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U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES
I NGENIERIA EN AUTOMATIZACI ÓN Y C ONTROL I NDUSTRIAL
Procesos y Máquinas Industriales II
CLASE VII
C ONDUCCI ÓN EN ESTADO TRANSITORIO
Sólido con cambio repentino en su medio térmico
Suposición: grad de temperat. en el sólido despreciable.
Por Ley de Fourier, cond. de calor sin grad. de T:
k → ∞ (imposible)
Es aceptable si Rcond <<< Rconv
Balance de energı́a total:
−Ės
=
Ėa
−h As (T − T∞ )
=
ρV c
Cambio de variables: θ = T − T∞ →
dθ
dt
=
dT
dt
dT
dt
Se obtiene
ρ V c dθ
= −θ
h As dt
Separando variables e integrando, con las cond. iniciales:
t = 0 → T (0) = Ti
Z θ
ρV c
dθ
−
h As θi θ
ρV c
θ
ln
−
h As
θi
Z
=
t
dt
0
=
t
Entonces
2 O C UATRIMESTRE 2015
Prof. Mariana A. Suarez
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Procesos y Máquinas Industriales II
2o Cuatrimestre 2015
Clase VII
θ
θi
T − T∞
Ti − T∞
=
= e
−h As
ρV c
t
Observemos que: t → ∞ =⇒ T − T∞ → 0
√
Constante de tiempo térmica τt :
1
ρ V c = Rt Ct
h As
τt =
donde
Rt : resistencia a la transf. por conv.
Ct : capacitancia térmica concentrada
Transferencia total de calor hasta un tiempo t
Z t
Z
Q =
q dt = h As
0
t
θ dt
0
Reemplazando e integrando
Q
=
ρ V c θi [1 − e
−Q
=
∆ Ea
− τt
t
]
Q > 0, disminución de energia interna, apagamiento.
Q < 0, aumento de energı́a interna, calentamiento.
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Clase VII
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VALID ÉZ DEL M ÉTODO
Pared plana, cond. estado estac.
Bce. de energı́a superficial
kA
(Ts1 − Ts2 ) = h A(Ts2 − T∞ )
L
La igualdad anterior puede escribirse
Ts1 − Ts2
L / kA
Rcond
hL
=
=
=
= Bi
Ts2 − T∞
1 / hA
Rconv
k
Bi: número de Biot.
Conclusión:
La hipótesis de temp. uniforme en el sólido es válida si Bi <<< 1, es decir:
resist. a la cond. en el sól. <<< resist. a la conv. en la capa lı́m. fluı́do
Para analizar cond. en estado transitorio, calcular Bi como
Bi =
h Lc
k
Lc : longitud caracterı́stica

P ared plana, espesor 2L : Lc = L
V 
Cilindro, radio r0 : Lc = r20
Lc =
As 
Esf era, radio r0 : Lc = r30
También puede escribirse:
h As t
ht
h Lc k t
h Lc
t
=
=
=
α 2 = Bi . F o
2
ρV c
ρ c Lc
k ρ c Lc
k
Lc
donde F o =
αt
L2c
es el número de Fourier.
Entonces, la ecuación adimensional de la temperatura puede escribirse:
θ
T − T∞
=
= e(−Bi F o)
θi
Ti − T∞
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Análisis del método de la capacitancia concentrada:
Principio de conservación de la energı́a instantánea
q”s Ash + Ėg − (q”conv + q”rad ) As(c,r) = ρ V c
dT
dt
4
)] As(c,r) = ρ V c
q”s Ash + Ėg − [h (T − T∞ ) + σ (T 4 − Tamb
dT
dt
EDO de primer orden
No lineal
No homogénea
Sin solución exacta
C ASOS SIMPLIFICADOS
1. Convección despreciable frente a radiación
q”s = 0 Ėg = 0
dT
4
ρV c
= − σ (T 4 − Tamb
) As(c,r)
dt
Separando variables e integrando, se llega a
Tamb + T ρV c
− ln
t =
ln 3
Tamb − T 4 Asr σ Tamb
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Tamb + Ti T
Ti
−1
+ 2 tan−1
− tan
Tamb − Ti Tamb
Tamb
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Pero si Tamb = 0,
ρV c
t =
3 Asr σ
1
1
− 3
T3
Ti
2. Despreciando la radiación, h 6= f (t)
Introduciendo θ = T − T∞ , queda:
dθ
dT
=
dt
dt
Entonces
dθ
+ aθ − b = 0
dt
h Asc
ρV c
donde a =
yb =
q”s Ash + Ėg
.
ρV c
EDO de primer orden
Lineal
No homogénea
La ec. anterior puede resolverse:
con la sol. de la homogénea y una solución particular.
con un cambio de variables: θ0 = θ −
Como
dθ0
dt
=
dθ
dt ,
b
a
se obtiene:
dθ0
+ a θ0 = 0 ⇒
dt
Entonces
Z
θ0
θi0
dθ0
=
a θ0
Z
t
−dt
0
θ0
= e−at
θi0
Sustituyendo
T − T∞ − b/a
Ti − T∞ − b/a
=
e−at
T − T∞
Ti − T∞
=
e−at +
b/a
(1 − e−at )
Ti − T∞
Si b = 0, q”s = 0, Ėg = 0 se obtiene la ec.
Si t → ∞, T − T∞ =
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b
a
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E FECTOS ESPACIALES
Si el grad. de T no es despreciable → otro método.
En la ec. de calor en su forma gral.,
Suposiciones:
transf. unidimensional
Ėg = 0
k = cte.
∂2T
1 ∂T
=
∂x2
α ∂t
Cond inicial T (x, 0) = Ti
Cond. contorno
∂T
∂x x=0
∂T
−k
∂x x=L
=
0
=
h [T (L, t) − T∞ ]
Se ve que la temp. de la pared depende de varios parámetros fı́sicos:
T = T (x, t, Ti , T∞ , L, k, α, h)
A DIMENSIONALIZACI ÓN
Agrupar var. relevantes definiendo parámetros adimensionales.
Temperatura
θ
=
T − T∞
θi
=
Ti − T∞
θ∗ =
θ
0 ≤ θ∗ ≤ 1
θi
Coordenada espacial
x∗ =
x
L
Tiempo
t∗ =
αt
= Fo
L2
La ecuación de calor queda:
∂ 2 θ∗
∂θ∗
=
∂x∗2
∂F o
Condición inicial
θ∗ (x∗ , 0) = 1
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Condiciones de contorno
∂θ∗
∂x∗ x∗ =0
∂θ∗
∂x∗ x∗ =1
=
0
=
−Bi θ∗ (1, t∗ )
Entonces adimensionalmente,
θ∗ = f (x∗ , Bi, F o)
PARED PLANA CON CONVECCI ÓN
1. Solución exacta:
Sea la pared plana de espesor 2 L
Suposiciones
conducción unidimensional en x.
Distrib. inicial de temp. uniforme T (x, 0) = Ti
Además, distrib. simétrica respecto del plano medio (x∗ = 0).
Solución exacta:
θ∗ =
∞
X
2
Cn e(−ξn F o) cos(ξn x∗ )
(1)
n=1
donde
Cn =
4 senξn
,
2ξn + sen2ξn
Fo =
αt
L2
Los autovalores de ξn son las raı́ces positivas de la ecuación trascendente:
ξn tanξn = Bi
2. Solución aproximada: Se puede dem. que para F o > 0,2, la ecuación (1) puede aproximarse con el
primer término de la serie.
Entonces se obtienen
2
θ∗ = C1 e(−ξ1 F o) cos(ξ1 x∗ )
θ∗ = θ0∗ cos(ξ1 x∗ )
2
−T∞
Con θ0∗ = TT0i −T
= C1 e(−ξ1 F o) en x∗ = 0
∞
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√
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C1 y ξ1 están tabulados para un rango determinado de Bi
3. Transferencia total de energı́a: Dato: energı́a total hasta un instante t.
Aplicando conservación de energı́a para un ∆ t,
Ee − Es
=
∆ Ea
Q
=
Q
=
−[E(t) − E(0)]
Z
− ρ c[T (x, t) − Ti ] dV
Se integra sobre el volumen de pared.
Adimensionalizando, Q0 = ρ V c (Ti − T∞ )
Q0 : energı́a interna inicial de la pared relativa a la temp. del fluı́do.
Sup. propiedades constantes,
Q
=
Q0
Z
−[T (x, t) − Ti ] dV
1
=
Ti − T∞
Vp
Vp
Z
(1 − θ∗ ) dx∗
siendo Vp = A.L, y dV = A.L.dx∗
Usando la sol. aproximada para pared plana, se integra la ec. anterior.
Q
sen ξ1 ∗
= 1−
θ0
Q0
ξ1
4. Consideraciones adicionales:
Se aplica lo anterior a pared plana de espesor L aislada en x∗ = 0 con convección en x∗ = 1
También para respuesta transitoria, pared plana, cambio repentino en temp. superf. Ts
h → ∞ ⇒ Bi → ∞
Existe representación gráfica de la sol. aproximada para F o > 0,2, cond.unidimensional, est.
transitorio.
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