Departamento de Matemáticas, UTFSM Apunte para

Departamento de Matemáticas, UTFSM
Apunte para MAT-023
Variación de parámetros
Pawel Kröger
Suponga que g(t) y r(t) son funciones continuas en un intervalo
I. Suponga que el punto inicial t = 0 pertenence a I. (No
importa que consideramos solamente el punto inicial 0.) La
meta del método de ”variación de parámetros” es resolver la
ecuación lineal no homogénea
dy
= g(t)y(t) + r(t).
(1)
dt
La ecuación lineal homogénea asociada es
dy
(2)
= g(t)y(t).
dt
El problema de valor inicial para la ecuación lineal homogénea
asociada
dy
= g(t)y(t),
y(0) = 1
dt
tiene una solución única en el intervalo I. Sea yh (t) esta solución.
Por el teorema de unicidad, yh (t) 6= 0 para todo t en el intervaloRI. (Podemos deducir eso también de la fórmula yh (t) =
t
exp 0 g(s) ds.) El principio de linealidad (Blanchard, p. 221)
dice que la solución general de la ecuación lineal homogénea
asociada (2) es y(t) = kyh (t) para una constante arbitraria k.
El método de ”variación de parámetros” busca una solución
particular yp (t) de la ecuación lineal no homogénea (1) en la
forma
(3)
yp (t) = k(t)yh (t).
para una función k(t) que vamos a determinar. (Un nombre
más preciso para este método serı́a ”método de reemplazo de la
constante por una función desconocida”.)
Según la regla para la diferenciación del producto,
dk
dyh
dyp
= yh (t) + k(t)
.
dt
dt
dt
Entonces, yp (t) cumple la ecuación diferencial no homogénea
(1) si y solamente si
dk
dyh
yh (t) + k(t)
= g(t)k(t)yh (t) + r(t).
dt
dt
1
2
Dado que yh (t) es solución de la ecuación diferencial homogénea
asociada (2), tenemos que
dyh
= g(t)yh (t).
dt
Queda
dk
yh (t) = r(t).
dt
Entonces,
dk
= r(t)/yh (t)
dt
(recuérdese que yh (t) 6= 0). Sea k(t) cualquier antiderivada de
r(t)/yh (t). La fórmula (3) nos proporciona una solución particular yp (t) de la ecuación lineal no homogénea. No tenemos
que preocuparnos de la constante de integración porque el principio de linealidad ampliado dice que la solución general de la
ecuación lineal no homogénea (1) es
yp (t) + kyh (t)
para una constante arbitraria k (compare Blanchard p. 350).
Ejemplo: Resolver la ecuación lineal no homogénea
dy
= −4y − exp(−4t)/t2 .
dt
Solución: La ecuación lineal homogénea asociada es dy
dt = −4y.
La solución de la ecuación lineal homogénea asociada con la
condición inicial y(0) = 1 es yh (t) = exp(−4t). La solución
general de la ecuación lineal homogénea asociada es y(t) =
k exp(−4t) para una constante arbitraria k. Buscamos una
solución particular yp (t) de la ecuación lineal no homogénea
en la forma
yp (t) = k(t) exp(−4t)
para una función desconocida k(t). Según la regla para la diferenciación del producto,
dyp
dk
=
exp(−4t) − 4k(t) exp(−4t).
dt
dt
Entonces, yp (t) = k(t) exp(−4t) cumple la ecuación diferencial
no homogénea si y solamente si
dk
exp(−4t)−4k(t) exp(−4t) = −4k(t) exp(−4t)−exp(−4t)/t2 .
dt
3
Queda
dk
= −1/t2 .
dt
Por integración, k(t) = 1/t sirve. Una solución particular de
la ecuación lineal no homogénea es yp (t) = exp(−4t)/t. La
solución general y(t) de la ecuación lineal no homogénea es
y(t) = exp(−4t)/t + k exp(−4t)
para una constante arbitraria k.
El método de variación de parámetros para sistemas de
ecuaciones de primer orden
Sea A la matriz ac db . Sea R(t) una función vectorial continua
con valores en R2 para todo t en el intervalo I. La meta del
método de ”variación de parámetros” para sistemas es resolver
el sistema lineal no homogéneo
dY
(4)
= AY (t) + R(t).
dt
Suponga que el sistema lineal homogéneo asociado
dY
(5)
= AY (t)
dt
(t) (t) tiene las soluciones Y1 (t) = xy11(t)
y Y2 (t) = xy22(t)
. Suponga
que Y1 (0) y Y2 (0) son linealmente independientes.
x1 (t) x2 (t) El Wronskiano W (t) = det(Y1 (t), Y2 (t)) (o W (t) = y1 (t) y2 (t) ) satisface
la ecuación lineal homogénea dW
dt = (a + d)W (t) (véase Blanchard, p.235). Entonces, W (t) 6= 0 para todo t en el intervalo I.
El principio de linealidad (Blanchard, p. 221) dice que la solución
general del sistema lineal homogéneo asociado (5) es Y (t) =
(t) +
k1 Y1 (t)+k2 Y2 (t). Podemos escribir k1 Y1 (t)+k2 Y2 (t) = k1 xy11(t)
(t)
(t) x2 (t)
k2 xy22(t)
como producto de la matriz xy11(t)
por el vecy2 (t)
tor kk12 . El método de ”variación de parámetros” busca una
solución particular Yp (t) del sistema lineal no homogéneo (4) en
la forma
(t) x2 (t) k1 (t) (6)
Yp (t) = xy11(t)
y2 (t)
k2 (t)
para una función vectorial kk12 (t)
(t) que vamos a determinar.
Según la regla para la diferenciación del producto,
dx1 dx2 dk
d x1 (t) x2 (t) k1 (t) k1 (t) x1 (t) x2 (t) dt1 dt
dt
=
+
.
dy1 dy2
dk2
k2 (t)
y1 (t) y2 (t)
dt y1 (t) y2 (t) k2 (t)
dt
dt
dt
4
Entonces, Yp (t) cumple el sistema lineal no homogéneo si y solamente si
dx1 dx2 dk
k1 (t) x1 (t) x2 (t) dt1 x1 (t) x2 (t) k1 (t) dt
dt
+
=
A
dy1 dy2
dk2
k2 (t)
y1 (t) y2 (t)
y1 (t) y2 (t)
k2 (t) +R(t).
dt
dt
dt
x1 (t) x2 (t) Dado que y1 (t) y y2 (t) son soluciones del sistema lineal homogéneo tenemos que
dx1 dx2 (t) x2 (t) dt
dt
= A xy11(t)
dy1 dy2
y2 (t) .
dt
dt
Queda
x1 (t) x2 (t) y1 (t) y2 (t)
dk1
dt
dk2
dt
= R(t).
Entonces,
dk1
dt
dk2
dt
=
x1 (t) x2 (t) −1
R(t).
y1 (t) y2 (t)
(Recuérdese que el Wronskiano W (t) es distinto de 0 para todo
t.) Sea kk12 (t)
cualquier antiderivada del lado derercho de la
(t)
última ecuación. La fórmula (6) nos proporciona una solución
particular Yp (t) de la ecuación lineal no homogénea. No tenemos
que preocuparnos de las constantes de integración porque el
principio de linealidad ampliado dice que la solución general
del sistema lineal no homogéneo (4) es
Yp (t) + k1 Y1 (t) + k2 Y2 (t)
para constantes arbitrarias k1 y k2 (compare Blanchard p. 350).
Ejemplo: Resolver el sistema lineal no homogéneo
dY
e−4t /t2 3 Y (t) +
= 20 −4
.
−2e−4t /t2
dt
Solución: El sistema lineal homogéneo asociado es
dY
3 Y (t).
= 20 −4
dt
Este ejemplo está resuelto en Blanchard, secciones 2.3 y 3.1.
−4t 2t
Soluciones de este sistema son Y1 (t) = e0 y Y2 (t) = −e
.
2e−4t
Estas soluciones son linealmente independientes. La solución
general es
2t
−4t 2e
Y (t) = k1 Y1 (t) + k2 Y2 (t) = k1 e2k−k
.
−4t
2e
5
Podemos escribir la solucióngeneral k1 Y1 (t)+k2Y2 (t) como pro2t
−4t
ducto de la matriz e0 −e
por el vector kk12 . El método de
−4t
2e
”variación de parámetros” busca una solución particular Yp (t)
del sistema lineal no homogéneo en la forma
2t
−4t k1 (t) Yp (t) = e0 −e
k2 (t)
2e−4t
para una función vectorial kk12 (t)
(t) que vamos a determinar. Según
la regla para la diferenciación del producto,
k1 (t) dkdt1 d e2t −e−4t k1 (t) 2e2t 4e−4t
e2t −e−4t
=
+
.
dk2
k2 (t)
k2 (t)
0 −8e−4t
0 2e−4t
0 2e−4t
dt
dt
Entonces, Yp (t) cumple el sistema lineal no homogéneo si y solamente si
k1 (t) dkdt1 2e2t 4e−4t
e2t −e−4t
+
−4t
dk2
k2 (t)
0 −8e
0 2e−4t
dt
−4t 2 2t
−4t k1 (t) e
/t
3
e −e
= 20 −4
k2 (t) + −2e−4t /t2 .
0 2e−4t
Tenemos que
2e2t 4e−4t
0 −8e−4t
=
2 3
0 −4
e2t −e−4t
0 2e−4t
.
−e−4t
2t
(Razón: Y1 (t) = e0 y Y2 (t) = 2e−4t son soluciones del
sistema lineal homogéneo asociado.) Queda
dkdt1 e−4t /t2 e2t −e−4t
=
.
dk2
−4t
−2e−4t /t2
0 2e
dt
Al resolver este sistema lineal obtenemos
dk1
dk2
=0
y
= −1/t2 .
dt
dt
Entonces,
k1 (t) = 0
y k2 (t) = 1/t
sirven. Una solución particular Yp (t) del sistema lineal no homogéneo es
−4t
/t Yp (t) = k1 (t)Y1 (t) + k2 (t)Y2 (t) = −e
.
−4t
2e /t
La solución general Y (t) del sistema lineal no homogéneo es
−4t
/t+k1 e2t −k2 e−4t Y (t) = Yp (t) + k1 Y1 (t) + k2 Y2 (t) = −e 2e−4t
.
/t+2k2 e−4t