1. Demostrar que {f(x) = ax + b cx + d es inyectiva ⇔ ad − bc = 0}. En

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. HOJA 6
ax + b
es inyectiva ⇔ ad − bc 6= 0}. En
cx + d
−1
ese caso, hallar su función inversa f .
1. Demostrar que {f (x) =
2. Determinar en qué intervalos son inyectivas las funciones siguientes:
i) f (x) = x3 −3x2 ;
ii) f (x) = x5 +x;
iii) f (x) =
1
;
1 + x2
iv) f (x) =
3.Supongamos h0 (x) = sen2 ( sen (x + 1)), h(0) = 3. Hallar:
i) (h−1 )0 (3).
ii) (β −1 )0 (3), donde β(x) = h(x + 1).
4. Hallar una fórmula para (f −1 )00 (x).
5. Hallar el polinomio
√ de Taylor de grado 4 alrededor de a = 0 de
las funciones f (x) = 1 + x y g(x) = log cos x.
6. Calcular el polinomio de Taylor de grado 2n alrededor de a = 0
de la función f (x) = log(1 − x2 ).
7. Utilizando polinomios de Taylor, aproximar
inferior a 00 01 sin utilizar calculadora.
√
e con un error
8. Hallar el polinomio de Taylor de cos x de grado 4 alrededor de
a = π/3.
9. Hallar los polinomios de Taylor de f (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 de
grados 1, 2, 3 y 4 alrededor de a = 2. Si operásemos el último, ¿qué se
obtendrı́a?
10. Utilizando polinomios de Taylor, calcular
sin(x4 )
.
x→0 sin4 x
lim
1
x+1
.
x2 + 1
2
ANÁLISIS MATEMÁTICO I. HOJA 6
11. Dada f considérese el lı́mite
f (−h) + f (h) − 2f (0)
lim
.
h→0
h2
a) Probar que si f tiene derivada segunda continua entonces el lı́mite
existe y coincide con f 00 (0). (Indicación: Usar L’Hôpital).
b) Probar que si f 00 (0) existe, entonces el lı́mite también existe y
ambas cantidades coinciden. (Indicación: Usar Taylor de grado 2).
c) ¿Cómo hay que cambiar el lı́mite anterior para que coincida con
00
f (a) cuando esta derivada segunda exista?
d) Comprobar que para la función dada por f (x) = x3 /|x| si x 6= 0
y f (0) = 0, existe el lı́mite pero f 00 (0) no existe.
12. Sea la función
½
f (x) =
2
e−1/x
0
si x 6= 0
si x = 0
¿Cuál es el polinomio de Taylor de grado n de f (x) alrededor de a = 0?
¿Qué sentido tiene esto, si el polinomio de Taylor debe aproximar a la
función?