Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Automática CONTROL

Departamento de Ingenierı́a de
Sistemas y Automática
CONTROL PREDICTIVO LINEAL DE PLATAFORMA
Autor: D. José Antonio Yanes Melús
Tutor: D. Francisco Rodrı́guez Rubio
Octubre 2004
A Sandra
A mis padres
Índice general
1. Introducción
15
1.1. El control automático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. El control automático en la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Desarrollo previo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Organización de la documentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
19
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Aplicaciones Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1. Pedestal de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2. Servo amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3. Codificadores de la posición del eje de la carga . . . . . . . . . 24
5
6
ÍNDICE GENERAL
2.3.4. Motor de continua sin escobillas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.5. Ordenador personal de sobremesa . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.6. Tarjetas controladoras dSPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Control digital
31
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Modelo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Tiempos discretos y Valores discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Ecuaciones dinámicas del conjunto motor-carga
35
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Función de transferencia de un motor de corriente continua . . . . . . 36
4.3. Función de transferencia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1. La transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2. Transformada Z del doble integrador para la posición, y el
integrador para la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.3. Transformada Z del modelo viscoso (integrador + polo) . . . . 39
5. Modelado de la fricción
41
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. Modelo utilizado en el presente proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.1. Modelo simple de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.2. Consideraciones sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ÍNDICE GENERAL
7
6. Identificación
45
6.1. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1.1. El modelo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Experimentos de identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.1. Obtención de la fricción viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.2. Obtención de la fricción de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.3. Obtención de la inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.4. Obtención de la fricción estática . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.5. Valores finales del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7. Control Predictivo Lineal
59
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.1. El Control Predictivo Basado en Modelo . . . . . . . . . . . . 59
7.1.2. Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.1.3. Las restricciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.1.4. Modelos de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1.5. La ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2.1. El controlador GPC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2.2. El controlador PFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2.3. Ecuaciones del PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8
ÍNDICE GENERAL
8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
73
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2. Controladores ensayados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3. Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3.1. Experimento de seguimiento de escalones . . . . . . . . . . . . 79
8.3.2. Experimento de seguimiento de señales senoidales . . . . . . . 83
8.3.3. Experimento de seguimiento de triángulos . . . . . . . . . . . 87
8.3.4. Experimento de sensibilidad al ruido . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.5. Experimento de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.4. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9. Conclusiones
99
9.1. Comparación de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2. Valoración del controlador PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.3. Desarrollos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Índice de figuras
2.1. Pedestal de sensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Comunicación PC ⇔ Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Motor de continua sin escobillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Modelo 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. Servo amplificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Diagrama de transmisión electro-mecánica. . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7. Representación del motor utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8. Puesto de trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1. Resolución del encoder incremental de la carga . . . . . . . . . . . . . 34
5.1. Caracterı́stica estática para el modelo de fricción. . . . . . . . . . . . 43
6.1. Modelo continuo del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Modelo discreto del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3. Valores de la fricción viscosa y de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4. Selección de puntos para obtener la inercia . . . . . . . . . . . . . . . 51
9
10
ÍNDICE DE FIGURAS
6.5. Variación de la desviación tı́pica de la inercia al variar la fricción
viscosa y la fricción de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6. Experimento de fricción estática positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.7. Experimento de fricción estática negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.8. Experimento dinámico de fricción estática positiva . . . . . . . . . . . 54
6.9. Experimento dinámico de fricción estática negativa . . . . . . . . . . 55
6.10. Diagrama de bloques del modelo discreto con compensación de la
fricción de coulomb en realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.11. Diagrama de bloques del modelo discreto con compensación de la
fricción de coulomb en prealimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1. Actuaciones con polinomios de primer grado vinculados a la acción
anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2. Actuaciones con polinomios de primer grado sin vinculación a la acción anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3. Esquema de control del controlador PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1. Esquema de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2. Esquema de control PFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3. Seguimiento de escalones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4. Tensión aplicada en el seguimiento de escalones . . . . . . . . . . . . 80
8.5. Consumo acumulado en el seguimiento de escalones . . . . . . . . . . 81
8.6. Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB) . . . . . 82
8.7. Seguimiento de referencia senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.8. Tensión aplicada en el seguimiento de senoides . . . . . . . . . . . . . 84
ÍNDICE DE FIGURAS
11
8.9. Consumo acumulado en el seguimiento de senoides . . . . . . . . . . . 85
8.10. Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB) . . . . . 86
8.11. Seguimiento de rampas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.12. Tensión aplicada en el seguimiento de rampas . . . . . . . . . . . . . 88
8.13. Consumo acumulado en el seguimiento de rampas . . . . . . . . . . . 89
8.14. Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB) . . . . . 90
8.15. Referencia constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.16. Tensión aplicada para referencia constante . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.17. Consumo acumulado para referencia constante . . . . . . . . . . . . . 93
8.18. Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB) . . . . . 94
8.19. Tensión aplicada para el seguimiento de escalones de gran amplitud . 95
8.20. Comparación del error cuadrático medio, de los controladores para
diferentes referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.21. Comparación de la tensión máxima aplicada, de los controladores
para diferentes referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.22. Comparación del consumo, de los controladores para diferentes referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.23. Comparación de la componente de alta frecuencia de la señal de control, de los controladores para diferentes referencias . . . . . . . . . . 98
12
ÍNDICE DE FIGURAS
Índice de cuadros
2.1. Datos técnicos del pedestal de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Especificaciones del servo amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Datos del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1. Obtención de la fricción viscosa. Velocidad en o /s, Tensión en V, σ2
en Vs/o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Valores medios de la fricción viscosa y de coulomb . . . . . . . . . . . 49
6.3. Valores medios de la fricción viscosa y de coulomb . . . . . . . . . . . 52
6.4. Valores medios de la fricción estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5. Valores medios de la fricción estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.6. Datos del fabricante y datos identificados . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.7. Valores del modelo discreto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.1. Parámetros del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2. Parámetros del controlador PID rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3. Parámetros del controlador PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13
14
ÍNDICE DE CUADROS
8.4. Parámetros del controlador PFC-NR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.1. Comparación de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Capı́tulo 1
Introducción
1.1.
El control automático
El control automático es el mantenimiento de un valor deseado dentro de una
cantidad o condición, midiendo el valor existente, comparándolo con el valor deseado,
y utilizando la diferencia para proceder a reducirla. En consecuencia, el control
automático exige un lazo cerrado de acción y reacción que funcione sin intervención
humana.
El elemento más importante de cualquier sistema de control automático es lazo de control realimentado básico. El concepto de la realimentación no es nuevo,
el primer lazo de realimentación fue usado en 1774 por James Watt para el control de la velocidad de cualquier máquina de vapor. Posteriormente, J.C. Maxwell
proporcionó el primer análisis matemático riguroso de un sistema de control realimentado en 1868. A pesar de conocerse el concepto del funcionamiento, los lazos se
desarrollaron lentamente hasta que los primeros sistemas de transmisión neumática
comenzaron a volverse comunes en los años 1940, los años pasados han visto un
extenso estudio y desarrollo en la teorı́a y aplicación de los lazos realimentados de
control. En la actualidad los lazos de control son un elemento esencial para la manufactura económica y próspera de virtualmente cualquier producto, desde el acero
hasta los productos alimenticios.
15
16
Capı́tulo 1. Introducción
1.2.
El control automático en la industria
El control automático de procesos es parte del progreso industrial desarrollado
durante lo que ahora se conoce como la segunda revolución industrial. El uso intensivo de la ciencia de control automático es producto de una evolución que es
consecuencia del uso difundido de las técnicas de medición y control. Su estudio
intensivo ha contribuido al reconocimiento universal de sus ventajas.
El control automático de procesos se usa fundamentalmente porque reduce el
costo de los procesos industriales, lo que compensa con creces la inversión en equipo
de control. Además hay muchas ganancias intangibles, como por ejemplo la eliminación de mano de obra pasiva, la cual provoca una demanda equivalente de trabajo
especializado. La eliminación de errores es otra contribución positiva del uso del
control automático.
El principio del control automático o sea el empleo de una realimentación o
medición para accionar un mecanismo de control, es muy simple. El mismo principio
del control automático se usa en diversos campos, como control de procesos quı́micos
y del petróleo, control de hornos en la fabricación del acero, control de máquinas
herramientas, y en el control y trayectoria de un proyectil.
El uso de las computadoras analógicas y digitales ha posibilitado la aplicación
de ideas de control automático a sistemas fı́sicos que hace apenas pocos años eran
imposibles de analizar o controlar.
Resumiendo:
La Ingenierı́a de Control está presente en virtualmente todos los sistemas modernos de ingenierı́a.
El control es una tecnologı́a a menudo ((invisible)), ya que el éxito mismo de
su aplicación la vuelve indetectable.
El control es la clave tecnológica para lograr:
• productos de mayor calidad
• minimización de desperdicios
• protección del medio ambiente
• mayor rendimiento de la capacidad instalada
• mayores márgenes de seguridad
1.3. Objetivos del proyecto
17
El control es multidisciplinario (incluye sensores, actuadores, comunicaciones,
cómputo, algoritmos, etc.)
El diseño de control tiene como meta lograr un nivel de rendimiento deseado
frente a perturbaciones e incertidumbre.
1.3.
1.3.1.
Objetivos del proyecto
Desarrollo previo
El presente proyecto tiene su origen en otro anterior [8], de diseño e implementación del control de una plataforma giroestabilizada de dos grados de libertad.
Esta plataforma se encuentra en el Laboratorio del Departamento de Ingenierı́a de
Sistemas y Automática. Dicho proyecto:
Desarrolló el hardware y software necesario para la adquisición y monitorización de datos que permiten el control de la plataforma.
Desarrolló el software para la implementación informática de las técnicas de
control.
Modeló el sistema dinámico que constituye la plataforma incluyendo el
fenómeno de la fricción.
Estableció la base que permite investigar nuevos controladores en la plataforma
real, ası́ como obtener nuevos modelos de fricción.
1.3.2.
Objetivos
Teniendo como base este anterior proyecto, se han fijado los objetivos siguientes:
1. Implementación de una nueva técnica de control en la plataforma ⇒ Control
Predictivo Lineal Basado en Polinomios con Restricciones en el Control.
2. Comparación con otros controladores.
3. Mejora del seguimiento de trayectorias en posición y velocidad, para cualquier
tipo de referencia.
18
Capı́tulo 1. Introducción
4. Reducción del ruido presente en los motores.
5. Reducción del consumo eléctrico.
1.4.
Organización de la documentación
La documentación del proyecto se divide en los siguientes documentos:
Memoria descriptiva. La presente memoria resume tanto los planteamientos
teóricos adoptados, como los resultados prácticos obtenidos durante el desarrollo del proyecto. En el capı́tulo 2 se describe el equipo utilizado para el
desarrollo del proyecto. En el capı́tulo 3 se trata el tema de la discretización,
como concepto a tener en cuenta para el control digital. En el capı́tulo 4 se
expresan las ecuaciones que rigen el movimiento del pedestal, y se expresa la
correspondencia en el dominio discreto del tiempo, mediante la transformada
Z. En el capı́tulo 5 se expone el modelo de fricción empleado en el control
del pedestal. En el capı́tulo 6 se muestran los métodos y experimentos realizados, para lograr una identificación del modelo de fricción. En el capı́tulo 7 se
exponen las ecuaciones del controlador predictivo basado en polinomios con
restricciones en el control. En el capı́tulo 8 se muestran los experimentos más
representativos realizados sobre la plataforma. Y finalmente, en el capı́tulo 9
se exponen las conclusiones.
Apéndice. Contiene los siguientes apartados:
1. Códigos fuente. Consiste en el listado de códigos fuente de las aplicaciones
software desarrolladas.
2. Gráficas de los múltiples experimentos realizados sobre la plataforma.
3. Diagramas de bloques realizados utilizando SIMULINK.
CD-ROM. En este soporte se incluyen:
• Los numerosos ficheros de datos procedentes de los ensayos de identificación y control.
• Las aplicaciones desarrolladas para la manipulación de los datos
obtenidos.
• Figuras y fotos relacionadas con la plataforma.
• Los documentos anteriormente mencionados: Memoria descriptiva y
Apéndice.
Capı́tulo 2
Equipo utilizado para el desarrollo
del proyecto
2.1.
Introducción
La pieza fundamental alrededor de la cual gira todo el desarrollo del proyecto es el
pedestal de sensores que puede observarse en la figura 2.1 ubicado en los laboratorios
del Departamento de Ingenierı́a de Sistemas y Automática de la Escuela Superior
de Ingenieros de Sevilla, y cuyas caracterı́sticas fundamentales quedan reflejadas en
el cuadro 2.1.
Figura 2.1: Pedestal de sensores.
19
20
Capı́tulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
Cobertura Angular
Velocidad Máxima
Carga Máxima
Frenos
Tipo de motor
Sensor angular
Control del motor
Orientación 0o a 360o
Elevación -70o a 40o
Orientación 40o /s
Elevación 20o /s
30 Kg. balanceados
Eléctricos en ambos ejes
de continua, sin escobillas
encoder
Señal ±10Vdc
Cuadro 2.1: Datos técnicos del pedestal de sensores
.
La planta consiste en el pedestal con sus sensores y actuadores. El sistema incluye
servomotores de corriente continua y encoders para la realimentación de la posición.
El par de rotación del rotor lo proporciona un motor de corriente continua de imán
permanente, cuya posición angular es medida por un encoder óptico de 2000 pulsos
por revolución. El eje del motor se acopla al eje de la carga mediante una reductora
y el eje de la carga va equipado con otro encoder de 10000 impulsos por revolución
con el fin de medir la posición relativa de los dos ejes y la medida de holguras en los
engranajes.
Para medida y control se utiliza un periférico de entrada/salida, que es una
interfaz hardware entre la planta y las tarjetas de control dSP ACE basadas en
procesadores digitales de señal (DSP). La señal de posición generada por los encoders se recibe en el periférico de E/S y se dirige a las tarjetas dSPACE donde un
algoritmo de control puede ser implementado por el usuario. La señal de control es
redirigida desde las tarjetas dSPACE al periférico de E/S y de éste a los actuadores.
Un ordenador de sobremesa aloja las dos tarjetas dSPACE (una para cada eje del
movimiento) y direcciona el flujo de información y los comandos de control mediante
un programa software especialmente diseñado para ello (ver figura 2.2).
2.2.
Aplicaciones Software
Para la realización de este proyecto se utilizaron numerosas aplicaciones software.
Centrándonos en aquellas consideradas por el autor como las principales, se tiene:
Matlab . Se utiliza la versión 5.3 (actualmente hay versiones más recientes)
que incluye la herramienta de simulación Simulink v3.0
2.2. Aplicaciones Software
21
Figura 2.2: Comunicación PC ⇔ Plataforma.
Para la implementación de los algoritmos de control en las tarjetas controladoras, se usa la toolBox Real Time WorkShop junto con la librerı́a Real
Time Interface Library proporcionada por la firma dSPACE . Junto con las
tarjetas controladoras se proporciona un software para el intercambio y monitorización de datos en tiempo real entre los programas que se ejecutan en las
tarjetas controladoras y el ordenador que las aloja.
Software dSPACE . Engloba varios programas. Se utiliza la aplicación Controldesk que permite la visualización, modificación y adquisición de datos en
tiempo real. Además incorpora una interfaz con Matlab que permite, mediante el Real time Workshop (RTW) y Real Time Interface Library (RTI), la
compilación de modelos realizados en Simulink y su posterior carga en las
tarjetas dSPACE .
22
2.3.
2.3.1.
Capı́tulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
Hardware
Pedestal de sensores
Dotado de dos grados de libertad, uno en orientación y el otro en elevación (ver
figura 2.4). El movimiento es generado por dos motores de corriente continua de
imán permanente, sin escobillas (ver figura 2.3) dispuestos con encoders ópticos,
con una velocidad nominal de giro de ωn =2000 rpm y un par nominal Tn =0.3Nm,
controlados mediante respectivos servo amplificadores.
Figura 2.3: Motor de continua sin escobillas.
Figura 2.4: Modelo 3D.
2.3. Hardware
2.3.2.
23
Servo amplificador
Para cada eje se dispone de un servo amplificador PWM (Pulse Width Modulation) BE15A8 de Advanced Motion Controls [2] (ver figura 2.5) que consta de tres
entradas de sensores Hall.
Figura 2.5: Servo amplificador.
Las caracterı́sticas más destacadas se observan en el cuadro 2.2.
Especificaciones
Servo amplificador
Alimentación DC
20-80V
Corriente de pico
±15A
Máxima corriente continua
±7,5A
Potencia disipada a corriente continua
30W
Cuadro 2.2: Especificaciones del servo amplificador
.
Los servo amplificadores pueden funcionar en modo corriente o en modo velocidad. En modo corriente, el servo amplificador cierra un bucle de corriente regulando
la tensión aplicada al motor mediante PWM de forma que la consigna es la intensidad que se hace circular considerada como un porcentaje de la corriente máxima
24
Capı́tulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
admisible de cada motor. En modo velocidad el servo amplificador cierra un bucle
de velocidad sobre el bucle de corriente, de modo que la consigna se traduce en el
porcentaje de velocidad máxima de la configurada para ese motor. Se trabajará en
la configuración modo corriente [8].
2.3.3.
Codificadores de la posición del eje de la carga
Para controlar el movimiento de cada uno de los ejes es necesario conocer en todo
instante tanto su posición como su velocidad. Por tanto, es necesario incorporar al
sistema de accionamiento de cada eje un dispositivo que nos dé una medida de la
posición de dicho eje.
La precisión del posicionamiento no sólo dependerá de la resolución del sensor
de posición, sino también de efectos no considerados como flexión de la estructura
o juegos angulares introducidos por elementos reductores.
El encoder incremental está formado por tres elementos:
Un disco con franjas transparentes y opacas alternadas, dispuestas en sentido
radial.
Un emisor de luz o fotocélula colocado en una cara del disco.
Un receptor de luz en la cara opuesta del emisor.
Al girar el disco, el haz de luz del emisor resulta interceptado por las franjas
opacas y las franjas transparentes lo dejarán pasar, de modo que el receptor recibe
pulsos de luz. La señal de salida del receptor consiste en trenes de impulsos, cuya
frecuencia es proporcional a la velocidad de giro del disco, y el número de pulsos,
proporcional al ángulo girado por el disco.
Con objeto de conocer la dirección del disco, los encoders utilizan bien dos conjuntos emisor/receptor desfasados 90o entre sı́, bien un disco con dos pistas de franjas
desfasadas 90o una con respecto a la otra. En ambos casos se obtienen como salida
dos señales en forma de trenes de pulsos y desfasadas 90o . Dependiendo de cuál de
las dos señales de salida esté en avance de fase, se determina el sentido de la rotación
del disco.
Las dos señales del encoder se conectan a un contador, que se incrementará al
detectar el giro en una dirección y decrementará en la dirección opuesta. El valor
2.3. Hardware
25
del contador indica el ángulo girado respecto a una posición de referencia, valor cero
del contador.
Los encoders incrementales no determinan la posición absoluta de un eje, sino
su posición relativa a la posición de origen. Por tanto, cada vez que se alimenta de
nuevo el sensor es necesario realizar una secuencia de búsqueda de ceros.
La resolución de los encoders incrementales es función del número de franjas del
disco, y por tanto, está limitado por el tamaño de los sensores.
Para el proyecto, en cada eje se dispone un codificador de posición incremental,
para medir la posición del eje de la carga. Estos encoders tienen una resolución de
10000 impulsos por vuelta [5] y están alimentados a 5Vdc.
2.3.4.
Motor de continua sin escobillas
En robótica, al igual que en otros campos en los que se precisan accionamientos
de velocidad variable, los motores de corriente continua han sido los más utilizados hasta hace algunos años, debido a que resultaba más sencillo controlarlos en
velocidad que los de corriente alterna. El motor de corriente continua presenta el
inconveniente del obligado mantenimiento de las escobillas. Por otra parte, no es
posible mantener el par con el rotor parado más de unos segundos, debido a los
calentamientos que se producen en el colector.
Para evitar estos problemas se han desarrollado los motores sin escobilla. En
éstos, los imanes de excitación se sitúan en el rotor y el devanado de inducido en el
estator, con lo que es posible convertir la corriente mediante interruptores estáticos,
que reciben la señal de conmutación a través de un detector de posición del rotor.
Para el proyecto se dispone de dos motores de continua sin escobillas, que incorporan un freno eléctrico que se libera alimentándolo con una tensión continua de
24V, lo que permite bloquear los ejes del movimiento en cualquier posición.
La diferencia más significativa entre el servo y los sistemas de control de
movimiento paso a paso es el empleo de realimentación mediante encoder en los
sistemas controlados por servo que relata la posición real del eje de motor al regulador. Si hay cualquier presencia de errores, el servo puede tomar la acción correctiva
para asegurar el motor alcanza la posición apropiada. Los reguladores paso a paso
sólo pueden emitir una orden de movimiento y esperar que el motor sea capaz de
26
Capı́tulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
seguirla. Esta situación es análoga al dar a alguien una orden con sus ojos cerrados.
La presencia de realimentación en un sistema regulado por servo determina varias
ventajas inmediatas: no hay pulsos perdidos, es decir los sistemas con servo conocen
exactamente donde se encuentra el motor en cualquier momento, todas las órdenes
de paso son ejecutadas.
Los motores que se utilizan en este proyecto están dispuestos dentro del pedestal
de sensores, el de orientación en posición vertical, y el de elevación en posición horizontal. Estos motores disponen de un encoder óptico absoluto. Este tipo de encoder
permite conocer la posición absoluta del eje. Se diferencia del encoder incremental
en que el disco cuenta con varias pistas concéntricas, con las franjas distribuidas
siguiendo un código. El número de emisores/receptores es igual al número de pistas
del disco. Las señales de salida representan, en forma de código, el ángulo del eje de
giro del disco. La resolución de un encoder absoluto se expresa como 2n , siendo n el
número de pistas del disco.
Se pueden usar distintos tipos de codificación para el disco; los códigos más
utilizados son el binario, GRAY, BCD. El código binario presenta el inconveniente
de que en algunos casos el avance de un paso al siguiente implica el cambio de
estado de dos o más bits. Este problema se resuelve utilizando el código GRAY,
cuya caracterı́stica es que de un paso al siguiente sólo cambia el estado de un dı́gito.
A partir de los catálogos de los motores utilizados, de Rockwell Automation [7]
se presentan las caracterı́sticas que se resumen en el cuadro 2.3.
Parámetro
Valor
KT
0.139 Nm/A
KE
14.6 V/kRPM
Jm
0.09617 Kgm2
Ra
3.0Ω
La
7.8 mH
Alimentación frenos
24Vdc
Cuadro 2.3: Datos del motor
.
Se dispone en cada eje de una reductora, siendo en el eje de orientación de 80:1
y en el de elevación de 160:1. Además, la correa de transmisión tienen una relación
2.3. Hardware
27
de 5:1 (ver figura 2.6), por lo que la reducción efectiva serán las que se muestran en
el cuadro 2.4.
Figura 2.6: Diagrama de transmisión electro-mecánica.
Ası́ se obtiene:
Orientación :
Elevación :
1
ωn = 2000rpm · 400
= 5rpm
Tn = 0,34 · 400 = 120N m
1
ωn = 2000rpm · 800
= 2,5rpm
Tn = 0,34 · 800 = 240N m
Eje
Reductora
Orientación
400:1
Elevación
800:1
Cuadro 2.4: Coeficientes de reducción
.
Los motores vienen equipados con codificadores de posición ópticos con una
precisión de 2000 pulsos por vuelta y disponen de dos conectores, uno mediante el
28
Capı́tulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
que se cablean las señales del motor propiamente dicho y otro que cablea las señales
del encoder óptico (ver figura 2.7)
Figura 2.7: Representación del motor utilizado.
2.3. Hardware
2.3.5.
29
Ordenador personal de sobremesa
Equipado con microprocesador Intel Pentium 4 a 2.8 GHz, 512 MB de memoria
RAM y 74.5 GB de disco duro, y sistema operativo Windows 2000. En este ordenador se alojan las tarjetas dSPACE y una tarjeta de red mediante la cual puede
comunicarse con otros ordenadores, posibilitando ası́ futuras aplicaciones de control
por visión asistido por un ordenador auxiliar.
Figura 2.8: Puesto de trabajo.
2.3.6.
Tarjetas controladoras dSPACE
Son del modelo DS1102 y se encuentran instaladas en dos slots ISA del ordenador
personal, y tiene como caracterı́sticas más importantes:
especı́ficamente diseñada para desarrollo de controladores multivariables de
alta velocidad y simulaciones en tiempo real.
basada en el procesador DSP TMS320C31 de Texas Instruments.
Reloj de 60MHz
30
Capı́tulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto
interrupciones externas.
Memoria RAM de 128K x 32-bit.
Entradas analógicas: 2 canales paralelos de 16 bits, con tiempo de conversión
de 4µs, 2 canales paralelos de 12 bits, con tiempo de conversión de 1.25µs,
±10V de tensión de entrada.
Salidas analógicas: 4 canales paralelos de 12 bits, con tiempo de ajuste de 4µs
y ±10V de rango de tensión de salida.
Entrada/Salida digital: subsistema programable basado en el DSP a 25MHz
TMS320P14 de Texas Instruments, 16 lı́neas de entrada/salida digital, hasta
6 canales de generación PWM,interrupción por el usuario
Interfaz del encoder incremental: multiplicación de pulso cuádruple, 2 canales
de entradas paralelos para dos lı́neas de fase y una de ı́ndice para cada uno,
filtro de ruido y contador de posición de 24 bits [3].
Caracterı́sticas fı́sicas: alimentación a ±5V, 1.5A y ±12V , 100mA. Conector
de 62 pines hembra [8]
Capı́tulo 3
Control digital
3.1.
Introducción
El control digital de procesos se enfrenta con un problema muy claramente
definido: la discretización. Mientras que el proceso que se desea controlar es un sistema continuo, el controlador digital está discretizado en su propia constitución. Esta
discretización obliga a diseñar los controladores con una perspectiva diferente. Un
controlador PID (continuo) puede realizarse mediante simples elementos analógicos,
mientras que un controlador digital obliga a incluir otros elementos, de acoplamiento
y sincronización, que no son propios del control en si mismo, pero que influyen en
él y deben ser tenidos en cuenta.
Sensores
Los sensores se encargan de obtener los datos del proceso. Los encoders aquı́ utilizados introducen ya una primera discretización, ya que por su propia constitución
alcanzan una resolución bien definida.
31
32
Capı́tulo 3. Control digital
Actuadores
El actuador se encarga de transmitir el par, indicado por la señal de control, al
proceso. Un servoamplificador se encarga de realizar una correcta transmisión de par
mediante una modulación por anchura de pulsos. La constante de tiempo eléctrica
del actuador, es despreciable frente a la constante de tiempo mecánica del sistema.
El computador
Todas las señales de entrada y salida de un computador son digitales, necesitando convertidores digital-analógico y analógico-digital, para operar con señales
analógicas.
3.2. Modelo discreto
3.2.
33
Modelo discreto
Las señales con las que se trabaja son digitales, y además de estar discretizadas
en el tiempo, los valores que pueden adquirir están discretizados.
Ası́, en cada perı́odo de muestreo se recibe una señal del encoder que determina
donde se encuentra situada la carga. Esta señal es tratada informáticamente para
determinar la mejor actuación. Y antes del siguiente perı́odo de muestreo se envı́a
la señal de actuación, para volver a repetir el proceso.
Desde el punto de vista de la planta a controlar, todo es un sistema continuo. Se
suministra un par, y la planta responde girando un ángulo.
Desde el punto de vista del controlador digital, la planta se comporta como un
sistema en tiempos discretos, y por tanto el modelo de la planta debe realizarse
atendiendo a esta discretización. De esta forma, se usará la ’Transformada en z’
para trabajar con un modelo del sistema en tiempos discretos.
3.3.
Tiempos discretos y Valores discretos
Una situación muy remarcada de discretización la presenta la señal del encoder.
Esta señal es obtenida periódicamente y, por tanto, está discretizada en el tiempo.
Pero además, la señal del encoder que informa sobre la posición de la carga, sólo
puede adquirir ciertos valores dados por su resolución.
El encoder de la carga tiene una resolución de 10.000 pulsos por vuelta. Y además
cuenta con dos discos desfasados 90o para poder determinar el sentido de giro, ası́ se
obtienen 4 estados posibles (los 4 cuadrantes de 90o ) por cada pulso.
360 [o /vuelta]
1
= 0,009 [o /pulso]
4 10000 [pulsos/vuelta]
(3.1)
34
Capı́tulo 3. Control digital
Figura 3.1: Resolución del encoder incremental de la carga
Capı́tulo 4
Ecuaciones dinámicas del conjunto
motor-carga
4.1.
Introducción
Los motores sin escobillas de corriente continua (”DC brushless motors”) son
similares en aplicación y funcionamiento a los motores de corriente continua con
escobillas (”brush-type DC motors”). Difieren en la construcción y en el método de
conmutación. Un motor sin escobillas tiene un estator ensamblado con un rotor con
imán permanente, y con dispositivos internos y externos para medir la posición. La
combinación de un rotor interno de imán permanente y bobinas externas ofrece las
ventajas de un menor inercia del rotor y una disipación del calor más eficiente que
los motores con escobillas. Además, la eliminación de escobillas reduce el coste de
mantenimiento y el ruido, e incrementa la vida y fiabilidad del motor.
35
36
4.2.
Capı́tulo 4. Ecuaciones dinámicas del conjunto motor-carga
Función de transferencia de un motor de corriente continua
El motor convierte energı́a eléctrica en energı́a mecánica de rotación. La función
de transferencia del motor de corriente continua se obtendrá por aproximación lineal
despreciando los efectos de segundo orden tales como la histéresis.
Se denomina Ie y Ue a la intensidad y tensión de excitación respectivamente.
El flujo magnético φe es proporcional a la intensidad de excitación:
φ(t) = ke ie (t)
(4.1)
El par desarrollado por el motor se puede relaciona con la corriente de armadura
mediante la expresión
Tm (t) = k1 φ(t)ia (t) = k1 ke ie (t)ia (t)
(4.2)
Aplicando la transformada de Laplace:
Tm (s) = (k1 ke Ie (s)) Ia (s) = km Ia (s)
| {z }
(4.3)
km
siendo km la constante del motor.
Del circuito de excitación se puede obtener una relación entre la tensión de
excitación y la corriente de excitación en la forma:
Ue (t) = Re ie (t) + Le
die (t)
dt
(4.4)
que transformando al dominio de Laplace queda como
Ue (s) = (Re + sLe )ie (s)
(4.5)
El par motor será igual al par desarrollado por la carga más un par de perturbaciones
Tm (s) = TL (s) + Td (s)
(4.6)
El par desarrollado por la carga se puede expresar como:
TL (s) = Js2 θ(s) + Bsθ(s)
(4.7)
4.2. Función de transferencia de un motor de corriente continua
37
Si se considera nulo el par de perturbaciones Td , la función de transferencia de la
combinación motor-carga queda:
k
m
θ(s)
km
JLe
=
=
Ue (s)
s(Js + B)(Le s + Re )
s(s + BJ )(s +
Re
)
Le
(4.8)
El motor de corriente continua controlado por armadura usa la corriente ia (t),
denominada corriente de armadura, como variable de control. La tensión de control
de la armadura puede considerarse una fuente de esfuerzo siendo la corriente que
circula a través de la fuente de alimentación y del devanado de la armadura es la
misma.
El acoplamiento de los segmentos eléctrico y mecánico, hace que la energı́a eléctrica se transforme en energı́a mecánica a través de un transductor o elemento giratorio.
Cuando se establece una corriente de campo constante, el par motor se expresa en
la forma que se vio en la ecuación (4.8), en la que km es función de la permeabilidad
magnética del material.
La corriente de armadura se relaciona con la tensión de alimentación en la forma:
Ua (s) = (Ra + sLa )Ia (s) + Ub (s)
(4.9)
siendo Ub la fuerza contraelectromotriz, que es proporcional a la velocidad del
motor (Ub (s) = kb ω(s)) Despejando Ia (s) en la ecuación (4.9) se obtiene:
Ia (s) =
Ua (s) − kb ω(s)
(Ra + sLa )
(4.10)
El par de la carga es el expresado en la ecuación (4.7), con lo que la función de
transferencia es:
G(s) =
θ(s)
km
=
=
Ua (s)
s[(Ra + La s)(Js + B) + kb km ]
km
=
2
s[(JLa s + (JRa + BLa )s + kb km ]
Para muchos motores de corriente continua la constante de tiempo τa =
despreciable, con lo que quedarı́a:
G(s) =
θ(s)
km
=
Ua (s)
s[Ra (Js + B) + kb km ]
(4.11)
La
Ra
es
(4.12)
Es interesante hacer notar que kb = km , considerando el régimen permanente y el
balance de potencia, cuando se desprecia la resistencia del rotor.
38
Capı́tulo 4. Ecuaciones dinámicas del conjunto motor-carga
La potencia inyectada al rotor es igual a (kb ω)ia , y la potencia desarrollada en
el eje es T ω. En el régimen permanente estas potencias son iguales:
T ω = (kb ω)ia
T = k m ia
(4.13)
(4.14)
de donde se deduce que km = kb .
4.3.
4.3.1.
Función de transferencia discreta
La transformada Z
Es posible calcular la función de transferencia directamente a partir de la función de transferencia del sistema continuo. Se supone un sistema continuo con una
función de transferencia G(s) con un MO0 (Mantenedor de Orden 0). La función de
transferencia se determina por la respuesta a una señal dada y es única. Consideremos una entrada escalón unitario. La secuencia u(k) es una secuencia de unos y
la señal u(t) es también un escalón. La salida y(t), expresada en transformada de
Laplace es Y (s) = G(s)
s
Si consideramos que la salida y(k) tiene una transformada en Z ⇒ Ỹ (z) = Z(y) =
Z(L−1 (Y (s)) para obtener la Función de Transferencia se divide por la Transformada
en Z de la entrada, el escalón en este caso: (1 − z −1 )Ỹ (z)
Pasos:
1. Antitransformar Y (s) =
G(s)
s
2. Calcular la Transformada en Z (de una tabla)
3. Multiplicar por (1 − z −1 )
4.3. Función de transferencia discreta
4.3.2.
39
Transformada Z del doble integrador para la posición,
y el integrador para la velocidad
El modelo dinámico más simple, que relaciona la tensión aplicada con el ángulo
girado, puede representarse por un doble integrador. En ese caso no se consideran
efectos de fricción viscosa y la función de transferencia continua queda:
KM
θ(s)
= 2
U a(s)
s
P osición ⇒ Gp (s) =
T 2 (1 + z −1 )z −1
2(1 − z −1 )2
Gp (s) ⇒ (M O0) ⇒ Gp (z −1 ) = KM
(4.15)
Donde T es el perı́odo de muestreo del sistema.
La función de transferencia continua que relaciona la tensión aplicada con la
velocidad será un integrador. De esta forma:
V elocidad ⇒ Gv (s) =
KM
ω(s)
=
U a(s)
s
Gv (s) ⇒ (M O0) ⇒ Gv (z −1 ) = KM
4.3.3.
T z −1
(1 − z −1 )
(4.16)
Transformada Z del modelo viscoso (integrador + polo)
Considerando la fricción viscosa y haciendo uso de la ecuación obtenida (4.12)
en el análisis de un motor de corriente continua, podemos establecer la siguiente
relación entre la tensión aplicada y el ángulo girado:
P osición ⇒ Gp (s) =
θ(s)
KM
=
U a(s)
s(TM s + 1)
Gp (s) ⇒ (M O0) ⇒
− TT
−1
Gp (z ) = KM TM
( TTM − 1 + e
M
− TT
)z −1 + (1 − e
− TT
1 − (1 + e
M
M
− TT
− ( TTM )e
− TT
)z −1 + e
M
z −2
M
)z −2
(4.17)
40
Capı́tulo 4. Ecuaciones dinámicas del conjunto motor-carga
De la misma manera la función de transferencia para la velocidad, teniendo en cuenta
la fricción viscosa, será:
V elocidad ⇒ Gv (s) =
−1
KM
ω(s)
=
U a(s)
TM s + 1
Gv (s) ⇒ (M O0) ⇒ Gv (z ) = KM
− TT
(1 − e
M
− TT
M
1−e
)z −1
z −1
(4.18)
Capı́tulo 5
Modelado de la fricción
5.1.
Introducción
La fricción es un fenómeno terriblemente complicado que surge en el contacto
de superficies. Los experimentos indican una dependencia funcional en una variedad
enorme de parámetros, incluyendo la velocidad de deslizamiento, la aceleración, la
distancia de deslizamiento crı́tica, la carga de temperaturas, normal, la humedad, la
preparación superficial,. . .
En muchos aplicaciones de la ingenierı́a, el éxito de modelos en la predicción
de resultados experimentales se muestra fuertemente sensible al modelo de fricción.
Además, una amplia sección de la ingenierı́a y disciplinas de ciencia ha desarrollado métodos interesantes de representar la fricción, con modelos que provienen de
las áreas de mecánica fundamentales y la dinámica de sistemas, ası́ como de otras
muchas áreas [1]. Además, la utilidad de modelo de fricción y el éxito del sistema el
modelo dinámico dependen fuertemente el uno del otro.
La fricción presenta gran variedad de obstáculos al control efectivo de máquinas.
Los esquemas de compensación deben tratar con la no linealidad inherente de los
problemas de fricción.
41
42
5.2.
5.2.1.
Capı́tulo 5. Modelado de la fricción
Modelo utilizado en el presente proyecto
Modelo simple de fricción
El modelo más simple de fricción expresa la fuerza de fricción instantánea, Ff (t),
en función de la velocidad de deslizamiento v(t). Dicho modelo incluye los términos
de fricción de Coulomb, fricción viscosa y/o fricción estática.
Fricción de Coulomb.
Fuerza de magnitud constante, y que actúa en dirección opuesta al movimiento.
Cuando:
v(t) 6= 0 ⇒ Ff (t) = −Fc sgn(v(t))
donde Fc es una constante positiva.
Fricción viscosa.
Fuerza de magnitud proporcional a la velocidad y sentido contrario.
Cuando:
v(t) 6= 0 ⇒ Ff (t) = −Fv v(t)
donde Fv es una constante positiva.
Fricción estática.
No es realmente una fuerza de fricción, pues ni es disipativa (no realiza trabajo)
ni consecuencia del deslizamiento. Cuando:
v(t) = 0 ⇒ Ff (t) =
−Fext (t)
si Fext (t) ≤ Fs
−Fs sgn(Fext (t)) si Fext (t) > Fs
donde Fext (t) es la fuerza aplicada externamente, y Fs es una constante positiva,
relativa al valor máximo que puede aplicarse sin que se produzca deslizamiento.
5.2. Modelo utilizado en el presente proyecto
5.2.2.
43
Consideraciones sobre el modelo
1. El modelo utilizado consta únicamente de tres parámetros constantes:
Fc , fricción de coulomb
Fv , fricción viscosa
Fs , fricción estática
Cada uno de estos tres parámetros podrı́a dividirse en dos o más, representando
cada uno de ellos una porción de la caracterı́stica de fricción. Por ejemplo, se
podrı́a usar diferentes parámetros para velocidades positivas y negativas, o
para velocidades altas y bajas.
En el modelo utilizado, caracterizaremos la curva de fricción, por estos tres
parámetros, utilizando un valor medio.
2. De la experimentación con el controlador, se puede observar que la curva de
fricción varı́a con otros muchos parámetros, algunos de ellos no medibles a
priori: temperatura de las partes en movimiento relativo, viscosidad del lubricante, fuerzas normales y tangenciales sobre el eje, vibraciones, etc.; y otros,
aunque medibles, no se han utilizado para la caracterización: aceleración, velocidades de aplicación del par, duración de pares mantenidos en zona muerta,
etc.
Figura 5.1: Caracterı́stica estática para el modelo de fricción.
44
Capı́tulo 5. Modelado de la fricción
Capı́tulo 6
Identificación
6.1.
Identificación
La identificación puede ser el proceso más importante del diseño de un controlador predictivo. De la bondad de la identificación depende en gran medida el éxito
del control.
El modelo utilizado hace referencia a una ecuación dinámica, que contempla la
inercia y la fricción viscosa, únicamente. El término de la fricción de coulomb tiene
carácter no lineal, y por tanto, no puede ser modelado de esta manera. Ası́, para
poder introducir los efectos de la fricción de coulomb y fricción estática, se opta por
realizar una compensación en la actuación, sumando o restando según el signo de la
velocidad, un par de fricción cte. en cada momento.
45
46
Capı́tulo 6. Identificación
6.1.1.
El modelo utilizado
Vamos a usar la ecuación de transferencia simplificada para modelar el sistema
tensión-posición:
G(s) =
θ(s)
km
=
Ua (s)
s[Ra (Js + B) + kb km ]
Expresaremos esta función de forma más sencilla como:
GM (s) =
KM
s(TM s + 1)
(6.1)
Donde:
km
Es la ganancia estática
BRa + km kb
(6.2)
JRa
Es la cte. de tiempo del sistema
BRa + km kb
(6.3)
KM =
TM =
Figura 6.1: Modelo continuo del sistema
Usando la transformada Z mediante (4.17) y (4.18) podemos modelar el sistema
mediante una función de transferencia discreta:
6.1. Identificación
47
Figura 6.2: Modelo discreto del sistema
El modelo discreto de la Tensión-Posición queda como:
GP (z −1 ) =
θ
b1 z −1 + b2 z −2
=
Ua
(1 − z −1 )(1 − a1 z −1 )
(6.4)
donde:
− TT
a1 = e
M
T
− T
− 1 + e TM )
TM
T − TT
− TT
b2 = KM TM (1 − e M −
e M)
TM
b1 = KM TM (
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Mientras que el modelo discreto de la Tensión-Velocidad queda como:
GV (z −1 ) =
θ̇
bv z −1
=
Ua
(1 − av z −1 )
(6.8)
donde:
− TT
av = e
M
− TT
M
bv = KM (1 − e
)
(6.9)
(6.10)
Donde se puede comprobar que, dado que la velocidad es la derivada de la posición con el tiempo:
av = a1
b1 + b2
bv =
T
(6.11)
(6.12)
48
Capı́tulo 6. Identificación
6.2.
6.2.1.
Experimentos de identificación
Obtención de la fricción viscosa
La ecuación del movimiento, considerando la fricción, la podemos expresar como:
I θ̈ + σ2 θ̇ + Fc sign(θ̇) = Ua
(6.13)
Donde:
Ra J
km
(Ra B + km kb )
σ2 =
km
I=
(6.14)
(6.15)
Se realizan experimentos a velocidad constante para eliminar el término inercial de la ecuación. Entonces: θ¨i = 0
Para eliminar el efecto de la fricción de coulomb se extraen los resultados de
forma diferencial.
Ası́:
σ2 θ̇i+1 + Fc sign(θ̇i+1 ) = Ua(i+1)
(6.16)
σ2 θ̇i + Fc sign(θ̇i ) = Ua(i)
(6.17)
Haciendo (6.16) - (6.17) obtenemos:
σ2 =
∆Ua
∆θ̇
(6.18)
En la tabla (6.1) están los valores experimentales obtenidos en dicho experimento.
6.2.2.
Obtención de la fricción de coulomb
Tomando el modelo de fricción que sólo considera los términos de coulomb y
viscoso, podemos obtener del experimento un valor de la fricción de coulomb para
cada par tensión-velocidad mediante la expresión:
6.2. Experimentos de identificación
49
Velocidad
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tensión
0,7
0,8
1,05
1,3
1,56
1,79
2
2,25
2,47
2,69
2,9
3,13
0,20
0,25
0,25
0,26
0,23
0,21
0,25
0,22
0,22
0,21
0,23
σ2
Velocidad
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Tensión
3,33
3,48
3,68
3,87
4,09
4,3
4,47
4,68
4,87
5,06
5,27
σ2
0,20
0,15
0,20
0,19
0,22
0,21
0,17
0,21
0,19
0,19
0,21
Cuadro 6.1: Obtención de la fricción viscosa. Velocidad en o /s, Tensión en V, σ2 en Vs/o
Fc = U − σ2 θ̇
(6.19)
El valor medio obtenido, de esta manera, para la fricción viscosa y de coulomb se
presenta en el cuadro (6.2)
σ2
0,2089 Vs/o
Fc
0,7236 V
Cuadro 6.2: Valores medios de la fricción viscosa y de coulomb
6.2.3.
Obtención de la inercia
Para obtener la inercia del sistema realizamos movimientos senoidales amplios
y seleccionamos aquellos puntos en los que la aceleración está lejos de ser nula.
Ası́ mismo, debido a otros efectos de fricción no considerados, deberemos desechar
aquellos puntos cuya velocidad sea muy baja. De esta manera, nos quedaremos con
los puntos que indica la figura (6.4)
De la ecuación de movimiento (6.13) podemos poner:
Ua − Fc sign(θ̇) − σ2 θ̇
(6.20)
θ̈
Previamente hay que conocer los valores de Fc y σ2 para calcular I. Buscaremos
los valores que minimicen la varianza de la muestra obtenida, mediante el siguiente
método:
I=
50
Capı́tulo 6. Identificación
Figura 6.3: Valores de la fricción viscosa y de coulomb
1. Partiendo del valor Fc obtenido en el experimento anterior, calculamos el valor
de I para cada uno de los valores de la muestra y lo expresamos en función de
σ2
2. Calculamos el valor de σ2 que minimiza la varianza de la distribución de I
3. Tomando ahora como dato el valor de σ2 obtenido, calculamos el valor de I
para cada uno de los valores de la muestra y lo expresamos en función de Fc
4. Calculamos el valor de Fc que minimiza la varianza de la distribución de I. Y
volvemos a iterar hasta que Fc y σ2 converjan.
En la segunda iteración ya ha convergido a los valores dados en el cuadro (6.3)
Comparando estos valores con lo obtenidos en el experimento a velocidad constante se observa que:
6.2. Experimentos de identificación
51
Figura 6.4: Selección de puntos para obtener la inercia
Figura 6.5: Variación de la desviación tı́pica de la inercia al variar la fricción viscosa y la
fricción de coulomb
52
Capı́tulo 6. Identificación
σ2
0,2089 Vs/o
Fc
0,704 V
I
0,00746 V s2 /o
Cuadro 6.3: Valores medios de la fricción viscosa y de coulomb
1. El valor de la fricción viscosa obtenido en ambos experimentos es idéntico.
2. El valor de la fricción de coulomb, obtenido en el experimento dinámico, es
inferior al valor obtenido en el experimento estático (velocidad constante).
Nos quedaremos con el valor inferior para evitar sobrecompensaciones de la
fricción, que pueden conducir a sobreoscilaciones y/o otros comportamientos
indeseados.
6.2.4.
Obtención de la fricción estática
Experimento estático
Para obtener un valor de la fricción estática se realiza el siguiente experimento:
Se introducen señales de control en rampa, de forma que la tensión va creciendo de
forma constante. En el momento, en que el encoder de la carga indica que ha habido
movimiento, se anota ese valor de tensión como valor de la fricción estática, que
hay que vencer para poner en movimiento el sistema. A continuación se introduce
nuevamente la rampa desde cero, repitiéndose el proceso muchas veces. De esta
forma se obtiene un valor de la fricción estática para velocidad nula, tal y como la
habı́amos definido.
V alor medio
U nidades
Fs +
0.3704
V
Fs −
0.4914
V
Cuadro 6.4: Valores medios de la fricción estática
6.2. Experimentos de identificación
Figura 6.6: Experimento de fricción estática positiva
Figura 6.7: Experimento de fricción estática negativa
53
54
Capı́tulo 6. Identificación
Figura 6.8: Experimento dinámico de fricción estática positiva
Experimento dinámico
Para realizar este experimento se procede a realizar un control en bucle cerrado
con la siguiente filosofı́a:
1. Si la velocidad es nula se incrementa el par motor una cantidad constante ∆U
2. Si la velocidad no es nula se reduce el par motor en la misma cantidad ∆U
De esta manera, se pretende mantener el sistema con un movimiento constante a
velocidad prácticamente nula, siendo el valor del par motor en esas circunstancias,
el valor de la fricción estática a velocidades muy bajas (pero no siempre nulas), por
lo que esta fricción deberá considerarse como un valor intermedio entre la fricción
de coulomb a velocidades muy bajas y la fricción estática.
6.2. Experimentos de identificación
55
Figura 6.9: Experimento dinámico de fricción estática negativa
V alor medio
U nidades
Fs +
0.6468
V
Fs −
0.5859
V
Cuadro 6.5: Valores medios de la fricción estática
Consideraciones sobre la fricción estática
Dado que los valores de fricción estáticas obtenidos son menores que los obtenidos
para la fricción de coulomb, podemos ignorar en primera aproximación el efecto de la
fricción estática cuando estemos usando una compensación de la fricción de coulomb,
pues el valor aplicado en compensación de ésta, es superior al valor necesario para
poner en movimiento el sistema.
56
Capı́tulo 6. Identificación
6.2.5.
Valores finales del modelo
Finalmente de la ecuación (6.14) y los datos del fabricante:
V alor
U nidades
km
0.139
Nm
A
kb
0.139
Vs
rad
Ra
3.0
Ω
La
7.8
mH
J
0.0198
kgm2
B
0.548
kgm2
s
Fc
0.704
V
Cuadro 6.6: Datos del fabricante y datos identificados
Finalmente, haciendo uso de las ecuaciones (6.2, 6.3, 6.5 y 6.9) obtenemos (con
T=0.01s):
V alor
U nidades
a1
0.7558
−
b1
0.006127
o
V
b2
0.005566
o
V
bv
1.169
o
Vs
Fc
0.704
V
Cuadro 6.7: Valores del modelo discreto
GP (z −1 ) =
θ
b1 z −1 + b2 z −2
=
Ua
(1 − z −1 )(1 − a1 z −1 )
A partir de la señal de referencia, se puede aplicar la compensación en prealimentación. De esta forma, evitamos la dinámica que puede aparecer en el bucle de
realimentación.
6.2. Experimentos de identificación
57
Figura 6.10: Diagrama de bloques del modelo discreto con compensación de la fricción de
coulomb en realimentación
Figura 6.11: Diagrama de bloques del modelo discreto con compensación de la fricción de
coulomb en prealimentación
58
Capı́tulo 6. Identificación
Capı́tulo 7
Control Predictivo Lineal
7.1.
7.1.1.
Introducción
El Control Predictivo Basado en Modelo
El Control Predictivo Basado en Modelo (MBPC) consiste en resolver un problema de optimización en cada instante k, para calcular una señal de control, uk ,
para aplicar al sistema a controlar. Al contrario que otros métodos de control, el
MBPC necesita de un modelo del sistema a controlar, esto conlleva la necesidad
de un estudio previo del sistema. El objetivo del MBPC es minimizar una función
objetivo, J(u), en cada instante k. Esta función objetivo, o función de costes, se
evalúa usualmente en función de los siguientes puntos:
ŷk − rk diferencia entre las salidas y las referencias futuras
uk señal de control
4uk incremento de la señal de control
59
60
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
Y se utilizan una matrices de ponderación para variar el comportamiento deseado.
De esta forma, se puede expresar:
J(u) =
Np
X
2
λk · (ŷk − rk ) +
k=1
N
c −1
X
k=0
βk ·
u2k
+
N
c −1
X
αk · 4u2k
(7.1)
k=0
Donde Np y Nc son el horizonte de predicción y de control respectivamente. Este
concepto de horizonte hace referencia a cuánto se mira hacia delante, y usualmente
se emplea el término horizonte deslizante para describirlo, significando que en cada
instante el horizonte contemplado es desplazado una unidad hacia el futuro para
resolver las ecuaciones y obtener la señal de control. Hay que destacar que de la
resolución de las ecuaciones se obtiene una secuencia de señales de control uk k =
0, ..., Nc − 1 de la que sólo será aplicable la primera.
7.1.2.
Métodos de resolución
El método de resolución del problema de optimización puede ser fundamental a
la hora de la implantación del controlador, dado que ha de encontrarse una solución
válida antes del siguiente tiempo de muestreo. Unos posibles métodos pueden ser:
Programación cuadrática: método recursivo y repetido en cada paso, tiene
un gran coste computacional, por lo que hace difı́cil escoger pequeños tiempos
de muestreo.
Resolución analı́tica: método precomputacional, las ecuaciones quedan resueltas en función de parámetros, de manera que el coste computacional es
muy bajo, al no tener que resolver el problema en cada instante.
7.1.3.
Las restricciones
Este problema de optimización puede dotarse de restricciones en cualquiera de
las variables que se deseen contemplar. Estas restricciones las podemos dividir en
dos tipos:
Igualdades: Este tipo de restricciones reduce la carga computacional en los
dos métodos anteriormente contemplados.
7.1. Introducción
61
Desigualdades: Este tipo de restricciones no pueden aplicarse, generalmente,
cuando se realiza una resolución analı́tica.
7.1.4.
Modelos de predicción
Es necesario un modelo de predicción que represente el comportamiento del sistema a controlar. Este se puede obtener mediante:
Un estudio de las propiedades fı́sicas del sistema
Una identificación matemática
Además, existen varias formas de representar el modelo de predicción:
Respuesta al impulso
Respuesta al escalón
Función de transferencia
Espacio de estados
A partir de aquı́ se usará la forma Función de transferencia para cualquier
explicación, por haber sido la forma elegida para la aplicación.
Este modelo tiene la forma
A(z −1 )y(t) = B(z −1 )u(t)
al que se le añade además un modelo de perturbaciones
n(t) =
C(z −1 )e(t)
D(z −1 )
donde e(t) es un ruido blanco. Este modelo es conocido como CARIMA.
Si se escoge
D(z −1 ) = 1 − z −1 = 4
62
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
para realizar un modelo integrado, se consigue un control sin error en permanente. Y
escogiendo C(z −1 ) = 1 por simplicidad computacional, finalmente el modelo queda
como:
A(z −1 )y(t) = B(z −1 )u(t) +
e(t)
4
(7.2)
modelo conocido como ARIMA, donde:
A(z −1 ) = 1 + a1 z −1 + . . . + ana z −na
B(z −1 ) = b0 + b1 z −1 + . . . + bnb z −nb
7.1.5.
La ley de control
Obtención de la ley de control:
Una vez obtenido un modelo de predicción y una función de costes, se eligen los
parámetros adecuados para el comportamiento deseado del sistema controlado. Ası́,
haciendo:
minJ(u) ⇒
con:
d2 J(u)
du2
dJ(u)
du
= 0 ⇒ u = u(Np , Nc , λ, δ, α, β, Tm )
=H>0
se obtiene la secuencia de actuaciones uk que minimiza la función de costes
J(u). De esta secuencia de actuaciones, se usa únicamente la primera u0 , ya que en
siguiente perı́odo de muestreo, se volverá a recalcular la secuencia que minimice la
función de costes.
7.2.
7.2.1.
Ecuaciones
El controlador GPC
El ’Controlador Predictivo Generalizado’ se encuentra ampliamente comentado en la literatura cientı́fica [4].
7.2. Ecuaciones
63
Se trata de un control predictivo basado en modelo mediante función de transferencia, y usa la siguiente función de costes:
J(u) =
Np
X
2
λk · (ŷk − rk ) +
N
c −1
X
k=1
4u2k
k=0
El modelo de predicción se puede descomponer en una parte forzada mas una libre.
La parte forzada responde a las entradas del sistema, mientras que la parte libre
refleja la evolución intrı́nseca del sistema. Ası́:
ŷ = G4u + f
Derivando la función de costes e igualando a cero se obtiene la ley de control como:
4u = −H−1 · h
donde:
H
= GT λG + I
2
h
= GT λ(f − r)
2
Y finalmente se puede expresar:
4u = k1 · (r − f )
)−1
donde k1 es la primera fila de ( H
2
De esta forma la variación de la actuación es ponderada mediante los errores futuros
predecidos.
7.2.2.
El controlador PFC
El controlador PFC ’Predictive Functional Control’ ideado por Richalet [4], tiene
las siguientes caracterı́sticas, que lo distinguen del sistema de control predictivo lineal
más general:
1. La ley de control está estructurada como una suma de funciones base.
2. La función de costes sólo comprende algunos puntos, llamados ’puntos de coincidencia’.
64
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
Las funciones base
Con el objetivo de reducir el número de ecuaciones a resolver, reduciendo ası́ la
carga computacional, la ley de control responde a:
u(k) =
i=n
X
µi Bi (k)
(7.3)
i=1
donde las funciones Bi son escogidas en función de la naturaleza del proceso y de la
referencia, siendo normalmente polinomiales. El controlador aquı́ desarrollado utiliza
polinomios como funciones base, que debe seguir la actuación durante el horizonte
de control. El grado del polinomio se puede escoger para sintonizar el controlador.
Los puntos de coincidencia
El PFC aquı́ desarrollado no tiene en cuenta este concepto, en el que el controlador sólo tiene en cuenta algunos puntos dentro del horizonte de predicción,
reduciendo ası́ la carga computacional al reducir el número de variables.
7.2.3.
Ecuaciones del PFC-R
El controlador desarrollado en el presente proyecto consiste en una variación
del GPC, añadiéndole un término de error en velocidad a la función de costes, y
estructurando la ley de control mediante funciones polinómicas como en un PFC,
restringiendo además la actuación mediante la obligación de hacer coincidir el polinomio de control con los valores pasados.
Identificando el modelo del sistema como se vio en el capı́tulo 6, se pueden
obtener los modelos en posición y velocidad necesarios para la formulación:
Modelo ARIMA para la posición:
A1 (z −1 )y(t) = B1 (z −1 )u(t) +
Identificando términos se obtiene:
ŷ = Gy · 4u + fy
e1 (t)
4
7.2. Ecuaciones
65
Modelo ARIMA para la velocidad:
A2 (z −1 )v(t) = B2 (z −1 )u(t) +
e2 (t)
4
Identificando términos se obtiene:
v̂ = Gv · 4u + fv
Una forma de identificación de términos para ŷ y v̂ se puede encontrar en [4]
La función de costes escogida tiene en cuenta los errores en posición y velocidad
futuros, además del coste del incremento de la actuación:
J(u) =
Np
X
k=1
2
λk · (ŷk − rk ) +
Np
X
2
δk · (v̂k − r˙k ) +
k=1
N
c −1
X
αk · 4u2k
(7.4)
k=0
En forma matricial:
1
J = 4uT H4u + 4uT h + f0
2
Restricciones en el polinomio de control
Con el objeto de reducir el ruido que aparece en la señal de control, se aplica
una restricción sobre el polinomio en que se basa esta señal. Esta restricción vincula la secuencia de actuaciones, predecidas en cada perı́odo de muestreo, con las
actuaciones pasadas.
En el caso particular de un polinomio base de primer orden, y una restricción de
pasado unitaria, se obtiene una secuencia de actuaciones, con forma de recta, que
pasa necesariamente por la última actuación. En ese caso concreto, el conjunto de
ecuaciones se convierte en una sola ecuación con una sola incognita.
En la figura 7.1, se puede apreciar un ejemplo de aplicación de polinomios de
primer grado con restricciones. En cada momento t, se calcula una recta de actuaciones futuras, uk , k = 0, ..., Nc − 1. Como consecuencia de fijar el offset de la
recta en el valor de actuación anterior, se obtiene una secuencia de actuaciones en
el tiempo, u0 (t), de forma muy suave, que serán las realmente aplicadas.
En la figura 7.2, se aprecia el efecto de liberar las actuaciones de la restricción
comentada. En ese caso la secuencia de actuaciones u0 (t), presenta una forma brusca
con rápidos cambios de magnitud.
66
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
Figura 7.1: Actuaciones con polinomios de primer grado vinculados a la acción anterior
La señal de control será polinómica de grado p: 4u(k) = b0 +b1 k+. . .+bp k p ⇔
4u = K1 b + K2 b̄
¯ = K̄1 b + K̄2 b̄
El polinomio de control contendrá q valores pasados: 4u
Queda:








4u−q
···
4u−1
4u0
···
4uNc −1
1
−q
..
 ..
.
 .

−1
 1
=
0
 1
 .
..
 ..
.
1 (Nc − 1)









(−q)p
..
.
···
..
.
···
···
..
.



b0

  b1
 
 ·  ..
  .


bp
(−1)p
0
..
.





(7.5)
· · · (Nc − 1)p
En forma compacta:
¯
4u
4u
=
K̄1 K̄2
K1 K2
·
b
b̄
(7.6)
7.2. Ecuaciones
67
Figura 7.2: Actuaciones con polinomios de primer grado sin vinculación a la acción anterior
donde las dimensiones de los distintos vectores y matrices son:
K1
K2
K̄1
K̄2
: (Nc x (p − q + 1))
:
(Nc x q)
: (q x (p − q + 1))
:
(q x q)
b
b̄
¯
4u
4u
: ((p − q + 1) x 1)
:
(q x 1)
:
(q x 1)
:
(Nc x 1)
¯ = K̄1 · b + K̄2 · b̄
4u
4u = K1 · b + K2 · b̄
Despejando:
¯
b̄ = K̄−1
2 (4u − K̄1 b)
y sustituyendo se obtiene:
−1
−1 ¯
¯
4u = K1 b + K2 K̄−1
2 (4u − K̄1 b) = (K1 − K2 K̄2 K̄1 )b + K2 K̄2 4u
¯ = Kp b + fc
4u = Kp b + Kc 4u
(7.7)
68
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
ŷ = Gy 4u + fy
v̂ = Gv 4u + fv
4u = Kp b + fc
(7.8)
La función de costes escogida:
J=
Np
X
2
N
c −1
X
2
ˆ i
αi 4u
(7.9)
1
J = 4uT H4u + 4uT h + f0
2
(7.10)
λi (ŷi − ri ) +
i=1
Np
X
δi (v̂i − ṙi )2 +
i=1
i=0
Donde:
H
T
= GT
y λGy + Gv δGv + α
2
h
T
= GT
y λ(fy − r) + Gv δ(fv − ṙ)
2
Sustituyendo 4u por Kp b + fc :
1
J = (Kp b + fc )T H(Kp b + fc ) + (Kp b + fc )T h + f0
2
se llega a:
1
J = bT H0 b + bT h0 + f00
2
donde:
H0 = KT
p HKp
h0 = KT
p (Hfc + h)
1
f00 = fcT ( Hfc + h) + f0
2
Ası́, mediante:
∂J
= H0 b + h0 = 0
T
∂b
se obtiene:
−1
b = −H0 h0
La secuencia de actuaciones futuras viene dada por:
¯
4u = Kp b + Kc 4u
7.2. Ecuaciones
69
y en virtud del concepto de horizonte deslizante tan sólo interesa el primer elemento
de la secuencia:
4u0 = b0
De esta forma queda:
¯
4u0 = ky (r − fy ) + kv (ṙ − fv ) + kr 4u
donde ky , kv y kr son, respectivamente, la primera fila de:
ky =
T
(H0 )−1 KT
p Gy λ
kv =
T
(H0 )−1 KT
p Gv δ
kr = − (H0 )−1 KT
p (HKc )
Finalmente la señal de entrada al sistema se obtiene por integración:
u0 = 4u0 + u−1
Y esta señal, u0 , que será la que aplicaremos, la podemos expresar en función de
parámetros de sintonización, valores de referencia en posición y velocidad futuros, y
valores de realimentación de los sensores de posición, de velocidad y de actuaciones
anteriores:
r , yp , 4up )
u0 = u0 (Np , p, q, λ, δ, α, β , |{z}
{z
}
| {z }
|
ref
parámetros
valores pasados
Extensión de la función de costes al consumo eléctrico
Con el objeto de reducir el consumo eléctrico de los motores, se introduce en la
función de costes un nuevo término que tiene en cuenta esta particularidad.
La función de costes es ahora:
J=
Np
X
i=1
2
λi (ŷi − ri ) +
Np
X
i=1
2
δi (v̂i − ṙi ) +
N
c −1
X
i=0
ˆ 2i +
αi 4u
N
c −1
X
βi cˆi
i=0
1
J = bT Hb + bT h
2
Donde ci es el consumo de energı́a calculado mediante (4.10) como:
cˆi = ui (ui − ke vi )
Y haciendo un desarrollo similar al anterior se llega:
¯ + kcu fu + kcv fv
4u0 = ky (r − fy ) + kv (ṙ − fv ) + kr 4u
(7.11)
70
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
donde ky , kv , kr , kcu y kcv son, respectivamente, la primera fila de:
ky =
T
(H0 )−1 KT
p Gy λ
kv =
T
(H0 )−1 KT
p Gv δ
kr = − (H0 )−1 KT
p (HKc )
T
T
kcu = − (H0 )−1 KT
p (Gu β − Gv βke )
kcv =
T
(H0 )−1 KT
p Gu βke
con:
H
T
T
T
= GT
y λGy + Gv δGv + α + Gu βGu − Gu βke Gv
2
h
T
T
T
T
= GT
y λ(fy − r) + Gv δ(fv − ṙ) + Gu βfu − Gu βke fv − Gv βke fu
2
H0 = KT
p HKp
h0 = KT
p (Hfc + h)
7.2. Ecuaciones
Figura 7.3: Esquema de control del controlador PFC-R
71
72
Capı́tulo 7. Control Predictivo Lineal
Capı́tulo 8
Resultado de los experimentos
sobre la plataforma
8.1.
Introducción
Con el fin de comprobar la bondad del controlador diseñado, se realizaron multitud de experimentos, introduciendo distintas señales de referencia, y usando diferentes controladores.
Para poder comparar los resultados obtenidos entre los distintos métodos de control, se realizó una sintonización de los distintos parámetros de los controladores,
y a partir de ahı́ se mantuvieron fijos dichos parámetros, con el fin de que la sintonización no desvirtúe la comparación de las diferentes estrategias.
Para realizar las comparaciones entre los diferentes controladores, se usaron cuatro ı́ndices distintos, representando cada uno una cualidad del controlador:
Error de seguimiento en posición Este ı́ndice representa el error cometido entre la carga y la referencia durante el seguimiento y posicionamiento, y
está definido como un error cuadrático medio, equivalente a la suma de los
73
74
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
cuadrados de los errores partido por el número de muestras tomadas en el
experimento.
Ruido en el motor Este ı́ndice mide el ruido que aparece en la señal de actuación
(tensión del motor) y se expresa en decibelios. Se agrupa todo el espectro frecuencial en dos valores: tensión aplicada a baja frecuencia; y tensión aplicada
a alta frecuencia.
Tensión máxima aplicada Este ı́ndice indica el mayor valor de la tensión aplicada
al motor durante todo el experimento.
Consumo Este ı́ndice expresa el consumo eléctrico total del motor, expresado en
Julios, durante el experimento completo.
8.2.
Controladores ensayados
El controlador PFC desarrollado en el capı́tulo 7 se ensaya con dos variantes:
Con restricciones de pasado en el polinomio de control (PFC-R)
Sin restricciones en el polinomio de control (PFC-NR)
Se ensaya además un controlador PID con el fin de realizar una comparación con
los controladores predictivos realizados.
Controlador PID
El control PID se basa en proporcionar una actuación que es proporcional al
error instantáneo, a la integral del error pasado, y a la derivada instantánea del
error. Ası́, expresado en términos discretos:
u((k + 1)t) = Kp e(kt) + Ki
kt
X
0
e(kt) + Kd
∆e(kt)
∆t
e(kt) = r(kt) − y(kt)
Debido al fuerte ruido que introduce el término derivativo, anulamos la constante
Kd
8.2. Controladores ensayados
75
Figura 8.1: Esquema de control PID
Kp
Ki
Kd
2
2.5
0
Cuadro 8.1: Parámetros del controlador PID
Este controlador deberá responder suavemente ante referencias en escalón.
Presentará pequeños retrasos y ganancias no unitarias ante referencias
senoidales rápidas.
Controlador PID rápido
Se ensayó un controlador con la misma filosofı́a pero de comportamiento más
rápido, con el objetivo de reducir el error cometido en seguimientos de referencias
con cambios de velocidad.
Al igual que en el caso anterior anulamos la constante Kd para evitar amplificar
los ruidos.
Kp
Ki
Kd
5
10
0
Cuadro 8.2: Parámetros del controlador PID rápido
76
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Este controlador será suficientemente rápido en el seguimiento de referencias
en rampa o senoidales, pero a cambio produce sobreoscilaciones demasiado
bruscas cuando se introducen referencias en escalón.
Este tipo de control no es muy indicado para el control del pedestal, ya que las
elevadas aceleraciones, que se producirı́an en determinados momentos, provocarı́an cargas inerciales demasiado elevadas, que pueden causar daños por fatigas estructurales de los elementos que componen el pedestal.
Controlador PFC con restricción de pasado (PFC-R)
Las ecuaciones de este controlador se desarrollan en el capı́tulo 7. Consiste en un
control predictivo lineal basado en modelo, usando como función de costes el error
en posición, error en velocidad, consumo eléctrico, e incrementos de tensión.
La ecuación base del polinomio de control es una recta, por lo que para el cálculo
de la secuencia de actuaciones futuras, sólo quedan dos variables independientes: la
pendiente y el offset. La restricción de pasado que se realiza en este controlador,
consiste en fijar el offset de esta recta en el valor de última actuación. De esta
forma, queda únicamente la pendiente de la recta como variable independiente a
optimizar según la función de costes.
Figura 8.2: Esquema de control PFC
8.2. Controladores ensayados
77
Grado del polinomio
1
Grado de restricción
1
Horizonte de predicción
30
Horizonte de control
30
Coste de error en posición
100
Coste de error en velocidad
1
Coste de incremento de tensión
1
Coste de consumo eléctrico
1
Cuadro 8.3: Parámetros del controlador PFC-R
Este controlador deberá responder más suavemente ante referencias en escalón
que el controlador PID rápido, además será igualmente rápido en el seguimiento de referencias en rampa o senoidales, por lo que está indicado para cualquier
tipo de referencia.
Por la estrategia del control se espera que el ruido se atenúe en gran medida.
La introducción de la restricción en el polinomio de control, puede provocar
ligeras desviaciones respecto de la solución virtualmente óptima.
Controlador PFC sin restricción de pasado (PFC-NR)
Este controlador es, básicamente, el mismo que el anterior, pero sin imponer
ninguna restricción en el polinomio de control.
Este controlador deberá responder de forma muy parecida al PFC-R, aunque
al no tener la restricción del anterior pueden aparecer mayores ruidos.
78
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Grado del polinomio
1
Grado de restricción
0
Horizonte de predicción
30
Horizonte de control
30
Coste de error en posición
100
Coste de error en velocidad
1
Coste de incremento de tensión
1
Coste de consumo eléctrico
1
Cuadro 8.4: Parámetros del controlador PFC-NR
8.3.
Experimentos
Se realizaron múltiples experimentos de seguimiento de trayectorias, de los que
se destacan los que se muestran en los puntos siguientes.
Se emplearon trayectorias en escalón, senoidales, triangulares, constantes, con
variadas amplitudes, con el fin de representar lo mejor posible el comportamiento
de los diferentes controladores.
Se probo además el comportamiento de los controladores ante el ruido, al inyectar
un ruido blanco de media nula en el sensor de posición (encoder).
Para cada referencia adoptada, se representa el comportamiento de todos los
controladores sobre la misma figura, para cada uno de los ı́ndices de valoración
(Error en posición, Tensión aplicada, Consumo, y Ruido)
Además se ofrece una comparación de los valores obtenidos para los distintos
ı́ndices respecto al controlador PID. Representados como variación relativa respecto
al valor del PID.
8.3. Experimentos
8.3.1.
79
Experimento de seguimiento de escalones
Señal de ref erencia : Cuadrada
Amplitud = 2o (pico a pico)
F recuencia = 0,2 Hz
Figura 8.3: Seguimiento de escalones
80
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de seguimiento de escalones: tensión
Figura 8.4: Tensión aplicada en el seguimiento de escalones
8.3. Experimentos
Experimento de seguimiento de escalones: consumo
Figura 8.5: Consumo acumulado en el seguimiento de escalones
81
82
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de seguimiento de escalones: ruido
Figura 8.6: Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB)
8.3. Experimentos
8.3.2.
83
Experimento de seguimiento de señales senoidales
Señal de ref erencia : Senoidal
Amplitud = 20o (pico a pico)
F recuencia = 0,2 Hz
Figura 8.7: Seguimiento de referencia senoidal
84
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de seguimiento de señales senoidales: tensión
Figura 8.8: Tensión aplicada en el seguimiento de senoides
8.3. Experimentos
Experimento de seguimiento de señales senoidales: consumo
Figura 8.9: Consumo acumulado en el seguimiento de senoides
85
86
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de seguimiento de señales senoidales: ruido
Figura 8.10: Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB)
8.3. Experimentos
8.3.3.
87
Experimento de seguimiento de triángulos
Señal de ref erencia : T riangular
Amplitud = 4o (pico a pico)
F recuencia = 0,33 Hz
Figura 8.11: Seguimiento de rampas
88
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de seguimiento de triángulos: tensión
Figura 8.12: Tensión aplicada en el seguimiento de rampas
8.3. Experimentos
Experimento de seguimiento de triángulos: consumo
Figura 8.13: Consumo acumulado en el seguimiento de rampas
89
90
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de seguimiento de triángulos: ruido
Figura 8.14: Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB)
8.3. Experimentos
8.3.4.
91
Experimento de sensibilidad al ruido
Señal de ref erencia : Constante
Amplitud = 0o
Ruido blanco añadido al encoder
Figura 8.15: Referencia constante
92
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de sensibilidad al ruido: tensión
Figura 8.16: Tensión aplicada para referencia constante
8.3. Experimentos
Experimento de sensibilidad al ruido: consumo
Figura 8.17: Consumo acumulado para referencia constante
93
94
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Experimento de sensibilidad al ruido: ruido
Figura 8.18: Valores frecuenciales de la señal de control (medidos en dB)
8.3. Experimentos
8.3.5.
Experimento de saturación
Figura 8.19: Tensión aplicada para el seguimiento de escalones de gran amplitud
95
96
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
8.4.
Resultados obtenidos
A la vista de los resultados obtenidos en los experimentos, realizados sobre la
plataforma de orientación, se puede destacar para los controladores PFC-R y PFCNR ensayados, respecto del controlador PID:
PFC-NR
Error en posición (figura 8.20) El error cometido por el PFC-NR se reduce notablemente, sobre todo en el caso de referencias no constantes. En el caso de
ruido en el sensor de posición, el posicionamiento final es muy ruidoso en el
caso de referencias constantes.
Tensión máxima aplicada (figura 8.21) Los valores de tensión máxima, aplicados
por el controlador al motor, son superiores a los proporcionados por el PID para
referencias triangulares. Dependiendo de la referencia pueden ser superiores o
inferiores.
Consumo (figura 8.22) EL controlador PFC-NR, logra disminuir notablemente el
consumo eléctrico del motor, gracias a la aplicación del par de forma más
suave. Aunque la presencia de ruidos puede elevar mucho el consumo.
Ruido (figura 8.23) La señal de control se aplica, dependiendo de la referencia, a
una frecuencia muy alta, bastando únicamente la discretización del encoder
para inyectar ruido de alta frecuencia en la señal de control.
PFC-R
Error en posición (figura 8.20) El error cometido se reduce notablemente, sobre
todo en el caso de referencias con velocidad no nula.
Tensión máxima aplicada (figura 8.21) Los valores de tensión máxima, aplicados
por el controlador al motor, son muy inferiores para referencias en escalón. El
controlador PFC-R no reacciona tan bruscamente como el controlador PID,
cuando se producen cambios en la referencia.
Consumo (figura 8.22) EL controlador PFC-R, logra disminuir notablemente el
consumo eléctrico del motor, gracias a la aplicación del par de forma más
suave.
Ruido (figura 8.23) La señal de control se aplica a una frecuencia muy baja, sin
componentes de alta frecuencia, incluso con grandes ruidos en el sensor de
posición.
8.4. Resultados obtenidos
97
Figura 8.20: Comparación del error cuadrático medio, de los controladores para diferentes
referencias
Figura 8.21: Comparación de la tensión máxima aplicada, de los controladores para diferentes referencias
98
Capı́tulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma
Figura 8.22: Comparación del consumo, de los controladores para diferentes referencias
Figura 8.23: Comparación de la componente de alta frecuencia de la señal de control, de
los controladores para diferentes referencias
Capı́tulo 9
Conclusiones
9.1.
Comparación de controladores
A partir de los experimentos realizados se muestra la tabla 9.1, que contiene
la valoración de los distintos parámetros que se han considerado para evaluar la
bondad de los controladores. En dicha tabla se observa que el controlador PFC-R
aventaja a los demás en todos los parámetros.
Para cada uno de los controladores se puede destacar:
El controlador PID
Este controlador tiene que utilizarse con el término derivativo muy bajo, debido
a la gran amplificación del ruido que presenta ese término. Debido a esto, el
PID pierde capacidad de sintonización.
Este controlador produce saturaciones en el motor cuando se siguen referencias
con variaciones bruscas, como es el caso de secuencias en escalón.
El comportamiento del controlador varı́a notablemente según el tipo de referencia adoptada. De esta forma, un controlador multipropósito para seguimiento de referencias mixtas, se ve obligado a usar valores relajados en su sintonización, para evitar fuertes sobreoscilaciones.
99
100
Capı́tulo 9. Conclusiones
PID
PFC-R
PFC-NR
Sensibilidad al ruido
Depende de la
Muy baja
Muy alta
en el sensor de posición
sintonización
Comportamiento según
Muy variable
No depende
No depende
Variable
Bajo
Bajo
Error cuadrático
Muy variable
Muy bajo
Muy bajo
medio
según referencia
Tensión máxima
Muy alta
Baja
Variable
aplicada
Puede saturar
Evita saturación
Puede saturar
tipo de referencia
Consumo eléctrico
del motor
Cuadro 9.1: Comparación de controladores
El controlador PFC-NR
Debido a la ausencia de restricciones en el control, se pueden producir niveles
de tensión demasiado elevados, por lo que satura el motor y el control pierde
el carácter óptimo. Además estas saturaciones no predecidas pueden producir
sobreoscilaciones.
Presenta una gran sensibilidad al ruido en el sensor de posición. Esto hace que
ante la presencia de ruido en el sensor de posición, el error de posición y el
consumo aumenten notablemente, debido fundamentalmente al aumento de la
tensión aplicada debido al ruido.
El controlador PFC-R
Su comportamiento no varı́a según el tipo de referencia adoptada, por lo que
es el controlador multipropósito adecuado para el seguimiento de referencias
mixtas.
Presenta un magnı́fico comportamiento frente al ruido en el sensor de posición.
El posible ruido que pueda aparecer en el sensor de posición afecta muy poco
al controlador, que sigue utilizando una señal de control muy suave.
9.2. Valoración del controlador PFC-R
101
El control evita la saturación del motor al proporcionar bajos niveles de tensión, incluso para referencias bruscas en escalón.
Reduce en buena medida el error de posición, independientemente de la referencia adoptada, sin necesidad de resintonización.
El movimiento de la carga, ante cambios bruscos de la señal de referencia,
se realiza de forma suave. El controlador actúa antes de que se produzca el
cambio, para poder frenar o acelerar antes de que la inercia lo aleje de la
trayectoria deseada.
El consumo es igualmente reducido para cualquier referencia.
La adición del coste en velocidad a la función de costes, aporta mayor estabilidad al controlador.
Permite la sintonización para el seguimiento de trayectorias en posición o en velocidad, simplemente ajustando el parámetro asociado en la función de costes.
Además de poderse sintonizar para reducir el consumo.
9.2.
Valoración del controlador PFC-R
A la vista de los resultados se puede concluir que, el controlador PFC-R es
un controlador muy adecuado para el seguimiento de trayectorias de orientación,
aventajando al clásico PID en todos los parámetros analizados. La adición de restricciones en el control convierte al PFC-R en un controlador mucho más indicado
que el PFC-NR al dotarle de mayor rechazo del ruido. El controlador PFC-R:
Responde de manera eficaz ante cualquier tipo de referencia.
Presenta un elevado rechazo al ruido.
Tiene una gran versatilidad, pudiéndose sintonizar con facilidad para: el control
en posición, el control en velocidad,y para la reducción del consumo.
102
Capı́tulo 9. Conclusiones
9.3.
Desarrollos futuros
Para mejorar la eficacia del controlador, siguiendo la misma filosofı́a de control,
se contempla la posibilidad de realizar las siguientes mejoras:
Realización de un proceso de identificación del modelo en tiempo real, y su
integración en el algoritmo de control para lograr obtener un controlador adaptativo, que no se vea influenciado por las variaciones de temperatura, desgaste,
suciedad, y todos aquellos cambios, que hacen necesario ajustar los parámetros
del modelo en el que se basa el controlador.
Mejora del modelo de fricción empleado, especialmente a bajas velocidades,
donde se notan más los efectos no lineales.
Uso de giróscopos para medir la orientación de la plataforma.
Bibliografı́a
[1] The Control Handbook. Ed. IEEE Press, 1996.
[2] Advanced Motion Controls. Catálogo. be15a series brushless servo amplifiers,
2001.
[3] dSPACE. DS1102 PPC Controller Board, RTI Reference. 1999.
[4] E.F.Camacho and C. Bordons. Model predictive control, 1999.
[5] Eltra. Catálogo. eh-el53a / b encoder incremental, 2002.
[6] K.J.Aström, C.Canudas de Wit, H. Olsson, and P. Lischinscky. A new model for
control on systems with friction. 1999.
[7] AB Motors. Catálogo. ld-series brushless servo motor, 2002.
[8] Miguel Ángel Gómez Cordones. Control de plataforma giroestabilizada, 2002.
103