plif`fq^`flkbp=kloj^ibp=f - RUA

OPENCOURSEWARE
INGENIERIA CIVIL
I.T. Obras Públicas / Ing. Caminos
plif`fq^`flkbp=kloj^ibp=f
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af`lmfr
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
página 1
l_gbqfslp
 Repasar los dominios de deformación y su relación con la posición del eje neutro
 Plantear las ecuaciones básicas empleadas en el cálculo de solicitaciones normales
 Plantear los diversos casos de cálculo de secciones en función de la solicitación existente
 Definir los conceptos de cuantías mínimas geométrica y mecánica, y su determinación
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
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`lkqbkfalp
1. El cálculo de secciones
2. Cálculo a tracción
3. Cálculo a flexión
4. Cálculo a compresión
5. Cuantías mínimas
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
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NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp
 Ecuaciones básicas a emplear:
 Equilibrio de Fuerzas:
Nd = fcd by ∙ y + Us1 + Us2
 Equilibrio de Momentos:
Nd∙ e1 = fcd by ∙ y (d ‐ y/2) + Us2 (d – d’)
Nd
d’
As2
by
fcd
εc
‐
x
σs2
εs2
‐
Us2
y
e1
d
As1
SECCIÓN
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
εs1
+
Deformaciones
σs1
+
Tensiones Acero
Us1
Esfuerzos
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NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp
 Debe distinguirse entre: [Art. 42.1.4]
 Dimensionamiento (o “Cálculo”):
 Datos: Nd ,Md (e=Md / Nd)
 Incógnitas: x, Us1, Us2
 Comprobación (o “Verificación”):
 Datos: Us1, Us2
 Incógnitas: x, Nu, e1 (ó Mu)
 Simplificaciones de cálculo: [Anejo 7 EHE]
 Sección rectangular  by = b = cte
 Recubrimientos iguales: d1 = d2 = d’, con d’/d ≤ 0,20
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NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp
POSICIÓN DEL EJE NEUTRO Y SECCIÓN COMPRIMIDA EN CADA DOMINIO
x ≤ 0
x ≤xcri= 0,259d
xcri
x ≤ xlim= 0,63d
d
Dominio 1
d
Dominio 3
Dominio 2
xlim
Dominio 4/4a
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
x ≤ d
x ≤ h
x ≥ h
Dominio 5
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NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp
 Casos de diseño a analizar:
 Caso I: Tracción (Dominio 1)
 Caso I.a – Tracción simple
 Caso I.b – Tracción compuesta
 Caso II: Flexión (Dominios 2, 3 y 4)
 Caso II.a – Flexión simple
 Caso II.b – Flexión compuesta
 Caso III: Compresión (Dominio 5)
 Caso III.a – Compresión compuesta
 Caso III.b – Compresión simple
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OK=`ži`ril=^=qo^``fþk
 Caso I.a: Tracción simple
 Equilibrio de la sección:
ESQUEMA DE SECCIÓN
x  ‐ ∞
Nd  U s1  U s 2  As1 f yd  As 2 f yd
 Incógnitas: As1, As2
εs2 = 0,010
 Condición de diseño:
Us2
εs1 =εs2  As1=As2
Nd
εs1 = 0,010
Deformaciones
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Us1
Esfuerzos
 Ecuaciones de cálculo:
Nd  2  U  2  As f yd
Nd
U s1  U s 2  U 
2
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OK=`ži`ril=^=qo^``fþk
 Caso I.b: Tracción compuesta
 Condición caso: e ≤ (d–d’)/2
ESQUEMA DE SECCIÓN
 Equilibrio de la sección:
Nd  U s1  U s 2  As 1 f yd  As 2 s 2
x
d’
εs2
 d  d' 
 e   As 2 s 2(d  d ')
Nd  
 2

Us2
 Incógnitas: As1, As2, σs2
εs1 = 0,010
(d‐d’)/2
d
Deformaciones
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e
Nd
 Ecuaciones de cálculo:
[(d‐d’)/2]‐e
Us1
Esfuerzos
U s 1  Nd  U s 2 
U s2 
Nd
Md

2 d  d'
Nd
Md

 As 2  f yd
2 d  d'
página 9
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Caso II.a: Flexión simple
 Equilibrio de la sección:
ESQUEMA DE SECCIÓN
U s 1  fcd  b  y  U s 2
fcd
d’
Us2
d – d’
d – y/2
x
εs2
d
Md
εs1
Deformaciones
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y
Us1
Esfuerzos
y

Md  fcd  b  y  d    U s 2(d  d ')
2

 Incógnitas: Us1, Us2, y
 Subcasos de cálculo:
 Dominio 2: Hormigón poco aprovechado, rotura poco dúctil
 Dominio 3: El más habitual,
rotura dúctil
 Dominio 4: Acero a tracción desaprovechado (σs1 < fyd)
página 10
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Concepto de Momento Límite (Mlim):
 Definición:
ESQUEMA DE SECCIÓN
fcd
ylim = 0,5d
d ‐ ylim/2
d
xlim = 0,63d
ε = 0,0035
Mlim
εy = 0,002
Deformaciones
Us1
Esfuerzos
Valor máximo del momento de cálculo Md para el cual la sección trabaja en Dominio 3 (x ≤ xlim)
 Cálculo de Mlim:
y 

Mlim  fcd  b  ylim  d  lim 
2 

x lim  0,63d  ylim  0,5d
Mlim  0,375  fcd bd 2
de donde se obtiene:
M lim  0,375  U 0 d
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PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Subcaso II.a.1: Flexión simple en Dominio 2
 Condición subcaso (x ≤ xcri):
ESQUEMA DE SECCIÓN
fcd
y ≤ ycri
x ≤ xcri
ε ≤ 0,0035
Md≤ Mcri=0,186·U0·d
d ‐ y/2
d
Md
εy = 0,010
Deformaciones
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
Us1
Esfuerzos
 Equilibrio de la sección:
U s1  fcd  b  y
y

Md  fcd  b  y   d  
2

 Incógnitas: Us1, y
 Ecuaciones de cálculo:

2Md
U s1  U0  1 ‐ 1 ‐

U 0d




página 12
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Subcaso II.a.2: Flexión simple en Dominio 3
 Condición subcaso (x ≤ xlim):
ESQUEMA DE SECCIÓN
fcd
x ≤ xlim
y ≤ ylim
ε = 0,0035
Mcri ≤ Md≤Mlim=0,375·U0·d
εs1
d ‐ y/2
d
Deformaciones
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
Md
Us1
Esfuerzos
 Equilibrio de la sección:
U s1  fcd  b  y
y

Md  fcd  b  y   d  
2

 Incógnitas: Us1, y
 Ecuaciones de cálculo:

2Md
U s1  U0  1 ‐ 1 ‐

U 0d




página 13
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Subcaso II.a.3: Flexión simple en Dominio 4
 Condición subcaso (x > xlim):
ESQUEMA DE SECCIÓN
ylim = 0,5d
fcd
Us2
d – d’
d
xlim = 0,63d
ε = 0,0035
Md>Mlim=0,375·U0·d
Md
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
Us1  fcd  b  ylim  Us2
y 

Md  fcd  b  ylim  d  lim   Us2(d  d ')
2 

 Incógnitas: Us1, Us2
εy = 0,002
Deformaciones
 Equilibrio de la sección:
Us1
Esfuerzos
 Ecuaciones de cálculo (y = ylim):
Md  Mlim
d  d'
U s1  0,5  U0  U s 2
U s2 
página 14
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Flexión compuesta. Teorema de Ehlers
ESQUEMA DE SECCIÓN
Nd
Nd
d’
fcd
ε = 0,0035
εs2
e
x
Us2
y
e1=e+d‐h/2
e1
d – h/2
d
εs1
Deformaciones
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=
Nd
Us1
Esfuerzos
=
Me
+
U’s1
Nd
Flexión simple
Me = Nd ∙ e1
+
Axil sobre Us1
U’s1 = Nd
página 15
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Caso II.b: Flexión compuesta
 Condición de caso:
ESQUEMA DE SECCIÓN
d’
ε = 0,0035
εs2
Us1=Ue1 – Nd ≥ 0 [Tracción]
fcd
Us2
x
d
 Equilibrio de la sección:
y
Me = Nde1
Nd
εs1
Ue1
Ue1  fcd  b  y  Us2
y

Me  fcd  b  y  d    Us2(d  d ')
2

 Incógnitas: Us1, Us2, y
 Subcasos de cálculo:
Deformaciones
Esfuerzos
 Me ≤ Mlim  Us2 = 0
 Me > Mlim  Us2 ≠ 0
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página 16
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Subcaso II.b.1: Flexión compuesta (Me ≤ Mlim)
 Condición de subcaso:
ESQUEMA DE SECCIÓN
d’
ε = 0,0035
εs2
Me =Nd ·e1 ≤Mlim=0,375U0d
fcd
 Equilibrio de la sección:
y
x
d
Me = Nde1
Nd
εs1
Ue1
Ue1  fcd  b  y
y

Me  fcd  b  y  d  
2

 Incógnitas: Us1, y
 Ecuaciones de cálculo:
Deformaciones
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
Esfuerzos

2Me
U s 1  U0  1 ‐ 1 ‐

U 0d




página 17
PK=`ži`ril=^=cibufþk
 Subcaso II.b.2: Flexión compuesta (Me > Mlim)  Condición de caso:
ESQUEMA DE SECCIÓN
d
Us2
y = 0,5d
x = xlim
d’
ε = 0,0035
εs2
Me=Nd ·e1> Mlim=0,375·U0·d
fcd
Me = Nde1
Nd
εs1
Deformaciones
Ue1
Esfuerzos
 Equilibrio de la sección (y=ylim):
Ue1  0,5  U0  Us2
Me  0,375  U0d  Us2(d  d ')
 Incógnitas: Us1, Us2
 Ecuaciones de cálculo:
Us1  0,5 U0  Us2
Us 2 
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Me  Mlim
d  d'
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QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk
 Caso III.a: Compresión compuesta
 Condición de caso:
ESQUEMA DE SECCIÓN
y = h
d ‐ h/2
εs2
x
e
Us2
Nd
d
εs1
Us1
d’
Md = Nd ∙ e
h 
h

M'd   Nd - U0  d  
d 
2

Deformaciones
Esfuerzos
Us1=Ue1 – Nd < 0 [Compr.]
 Equilibrio de la sección:
h
Nd  U0  Us1  Us2
d
h  h 

Md   Nd ‐ U0  d    Us1(d  d ')
d  2 

 Incógnitas: Us1, Us2, y
 Subcasos de cálculo:
 Md < M’d  Us1 ≠ 0
 Md ≥ M’d  Us1 = 0
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QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk
 Subcaso III.a.1: Compr. compuesta (Md < M’d)
 Equilibrio de la sección:
ESQUEMA DE SECCIÓN
d ‐ h/2
y = h
x ≥ 1,25 h
εs2
e
Us2
Nd
d
εs1
Us1
d’
h 
h

M'd   Nd - U0  d  
d 
2

(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
 Incógnitas: Us1, Us2
 Ecuaciones de cálculo:
Md = Nd ∙ e
Deformaciones
h
Nd  U0  Us1  Us2
d
h  h 

Md   Nd ‐ U0  d    Us1(d  d ')
d  2 

Esfuerzos
Nd
Md
h
 0,5  U0 
2
d 2d  h
N
Md
h
U s 2  d  0,5  U0 
2
d 2d  h
U s1 
página 20
QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk
 Subcaso III.a.2: Compr. compuesta (Md ≥ M’d)
ESQUEMA DE SECCIÓN
e
 Ecuaciones de cálculo:
εs1
Md = Nd ∙ e
Deformaciones
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Us2
Nd
 Incógnitas: y, Us2
d
y < h
x < 1,25 h
εs2
 Equilibrio de la sección:
y
Nd  U0  Us2
d
y
y
 h
Md  Nd  d    U0  d  
d 2
 2
Esfuerzos
Us1  0


 h
Nd d    Md 

2
h 

Us2  Nd U0  1  1 12d 
2

U0(hd) 
d 




página 21
QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk
 Caso III.b: Compresión simple
 Equilibrio de la sección:
ESQUEMA DE SECCIÓN
Nd  Ac fcd  As1 f yd  As 2 f yd
εs2 = 0,002
Us2
 Incógnitas: As1, As2
Nd
 Condiciones de diseño:
εc=εs=0,002 fyd ≤400MPa
εs1 = 0,002
Us1
 Ecuaciones de cálculo:
x  ∞
Deformaciones
εs1 =εs2  As1=As2
Nd  U0  2  U  Uc  2 As f yd
Esfuerzos
U s1  U s 2  U 
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Nd  U c
2
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RK=`r^kqð^p=jðkfj^p
 Armadura longitudinal que debe disponerse como mínimo dentro de la sección
 Existen dos tipos de cuantías mínimas:
 Mecánica (ωmin):
 Evita la rotura frágil (agria) de la sección
 Geométrica (ρmin):  Minimiza la posible fisuración por acciones térmicas y/o por retracción del hormigón
 Además, facilita el montaje de la armadura
 Normalmente se expresa como un ‰ de la sección bruta de hormigón (Ac)
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RK=`r^kqð^p=jðkfj^p
 Cuantías mecánicas mínimas: [Art. 42.3.2]
 Armadura mínima de tracción en flexión:
‐ σt
‐ σt
G
dt
Mt
As1
Nt
Nc
z = 0,8∙h
Nc
Esfuerzos sin armadura mínima
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Mt
I
; W1 
W1
dt
Mt  Nt z   tW1
Mt
Us1
σt = fct,m,fl
Sección
t 
Esfuerzos con armadura mínima
W1
W
t  1 t
z
0,8h
f
1,5  fcd
 t  ck 
10
10
W
U s 1  Nt  0,20 1 fcd
h
Nt 
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RK=`r^kqð^p=jðkfj^p
 Cuantías mecánicas mínimas:
 Flexión simple y compuesta: [Art. 42.3.2]
 Armadura traccionada:
 Sección cualquiera: Us1 = As ∙ fyd ≥ W1/(0,8∙h)∙fctm,fl
 Sección rectangular: Us1 = As ∙ fyd ≥ 0,04∙Uc
 Armadura comprimida:  Flexión compuesta: Us2 = A’s ∙ fyd ≥ 0,05 Nd
 Compresión simple o compuesta: [Art. 42.3.3]
 Comp. Cª (por cara): 0,5 fcd ∙ Ac > A’s,cara ∙ fyc,d ≥ 0,05 Nd
 Compresión simple: fcd Ac > A’s,total ∙ fyc,d ≥ 0,10 Nd
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RK=`r^kqð^p=jðkfj^p
 Cuantías geométricas mínimas (‰): [Tabla 42.3.5]
Tipo de elemento estructural
Muros (5)
Tipo de acero
B 400
B 500
Pilares
4,0
4,0
Losas (1)
2,0
1,8
Vigas (4)
3,3
2,8
Armadura horizontal
4,0
3,2
Armadura vertical
1,2
0,9
(1) Cuantía mínima de cada una de las armaduras, longitudinal y transversal repartida en las dos caras. Para losas
de cimentación y zapatas armadas, se adoptará la mitad de estos valores en cada dirección, dispuestos en la
cara inferior.
(4) Cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una
armadura mínima igual al 30% de la consignada. (As2 =0.30∙As1,mín)
(5) La cuantía mínima vertical es la correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara
opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada. (As2 =0.30 As1,mín)
En el caso de muros con espesores ≥ 50 cm, se considerará un área efectiva de espesor máximo 50 cm.
distribuidos en 25 cm. a cada lado, ignorando la zona central que queda entre estas capas superficiales
(c) 2010-11 Luis Bañón Blázquez. Universidad de Alicante
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