6371 Km
Masa de la Tierra
5’977·1024 Kg
Radio medio del Sol
696000 Km
Masa del Sol
1’989·1030 Kg
Distancia media Tierra-Sol (1 U.A.)
1’496·108 Km
Masa de la Luna
7’35·1022 Kg
Distancia media Tierra-Luna
384400 Km
Masa del protón (en reposo)
mp = 1’672·10-24 g = 938’27231(28) MeV/c2
Masa del neutrón (en reposo)
mn = 1’675·10-24 g = 939’56563(28) MeV/c2
Masa del electrón (en reposo)
me = 9’109·10-28 g = 0’51099906(15) MeV/c2
Carga elemental
e = 1’602·10-19 C
Radio clásico del electrón
re = 2’818·10-13 cm
Radio de Bohr
a0 = 5’292·10-19 cm
Constante de Boltzmann
KB = 1’381·10-23 J/K = 8’62·10-5 eV/K
Constante de Planck
h = 6’626·10-34 J·s = 4’1357·10-15 eV·s
Constante de Planck reducida
h = h/2π
Constante de los gases
R = 8’314 J/K·mol = 1’987 cal/K·mol = 0’082 l·atm/K·mol
Constante de Stephan-Boltzmann
σ = 5’670·10-8 W/m2·K4
Constante de estructura fina
α = 7’297·10-3 = 1/137’0359895(61)
Número de Avogadro
NA = 6’022·1023 mol-1
Velocidad de la luz en el vacío
c = 299792’458 m/s
83
ANEXO III
Ecuaciones de Einstein del Campo Gravitatorio
La física newtoniana nos da lugar a la ecuación de Poisson:
∆φ = 4πGρ
Donde φ es el potencial del campo gravitatorio y ρ es la densidad de materia que lo
genera. (Notar que si no hay fuente aparece la ecuación de Laplace). Lo cual, expresado
en lenguaje coloquial se puede traducir por:
(∂ 2 )( potencial ) = ct ⋅ ( fuente)
En Relatividad General ha de tener una estructura similar, ya que la ecuación de Poisson
ha de aparecer de forma natural como caso límite de la RG.
¿Qué va a generar el campo gravitatorio? Lo más lógico es que sea la distribución de
energía (masa), la cual queda determinada por el tensor de Energía-Momento Tλµ. Así,
proponemos:
Sλµ = χ ⋅ Tλµ
Donde χ es una constante y Sλµ recibe el nombre de Tensor de Einstein.
De Sλµ sabemos que:
1) Es un tensor simétrico y dos veces covariante.
2) Al incluir todas las energías tenemos que ∇ λ T λµ = 0 , lo cual impone que
∇ λ S λµ = 0 también.
3) Sλµ depende linealmente de las ∂ 2 gαβ .
4) En el límite newtoniano debe aparecer la ecuación de Poisson.
El tensor más general que cumple 1) y 3) es:
Sλµ = aRλµ + bgλµ R + Λgλµ
Con a, b y Λ constantes.
Ahora aplicando 2):
∇ λ Sλµ = a∇ λ Rµλ + b∇ µ R + 0 =
FG a + bIJ ∇ R = 0
H2 K
µ
Donde se ha usado la segunda identidad de Bianchi contraida dos veces
1
( ∇ λ Rµλ = ∇ µ R ). Con lo que:
2
a + 2b = 0
Así, dividiendo por a y redefiniendo Λ y χ obtenemos:
Rλµ −
1
gλµ R + Λgλµ = χ ⋅ Tλµ
2
84
Λ recibe el nombre de constante cosmológica y tiene unidades de longitud-2.
Por consideraciones dimensionales y aplicando 4) podemos obtener que χ =
Λ = 0, o bien, muy pequeña.
8πG
y que
c2
Resumiendo,
Rλµ −
1
8πG
gλµ R = 2 Tλµ
2
c
Que son las denominadas Ecuaciones de Einstein del Campo Gravitatorio.
Es un sistema de 10 ecuaciones diferenciales de 2º orden acopladas y no lineales.
Al no ser lineales no es válido el principio de superposición, i.e. la suma de soluciones
no es solución. Esto se debe, entre otras cosas, a que el campo gravitatorio es fuente de
sí mismo, se autoalimenta.
85
ANEXO IV
Modelos Particulares
A partir de ρ y p reales obtenemos a(t). Es decir, se impone una ecuación barotrópica
del tipo p = p(ρ) conocida.
Los casos esenciales son:
•
•
Materia pulverulenta (“dust”)
p=0
Materia comprimida o de tipo radiativo.
1
p= ρ
3
(El 1/3 viene de que es el factor necesario para hacer que el tensor
energía-momento tenga traza nula).
Modelos Históricos
• Universo Estático de Einstein
a = constante ≡ aE
Esto implica que, ρ + 3 p = 0 . Por otra parte ρ& = 0 → ρ = constante ≡ ρ E . Así, de la
tercera ecuación de Friedmann, tenemos que:
R|
S|
T
ε = 0 → No. Minkowsky.
3ε
χρ E = 2 ε = −1 → No. Densidad negativa.
aE
ε =1
El tercer caso era el único válido, sin embargo da lugar a que p sea <0. Por esta razón
Einstein modificó su teoría añadiendo un término que, de forma efectiva, actuaba como
una presión negativa. Es la constante cosmológica.
Rλµ −
1
gλµ R = χTλµ − Λgλµ
2
Con lo que la presión y la densidad quedan modificadas de la siguiente manera.
Λ
~
p = p+
χ
Λ
~
ρ = ρ−
χ
Este cambio deja invariante las ecuaciones de Einstein, ya que elimina el término de la
~ es positiva.
constante cosmológica y la suma de ~
ρ + 3p
86
p → 0 (universo pulverulento) obtenemos,
Haciendo ~
1
aE
Λ=
~= 2
χρ
a E2
Es una relación entre materia y radio de curvatura. Estamos en un universo cerrado. Es
un universo finito e ilimitado; una esfera 3D.
Al tiempo que Hubble demostró que el universo no es estático y está en expansión
Einstein desechó el término de la constante cosmológica diciendo que fue el mayor
error de su vida.
Einstein fue el primero en tratar el Universo como un todo y en cambiar la topología de
R3xR a RxS(3).
• Modelos de de-Sitter
Son los modelos de curvatura constante, y por lo tanto máximamente simétricos. Exigió
que el espacio-tiempo fuera homogéneo e isótropo, y no tan sólo el espacio.
Como soluciones de vacío obtuvo:
Λ 2
(1)
a
3
Lo cual nos da lugar a tres casos posibles en función de ε:
a& 2 + ε =
Parámetros
ε=1
Λ>0
de Sitter
Factor de
Escala
a (t ) = α cosh
α=
ε=0
Λ>0
“Steady State”
Einstein-de Sitter
ε = -1
Λ<0
Anti de Sitter
ε = -1
Λ=0
Estado Asintótico
de Milne
FG t IJ
Hα K
Elemento de línea
ds 2 = − dt 2 + α 2 cosh 2
3
Λ
−3
Λ
a (t ) = t
2
+ r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ ⋅ d φ 2 )
c
a (t ) = α cos
α=
2
ds2 = − dt 2 + e 2 t α dx 2 + dy 2 + dz 2
a (t ) = e t α
FG t IJ
HαK
FG t IJ LM dr
H α K N1 − r
ds2 = −dt 2 + α 2 cos2
ds = − dt
2
FG t IJ LM dr
H α K N1 + r
2
L dr
+t M
N1 + r
2
2
2
2
2
87
h
+ r 2 (dθ 2 + sin2 θ ⋅ dφ 2 )
+ r 2 (dθ 2 + sin 2 θ ⋅ dφ 2 )
El cuarto modelo es una parte de Minkowski en coordenadas diferentes.
OP
Q
OP
Q
OP
Q
Bibliografía
88
Física Cuántica
Física Cuántica
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El Universo Elegante
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Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General.
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¿Qué es la Teoría de la Relatividad?
Levi Landau, Ed. Ricardo Aguilera, 1968
¿El Legado de Einstein?
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89
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Stephen Hawking, Ed. Alianza, 1988
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George Gamow, Ed. RBA, 1952
An Introduction to Modern Cosmology
Andrew Liddle, Ed. Wiley, 1999
L’Univers en una Closca de Nou
Stephen Hawking, Ed. Crítica, 2002
90