Práctico 16 Desarrollo de Taylor

Práctico 16
Desarrollo de Taylor
Cálculo 1 Anual 2016
Ej1 Hallar el desarrollo de Taylor de orden n de las siguientes funciones, alrededor de a = 0:
a)
1
2−x
f) ex − cos x
b)
1
, b 6= 0
b−x
c)
1
x2 − 3x + 2
h) sen2 x
g) sen(x) cos(x)
d) log(1 + x)
i)
1 + x2
1 − x2
e) log
1+x
1−x
j) log(1+sen x) (orden 4)
Ej2 El polinomio de Taylor de orden 4 alrededor de a = 0 asociado a una cierta función f es 3 − 5x +
4x2 − x3 − 2x4 . Calcular f (0), f 0 (0), f 00 (0), f (3) (0) y f (4) (0).
Ej3 Calcular los siguientes lı́mites aplicando desarrollos de Taylor:
sen(x) − x
x3
log(1 + x) − sen(x)
c) lı́m
x→0
x2 + 4x3
cos(sen(x)) − cos(x)
e) lı́m
x→0
x4
x − log(1 + x)
x2
x
x(e + 1) − 2(ex − 1)
d) lı́m
x→0
x3
sen(x) − x cos(x)
f) lı́m
,α > 0
x→0
xα
a) lı́m
b) lı́m
x→0
x→0
Ej4 Determinar los valores de los parámetros para obtener un infinitésimo del mayor orden posible para
x → 0.
a) a(ex − 1) − bx2 − x
b) x + a sen(x) + b tan(x)
c) ex sen(x) − (ax + bx2 + cx3 )
Ej5 Usando el desarrollo de Taylor de orden 8 alrededor de a = 0 para sen(x), calcular un valor
aproximado de sen(1) y demostrar que el error cometido es menor que 3 × 10−6 = 0, 000003.
Ej6 Hallar e0,1 , sen(0, 2) y cos(0, 2) con errores menores que 0, 001.
Ej7 Usando el desarrollo de Taylor de log(1 + x) alrededor de a = 0, calcular log(1, 5) con error menor
que 0, 001. Comparar este resultado con el valor para log(1, 5) que da la calculadora. Volver a hacer
el ejercicio con error menor que 0, 0001.
Ej8 Consideremos la función: f (x) = ex − x − 2 + cos(x) −
x3
.
6
(a) Encontrar el polinomio de Taylor de orden 4 de f alrededor de a = 0.
(b) Analizar si f presenta un máximo o un mı́nimo relativo en 0.
f (x)
(c) Calcular, discutiendo según α > 0, el lı́mite lı́m α .
x→0 x
Ej9 Calcular los siguientes lı́mites usando la regla de L’Hopital:
ax − bx
con a, b > 0
x→0
x
sen π log(x)
d) lı́m 3 2x
x→1 (x + 5)(x − 1)
a) lı́m
sen(ax)
con b 6= 0
x→0 sen(bx)
b) lı́m
1
e) lı́m x 1−x
x→1
1
1 − cos2 (x)
x→0 x tan(x)
c) lı́m
1
f) lı́m (x + e2x ) x
x→0
Ej10 Calcular los siguientes lı́mites:
1
e − x2
a) lı́m 1000
x→0 x
c)
lı́m (x2 −
1
1
b) lı́m x cos
−1+ 2
x→+∞
x
2x
1
1
d) lı́m x 4 sen √
x→+∞
x
4
p
x→+∞
x4 − x2 + 1)
ax
con a > 1
x→+∞ xb
1
1
√
−
g) lı́m
x→0 log(x +
1 + x2 ) log(1 + x)
e)
f)
lı́m
cosh(x + 1)
x→+∞
ex
lı́m
Ejercicio opcional
En este Ejercicio se expone un método para calcular π, usando la fórmula de Taylor de arctan x.
Se basa enque π es próximo a 3, 2, de modo que π4 es próximo a 0, 8 ó 54 , y este valor es próximo a
4 arctan 15 . Poner α = arctan 15 , β = 4α − π4 .
(a) Utilizar la identidad
tan(A + B) =
tan A + tan B
1 − tan A tan B
5
poniendo A = B = α y luego A = B = 2α para hallar tan 2α = 12
y tan 4α = 120
119 . Utilizarla
π
1
identidad una vez más con A = 4α, B = − 4 para obtener tan β = 239 . Esto origina la siguiente
identidad notable descubierta en 1706 por John Machin (1680-1751):
1
1
π = 16 arctan
− 4 arctan
5
239
(b) Utilizar el polinomio de Taylor T11 (arctan(x)) alrededor de a = 0 con x =
1
3, 158328934 < 16 arctan
< 3, 158328972
5
1
5
para demostrar que:
1
para demostrar que:
(c) Utilizar el polinomio de Taylor T3 (arctan(x)) alrededor de a = 0 con x = 239
1
−0,016736309 < −4 arctan
< −0,016736300
239
(d) Utilizar las partes a), b) y c) para demostrar que el valor de π hasta siete decimales es 3,1415926.
2