Material de la conferencia sobre Curvatura

El concepto de curvatura y aplicaciónes
EMALCA – Costa Rica
13 Febrero, 2014
Yuriko Yamamoto Baldin ([email protected])
Departamento de Matemática
Universidade Federal de São Carlos
BRAZIL
https://www.dropbox.com/s/qs7vllvnuggv5dw/Captura%20de%
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Observación Importante
• El material de presentación a seguir sobre la geometría de superfícies
y el concepto de curvatura relacionado al trasporte paralelo de
vectores contien parte de material de autoría de Ferdinando Arzarello
(U. Torino, Italia)
Italia) y necesita de explicita referencia al mismo.
mismo.
• Un proyecto di artícolo en colaboración com él está en andamiento
dentro del Proyecto del ICMI-IMU, The Klein Project for 21st century, y
esta charla está basada en algunas ideas de ese proyecto.
La pregunta básica:
• ¿Que es la curvatura?
• ¿Como notamos la curvatura? Intuitivamente y matematicamente
• ¿ Cuales consecuéncias del concepto de la curvatura hay para
conocimiento general, para los conocimientos de las matemáticas y
para los progresos científicos?
Devo caminar
directo….
¿ Que ocurre si caminamos en línea recta?
• No cambiamos la dirección;
• Con velocidad constante, no sentimos la acceleración;
• ¿Cómo el cámbio de dirección se relaciona a la acceleración ?
• La distáncia percurrida em línea recta es la más corta para regiónes
pequeñas;
• ¿Qué significa caminar en línea recta sobre una superficie de forma
distinta de un plano?
Curvas Planas e Curvatura
Parametrización de una curva: continua, diferenciable
La longitud de una curva a partir de un punto inicial
Parametrización por longitud de curva e la curvatura.
Ejemplo básico de círculo y función angular
El producto escalar y la medición angular
El trasporte paralelo en el plano y generalización para superfícies
Superfícies y líneas de curvatura, curvaturas
principales, curvatura de Gauss
• Parametrización local de una superfície suave (variedad diferenciable de
dimensión 2)
• Plano tangente, produto interno como generalización del produto escalar
nel plano, interpretación extrinseca;
• Dirección normal y las curvaturas principales, álgebra lineal;
• La curvatura de Gauss: concepto intrínseco ⇒ EL TEOREMA EGREGIUM DE
GAUSS
• ¿ Que es el trasporte paralelo de vectores tangentes al largo de una curva
sobre una superficie? ⇒ Derivación covariante de un campo de vectores
• ¿Cuál propiedad de la curva más corta entre dos puntos de una superficie
con relación al trasporte paralelo?⇒ caracterización de una curva
geodésica, curvatura geodésica nula
La curvatura de una superficie
P
Las dos curvaturas maxima y
minima son llamadas
curvaturas principales y las
denotamos por k1 y k2, las
dos secciones normales
correspondentes son
llamadas secciones
principales.
principales
Carl F. Gauss (1777-1855)
Gauss ha definido la curvatura k della
superficie en P el producto della dos
curvaturas principales: k = k1k2.
Attención: k pode ser positivo ou negativo!
Una propiedad
P
Leonhard Euler (1707-1783)
Teorema de Euler:
Euler Los dos planos perpendiculares
al plano tangente en un ponto P que determinan
las secciones principales en P son perpendiculares
entre si.
La curvatura del plano, cilindro, cone y esfera
1. Nel piano la curvatura es claramente cero.
2. En cada
ponto del
cilindro, una
seccione
principale es
una recta,
luego la
curvatura è
cero
3. Lo mismo
ocurre para
un cone
4. Nella esfera las secciones
principales son circulos
maximos.
Por tanto la curvatura es k=1/r 2
[nel caso de radio unitario la
curvatura es 1]
Tratrice
pseudosfera y curvatura
k =−
1
1
=
= −1
2
PQ ⋅ PS PT
Geometria sobre pseudosfera
Disarollando el cilindro nel plano ….
se pode constatar que todos
los tipos de geodesicas, aun
mismo las helices, son de
segmentos de linea recta
Si consideranse helices que
contornan más de un giro,
es útil considerar más de
un recubrimiento de la
superficie cilindrica
En ese modo, a un punto fissado sobre el cilindro
corresponden más de un punto nel plano
TRASPORTE
PARALLELO
T. Levi Civita (1873-1941)
TRASPORTE PARALELO
SOBRE CILINDRO Y ESFERA
ΟΩ = CURVATURA TOTALE =
=
Sfera unità
Curvatura total
(K = curvatura de Gauss)
Curvatura geodesica
Caracteristica de
Euler
Para un camino cerrado (closed simple curve) sobre
una superficie simplesmente conexa, el teorema de
Gauss-Bonnet estabelece que:
Ilustraciones historicas
• Charrete chinese
• Pendolo de Foucault
M. Santander: The Chinese South-Seeking
Chariot; American Journal of Physics 9/92
Prof. Dieter Suter: Quantenmechanische
Paradoxa; Lecture notes 1998
zhi nan che
Consideremos la experiencia, ilustrada arriba (see Gil, 2010), en donde
hay una naranja optimamente esferica (a) de radio cerca 4.45 cm.
Retiramos una fita dela casca alargo de un “paralelo” de latitud λ cerca
50°; después cortamos la fita (b) y ponemos planchada sobre la tabla (c).
El ángulo δ medida cerca 1.47 rad (cerca 84°). Cálculo simples permite
obtener la formula general: δ = 2π(1 - sin λ).
Interesánte observar la misma formula considerandose un pendolo de
Foucault oscilando en una latitude λ: después de 24 horas el rotaciona
δ rad, a donde δ es la dada por aquela formula.
Después de 24 horas el pendolo no torna a la posición
originaria (excepto entre los Polos y alrededor del equator)
Para el pendolo de Foucault, vale
la misma formula:
Para Genova (lat. cerca. 44°,25):
sin (44°,25) = 0,7 cerca, que corresponde a un
delta cerca. 251°.
Después de 24 horas el pendolo ha
rotacionado cerca 251° (phase shift, ie,
cambiamento de fase)
La fase di Pancharatnam–Berry
En luce luce polarizada que entra en una fibra ottica
SM (la fibra es progetada para trasportar un solo
radio de luce), si la fibra forma un camino en lo
espacio tal que la luce salga de la fibra en la misma
dirección con que entró, observase una diferencia de
la fase entre la polarización inicial y final. (El
momentum de la luce es tangente a la fibra y sigue
un camino sobre a esfera nel espacio de momentos
de modo analogo a la aplicación de Gauss.)
La polarización sofre por tanto un trasporto parallelo
y un cambiamento de fase.
La charrette cinese, el pendolo di Foucault, aun otros
fenomenos mecánicos, sea classico sea cuantico, hanno
todos eso cambiamento de fase de Pancharatnam–
Berry.
Son fenómenos con lo mismo modelo matematico que
los descriven.
Algunas aplicaciones
En las matemáticas: geometría riemanniana ( plana, elíptica, hiperbólica
y más generales), superficies mínimas, variedades de curvatura
constante y de curvatura media constante, y otras, geometría semi
riemanniana (teoría de relatividad especial)
Curvatura Média y su generalización para la curvatura de Ricci:
Conjectura de Poincaré
Para comprender el UNIVERSO: relatividad general, phisica cuántica
Aplicaciones contemporáneas
• La propiedad minimal de las curvas geodésicas con respecto a la
variación de longitud y también de la energía permitió ya en siglo 19
importantes aplicaciones que establece la estrita relación entre
Mecánica y Optica, a través de mecánica Hamiltoniana
• La teoría de Relatividad Especial modelada en espacio-tiempo 4
dimensional con la extensión de una métrica de assinatura 1 permitió
una visión de la necesidad de considerar la topología del modelo
global del Universo, en donde las contradicciones de la mecánica
clásica fueron resueltos y la gravidad es la curvatura del modelo
Modelo de la Relatividad general( ref O´Neill,
Semi Riemannian geometry, Academic Press)
• Einstein consideró el movimiento en caída libre como una geodésica. La
materia provoca la curvatura nel espacio- tiempo• La curvatura es la gravitación en modelo relativístico
• Definicion: Tensor de Einstein de un espacio- tiempo M es G= Ric −1/2Sg ,
donde Sg es la curvatura escalar de la métrica g, una média de Ric, que por
su vez es una forma de generalización de la média aritmética de las
curvaturas principales
• La ecuacion de Einstein: G =8π T, donde T es el tensor de stress energia con
div T =0.
• La ecuación dice como la materia determina la curvatura y div T = 0 dice
como el tensor de Ricci muove la materia. Si T es cero, ie M es Ricci flat
entonces M es llamado de vacuum.
Consecuencias de la curvatura en Conjectura
de Poincaré (ref: Palestra Marcelo Viana)
• Problema de clasificación de las variedades de dimensión cualquiera
• Teorema de clasificación das superficies (orientables y no orientables):
secuencias básicas de superficies con genero. Toda superficie fechada es
equivalente a una de esas superficies, en termos topológicos
• La conjectura de Poincaré (nel inicio del seculo 20): Toda variedade fechada
simplesmente conexa de dimensión 3 es equivalente a esfera 3 dimensional.
• Prueba después de un seculo por G Perelman, siguiendo un camino iniciado
por Richard Hamilton y basada en Conjectura de Geometrizacion de
Thurston:
• Fluxo de Ricci: ecuación diferencial parcial de evolución de la métrica
segundo tensor de Ricci
• Toda variedade de dimensión 3 es obtenida por pegamiento de variedades
de 8 tipos geométricos básicos.
Referencias básicas
• doCarmo, M P, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice
Hall
• doCarmo, MP, Geometria Riemanniana, IMPA
• O´Neill, Semi Riemannian geometry, Academic Press
• Lyusternik, LA, The shortest lines, variational problems, MIR
• Arzarello, F, Viaggio nelle geometrie, U Torino
• http://w3.impa.br/~viana/out/cpcg.pdf
Hay mucho para aprender y apreciar! La história
de busca por conocimiento continua…
• Muchas gracias por su atención!