Clase 4 - IACI - Universidad Nacional de Quilmes

U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES
I NGENIERIA EN AUTOMATIZACI ÓN Y C ONTROL I NDUSTRIAL
Procesos y Máquinas Industriales II
CLASE IV
P ROCESOS T ÉRMICOS
Metodologı́a para aplicar leyes de conservación:
1. Definir el volumen de control, señalando la superficie de control (lı́nea punteada.)
2. Identificar la base de tiempo.
3. Identificar los procesos relevantes de transferencia de energı́a.
Señalarlos en el volumen de control.
4. Escribir las ecuaciones de conservación.
Reemplazar en ellas las expresiones de velocidad de transferencia.
Conducción
La ecuación de velocidad para la conducción
Ley de Fourier
dT
qx
dT
=⇒ q”x =
= −k
dx
A
dx
√
Densidad de flujo de calor: normal a una sup. de temperatura constante (isoterma).
∂T
∂T
∂T
q” = −k ∇T = −k
i+
j +
k
∂x
∂y
∂z
qx = −k A
√
T (x, y, z) es un campo escalar de temperatura.
q” = q”x i + q”y j + q”z k
Con
√
q”x
=
q”y
=
q”z
=
∂T
∂x
∂T
−k
∂y
∂T
−k
∂z
−k
(1)
Medio isotrópico → k es independiente de la dirección.
2 O C UATRIMESTRE 2006
Prof. Mariana A. Suarez
Aux. Martı́n E. Krenek
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Procesos y Máquinas Industriales II
Clase IV
2o Cuatrimestre 2006
Ley de Fourier
Sı́ntesis
• No es expresión derivada de primeros principios.
• Es ley fenomenológica.
• Define la conductividad térmica, importante propiedad de los materiales.
• Es expresión vectorial que indica que la densidad de flujo es normal a una isoterma y en dirección de las
temperaturas decrecientes.
• Se aplica a cualquier material, sin importar su estado de agregación (sól., lı́q., gas)
Ecuación de difusión del calor
Objetivo:
Determinar el campo de temp. en un medio con determinadas condic. en sus lı́mites
7−→ distribución de la temperatura en función de la posición.
Pasos:
• Definir volumen de control diferencial
• Identificar procesos relevantes de transferencia de energı́a.
• Introducir las ecuaciones de velocidad apropiadas.
7−→ ED cuya solución, para cond. de contorno dadas, provee la distribución de temperatura en el medio.
Análisis para el volumen de control diferencial
1. Esquema
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Aux. Martı́n E. Krenek
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2o Cuatrimestre 2006
Clase IV
2. Base de tiempo: instantánea.
3. Procesos relevantes de transferencia de energı́a
• Término de entrada
Ėe = qx + qy + qz
qx , qy , qz : veloc. de transf. por conducción, normales a cada sup. de control.
• Término de salida
Ės = qx+dx + qy+dy + qz+dz
Aplicando desarrollo de Taylor, despreciando términos de orden sup.
qx+dx
=
qy+dy
=
qz+dz
=
∂qx
dx
∂x
∂qy
qy +
dy
∂y
∂qz
qz +
dz
∂z
qx +
(2)
(3)
(4)
• Término de generación
Ėg = q̇ dx dy dz
dV = dx dy dz
q̇: veloc. de gener. de energı́a por u. de vol. [W/m3 ]
• Término de acumulación
Ėa = ρ cp
∂T
dx dy dz
∂t
4. Ec. de conservación de la energı́a, base instantánea.
Ėe + Ėg − Ės = Ėa
(5)
Reemplazando en (5) las expresiones de cada término:
qx + qy + qz + q̇ dx dy dz − qx+dx − qy+dy − qz+dz = ρ cp
∂T
dx dy dz
∂t
(6)
Aplicando las ecuaciones (2)
−
∂qy
∂qx
∂qz
∂T
dx −
dy −
dz + q̇ dx dy dz = ρ cp
dx dy dz
∂x
∂y
∂z
∂t
(7)
Por la Ley de Fourier,
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Aux. Martı́n E. Krenek
qx
=
qy
=
qz
=
∂T
∂x
∂T
−k dx dz
∂y
∂T
−k dx dy
∂z
−k dy dz
(8)
(9)
(10)
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Procesos y Máquinas Industriales II
Clase IV
Reemplazando (8) en (7), dividiendo m.a.m. por dx dy dz
∂
∂T
∂
∂T
∂
∂T
∂T
k
+
k
+
k
+ q̇ = ρ cp
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂t
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(11)
7→ Ec. de difusión del calor en coordenadas cartesianas.
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Casos particulares
Simplificaciones
• k = cte.
con α =
∂2T
∂2T
q̇
1 ∂T
∂2T
+
+
+
=
2
2
2
∂x
∂y
∂z
k
α ∂t
k
ρcp ,
difusividad térmica.
• estado estacionario, Ėa = 0
∂
∂T
∂
∂T
∂
∂T
k
+
k
+
k
+ q̇ = 0
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
(12)
• transferencia unidimensional, Ėg = 0
d
dx
dT
k
dx
= 0
√
Estado estacionario, conducción unidimensional,
sin generación de energı́a:
−→ densidad de flujo de calor constante en la dirección de transferencia.
dq”x
= 0
dx
Nota: q”x es constante en la dirección x
Condiciones de contorno
1. Temperatura superficial constante (Primera Clase)
T (0, t) = Ts
(Condición de Dirichlet)
2. Densidad de flujo superficial constante (Segunda Clase)
• Densidad de flujo de calor finita
−k
∂T
= q”s
∂x
(Condición de Neumann)
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• Superficie adiabática o aislada
∂T
= 0
∂x
3. Condición de convección en la superficie (Tercera Clase)
−k
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∂T
= h [T∞ − T (0, t)]
∂x
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