Cálculo Diferencial e Integral (´Areas Tecnológicas) Segundo

Cálculo Diferencial e Integral
(Áreas Tecnológicas)
Segundo Semestre 2014
Universidad de la República
Práctico 5
1. Calcular el desarrollo de Taylor de orden 4 de f en el punto a en los siguientes casos.
f (x) = x2 + 1, a = 0;
f (x) = ex , a = 0;
f (x) = cos(x), a = 0;
f (x) = x2 + 1, a = 3;
f (x) = e−x , a = 0;
f (x) = sen(x), a = 0;
2. Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de f en el punto a en los siguientes casos.
f (x) = ex − e−x ,
a = 0;
f (x) =
1
,
1−x
a = 0.
3. Si el polinomio de Taylor de orden 4 en a = 0 asociado a una cierta función f es 3 − 5c + 4x2 −
x3 − 2x4 . Calcular f (0), f 0 (0), f 00 (0), f 000 (0), f (iv) (0)
4. Utilizar el desarrollo de Taylor de orden 1 para estimar los valores de (9,002)1/2 , (8,004)1/3 y
e0,01 . Comparar las aproximaciones obtenidas con las que da una calculadora.
5. ¿Cuantos términos del desarrollo de Taylor tendremos que considerar para obtener e y e2 con
siete cifras exactas?
6. Usar el desarrollo de Taylor de orden 3 de la función cos(x) para aproximar cos(0,01).
7. Determinar los valores de los parámetros para obtener un infinitésimo del mayor orden posible
cuando x → 0. Hallar la parte principal.
a(ex − 1) − bx2 − x
x + a sen(x) + b tg(x)
ex sen(x) − (ax + bx2 + cx3 )
8. Usar el desarrollo de Taylor para calcular los siguientes limites:
x2
2
− cos(x)
x4
sen(x) − x cos(x)
lı́mx→0+
,α > 0
xα
log(1 + x) − sen(x)
lı́mx→0
x2 + 4x3
lı́mx→0
9.
1−
a) Recordando que
1
xn+1
= 1 + x + · · · + xn +
, para todo x 6= 1, probar
1−x
1−x
2n+2
1
2
4
6
n 2n
n+1 x
= 1 − x + x − x + · · · + (−1) x + (−1)
,
1 + x2
1 + x2
1
∀x ∈ R.
1
.
1 + x2
c) ¿Es el polinomio de Taylor una buena aproximación de f para todo x ∈ R?
b) Hallar polinomio de Taylor de orden n en 0 de la función f (x) =
10. Mostrar que los siguientes son los polinomios de Taylor en 0 de las funciones dadas:
x
Pn (a ) =
n
X
(log a)k
k=0
k!
xk , para a > 0, siendo f (x) = ax . (Sugerencia: ax = ex log a ).
n
X
x2k
, siendo f (x) = cosh(x) = (ex + e−x )/2.
P2n (x) =
(2k)!
k=0
n
X
x2k+1
siendo f (x) = senh(x) = (ex − e−x )/2.
P2n+1 (x) =
(2k + 1)!
k=0
n
X
x
2k+1
, siendo f (x) =
x
P2n+1 (x) =
.
1 − x2
k=0
11. Probar las siguientes igualdades.
a) P(n,αf,a) (x) = αP(n,f,a) (x)
b) P(n,f +g,a) (x) = P(n,f,a) (x) + P(n,g,a) (x)
c) P(n,f 0 ,a) (x) = [P(n+1,f,a) (x)]0
12. Hallar polinomio de Taylor de
1
.
(1 − x)2
2