B y - Universidad Tecnológica del Perú

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
MANUAL DE
LABORATORIO DE
FÍSICA GENERAL
TINS Básicos
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS,
INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA ELECTRÓNICA,
INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL,
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA NAVAL,
INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA AERONÁUTICA,
INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA MECÁNICA, INGENIERÍA DE
SOFTWARE, INGENIERÍA DE TRANSPORTE
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima – Perú
© MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL
Desarrollo y Edición
:
Elaboración del TINS :
Vicerrectorado de Investigación
Lic. José SANTA CRUZ DELGADO
Diseño y Diagramación: Julia Saldaña Balandra
Soporte académico
:
Instituto de Investigación
Producción
:
Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y
transformación de esta obra.
2
“El presente material contiene una compilación de obras de Física
General publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo
del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser
empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la
Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos
en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto
Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
4
Presentación
El presente Manual está diseñado teniendo en cuenta la teoría
cognoscitiva de construcción del conocimiento, tomando como base los
fundamentos teóricos impartidos en aula, en el curso de Física General.
En este marco, es grato presentar a los estudiantes de Ingeniería el
presente documento académico denominado: MANUAL DE LABORATORIO
DE FÍSICA GENERAL, en su primera edición.
Documento en el cual están diseñados claramente las diversas prácticas
experimentales que facilitarán la comprensión de conocimientos; dominio y
manejo de equipos e instrumentos; y uso de materiales en las prácticas
relacionados con los diversos tópicos que se desarrollarán en el Curso de
FÍSICA GENERAL.
La metodología de desarrollo de Prácticas en los diferentes temas
experimentales ha sido establecido, para estudiantes de Ingeniería; teniendo
como base el aprendizaje previo de las ideas teóricas básicas.
Así mismo, como soporte didáctico se ha tomado en cuenta los textos
indicados en la referencia bibliográfica de cada Práctica de Laboratorio; para
facilitar la comprensión de los temas teóricos impartidos en aulas, en
interrelación con las prácticas.
Al cerrar estas líneas el reconocimiento personal al profesor José Santa
Cruz Delgado, quien con constancia, empeño pertinaz y calidad académica ha
propiciado y construido el presente Manual.
Finalmente, el reconocimiento al Licenciado Richard Medina Calderón
por su apoyo en la complementación de algunos experimentos.
Lucio H. Huamán Ureta
Vicerrector de Investigación
"Todo debe hacerse lo más sencillo posible, pero no más simple"
ALBERT EINSTEIN
6
Índice
EXPERIMENTOS
ANÁLISIS DE FUNCIONES
1.
Graficas de Funciones ...................................................................
2.
Ajuste de Curvas ............................................................................
09
31
TEORÍA DE MEDICIONES
3.
Mediciones, Cálculo de errores y su propagación .........................
47
MECÁNICA - CINEMÁTICA
4.
Movimiento Rectilíneo Uniforme ....................................................
5.
Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado ...................................
6.
Movimiento Compuesto – Movimiento de un Proyectil ..................
7.
Movimiento Circular Uniforme ........................................................
65
75
87
97
MECÁNICA - ESTÁTICA
8.
Primera Condición de Equilibrio .....................................................
9.
Segunda Condición de Equilibrio ...................................................
10. Centro de Gravedad de Figuras Planas.........................................
107
121
131
TRABAJO
11. Trabajo en un Plano Inclinado........................................................
143
ANEXOS
1.
Gráficas y Análisis de Funciones ...................................................
2.
Mediciones, Cálculo de Errores y su Propagación.........................
3.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado .............................
4.
Fuerza Centrípeta ..........................................................................
5.
Fuerza Normal y a lo largo de un Plano Inclinado .........................
149
169
175
181
189
APÉNDICE
A:
Formulario ......................................................................................
B:
Prefijos y Unidades ........................................................................
C:
Constantes Físicas.........................................................................
D:
Datos Gráficos ...............................................................................
E:
Uso del Software Logger Pro .........................................................
F:
Glosario..........................................................................................
195
203
211
215
223
229
MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES............................................
REGLAMENTO INTERNO DEL LABORATORIO DE FÍSICA....................
233
235
Manual de Laboratorio de Física General
ANÁLISIS DE FUNCIONES
Gráficas de Funciones
Práctica de Laboratorio Nº 01
Tópicos Relacionados
Ecuación de una recta, variable dependiente, variable independiente,
constante, pendiente de una recta, función, relación, parábola, hipérbola.
1.
Objetivos
1.1
1.2
1.3
2.
Equipos y Materiales
-
3.
Obtener correctamente gráficas de un conjunto de datos
experimentales, realizar el análisis correspondiente y
descubrir el comportamiento de un fenómeno físico a partir
de estas gráficas.
Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles
gráficos: milimetrado, logarítmico y semilogarítmico.
Aprender y practicar el uso de calculadoras científicas y
hojas de cálculo.
Tres (03) hojas de papeles gráficos milimetrados.
Tres (03) hojas de papeles gráficos semilogarítmico.
Tres (03) hojas de papeles gráficos logarítmicos.
Una (01) calculadora científica (personal).
Una (01) regla 0,30 m, 1/1000 m.
Fundamento teórico
3.1
Tabla de Datos.- Para investigar la relación entre dos
cantidades físicas en el laboratorio, debemos realizar
mediciones experimentales las cuales nos proporcionarán
por lo menos dos listas de números a los cuales les
llamaremos datos. Estos datos se organizan en forma de
tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el
nombre de Tabla de Datos Experimentales.
3.2
Gráficas.- La función del experimentador es descubrir la
relación que existe entre las dos columnas de una tabla de
datos experimentales. Una forma conveniente de establecer
9
Manual de Laboratorio de Física General
esta relación es mediante una representación gráfica de
tales datos. Para construir una gráfica, debemos ayudarnos
con un plano cartesiano donde la recta horizontal es
denominada eje de abscisas y la vertical, eje de las
ordenadas.
A continuación enunciaremos algunos conceptos que serán
necesarios para familiarizarnos con una gráfica:
Función: Una cantidad y (variable dependiente) es función
de otra cantidad x (variable independiente), si su valor se
determina por el valor de la variable x. Una función se
expresa matemáticamente de la forma y = f ( x ) , y nos
dice “ y depende de x ” o “ y es una función de x ”. Como
ejemplo, tomemos el módulo de la velocidad en función del
tiempo, cuya expresión sería v = f (t ) .
Variables: Son las cantidades físicas que intervienen en el
experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar.
Como se mencionó arriba, estas pueden ser:
ƒ
ƒ
Variable Independiente: Es la variable que podemos
controlar, y que podemos variar en un proceso
experimental. Dos ejemplos típicos en Física son el
tiempo y la masa.
Variable Dependiente: Es aquella variable cuyo valor
depende del que toma la variable independiente.
Constantes: Son aquellas que toman un valor fijo, no
cambian nunca durante el experimento ni en la formula o
ecuación planteada.
Papel gráfico milimetrado: Es un papel que en dirección
horizontal y vertical, esta dividido en segmentos de 1 mm
de longitud. Por su fácil uso se aplica a todas las funciones
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación
Gráfica).
Papel semilogaritmico: Es un papel que en dirección
vertical esta dividido en segmentos de escala logarítmica y
en dirección horizontal esta dividido en escala milimétrica
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación
10
Manual de Laboratorio de Física General
Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están
relacionados por una función de tipo Exponencial:
Papel logarítmico: Es un papel que en dirección horizontal
y vertical está dividido en segmentos en escala logarítmica
con la particularidad de que cada segmento esta en una
proporción de orden 10 con respecto al segmento anterior
(Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación
Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están
relacionados por una función de tipo Potencial:
3.3
Pasos a seguir para construir una gráfica
3.3.1 Seleccionar y denominar las escalas y
coordenadas adecuadas
Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y
las variables independientes paralelos al eje X.
Escogemos una escala de modo que un cuadro sea
múltiplo de 1, 2, 5, 10 (puede ser de 4) unidades de manera
que la gráfica se lea con facilidad.
Dibujamos las escalas a uno o dos cuadros del margen de
cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva
resultante no este confinada a un área pequeña de la
grafica.
No es esencial que la gráfica contenga el punto ( 0 , 0 ). Por
ejemplo puede comenzar desde el punto ( 0 , 8 ), pero si
debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica.
La división más pequeña de la grafica debe ser menor o
igual al límite de error de los puntos que se localice.
Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y
unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2, 4 ó
5 (cinco es recomendado).
11
Manual de Laboratorio de Física General
T (ºC)
GRAFICA Nº 1:
40
+
+
+
Calor latente de fusión
+
Temperatura en función del tiempo
35
R. Medina 13/06/06
+
+
30
Escalas
Eje X:
+
25
1 mm = 2 s
Eje Y:
1 mm = 2 ºC
+
20
+
15
+
+
10
+
+
+
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t (min)
Figura Nº 1: Ejemplo de grafica del experimento de calor latente de fusión
3.3.2 Localizar los puntos que representan los datos
en el papel gráfico.
Se
deben
localizar
los
puntos
determinados
experimentalmente usando líneas horizontales y verticales
en la forma de un signo “+”, que permite considerar una
coordenada cada vez.
Si trazamos mas de una curva en un papel gráfico, se
deben usar diferentes símbolos (líneas “+”, puntos, etc.)
para cada grafica diferente y si es posible, usar diferentes
colores. Hacer una Leyenda respectiva.
12
Manual de Laboratorio de Física General
3.3.3 Ajustar la curva entre los puntos (se verá en el
siguiente laboratorio). (Ver Anexo Nº1: Modelo de
Papeles – Comparación Gráfica)
3.3.4 Preparar el título y la descripción del gráfico.
El titulo se debe colocar dentro del margen del papel gráfico
en una posición que no interfiera con la curva. El titulo debe
incluir una descripción minuciosa del propósito de la grafica,
además deben estar enumeradas correlativamente. El
contenido exacto de la descripción depende de las políticas
del docente o departamento. (Como ejemplo, ver Figura
Nº2)
3.4
Principales Funciones
3.4.1 Función Lineal: Una función es lineal cuando la
variable independiente aparece elevada a la primera
potencia, se representa en la forma:
y = m⋅ x +b
m =
(1)
Δy
, es la pendiente de la recta (2)
Δx
b es el intersecto de la recta con el eje
y cuando x = 0
3.4.2 Función Cuadrática: Una función es cuadrática
cuando la variable independiente esta elevada al cuadrado,
se representa de la siguiente manera:
y = a + bx + cx 2
a , b, c :
13
Constantes.
(3)
Manual de Laboratorio de Física General
70
65
GRAFICA Nº 2:
Movimiento Rectilíneo Uniforme
60
55
50
45
espacio (m)
40
35
Δe = 35 m
30
25
Donde:
m = 3.5
b = 4.6
20
15
10
Escala:
tiempo (s) : 1 cm < > 2 s
espacio (m) : 1 cm < > 5 m
Δt = 10 s
5
b
0
0
2
4
6
8
10
12
tiempo (s)
Figura Nº 2: Función lineal
14
14
16
18
20
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 3:
Curva Parabólica (Función Cuadrática)
60
55
Y = 2 – X + 2 X2
50
45
40
35
Y
30
25
20
15
10
Escala:
X (u1) : 1 cm < > 1 u1
Y (u2) : 1 cm < > 5 u2
Donde:
a= 2
b = -1
c= 2
5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
X
Figura Nº 3: Función Cuadrática
Un ejemplo de Función Cuadrática es el descrito por la
trayectoria del movimiento de proyectiles
En la Figura Nº 4 se muestra un caso especial de la
ecuación (3), cuando
15
a = 0, b = 0
y
c
es una
Manual de Laboratorio de Física General
constante, entonces la ecuación (3) es
función
y = k x , cuando n=2 y k = c
equivalente a la
n
900
GRAFICA Nº 4:
Curva Parabólica (Función Cuadrática - Potencial)
800
e = 1.2 t2
700
espacio ( cm )
600
Donde:
a= 0
b= 0
c = 1.2
500
400
300
200
Escala:
x = t (s) : 1 cm < > 5 s
y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm
100
0
0
5
10
15
20
25
30
tiempo ( s )
Figura Nº 4: Función Cuadrática - Potencial
Un ejemplo de Función Cuadrática - Potencial es el descrito
por un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente
Variado, cuando el móvil tiene una velocidad inicial igual a
16
Manual de Laboratorio de Física General
cero y parte del origen de coordenadas, es decir :
y=
a 2
⋅ x , donde a es la aceleración del móvil.
2
3.4.3 Función Potencial: En este tipo de función x esta
elevado a una exponente constante. Se representa de la
siguiente manera:
y = kx n
(4)
Justificación: Tomando logaritmos a ambos lados de
y = k x n obtenemos:
log ( y ) = log k + n ⋅ log x
(5)
Haciendo un cambio de variable Y = log y , X = log x y
B = log k
De (5) obtenemos una relación lineal:
Y = B + n⋅ X
(6)
Si graficamos Y vs X obtendremos una recta con
pendiente n . La pendiente puede ser positiva o negativa y
no necesita ser un entero. Para evitar tomar logaritmos a la
función, es de utilidad el papel gráfico log-log (logarítmico),
donde al graficar allí cualquier conjunto de datos o función
de la forma y = k x , obtendremos una línea recta como
curva trazada y calcularíamos la pendiente y la intersección
como si estuviésemos trabajando con un papel grafico
milimetrado. (Ver Figura Nº 4 y 5)
n
17
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 5:
Función Cuadrática - Potencial
1000
espacio (cm)
100
10
1
1
10
100
tiempo (s)
Figura Nº 5 : Función Cuadrática en papel grafico log-log (Logarítmico)
Observación: Para calcular la pendiente se escogen dos
puntos sobre la recta y evaluando es:
n=
log y 2 − log y1
log x 2 − log x1
18
(7)
Manual de Laboratorio de Física General
con (x1 , x2), (y1 , y2) leídos directamente sobre el papel
logarítmico. El intercepto de la recta es
B = log ( k )
se lee
directamente sobre el papel logarítmico
3.4.4 Función Exponencial: Una función es exponencial
cuando la variable independiente aparece como exponente
de algún numero:
y = y e bx
0
(8)
En la ecuación (8) e es la base de los logaritmos
neperianos
y
su
valor
es
2.7182818284590452353602874713527 aproximadamente,
b es una constante.
Si la constante b es positiva, entonces la concavidad de la
parábola depende del signo de x . Para la Figura Nº 6,
estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este
caso el signo de x es negativo.
Si los valores para x son positivos, entonces la concavidad
de la parábola depende del signo de la constante b. Para la
Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial,
en este caso el signo de b es negativo.
La función exponencial tiene la propiedad siguiente:
dy
=b⋅y
dx
(9)
Cualquier múltiplo constante de la función exponencial
e bx tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento es b
veces la función misma.
Para intervalos Δx largos, la ecuación (9) implica:
Δy
=b⋅y
Δx
19
(10)
Manual de Laboratorio de Física General
Si el signo de x es negativo estaremos tratando con un
decaimiento exponencial y la ecuación (8) adopta la
siguiente forma:
y = y 0e
− b ⋅x
(11)
Un tipo especial de papel hace que el análisis de
crecimiento y decrecimiento exponencial sea mucho más
simple (papel semilogaritmico).
20
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 6:
Desintegración Radiactiva del Cesio 137
100
90
80
70
A(t) = 100 e-0.5 t
Actividad (%)
60
Donde:
yo = 100
b = -0.5
50
40
30
Escala:
X = t (s) : 1 cm < > 1 h
y = A (%) : 1 cm < > 10 %
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tiempo (horas)
Figura Nº 6 : Función Exponencial – Decreciente (Papel milimetrado)
21
9
10
Manual de Laboratorio de Física General
Justificación: Si tomamos logaritmos decimal a la ecuación
(8), obtendremos:
log ( y ) = log ( y0 ) + bx ( log e )
Haciendo un cambio de variables: Y = log y ,
(12)
B = log ( y0 )
y m = b.( log e ) , la ecuación (12) toma la siguiente forma:
Y = B + m.x
(13)
El grafico de Y vs. x es una línea recta con pendiente
positiva si b es positiva, y pendiente negativa si b es
negativa.
22
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 7:
Desintegración Radiactiva del Cesio 137 (papel Semilogaritmico)
Actividad (%)
100
10
Escala:
X = t (s) : 1 cm < > 1 h
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
tiempo (horas)
Figura Nº 7 : Función Exponencial – Decreciente graficado en papel semilogaritmico,
observar que el resultado es una función lineal.
23
10
Manual de Laboratorio de Física General
Existe un papel grafico especial (papel semilogaritmico) en la
cual, el eje vertical es graduado en forma logarítmica
(potencias de 10), el eje Horizontal esta graduada en forma
decimal (milimetrada). La curva puede ser trazada sin tener
que calcular ningún logaritmo a los datos. En dicho papel ya
se puede calcular la pendiente y la constante de la ecuación
(13) cuando la grafica es recta. Luego, se puede calcular yo y
b de la ecuación (8) de la siguiente manera:
y0 = 10 B
b=
y
m
log e
(14)
Observación: cuando una tabla de datos de parejas (x, y) se
gráfica en papel semilogarítmico, se localiza la pareja de
puntos sobre el papel, sin previamente calcular el logaritmo
de "y" pues el papel semilogarítmico lo hace de modo gráfico
y lo que aparece graficado es (x , Log(y)) como par
ordenado. En este papel el eje horizontal corresponde a una
escala milimetrada y el eje vertical a una escala logarítmica.
Si la escala logarítmica se repite el papel se llama de dos
ciclos. Los valores en esta escala se enumeran de tal forma
que cada ciclo debe terminar en un número 10 veces mayor
que el anterior, es decir, si el primer ciclo empieza en 10,
debe terminar en 100, el segundo empieza en 100 y termina
en 1000. El número de ciclos necesario estará dado por el
número de potencias de 10 que abarquen los valores de "y"
El valor de la pendiente m en el papel semilogarítmico se
calcula escogiendo dos puntos (x1. Logy1 ), (x2, Logy2) por
donde pase la recta, y evaluando es:
m=
log y 2 − log y1
x 2 − x1
El intercepto de la recta es
24
B = log ( y0 ) .
(15)
Manual de Laboratorio de Física General
4.
Procedimiento
Se graficarán y analizarán los resultados de tres experimentos:
4.1
La posición de un automóvil que baja por la pendiente de
una colina fue observada en diferentes tiempos y los
resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en
metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en
línea recta a velocidad constante en función del tiempo
expresado en segundos.
Tabla N° 1
4.2
t(s)
1.1
e(m)
8.45
2.9
14.75
4.1
18.95
6.6
27.70
8.0
32.60
9.8
38.90
10.5
41.35
12.1
46.95
13.9
53.25
15.5
58.85
Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que
se mueve en línea recta con aceleración constante en
función del tiempo expresado en segundos.
Tabla N° 2
t (s)
e (m)
1,0
1,00
2,2
4,84
3,4
11,56
4,4
19,36
5,9
34,81
7,1
50,41
25
Manual de Laboratorio de Física General
4.3
Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día
uno se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos.
Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para
distintos días se muestran en la tabla Nº 3.
Tabla N° 3
t (días)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A (t) %
83
69
57
47
39
32
27
22
18
15
A partir de los datos anteriores, realice lo siguiente graficas:
I.
En papel milimetrado los valores de las Tablas N° 1,
N°2 y N°3.
II. En papel logarítmico los valores de las Tablas N° 1, N°2
y N°3.
III. En papel semilogaritmico los valores de las Tablas N°
1, N°2 y N°3.
5.
Cuestionario
5.1
Usando las gráficas obtenidas en el paso 1 del
procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación
de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las
ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora
científica para ello).
5.2
Según la tabla N° 3: ¿Cuántos núcleos habían al inicio (día
cero)? y ¿Cuántos núcleos quedarán por desintegrar el día
N° 7?
5.3
Calcule el valor de E paso a paso para cada factor;
Primero: realizar el cálculo para cada factor con
aproximación a centésima (use las reglas de redondeo, Ver
Anexo Nº2). Segundo: realizar el cálculo para cada factor
con todos los decimales que pueda dar la calculadora que
esta usando.
26
Manual de Laboratorio de Física General
E=
6.
7.
ln 1000 ⋅ log ( e 3 ) ⋅ arcos ( − 0.25 ) .( sen 2 37 ° )
π .arctan (10 )
5.4
Investigue datos experimentales cuya grafica describa una
línea recta y grafíquelas en papel milimetrado.
Adicionalmente grafique estos datos usando el software
Logger Pro del laboratorio de física.
5.5
Investigue datos experimentales cuya grafica describa una
curva parabólica y grafíquelas en papel milimetrado.
Adicionalmente grafique estos datos usando el software
Logger Pro del laboratorio de física.
5.6
Busque información sobre la existencia de otros papeles,
además del milimetrado , logarítmico y semilogaritmico
5.7
¿Cuáles son las características de una función?, explique.
5.8
como aplicaría este tema en su carrera profesional?
Observaciones
6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -
Conclusiones
7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27
Manual de Laboratorio de Física General
8.
9.
Sugerencias
8.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3
- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Referencias
9.1
Problemas y ejercicios de análisis matemático, B.
Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7
– 19.
9.2
Tópicos de Cálculo I, M. Mittac & L. Toro, ed. “San Marcos”,
Lima, Perú, 1990 Cap. 2, pág. 47-100.
9.3
Intermediate Physics for Medicine and Biology, R. K. Hobbie, 2
ed., John Wiley & Sons, 1988, Minneapolis, Minnesota, USA, Ch.
2, Pg., 28-39.
"Una gráfica puede decir más que mil palabras."
ANONIMO
28
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 8: Formas de Relieve y Curvas de Nivel. Las Curvas de Nivel dan
información de altitudes. Su configuración nos da información muy precisa de su
relieve. Se debe observar que: a) Las curvas de nivel mas próximas al centro
significan declives mas elevados, mientras que las curvas de nivel más alejadas
significan zonas de pendientes más suaves; b) Las curvas de nivel concéntricos con
las montañas más altas en el centro representan colinas, si se esta mas alejado del
centro, tenemos una zona deprimida. El ejemplo de la figura se tiene dos montañas
con formas muy diferentes. La derecha tiene mayores altitudes; se señala en la parte
superior, el aumento de pistas y cierta asimetría. La parte superior de la izquierda
tiene una forma más redondeada, menor altitud, pero aún en presencia de un alivio
asimétrico: hay una diferencia de pistas entre las dos montañas.
29
Manual de Laboratorio de Física General
ANÁLISIS DE FUNCIONES
Ajuste de curvas
Práctica de Laboratorio Nº 02
Tópicos Relacionados
Métodos de mínimos cuadrados, matrices y determinantes, asíntotas,
interpolación, extrapolación, sumatorias.
1.
Objetivos
1.1 Encontrar la función matemática que relaciona a dos cantidades
físicas medidas experimentalmente.
1.2 Hacer uso de la técnica de linealización por el método de
mínimos cuadrados.
1.3 Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolaciones
a la ecuación de ajuste calculada.
2.
Equipos y materiales
-
3.
Seis (06) hojas milimetradas.
Un (01) lápiz de carbón N°2
Una (01) regla de 30 cm.
Una (01) Calculadora Científica (personal).
Fundamento teórico
En el estudio de los fenómenos físicos nos encontramos con muchas
variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo
analizarlo simultáneamente. Para facilitar el análisis elegimos dos de
estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una
tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la función que
mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser
lineales, exponenciales, logarítmicos, etc. Como se observa a
continuación:
31
Manual de Laboratorio de Física General
Y
Y
Y
X
X
Figura. Nº 1:
Función Lineal
Figura. Nº 2:
Función Parabólica
X
Figura. Nº 3:
Función Exponencial
3.1 AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relación
matemática que mejor se aproxima a los resultados del
fenómeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos la
función a la que se aproxime la distribución de puntos
graficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones:
a) Función Lineal :
y = b+ m⋅x
2
b) Función Parabólica o cuadrática : y = a + b ⋅ x + c ⋅ x
2
3
c) Función Cúbica : y = a + b ⋅ x + c ⋅ x + d ⋅ x
2
n
d) Función Polinomial : y = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x + " + an ⋅ x
x
e) Función exponencial : y = A ⋅ B
B
f) Función Potencial : y = A ⋅ x
g) Función Elíptica :
x2 y 2
+
=1
a 2 b2
x2 y 2
h) Función Hiperbólica : 2 − 2 = 1
a
b
i) Otras.
En todas estas expresiones x e y representan variables,
mientras que las otras letras denotan constantes o parámetros
a determinar.
32
Manual de Laboratorio de Física General
Una vez elegida la función se determina las constantes de tal
manera que particularicen la curva de los fenómenos observado.
3.2 Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso
de medición se organizan en tablas. Las tablas así formadas no
informan acerca del tipo de relación existente entre una
magnitud y la otra. Una alternativa para establecer dichas
relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de
ejes coordenados.
a) Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla.
b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas
conocidas.
Habiendo logrado identificar la forma de la distribución de los
puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas
mediante el método de mínimos cuadrados y para datos cuya
tendencia sea una línea recta se puede usar también el método
grafico.
Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribución de
puntos (datos experimentales) mediante programas de cómputo
como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan el
trabajo. En el Laboratorio de Física disponemos del software
para el procesamiento de datos y graficas Logger Pro.
3.3 Método de los mínimos cuadrados.Considerando los valores experimentales (X1 , Y1), (X2 , Y2), . . . ,
(Xa , Ya) la idea es construir una función F(x) de manera que
minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones (ver
Figura. Nº 4), es decir:
S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 sea un número mínimo.
Nota:
- Si se considera que S = 0, es decir D1 = D2 = . . . . = Dn = 0 se
tendría que F(x) pasa por todos los puntos experimentales.
- Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas
extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los
valores medidos.
33
Manual de Laboratorio de Física General
Yn
Y3
D3
Y1
D1
D2
Y2
X1
X2
X3
X4
Figura Nº 4: Desviaciones en un ajuste de mínimos cuadrados
3.4 AJUSTE DE CURVA LINEAL
- Método Geométrico
Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas
solo a la primera potencia.
Una función lineal que relacione “x” con “y” se representa
algebraicamente como:
y = b+ m⋅x
(1)
Donde “b” y “m” son constantes.
Y
Y2
ΔY
Y1
b
ΔX
X2
X1
Figura Nº 5: Función ajustada geométricamente
34
X
Manual de Laboratorio de Física General
En la figura Nº 5 se muestra una gráfica de los valores de “X” e
“Y” que satisfacen la ecuación. La constante “b” es la ordenada.
La constante “m” es la pendiente de la recta.
Donde:
b resulta de la intersección de la recta con la
ordenada
Δy
Δx
m=
ΔX = X2 – X1
(2)
ΔY = Y2 – Y1
- Recta Mínima Cuadrática
La recta mínima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos:
(X1 , Y1) , (X2 , Y2) , . . . , (Xn , Yn) tiene por ecuación:
y = b+ m⋅x
(3)
Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dos
siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.
∑ Y =bN + m∑ X ,
∑ X Y = b∑ X + m∑ X
i
(4)
i
i
i
i
2
i
(5)
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
m =
b =
n∑ ( xi yi ) −
n
∑x
2
i
−
∑x ∑y
(∑ x )
i
i
2
∑x ∑ y − ∑x ∑x y
n ∑x − ( ∑x )
2
i
i
i
i i
2
i
(6)
i
2
(7)
i
Para mayor comprensión se construye la siguiente tabla:
35
Manual de Laboratorio de Física General
TABLA N° 1: Tabla de datos
i
xi
yi
x i ⋅ yi
x i2
1
x1
y1
x 1 ⋅ y1
x 12
2
x2
y2
x 2 ⋅ y2
x 22
n
xn
yn
x n ⋅ yn
x 2n
∑n
∑x
∑y
i
∑x
i
i
∑x
⋅ yi
2
i
Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cada
columna de datos.
Finalmente usaremos la ecuación de ajuste (6) y (7)
respectivamente.
Ejemplo Nº 1: Dado los siguientes datos, realice el ajuste por el
método de mínimos cuadrados (1,2); (2,3); (5,5); (6,5); (7,6);
(8,7) y (12,9).
Solución: Construyamos la siguiente tabla de datos:
TABLA N° 2: Tabla de datos Experimentales
X
Y
X.Y
X2
1
2
2
1
2
3
6
4
5
5
25
25
6
5
30
36
7
6
42
49
8
7
56
64
12
9
108
144
∑Xi= 41
∑Yi= 37
∑YiXi = 269
∑ Xi2 = 323
36
Manual de Laboratorio de Física General
N (número de datos) = 7
Obteniendo :
∑X
i
= 41,
∑Y
i
= 37,
∑X Y
i i
= 269,
∑X
2
i
= 323
Reemplazando estos resultados en las ecuaciones 4 y
resolviendo el sistema se tiene:
a = 1,590
b = 0,631
Por lo tanto la recta tiene por ecuación: F (x)=Y=1,590 + 0,631 X
Al extrapolar (extender la gráfica a ambos lados), es posible
determinar los valores de Y para X cercanos y externos al
intervalo de valores medidos (Ver Figura. Nº 6).
Y
10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 .
0
X
2
4
6
8
10
12
14
Figura Nº 6: Función ajustada por mínimos cuadrados
3.5 AJUSTE DE UNA CURVA NO LINEAL
- Parábola Mínima Cuadrática.- Para este caso el ajuste se hará
a una función parabólica.
F(x) = Y = a + b X + c X2
(8)
37
Manual de Laboratorio de Física General
Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los
coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el
caso de la recta mínimo cuadrático, tratando que:
S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 tome el valor mínimo.
Así resulta:
∑Y
i
= aN + b∑ X i + c ∑ X i2
∑X Y
= a ∑ X i + b∑ X i2 + c ∑ X i3
(10)
Y = a ∑ X i2 + b∑ X i3 + c ∑ X i4
(11)
i i
∑X
(9)
2
i i
Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las ecuaciones 9,
10 y 11.
- Función Potencial: Una función potencial es de la forma:
Y = A⋅ X B
(12)
Podríamos linealizar esta función aplicando logaritmos a ambos
lados y obtener:
log Y = log A + B ⋅ log X
(13)
Y si reemplazamos:
y = log Y , b = B , x = log X y a = log A
(14)
Obtenemos la ecuación de la recta y = a + b ⋅ x , la cual tratada
como en las ecuaciones (6) y (7) resulta en:
38
Manual de Laboratorio de Física General
∑ ( log X ) ⋅ ∑ log Y − ∑ (log X ⋅ log Y ) ⋅ ∑ log X
a=
n ⋅ ∑ ( log X ) − ( ∑ log X )
2
2
2
b=
n ⋅ ∑ (log X ⋅ log Y ) − ( ∑ log X ) ⋅ ( ∑ log Y )
n ⋅ ∑ ( log X ) − ( ∑ log X )
2
(15)
(16)
2
- Función Exponencial: Una función exponencial es de la forma:
Y = ABX
ó
Y = A eBX
(17)
Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales.
A)
Sea Y = ABX se toma logaritmos decimales
log Y = log A + (log B) X
(18)
Haciendo las equivalencias siguientes:
y = log Y
a = log A
b = log B
x=X
(19)
Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las
ecuaciones (6) y (7)
B)
Sea Y = A eBX se toma logaritmo natural (*)
InY = InA + BX
Ahora las equivalencias son las siguientes:
y = InY
a = InA
b=B
(20)
x=X
(21)
Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las
ecuaciones (6) y (7)
39
Manual de Laboratorio de Física General
Obs: El papel logarítmico (escala en potencias de 10) esta
relacionado con las funciones logarítmicas decimales, con
lo cual, en el item B) aplicando la función logarítmico
natural a la ecuación Y = A eBX para la linealizacion no
seria apropiada graficarla en papel logarítmico.
Ejemplo Nº 2: Realizar el ajuste a una parábola por
mínimos cuadrados para los siguientes datos
experimentales: (1,5 , 3); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12);
(7,14 , 11,8); (8,2 ,10,8); (9,1 , 10,3). Los cálculos
necesarios para expresar las ecuaciones normales se
disponen en la siguiente tabla:
TABLA N° 3: Tratamiento de datos
X
Y
XY
X2
X2Y
X3
X4
1,50
3,00
4,50
2,25
6,75
3,37
5,06
3,49
7,10
24,78
12,18
86,48
42,51
148,35
4,80
9,50
45,60
23,04
218,88
110,59
530,84
6,00
12,00
72,00
36,00
432,00
216,00
1296,00
7,14
11,80
84,25
50,98
601,56
363,99
2598,92
8,20
10,80
88,56
67,24
726,19
551,37
4521,22
9,10
10,30
93,73
82,81
852,94
753,57
6857,50
∑X
i
=
40,23
∑Y
i
=
64,50
∑X Y
i i
=
413,42
∑X
2
i
=
274,50
∑X
Y =
2
i i
2924,80
∑X
3
i
=
2041,41
Reemplazando en las ecuaciones 9,10 y 11 se tiene:
64,50
= a7
+ b 40,23
413,42
= a 40,23
+ b 274,50 + c 2041,41
2924,80 = a 274,50
+ c 274,50
+ b 2041,41+ c 15957,89
40
∑X
4
i
=
15957,89
Manual de Laboratorio de Física General
Al resolver las ecuaciones obtenemos:
a = - 2,67 b = 3,96
c = - 0,28
Con estos valores, la ecuación de la parábola mínima cuadrática
será:
F(x) = - 2,67 + 3,96 x – 0,28 X2
Lo cual se muestra en la figura Nº 7
Y
14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -0 .
0
X
2
4
6
8
10
12 14
16 18
Figura Nº 7: Función cuadrática ajustada
4.
Procedimiento
Se analizarán los resultados de tres experimentos:
4.1 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.
4.2 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.
41
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 4
X
1,0
2,3
3,6
4,9
6,2
7,5
8,8
10,1
11,4
12,7
Tabla N° 5
Y
2,5
6,4
9,0
13,4
18,0
20,3
22,0
25,1
31,0
32,2
X
-6,1
-5,4
-4,2
-2,8
-2,8
-1,7
-0,6
0,5
1,6
2,7
3,8
4,8
6,0
Y
42,5
31,3
17,6
6,4
6,4
3,0
0,8
0,7
2,2
7,9
15,1
24,0
41,0
A partir de los datos anteriores realice lo siguiente:
I.
Grafique en papel milimetrado los valores de la Tabla N° 4 y de
la Tabla N° 5.
II.
Usando el método de mínimos cuadrados halle la función que
mejor se ajuste al conjunto de datos mostrado en la tabla N° 4
y en la tabla N° 5.
III.
De la tabla Nº 3 del paso 4.3 del experimento Nº 1 titulado:
“Grafica de funciones”, ajuste la grafica trazada usando
mínimos cuadrados (Ojo esta función es exponencial
decreciente).
Obs:
No se olvide de colocar en las graficas las unidades, las escalas y
las graduaciones.
5.
Cuestionario.5.1 ¿Qué entiende usted por desviación en el ajuste de una curva?
5.2 Comprobar sus resultados usando el Software Logger Pro.
42
Manual de Laboratorio de Física General
5.3 Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe, de
algunos ejemplos
5.4 Investigue datos de algunos experimentos que pueden ser
ajustados a una recta, una parábola y una exponencial, y hacer
el respectivo ajuste por Mínimos Cuadrados.
5.5 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6.
7.
8.
Observaciones.6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Conclusiones.7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sugerencias.8.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
43
Manual de Laboratorio de Física General
9.
Referencias bibliográficas.9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich,
Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.
9.2 Tópicos de Cálculo I, Máximo Mittac & Luis Toro, IMPOFOT, Lima,
Perú, 1990 Cap. 1
9.3 Teoría y problemas de Estadística, Murray R. Spiegel, McGraw
Hill, México D.F., México, 1982, Cap. 13, Pág. 217 - 240.
"La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuación entre el pasado y el futuro."
José Ingenieros
44
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 8: Fractales; Son una categoría de aproximación a un cuerpo o evento
para entender su naturaleza y dinámica. Los cuerpos “fractales” están formados
por copias más o menos exactas de partes de sí mismos. Su origen, latín
"fractus”, es reciente, lo propuso el matemático francés Benoit Mandelbrot en
1975, pero el concepto era conocido dentro de teoría de sistemas. Como
aproximación matemática consiste en crear “fragmentos irregulares”
representados en sistemas de ecuaciones parametrizados que poseen la
propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como
una réplica a escala reducida del todo, pero son curvas no derivables por ser
infinitamente fracturadas. Desde la perspectiva geométrica, un fractal es un
objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas.
45
Manual de Laboratorio de Física General
MEDICIONES
Mediciones, calculo de errores y su propagación
Práctica de Laboratorio Nº 03
Tópicos relacionados
Aproximación, incertidumbre, error, medición, vernier, micrómetro, longitud,
tiempo, masa, calibración, balanza de precisión, Precisión, Exactitud.
1.
Objetivos
1.1 Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el
resultado de una medida realizada.
1.2 Reconocer los diferentes tipos de error que existen y evaluar el
error sistemático para cada tipo de medición.
1.3 Desarrollar una conciencia del “error” como algo ineludible
asociado a las mediciones hechas notando que los errores
siempre estarán presentes en los procesos de medición.
1.4 Aprender a calcular el error propagado y el resultado de una
medición indirecta.
2
Equipos y materiales
- Un (01) paralelepípedo de madera
- Una (01) canica de vidrio o porcelana
- Un (01) cilindro de aluminio
- Una (01) regla graduada, 1m, 1/1000 m
- Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.05mm.
- Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.02mm.
- Un (01) Modelo de Nonio (1/10 mm) de madera.
- Un (01) Cronómetro, 11 h, 59 m, 59 s, 1/100 s
- Un (01) Micrómetro, 25*1mm/0.5mm
47
Manual de Laboratorio de Física General
3
Fundamento teórico
La FISICA es una ciencia que se basa en la capacidad de observación
y experimentación del mundo que nos rodea. La superación de los
detalles prácticos que hacían difícil la medición precisa de alguna
magnitud física, dio lugar a los avances en la historia de esta Ciencia.
Por ejemplo; cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo
ponemos en contacto con un termómetro, y cuando están juntos,
algo de energía o “calor” se intercambia entre el cuerpo y el
termómetro, dando por resultado un pequeño cambio en la
temperatura del cuerpo, afectando así, a la misma cantidad que
deseamos medir. Además todas las mediciones son afectadas en
algún grado por errores experimentales debido a las imperfecciones
inevitables del instrumento de medida (errores sistemáticos), o las
limitaciones impuestas por nuestros sentidos (errores personales),
que deben registrar la información o dato.
Por eso cuando un investigador tecnológico y científico diseña su
técnica de medición procura que la perturbación de la cantidad a
medirse sea más pequeña que el error experimental.
3.1
MEDICIÓN
Técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una
propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha
adoptado como unidad. La mayoría de las mediciones efectuadas en
laboratorio se relacionan con magnitudes como longitud, masa,
tiempo, ángulo o voltaje.
En todo proceso de medición se debe tener en cuenta lo siguiente:
a.
b.
c.
El objeto o fenómeno cuyas dimensiones se requieren medir.
El instrumento de medición (ejm: regla milimétrica, cronómetro,
probeta).
La unidad de medida, el cual está incluida en el instrumento de
medición (mm, s, ml).
Obs: A veces es necesario especificar las direcciones de ciertas
magnitudes vectoriales y tensoriales.
48
Manual de Laboratorio de Física General
EXPRESIÓN GENERAL DE LA MEDICIÓN:
-
Cuando se realiza una sola medición, el resultado lo podemos
expresar:
(1)
X = X 0 ± ΔX
-
Donde X0 es el valor leído en el instrumento y ΔX es el error
absoluto (por ejemplo se obtiene tomando la mitad de la lectura
mínima que se puede hacer con el instrumento, aproximación o
precisión del instrumento).
ΔX =
-
lm
2
(2)
Si se realiza varias veces la medición, el resultado se puede
expresar
X = X ± dX
-
(3)
Donde X es el valor probable dado por la media aritmética de
las mediciones y dX es el promedio de las desviaciones o
errores.
3.2 TIPO DE MEDICIONES
Medición Directa: Es la que se obtiene directamente por observación
al hacer la comparación del objeto con el instrumento de medición o
patrón.
Ejemplo: La determinación del volumen de un objeto, usaremos la
probeta graduada; la evaluación del tiempo de caída de una moneda
al piso desde una altura dada, con el cronómetro; etc.
Medición Indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de usar
fórmulas matemáticas y cantidades físicas derivadas que son función
de una serie de medidas directas.
Ejemplo Para hallar la velocidad, mediante la fórmula v = x / t
donde x es el espacio o longitud recorrido por el móvil y t es el tiempo
transcurrido.
49
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 1: Calibrador Vernier o Pie de Rey
3.3
EXACTITUD Y PRECISION DE UNA MEDICION
Todo experimento debe planearse de manera que siempre dé la
información deseada y que la distinga de todas las otras posibles. Por
lo tanto deberá cuidarse de la exactitud y/o precisión aceptable de los
datos.
EXACTITUD: La exactitud indica el grado en que los datos
experimentales se acercan a los correspondientes valores absolutos o
considerados verdaderos idealmente.
La exactitud describe la veracidad de un resultado experimental.
Estrictamente hablando el único tipo de medición totalmente exacto
es el contar objetos. Todas las demás mediciones contienen errores y
expresan una aproximación de la realidad.
PRECISION: La precisión expresa el grado con que un valor
experimental puede reproducirse en experimentos repetidos, es decir,
cuan cerca esta del valor medio del conjunto de sus medidas.
En los instrumentos la precisión se puede determinar por la mínima
medida con que se puede llevar a cabo la medición, es decir, es la
aproximación del mismo, y esto representa la calidad del instrumento,
por cuanto la medición que hagamos con dicho instrumento, poseerá
muy poco error experimental, siendo en consecuencia el resultado
una medición de alta precisión.
50
Manual de Laboratorio de Física General
3.4
TEORÍA DE ERRORES
ERROR:
Se determina mediante la diferencia entre el valor de una medición y
el valor esperado que lo consideramos verdadero o ideal
cualitativamente.
También se llama incertidumbre, la cual se puede expresar de
diversas maneras, siendo las más usuales: la desviación estándar, la
desviación promedio, etc.
Clases de error
Errores sistemáticos: Estos son determinables y corregibles si se sabe
bien la física del proceso. Los principales son:
1
Errores teóricos: Son debido a las aproximaciones
concernientes a las ecuaciones o relaciones que podrían ser
muy complejas y que necesitan aproximarse. Se usan en la
calibración de los instrumentos o en la determinación de
mediciones indirectas.
Ejemplo: Determinación del periodo de un péndulo para ángulos
pequeños donde θ ≈ senθ .
Aquí en la solución de la ecuación diferencial se usa la
aproximación de la solución en serie:
T = 2π
l ⎛ 1
9
⎞
2
4 θ
⎜ 1 + sen θ + sen + ... ⎟
g⎝ 4
64
2
⎠
T0 = 2π
y que se calcula como
Considerando algunos valores de
51
θ
l
g
y
senθ :
(4)
(5)
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla Nº 1: Error de
θo
(Valor Exacto)
θ
θ
en radianes y
(radianes)
senθ (usando la ecuación Nº15)
Sen θ
Error Relativo
Porcentual
(%)
5
0.08727
0.08716
0.13
10
0.17453
0.17365
0.51
15
0.26180
0.25882
1.15
2
Errores instrumentales: Estos vienen especificados por el
fabricante del instrumento y son etiquetados como “Límite de
precisión” o “Límite de error”. Es decir el error debido al
instrumento será igual a la cuenta mínima o la lectura más
pequeña que se obtenga con el instrumento. Es decir la lectura
será igual a la medición ± UNA DIVISION de la mínima escala
del instrumento.
3
Errores ambientales: Estos errores no son tan fáciles de evitar
debido a los cambios en las propiedades del medio. Entre los
factores ambientales mas importantes que se deben de
considerar son la temperatura, la presión y la humedad. Debido
a esto se debe recomendar aislar el experimento y controlar el
ambiente (en una región o tiempo limitado).
4
Errores de observación: Tiene su origen en la postura que toma
el operador para la lectura de la medición resultando en
lecturas muy altas o muy bajas, muy tempranas o muy tardes.
La posición correcta, una atención cuidadosa, la revisión del
equipo y la comparación de un observador con otro son
comunes para reducir o eliminar este error.
Errores aleatorios: Escapan del control del experimentador. Son
originados básicamente por la interacción del ambiente con el
sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores
sistemáticos hayan sido minimizados, balanceados o corregidos.
Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos.
3.5 DESVIACION ESTÁNDAR
Para simplificar el tratamiento de la incertidumbre en una medición
consideramos que cuando hagamos una sola medición el error
52
Manual de Laboratorio de Física General
absoluto estará representado solamente por la mitad de la
aproximación (lectura mínima del instrumento).
Δx =
1
(lect . mín.)
2
(6)
Donde la aproximación, sensibilidad o lectura mínima es la división
más fina del instrumento. En el caso de la regla milimetrada la
mínima lectura será 1/1000 m.
Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa
como ( x) , la incertidumbre en la medición crece y el error absoluto
estará en función del valor promedio de ( x) y de la siguiente variable:
n
σ =
(x − x 1 ) + (x − x 2 ) + ... + (x − x n )
=
n
2
2
2
∑ (x − x )
2
i
i =1
n
(7)
Aquí x es el valor promedio leído con el instrumento de medición y
σ es la desviación estándar. A veces aparece en el denominador
(n-1) en vez de n, por que el valor resultante representa un mejor
estimador de la desviación típica de una población de la que se ha
tomado una muestra. Para valores n > 30, prácticamente no hay
diferencia entre las dos definiciones.
El error absoluto se calculará con ayuda de la siguiente fórmula:
n
ΔX =
σ
X
n
=
∑ (X
i =1
i
− X 0 )2
n ( n − 1)
(8)
Finalmente la fórmula de expresar el resultado de una medición
directa será:
X = X ± ΔX
Donde:
X
X
ΔX
(9)
: Resultado de la medición.
: Valor más probable.
: Error absoluto.
53
Manual de Laboratorio de Física General
Además se debe considerar que:
a)
X llamado valor medio o promedio, se obtiene de la siguiente
manera; dado un conjunto de n mediciones experimentales, el
valor medio o promedio se calculará por:
n
X=
b)
∑X
i =1
i
(10)
n
Desviación (d X): Es la diferencia entre un valor cualquiera de
una serie de medidas y su valor medio, tomado en su valor
absoluto.
d X = | Xi – X |
(11)
n
c)
dX =
Desviación media (dX0):
∑X
i =1
i
−X
n
(12)
donde:
∑X
i
− X = X 1 − X + X 2 − X + ......... + X n − X
y n es el número de mediciones.
3.6 El error relativo ( Er ):
Representa el error absoluto por unidad de medición. Nos indica la
fracción del error absoluto respecto al valor promedio:
Er =
ΔX
X
(13)
3.7 El error relativo porcentual ( Er (%) ):
Representa el producto del error relativo por 100. Es el indicador
anterior dado en porcentaje:
54
Manual de Laboratorio de Física General
⎛ ΔX
⎞
Erel (%) = ⎜
⋅100 ⎟ %
⎝ X
⎠
(14)
Si tenemos un valor Xref considerado “valor teórico” o valor de
referencia y obtenemos un valor experimental (Xexp) a partir de
mediciones
directas o indirectas, podemos comparar nuestro
resultado con la siguiente formula:
Erel (%) =
X ref − Xexp
X ref
⋅100 ( %)
(15)
En lo que sigue en este curso de laboratorio, emplearemos muy a
menudo esta formula (15) para comparar diferentes cantidades
físicas (espacio, tiempo, masas, aceleraciones, coordenadas,
densidades, etc.) y poder dar conclusiones en función a este
resultado.
3.8
PROPAGACIÓN DEL ERROR O INCERTIDUMBRE
Se presenta en caso de todas las mediciones indirectas.
Por ejemplo, para calcular el área total de un cilindro, se debe medir
el diámetro del cilindro y la altura del mismo, siendo estas mediciones
directas, evidentemente estas mediciones están afectadas de
errores. Al reemplazar los valores en la fórmula para calcular el área
procederemos a sumar y multiplicar cantidades afectadas de errores
que traen como consecuencia la propagación de errores.
Para el tratamiento de este tipo de errores se han deducido fórmulas
a través de la matemática superior, que se presentan más adelante
en forma práctica.
55
Manual de Laboratorio de Física General
ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN DIRECTA:
Si para determinar el valor de una
magnitud es necesario realizar
una adición o sustracción el
ERROR ABSOLUTO TOTAL está
dado por la SUMA de los errores
absolutos de los términos que
intervienen en la operación.
L2
Por ejemplo según la figura Nº 2,
para determinar la longitud total,
se tendrá
L1
Lt
Figura Nº 2: Tarjeta recortada
L1 = L01 ± ΔL01
L0t = L01 + L02
L2 = L02 ± ΔL02
Δ L0t = ΔL01 + ΔL02
Lt = L0t ±
ΔL0t
ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN INDIRECTA:
Cuando la magnitud a medir proviene de aplicar una fórmula ya sea
en forma de producto, cociente o una combinación de ambos, el
ERROR RELATIVO TOTAL está dado por la suma de los errores relativos
de los términos que intervienen en la fórmula.
Por ejemplo para determinar
el volumen del objeto
ilustrado en la figura Nº 3,
se realizará el siguiente:
Vo = ao . bo . co
c
a
a = ao ± Δao
b = bo ± Δbo
b
c = co ± Δco
Figura Nº 3: Volumen de un Paralelepípedo
56
Manual de Laboratorio de Física General
ΔV/V0 = Δa0/a0 + Δb0/b0 + Δc0/c0
(ver Anexo sobre mediciones y errores)
Cuando se realiza una medición indirecta (para lo cual se usa alguna
formula matemática) como por ejemplo hallar el volumen de un cono,
se medirán el radio de la base y la altura, pero en estas mediciones
se introducen errores, por lo que estos errores se propagaran, hasta
en el volumen calculado.
Tabla N° 2: Formulas para la propagación de errores
Tipo de Calculo
Suma o resta
Multiplicación
o división
Elevar a una
potencia
Ejemplo*
Error Propagado en X
x = p+q−r
2
⎛ Δp ⎞ ⎛ Δq ⎞ ⎛ Δr ⎞
Δx
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
x
⎝ p ⎠ ⎝ q ⎠ ⎝ r ⎠
2
x = p *q / r
x = p
Δ x = Δ 2p + Δ q2 + Δ 2r
2
Δp
Δx
= y⋅
x
p
y
*p, q y r son variables experimentales cuyos errores absolutos son
Δ r ; respectivamente, y es una constante.
57
Δp , Δq y
Manual de Laboratorio de Física General
3.9 INSTRUMENTOS DE MEDIDA
Figura Nº 4: Partes del Micrómetro
Figura Nº 5: Forma de hacer mediciones con el Micrómetro
58
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 6: Nonio del Calibrador Vernier o Pie de Rey
Figura Nº 7: La lectura es 32.85 mm en este Calibrador Vernier o Pie de Rey
59
Manual de Laboratorio de Física General
4.
Procedimiento
4.1 Haga un reconocimiento y describa cada uno de los
instrumentos de medición que el grupo recibe, anoten la lectura
mínima así como el cálculo del error asociado a los instrumentos en
la tabla que se muestra ha continuación:
Tabla N° 3: Lectura mínima y el error asociado a cada instrumento
INSTRUMENTO
APROXIMACIÓN
ERROR ABSOLUTO
ASOCIADO
Regla de madera (uso del docente)
Regla milimétrica de metal
Wincha de 5 m
Modelo de nonio de madera
Pie de Rey o Vernier (Stainless Hardened)
Pie de Rey o Vernier Caliper (U.S.A)
Micrómetro de Metal
Balanza de Tres barras
Cronómetro analógico
Cronómetro digital
Termómetro
CASO I:
4.2 Tome un paralelepípedo de madera y mida sus tres
dimensiones como se muestra en la Figura Nº 3 con:
• Una regla de metal graduada en milímetros
• Un calibrador vernier o pie de rey (el mas Preciso)
Y anótelos en la tabla N° 4:
4.3 De acuerdo a lo anterior, determine
• El área total
• El volumen total
Y anótelos en la tabla N° 4.
60
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 4: Datos experimentales para el paralelepípedo
Mida :
Con la regla
Con el Vernier
X = X ± ΔX
X = X ± ΔX
Largo a
Ancho b
Alto c
A (Área)
V (Volumen)
CASO II:
4.4
Seleccione una canica de porcelana o de vidrio y mida su
diámetro con:
• Un calibrador vernier (el mas Preciso)
• Un micrómetro
Y anótelos en la tabla N° 5:
4.5 Con los datos del diámetro medido llene la tabla Nº 5 y repita el
cálculo del paso 4.3, para la canica
Tabla N° 5: Datos experimentales para la canica
Mida :
Con el Vernier
Con el Micrómetro
X = X ± ΔX
X = X ± ΔX
Diámetro D
Radio r
A (Área)
V (Volumen)
Observación: No se olvide de colocar las unidades en todos los
cálculos, así como hacer un correcto redondeo y usar los decimales
apropiadamente.
61
Manual de Laboratorio de Física General
5.
Cuestionario
5.1 Si el nonio del Pie de Rey o Calibrador Vernier hubiese tenido
100 divisiones ¿Cuál será la aproximación y el error absoluto
que usted cometería al usar este Vernier?.
5.2 Si un cronómetro tiene una aproximación de una centésima de
segundo (0,01 s). ¿Cuál será la medición si registrara 32,54 s?
5.3 De cinco ejemplos de cantidades física que pueda determinarse
en forma directa y también en forma indirecta.
5.4 ¿Qué otros errores además de los indicados puede usted
asociar a las mediciones directas?
5.5 Medir la frecuencia de latidos del corazón o del pulso de cada
uno de los integrantes del grupo con ayuda del cronómetro
digital. Expresar esta medición con sus respectivos errores para
cada uno.
5.6 ¿Con qué instrumento usted mediría el espesor de una hoja de
cuaderno?, describa el instrumento, haga un esquema si fuera
posible de cómo mediría dicho espesor.
5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6.
Observaciones.6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.
Conclusiones.7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62
Manual de Laboratorio de Física General
8.
Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9.
Referencias bibliográficas.9.1 Meiners - Eppenstein – Moore: Experimentos de Física, John
Wiley & Sons Inc, 2nd edition, March 1, 1987, N. Y., EEUU, Cap. 1,
pág. 13 - 59.
9.2 Murray R. Spiegel; Estadística, Editorial Andes, 1ra. Ed., 1982,
Bogotá, Colombia, Cap. I, Pág. 1-11.
9.3 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R.
y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1985, Wilmington,
Delaware, EEUU, Cap. I.
9.4 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 1, Pág.
15-27.
9.5 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R.
A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México
D.F., México, Cap. 1, pág. 1 -10.
"Un sólo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos. El darse cuenta de este hecho
señaló un avance indudable en la investigación científica."
EINSTEIN e INFELD
63
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 8: Esquema básico de un microscopio de efecto túnel
Richard Feynman, premio Nobel de Física en 1965, durante una conferencia
celebrada en el Instituto de Tecnología de California (CalTech), en 1959, titulada "Hay
mucho espacio ahí abajo", pronosticó que, tarde o temprano, se podrían mover los
átomos de manera individual, y construir configuraciones diferentes de las que
existen en la naturaleza. En 1982, Heinrich Rohrer y Gerd Binnig, dos científicos del
laboratorio IBM de Zurich, idearon el microscopio de efecto túnel, y abrieron las
puertas a este tipo de manipulación. Debido a su invento, en 1986 fueron
galardonados con el premio Nóbel de Física. Este sistema basa su funcionamiento en
un efecto cuántico que ocurre en distancias menores a la milmillonésima parte de un
metro (10-9 m = 1 nm, un nanómetro). El control de este tipo de fenómeno es lo que
nos permite hacer topografía de superficies a nivel atómico.
De la Figura: En una instalación cuyo fin es tomar medidas en escala atómica es
necesario que el elemento que se usa como sonda de medida tenga una resolución
de esa misma escala. En un microscopio de efecto túnel la sonda es una punta
conductora, p. ej. de Wolframio. La punta se trata para eliminar los óxidos y para que
sea lo más afilada posible, idealmente que en el extremo aparezca un solo átomo. La
instalación consiste en un circuito eléctrico en el que están incluidas la muestra y la
punta de medida.
Fuente: http://www.unizar.es/ina/equipos/microscopioSTM.htm
64
Manual de Laboratorio de Física General
MECÁNICA
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Práctica de Laboratorio Nº 04
Tópicos Relacionados
Trayectoria, Móvil, tiempo y velocidad, Movimiento de traslación de una
masa puntual, Mediciones, graficas
1.
OBJETIVOS
1.1 Reconocer el movimiento rectilíneo uniforme.
1.2 Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una
trayectoria s dada.
1.3 Calcular el módulo de la velocidad del cuerpo.
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
-
3.
Un (01) Móvil, 343 g
Una (01) pila de 1.5 V R6 “AA”
Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc.
Una (01) regla de metal de 100 cm.
Una (01) Calculadora Científica (personal).
Una (01) Cinta adhesiva
FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando la trayectoria de un móvil es rectilínea y en ausencia de aceleración,
el movimiento se llama Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).
El desplazamiento puede, en principio relacionarse con el tiempo mediante
la relación
x = f ( t ) . Aquí x puede ser negativa o positiva.
65
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 1: Movimiento Rectilíneo
Ahora supongamos que en un tiempo t , el objeto está en
OA = x , y que luego, más tarde, en un tiempo
B , siendo OB = x ' .
A , siendo
t ' , se encuentra en
Entonces el valor de la velocidad1 media se define como:
vm =
Donde:
Δx
Δt
x '− x Δ x
=
Δt
t '− t
(1)
: Desplazamiento del móvil
: Tiempo transcurrido.
En general, si una masa puntual cubre distancias iguales
Δs
en
intervalos iguales de tiempo Δt , entonces el valor de su velocidad
será:
v =
Δs
Δt
(2)
y tiene un valor constante. Para determinar el valor de la velocidad, se
escoge un intervalo de tiempo arbitrario
distancia
1
Δs .
Δt en el
cual medimos la
En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por
eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a
su valor numérico la rapidez.
66
Manual de Laboratorio de Física General
X
x’
Δx
θ
x
Δt
t
0
t
t’
Grafica Nº 1: Grafica de la posición en función del tiempo
En la grafica Nº 1 observamos que la velocidad se puede determinar
a partir de la tangente del ángulo θ
m = tan θ = v =
Δx
Δt
(3)
Donde m es la pendiente de la recta a la cual se pueden ajustar datos
experimentales por el método de mínimos cuadrados:
x = b + m.t
67
(4)
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 2: Móvil empleado en este laboratorio
En el experimento, se medirá espacios y tiempos para el movimiento
uniforme con un cronómetro para intervalos de distancias iguales.
Movimiento
Móvil
Inicio
0
Final
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
cm
Cronómetro
Figura Nº 3: Sistema experimental para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
68
Manual de Laboratorio de Física General
4.
PROCEDIMIENTO:
4.1
Alinear el carril horizontalmente y montar el equipo como se ve en la
Figura Nº 3.
4.2
Para hacer las graduaciones de las longitudes puede usar la regla de
metal o pegar cinta adhesiva sobre la mesa. No se olvide definir el
punto inicial y final.
4.3
Encienda el carrito (móvil) y colóquelo sobre la marca inicial,
simultáneamente encienda el cronometro; cuando el móvil haya
recorrido 10 cm detener el reloj y hacer la anotación respectiva en la
tabla Nº 1.
4.4
Repita el procedimiento anterior dos veces más y registre sus datos
en la tabla Nº 1.
4.5
Repita los pasos 4.3 al 4.4 incrementando el espacio recorrido en 10
cm desde el punto inicial de partida. Anote sus datos en la tabla Nº 1.
(Obs: el profesor puede indicar espacios recorridos diferentes).
4.6
Calcule el valor de la velocidad del móvil para el recorrido y el
promedio del tiempo empleado, use la ecuación (2).
4.7
Grafique en papel milimetrado los datos de la tabla Nº 1 de espacio
recorrido y el promedio del tiempo, use una escala apropiada.
4.8
De la grafica anterior, calcule el valor de la velocidad del móvil por el
método grafico, use la ecuación (3).
4.9
Calcule la ecuación de movimiento usando el método de mínimos
cuadrados a la ecuación (4) para los datos del espacio recorrido y el
promedio del tiempo empleado.
69
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilíneo uniforme
(MRU)
Espacio recorrido
(cm)
X
Tiempos
(s)
t1
t2
t3
Promedio
Tiempo
(s)
Velocidad
(m/s)
t
v
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5.
CUESTIONARIO
5.1
En el caso de movimiento rectilíneo uniforme, la trayectoria recorrida y
el tiempo son proporcionales? , explique.
5.2
Calcule el error relativo porcentual considerando la velocidad obtenida
por el método de ajustes de mínimos cuadrados y las velocidades
obtenidas en los pasos 4.6 y 4.8.
5.3
De tres ejemplos de movimiento rectilíneo uniforme. Detalle.
5.4
Grafique los datos de la tabla Nº 1 y haga el ajuste respectivo usando
el software Logger Pro
5.5
Experimente usted (para cada integrante de su grupo), calculando la
velocidad promedio al caminar durante su vida cotidiana. Explique en
detalle su experimento.
70
Manual de Laboratorio de Física General
5.6
Calcular la velocidad del móvil empleando el método grafico para la
grafica Nº 2.
5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
Grafica Nº 2: Espacio recorrido en función del tiempo
6.
OBSERVACIONES
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.
CONCLUSIONES
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71
Manual de Laboratorio de Física General
8.
SUGERENCIAS
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9.
REFERENCIAS
9.1
Física, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986,
pág. 87.
9.2
Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.
Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F.,
México, Cap. 2, pág. 31 - 37.
“Todo lo que se mueve es movido por otro.”
Aristóteles (384 AC-322 AC)
Filósofo griego
72
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 4: Se denomina tren de alta velocidad al medio de transporte que circula por una
vía diseñada para él (línea de alta velocidad) y que alcanza, de manera estándar,
velocidades más altas que un tren convencional. Actualmente se utilizan trenes con una
velocidad superior a 250 km/h, y con velocidad promedio (o velocidad comercial) también
elevada, que les permite competir con el transporte aéreo para distancias medias, del orden
de los cientos de kilómetros. En todos los casos se trata de vehículos y vías férreas
desarrolladas en forma unitaria, dado que las velocidades alcanzadas requieren de técnicas
específicas.
Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren
bala o Shinkansen en la década de 1960. Todo empezó a mediados de los años cincuenta,
cuando pensaron en construir una nueva línea ferroviaria entre Tokio y Osaka, las dos
principales ciudades del país, para resolver el problema de la saturación de la línea
existente con una mejora sustancial de los tiempos de recorrido. Mitsubishi, Kawasaki,
Hitachi y Sumitono se asociaron para que los trenes de alta velocidad japoneses unieran
desde 1964 las principales ciudades niponas, dejando que el paisaje se desdibuje a 300
kilómetros por hora. Hoy el país, con 2.100 kilómetros cubiertos, tiene la mayor red de alta
velocidad del mundo.
73
Manual de Laboratorio de Física General
MECÁNICA
Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado
Práctica de Laboratório Nº 05
Tópicos relacionados
Trayectoria, distancia recorrida, desplazamiento, rapidez, velocidad,
aceleración.
1.
Objetivos
1.1 Determinar el valor de la velocidad1 media e instantánea de un
móvil con movimiento rectilíneo uniforme variado.
1.2 Determinar la aceleración de un móvil con movimiento rectilíneo
uniforme variado.
1.3 Determinar las ecuaciones de movimiento de un móvil.
2.
Equipos y materiales
-
3.
Un (01) módulo para MRUV (Leybold)
Una (01) fuente de poder AC/DC
Un (01) riel de metal
Un (01) enchufe con cable de extensión
Un (01) calibrador Vernier (preedición 0,02 mm)
Dos (02) trozos de cinta metálica (Aprox. 0.5 m c/u)
Tres (03) hojas de papel milimetrado.
Fundamento teórico
Movimiento.- Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo al
transcurrir el tiempo, respecto a un Sistema de Referencia.
Consideremos que un móvil se desplaza en la dirección + x de un
sistema coordenadas cartesianas; entonces su posición en cualquier
instante, estará dado por una relación funcional x = f ( t ) .
1
En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por
eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su
valor numérico.
75
Manual de Laboratorio de Física General
Δx
-x
O
x1
t1
x2
t2
x
Figura Nº 1: Móvil desplazándose a lo largo de una línea recta
900
GRAFICA Nº 1:
Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado
(espacio como función del tiempo)
800
700
espacio ( cm )
600
500
400
300
200
Escala:
x = t (s) : 1 cm < > 5 s
y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm
100
0
0
5
10
15
20
25
tiempo ( s )
Figura Nº 2: Gráfica espacio recorrido en función del tiempo
76
30
Manual de Laboratorio de Física General
Velocidad media.- Se define como la razón del desplazamiento al
intervalo de tiempo transcurrido. Si denotamos por Δx = x 2 − x1 , el
desplazamiento desde la posición inicial
x1 hasta la posición final
x 2 ; y por Δt = t 2 − t1 , el tiempo transcurrido, entonces la velocidad
media es expresa por
υm =
Δx x2 − x1
=
Δt t2 − t1
(1)
Velocidad instantánea.- Es la velocidad de un cuerpo en un
determinado punto de su trayectoria y en un instante dado. Si el
intervalo de tiempo en la ecuación (1) se toma cada vez más
pequeño, la posición final
x 2 estará más y más próxima a la posición
inicial x1 , es decir Δx se irá acortando y la velocidad media tenderá
a tomar la magnitud, dirección y sentido de la velocidad del cuerpo en
x1 (tangente a la trayectoria). En la ecuación (1) cuando Δt tiende a
cero, la velocidad instantánea es:
υ =
dx
dt
(2)
77
Manual de Laboratorio de Física General
35
GRAFICA Nº 2:
Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado
(Velocidad como función del tiempo)
30
velocidad ( m/s )
25
20
v = 3.t + 4 (m/s)
15
10
5
Escala:
x = t (s) : 1 cm < > 1 s
y = v (m/s) : 1 cm < > 5 m/s
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo ( s )
Figura Nº 3: Gráfica velocidad en función tiempo
Aceleración media.- Se define como la razón de la variación de la
velocidad instantánea al intervalo de tiempo transcurrido. Si
denotamos por Δ υ = υ2 − υ1 , la variación de la velocidad
instantánea desde la posición inicial
x1 hasta la posición final x 2 ;
y por Δt = t 2 − t1 , el tiempo transcurrido, entonces la aceleración
media se expresa por
78
Manual de Laboratorio de Física General
am =
Δυ
υ − υ1
= 2
Δt
t 2 − t1
(3)
Aceleración instantánea.- Es la tendencia al cambio de velocidad de
un cuerpo en un instante dado y en un punto de su trayectoria.
a =
dυ
dt
(4)
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Es aquel movimiento en el cual un móvil describe como trayectoria
una línea recta, variando uniformemente la velocidad.
Obs: En la Figura Nº 1 muestra que la aceleración es constante, por lo
tanto, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea.
Además se observa que el incremento de la velocidad se da con el
incremente del tiempo, este movimiento se denomina Movimiento
Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Algunas ecuaciones básicas del movimiento rectilíneo uniformemente
variado en forma escalar:
x = x i + v i .t ±
4.
v
f
v
f
1
a .t 2
2
= v i ± a .t
2
= vi ± 2 a .x
2
Procedimiento
4.1 Arme el equipo tal como se muestra en la Figura Nº 4 , 5 y 6
79
(5)
(6)
(7)
Manual de Laboratorio de Física General
α
Figura Nº 4: Sistema experimental para el MRUA
4.2 Conectar la fuente de voltaje a 220 VAC . (no encienda la fuente,
espere la indicación del profesor)
4.3 Conectar el cabezal (chispero) con la fuente de voltaje (en los
bornes de color negro de 12 VAC) (ver Figura Nº 4)
Figura Nº 5: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el móvil)
4.4 Coloque el riel de metal a una altura de 3 cm, use el bloque
escalonado para ello.
4.5 Doblar correctamente el papel metálico en los extremos de tal
manera que la parte metálica haga un contacto directo con el
registrador de tiempo y con la pinza que sujeta al carrito.
80
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 6: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el cabezal)
4.6 Suelte el móvil desde la parte mas alta del riel, luego de haber
encendido la fuente y el interruptor del chispero (registrador de
tiempo a una frecuencia de 10 Hz), cuando el carrito llegue al
extremo opuesto del riel debe apagar el interruptor del
registrador de tiempo.
4.7 Observar que sobre la tira de papel metálico han quedado
registrados una serie de puntos a intervalos en el tiempo de 0,1
s (ver Figura Nº 7).
4.8 Asignar al instante t = 0 en el cual se produjo el primer punto de
la distancia recorrida como x = 0. La posición de los otros
puntos se medirán en mm con respecto a este primer punto (ver
Figura Nº 7).
Figura Nº 7: Ejemplo del registro de datos sobre la Cinta Metálica
81
Manual de Laboratorio de Física General
4.9 Llene los datos en la Tabla Nº 1
Tabla Nº 1: Datos experimentales para el MRUA
Altura del bloque escalonado h = 3 cm ;
α =
Tiempo (s)
d i = x i − x 0 (m)
1
0,1
x1 − x0 =
2
0,2
x 2 − x0 =
3
0,3
x3 − x 0 =
4
0,4
x4 − x0 =
5
0,5
x5 − x0 =
6
0,6
x6 − x0 =
7
0,7
x7 − x0 =
8
0,8
x8 − x0 =
9
0,9
x9 − x0 =
10
1,0
x10 − x0 =
4.10 Repita los procedimientos del 4.4 al 4.9 para diferentes alturas
que indique el profesor construyendo las tablas que necesite.
Obs: No se olvide de aplicar la teoría de mediciones, errores y su
propagación
5.
Cuestionario
5.1 Grafique en papel milimetrado la distancia recorrida d vs. t , el
módulo de la velocidad ( υ ) vs. el tiempo (t) y la distancia
recorrida d vs. t 2 .
82
Manual de Laboratorio de Física General
5.2 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los
datos de la distancia d y t , y encuentre d = f (t ) .
5.3 Utilizando la función ajustada
d vs. t , hallar el tiempo
necesario para que el móvil recorra 35 cm. a partir del punto
inicial.
t35 = ---------------------------------- s
5.4 A partir de la gráfica de la función resultante del ajuste, halle las
velocidades geométricamente para cada promedio de tiempo.
Para ello usted debe trazar una recta tangente a la curva y la
pendiente de la recta le dará la velocidad instantánea en este
punto. Registre sus cálculos en una tabla.
5.5 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los
datos de υ vs. t , y encuentre υ = f ( t ) .
5.6 ¿Cuál es el valor de la aceleración?
5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6.
7.
Observaciones.6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Conclusiones.7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
83
Manual de Laboratorio de Física General
8.
Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3
9.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Referencias bibliográficas
9.1 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton
R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987,
Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 8, Pág. 8-1 y 8-9.
9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 5,
Pág. 87-93.
9.3 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc
Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 4, Pág. 27-38.
9.4 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young,
R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998,
México D.F., México, Cap. 2, pág. 31 -51.
"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los
filósofos le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él
que hasta ahora han pasado inadvertido."
GALILEO GALILEI
84
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 8: El Transbordador Discovery. La propulsión es un sistema capaz de imprimir
velocidad creciente o aceleración a un cuerpo, mediante un dispositivo que expele materia
(denominado motor cohete). El concepto 'propulsión' puede ser usado con otros muchas
palabras, tales como: chorro, de cohete o nave espacial, de esta forma se tiene 'propulsión
a chorro', 'propulsión de cohetes', o 'propulsión de nave espacial' etc. La propulsión de las
naves espaciales se usa para cambiar la velocidad de las naves espaciales y los satélites
artificiales. Existen diferentes métodos. Cada método tiene sus propias ventajas y
desventajas, de esta forma la propulsión de las naves espaciales es un área de gran
investigación. La mayoría de las naves se empujan mediante el calor de una reacción en
cadena que se expele por un orificio a muy alta velocidad. Este tipo de motor se denomina
motor cohete.
Todos las naves espaciales hoy en día emplean cohetes (tanto bipropelentes o de cohete de
combustible sólido) para la fase de lanzamiento, algunos tienen aberturas que mezclan el
aire en una cámara (tales como el Cohete pegaso y el SpaceShipOne) en sus primeras
etapas
85
Manual de Laboratorio de Física General
MECÁNICA
Movimiento Compuesto
Movimiento de un Proyectil
Práctica de Laboratorio Nº 06
Tópicos Relacionados
Trayectoria, Móvil, Movimiento de Traslación de una Masa Puntual, Trayectoria
parabólica, Movimiento Rectilíneo Uniforme, Movimiento de Caída Libre, Balística.
1.
OBJETIVOS
-
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
-
3.
Reconocer el movimiento parabólico.
Determinar la ecuación de movimiento de un proyectil.
Analizar el alcance máximo y la altura máxima en un movimiento
parabólico.
Un (01) Tablero blanco (60 x 50 cm) (Pizarra acrílica)
Una (01) Prensa (Clamp)
Un (01) Equipo de lanzamiento de proyectil
Una (01) regla metálica de 100 cm ó Wincha
Un (01) cinta adhesiva
Una (01) Hoja de papel blanco
Una (01) Hoja de papel carbón
FUNDAMENTO TEÓRICO
Movimiento Parabólico.- Cuando disparamos un proyectil desde el cañón de
lanzamiento, este se ve obligado a caer por la acción de la gravedad pese a
seguir yendo hacia delante, hasta tocar el suelo a cierta distancia del cañón.
En general, un proyectil describe una trayectoria característica llamada
parabólica, cuyos parámetros dependen del ángulo de lanzamiento, de la
aceleración debida a la gravedad en el lugar de la experiencia y de la
velocidad inicial; con la que se lanza.
Si el origen del sistema de coordenadas se ubica necesariamente en el
punto central de la bola durante el disparo, se obtendrán las siguientes
relaciones:
87
Manual de Laboratorio de Física General
v x = v0 cos ϕ
v y = v0 senϕ
x = v x .t
1
y = v y .t − g .t 2
2
(1)
(2)
(3)
(4)
A partir de la ecuación (3) se sigue directamente que t = x / v , con lo
x
que se puede eliminar el tiempo de la ecuación (4),
resultando:
x 1 ⎛ x⎞
y = v y − g ⎜⎜ ⎟⎟
vx 2 ⎝ vx ⎠
2
(5)
Si, en la ecuación obtenida, se eliminan aun las magnitudes
empleando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
y = tan ϕ .x −
g
.x 2
2
2
2v0 cos ϕ
vx y vy ,
(6)
Esta es la ecuación de la trayectoria de un proyectil que es lanzado con una
velocidad inicial V0 y bajo un ángulo ϕ . En esta ecuación se desconoce la
velocidad inicial v 0 y el ángulo ϕ (en la parte experimental estos valores
serán manejados a criterio del experimentador). Para los diferentes
experimentos, se determina v 0 (m/s).
y
g
v0
h
ϕ
x
0
R
Figura Nº 1: Gráfica del Movimiento Parabólico
88
Manual de Laboratorio de Física General
La ecuación (6) es válida si:
a)
el alcance es suficientemente pequeño
b)
la altura es suficientemente pequeña como para despreciar la
variación de la gravedad con la altura
c)
la velocidad inicial del proyectil es suficientemente pequeña para
despreciar la resistencia del aire
Combinando las ecuaciones del (1) al (4) obtenemos las siguientes
relaciones de recurrencia:
-
Para la altura máxima:
v sen 2ϕ
h= 0
2. g
2
-
(7)
Para el alcance máximo:
v sen(2.ϕ )
R= 0
g
2
(8)
Figura Nº 2: Máximo alcance como función del ángulo de inclinación ϕ = 45° para
diferentes velocidades iniciales v0. Curva 1: v0 (m/s) para tensión de muelle 1; Curva 2:
v0(m/s) para tensión de muelle 2; Curva 3: v0 (m/s) para tensión de muelle 3.
4.
PROCEDIMIENTO:
4.1
Arme el sistema experimental como se indica en la Figura Nº 3
Primera parte:
4.2
Elija un ángulo de disparo (0°- 90°) y una tensión de muelle (1, 2 o
3) con el cual se pueden alcanzar tres velocidades diferentes.
4.3
Antes de colocar el tablero perpendicularmente al área de trabajo
(mesa), debe hacer un lanzamiento de la esfera para obtener el
alcance máximo (R).
89
Manual de Laboratorio de Física General
4.4
Coloque sobre el tablero la hoja de papel blanco y sobre esta la hoja
de papel carbón.
4.5
Coloque el tablero perpendicularmente al área de trabajo (mesa) justo
a las distancias (R/6), (2R/6), (3R/6), (4R/6) y (5R/6), y proceda
hacer un lanzamiento para cada distancia.
4.6
En todos los casos el impacto de la esfera dejara una marca sobre el
papel blanco.
4.7
Se tomara como dato la altura de la mesa de trabajo al punto de
impacto ( y m ) y la distancia del cañón de disparo a la pizarra de pared
blanca ( x m ).
4.8
Complete la Tabla N° 1.
4.9
Elija otras condiciones iniciales (tres como mínimo, según lo indique el
profesor), repitiendo los pasos (4.2 al 4.7) y proceda anotar los datos
en tablas similares a la Nº 1.
4.10 Proceda a calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación (6),
despejando v0. Anote sus resultados en la tabla Nº 1, según la
pregunta 5.4 del cuestionario.
Figura Nº 3: Sistema experimental de lanzamiento de un proyectil describiendo el
movimiento parabólico
90
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 1: Datos del Movimiento Parabólico
Posición de la Tensión del muelle (1, 2 ó 3) = ; Angulo de disparo ϕ = º
Distancia de lanzamiento
Altura de la pared
Velocidad
x m (m)
y m (m)
v0 (m/s)
0
¿?
Nº
1
R= 0
2
R/6 =
3
2R/6 =
4
3R/6 =
5
4R/6 =
6
5R/6 =
7
R=
Segunda parte:
4.11 Retire la pizarra de la mesa de trabajo.
4.12 Manteniendo fijo la tensión del muelle (1, 2 o 3) para un ángulo de
disparo de 10º proceda hacer un lanzamiento de la esfera y mida el
alcance máximo (R).
4.13 Repita el procedimiento anterior variando el ángulo de 10º en 10º
hasta llegar a 80º, mida sus respectivos alcances ( R ) y registre sus
datos en la Tabla Nº 2.
4.14 Desinstale el sistema experimental y devuélvalo conforme y tal se le
entrego.
4.15 Proceda a calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación (8),
despejando v0. Anote sus resultados en la tabla Nº 2.
91
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla Nº 2: Datos del Movimiento Parabólico para ángulos diferentes
Posición de la Tensión del muelle (1, 2 ó 3) =
Nº
Angulo de disparo ϕ
1
10º
2
20º
3
30º
4
40º
5
50º
6
60º
7
70º
8
80º
Alcance Máximo
R (m)
Velocidad
v0 (m/s)
CONSIDERACIONES: En el montaje experimental en la Figura Nº 3. Si la bola
aterriza directamente sobre la placa de trabajo, se debe tomar en cuenta
una altura de disparo de y 0 =2.5cm. Durante el lanzamiento contra una
pared vertical (tablero blanco) se debe restar de la distancia horizontal
“punto de dispara hasta la pared” el radio de la bola (1.25 cm) para, de esta
manera, obtener el valor de medida de distancia x m . El valor de medida de
altura y m se obtiene de la distancia que va del “punto de impacto en la
pared hasta la placa de la mesa” menos 3.75 cm.
92
Manual de Laboratorio de Física General
R (m)
ϕ
(º)
Figura Nº 4: Máximo alcance como función del ángulo de inclinación Φ para
diferentes velocidades iniciales v0. Curva 1: v0=5.3 m/s; Curva 2: v0=4.1 m/s; Curva
3: v0=3.1 m/s
5.
CUESTIONARIO
5.1
Utilice los datos de la Tabla Nº 1, para graficar en papel milimetrado Y
vs X.
5.2
Encuentre la ecuación de la trayectoria de la bola a partir de los datos
de la tabla Nº 1 use el ajuste por mínimos cuadrados para ello.
5.3
Compare el coeficiente de x al cuadrado de la ecuación de la
trayectoria calculada en la pregunta anterior con el coeficiente de x al
cuadrado de la ecuación (6) y determine v 0 .
5.4
En Lima el valor de la gravedad tiene un valor igual a 9,78 m/s2.
Determine la velocidad inicial v 0 con la cual la bola pasa por el origen
de las coordenadas use la ecuación (6) para ello y los datos de la
tabla Nº 1.
5.5
¿En qué punto la bola chocará contra el suelo? ¿En qué tiempo?
5.6
¿Qué velocidad lleva la bola un instante antes de chocar contra el
suelo? Exprese su resultado en forma vectorial.
93
Manual de Laboratorio de Física General
5.7
Utilice los datos de la Tabla Nº 2, para graficar en papel milimetrado R
vs ϕ .
5.8
Encuentre la ecuación que gobierna la grafica anterior, use el
software Logger Pro para ello a partir de los datos de la tabla Nº 2 .
5.9
¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su
experimento?
5.10 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6.
7.
8.
Observaciones.6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Conclusiones.7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
94
Manual de Laboratorio de Física General
9.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
9.1
9.2
Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.
Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F.,
México, Cap. 3, pág. 61 – 76
Física, Raymond A. Serway, McGraw Hill, Cuarta edición, 1997, Cap.
4, pág. 74 – 85
" Las ciencias aplicadas no existen, sólo las aplicaciones de la ciencia."
LOUIS PASTEUR (1822-1895) Químico y
microbiólogo Francés
Figura Nº 5: Exposición de destellos múltiples de un jugador de tenis ejecutando un golpe
de derecha. Observe que la bola sigue una trayectoria parabólica característica de un
proyectil. Estas fotografías pueden utilizarse para estudiar la calidad del equipo deportivo y
el rendimiento de un atleta.
95
Manual de Laboratorio de Física General
MECÁNICA
Movimiento Circular Uniforme
Práctica de Laboratorio Nº 07
Tópicos Relacionados
Trayectoria, Móvil, tiempo, velocidad tangencial, velocidad angular, aceleración
angular, Fuerza Centrípeta, Movimiento rotacional de una masa puntual,
Mediciones, graficas
1.
OBJETIVOS
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
-
3.
Reconocer el movimiento circular uniforme.
Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una
trayectoria circular.
Determinar el periodo de un cuerpo en movimiento circular
Calcular el módulo de la velocidad angular de un cuerpo con
trayectoria circular.
Un (01) modulo de movimiento circular
Un (01) Juego de masas (10, 20, 50, 100 y 150 g)
Un (01) porta pesa
Una (01) Balanza de tres brazos marca Ohaus
Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc.
Una (01) regla de metal de 100 cm.
FUNDAMENTO TEÓRICO
El movimiento circular es común en la naturaleza y en nuestra experiencia
diaria. La Tierra gira en una órbita casi circular alrededor del Sol; la Luna
alrededor de la Tierra. Las ruedas giran en círculos, los coches describen
arcos circulares cada vez que doblan una esquina, etc.
El movimiento Circular se da cuando el móvil describe una trayectoria
circunferencial.
97
Manual de Laboratorio de Física General
V
V
s
t
θ
ω
0
r
V
V
Figura Nº 1: Movimiento Circular uniforme
En la figura Nº 1 se observa que el ángulo θ subtiende un arco s recorrido
por el móvil en un tiempo t, entonces la velocidad lineal V esta dada por:
V=
s
t
(1)
y de la relación trigonometrica
tenemos:
V=
Entonces a la relación:
ω=
s = θ .r
reemplazando en la ecuación (1),
θ .r
(2)
t
θ
(3)
t
se le define como la velocidad angular ( ω ) y esta dada por la relación entre
el desplazamiento angular ( θ ) ocurrido en un tiempo ( t ) dado.
La relación entre la velocidad lineal tangencial y la velocidad angular es:
V = ω.r
(4)
de la relación (3), si el ángulo barrido es 2 π entonces el tiempo empleado
para esa revolución es el periodo T y la ecuación (3) queda :
ω=
2.π
= 2.π . f
T
donde f es la frecuencia ( s-1 o Hz).
98
(5)
Manual de Laboratorio de Física General
En el lenguaje común diríamos que si el módulo de la velocidad lineal es
constante, no existe aceleración, pero como la velocidad no sólo posee
módulo, sino dirección, en este caso cuando un cuerpo describe una
trayectoria circunferencial, la dirección está variando constantemente, y
debido a esto la partícula también sufre aceleración.
Newton fue uno de los primeros en reconocer la importancia del movimiento
circular. El demostró que cuando una partícula se mueve con velocidad
constante “v” según un círculo de radio “r”, posee una aceleración dirigida
hacia el centro del círculo. Esta aceleración se llama Aceleración Centrípeta,
es decir:
ac =
v2
r
(6)
Como esta aceleración actúa sobre la masa “M” de la partícula, tendremos
LA FUERZA CENTRIPETA
Fc = Mac
(7)
Reemplazando las ecuaciones (4) en (6) y luego en (7), tenemos:
ω=
Fc
M .r
(8)
Lo cual implica, si conociendo la fuerza centrípeta la masa y el radio de giro
podemos conocer la velocidad angular.
4.
PROCEDIMIENTO:
1.
Disponga el sistema experimental como se muestra en la Figura Nº 2:
2.
Mediante la balanza mida la masa M, anótelo.
M = ________
3.
Usando la varilla delgada con su base como indicador del dispositivo
mecánico, elija un radio r, mida este y anote su valor. Ajuste los
tornillos de sujeción.
r = ________
Este experimento lo realizaremos en dos partes:
4.
Determinación de la magnitud de la Velocidad angular efectuando
mediciones de tiempo: y revoluciones completas
99
Manual de Laboratorio de Física General
1.
Desajuste el tornillo del eje de soporte y deslice la varilla de soporte
de la masa M, hasta que el indicador coincida con el extremo inferior
de la masa que termina en punta. Ajuste el tornillo.
2.
En la misma varilla de soporte de la masa M, existe un contrapeso,
deslícelo hasta que se ubique a la misma distancia de la masa,
respecto al eje de soporte, con la finalidad de lograr equilibrio al
momento de rotación. Ajuste el tornillo del contrapeso.
3.
El eje del soporte también posee un resorte, el cual debe conectarse a
la masa M, conecte el resorte a la masa.
4.
Usando el eje de soporte, haga girar la masa M hasta lograr que
coincidan el indicador y el extremo inferior de la masa, manténgalo
girando mediante impulsos suaves al eje, para lograr el movimiento
circular con el radio “r”, entonces habremos logrado
aproximadamente un movimiento circular uniforme en un plano
horizontal, tal como se muestra en la figura
Figura Nº 2: Modulo de Movimiento Circular
5.
Usando el cronómetro, mida el tiempo que demora la masa M es
efectuar 5, 10 y 15 revoluciones, llene las tabla Nº 1, y determine el
valor de la frecuencia, que se evalúa mediante:
f=
nº de revoluciones N
=
tiempo total
t
100
(9)
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento circular uniforme
(MCU)
Número
Revoluc
(Rev)
θ
Tiempos
(s)
t1
t2
Promedio
Tiempo
(s)
Periodo
(s)
Frecuencia
(s-1)
Velocidad
angular
(Hz)
t
T
f
ω
t3
5
10
15
Promedios:
6.
Usando la ecuación (5) calcule la velocidad angular, anote sus
resultados en la Tabla Nº 1.
F
Fr
T
Mg
mg
Figura Nº 3: Sistema experimental para
determinar la Fuerza Centrípeta
101
Manual de Laboratorio de Física General
5.
Cuantificando la Fuerza Centrípeta en condiciones ESTÁTICAS:
1.
Observe la figura Nº 3, mediante una cuerda atada a la masa M,
y que pase por la polea. En el extremo libre coloque el porta
pesas, ahora agregue masas en el porta, de tal manera que
estire al resorte hasta que el extremo inferior de la masa M
coincida con el indicador como si “rotara”
2.
Trazando el Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L) que se Observa
en la figura Nº 4, en el “estado de equilibrio”, se cumple que:
Fr = T1 + T2 + Mg + T
(10)
En una breve demostración (Usando método de la componentes
vectoriales) nos lleva a calcular que
T = Fr
Donde T es la fuerza ejercida por la cuerda ligada a la porta
pesas.
T2
T1
T
Fr
Mg
Figura Nº 4: Diagrama de Cuerpo Libre
Teniendo en cuenta que la fuerza del resorte Fr (estado
estático) es la Fuerza centrípeta FC (estado dinámico) del
procedimiento 4, siendo esta la fuerza que produce el
movimiento circular. Basándonos en este criterio, se tendrá
entonces que:
T = Fc = m.g
102
(11)
Manual de Laboratorio de Física General
3.
Usando la ecuación (8) calcule la velocidad angular, anote sus
resultados en la Tabla Nº 2. Observe que ω = ωref en esta
ecuación para la tabla Nº 2.
Tabla N° 2: Calculo de la Fuerza Centrípeta y Comparación de resultados
Ensayos
r
(cm)
Δr
(cm)
M
(g)
ΔM
(g)
m
(g)
Δm
(g)
FC
(N)
ΔFC
(N)
ωref
(s-1)
Δωref
(s-1)
Erel
(%)
1
2
3
Donde:
6
r = radio de giro;
Δr = error de radio;
f =frecuencia;
Δf = error de Frecuencia
FC = Fuerza centrípeta;
ΔFC = error de la fuerza centrípeta
m = masa en el porta pesa,
Fc = mg (con g = 9,8 m/s2 )
Erel (%) = error relativo porcentual calculado con
respecto a la velocidad angular (ω)
Calcule también el error relativo porcentual entre la velocidad
angular calculado en el procedimiento 4.5 (experimental) y la
velocidad angular calculado en el procedimiento 5.3 (de
referencia), registre sus datos en la tabla Nº 2
Erel (%) =
7
ωref − ω
.100 (%)
ωref
(12)
Repita los procedimientos del 3 al 6 para otros radios de giros,
en total tres ensayos. Registre sus datos en la tabla Nº 2
103
Manual de Laboratorio de Física General
5.
CUESTIONARIO
5.1
En el caso de movimiento circular uniforme, la trayectoria recorrida
(revoluciones) y el tiempo empleado para ello son proporcionales? ,
explique.
5.2
Durante el movimiento ¿Quién o que ejerce la fuerza centrípeta?
5.3
De cinco ejemplos de movimiento circular uniforme. Detalle.
5.4
Durante el procedimiento. ¿Qué operación ejecutó usted para
mantener el movimiento circular uniforme?
5.5
Señale las posibles causas de errores experimentales que se cometen
en esta experiencia.
5.6 como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6.
OBSERVACIONES
6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.
CONCLUSIONES
7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
104
Manual de Laboratorio de Física General
8.
SUGERENCIAS
8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9.
REFERENCIAS
9.1
Física, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986.
9.2
Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.
Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F.,
México.
9.3
Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y
Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington,
Delaware, EEUU,
"La misma ley que a una lágrima moldea y le ordena gotear desde su fuente, es la ley que hace esférica a la
Tierra y a los astros dirige eternamente."
SAMUEL ROGERS
105
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 5: Imagen aérea del Fermilab (Chicago), uno de los aceleradores más grandes del
mundo, con un diámetro de unos 6.3 km
Acelerador de partículas circular. En esta clase de aceleradores de partículas, estas viajan
múltiples veces a lo largo de un camino circular de una anchura de mas de unos milímetros.
Existen dos variantes de aceleradores circulares: los ciclotrones (que constituyen el primer
modelo de acelerador construido) y los más modernos sincrotrones, con los cuales se
alcanzan energías en el rango de los TeV - inaccesibles a los aceleradores lineales.
106
Manual de Laboratorio de Física General
ESTÁTICA
Primera condición de equilibrio
Práctica de Laboratorio Nº 08
Tópicos relacionados
Fuerzas, relaciones trigonométricas, análisis vectorial, poleas, Peso, Primera
Ley de Newton, Segunda Ley de Newton.
1.
Objetivos
1.1. Comprobar experimental, grafica y analíticamente, la primera
condición de equilibrio.
1.2. Medir y representar gráficamente fuerzas, a partir del dispositivo
experimental que se proporcionara.
2.
Equipos y materiales
-
3.
Un (01) módulo para estática Elwe ( dos dinamómetros de 5 N).
Un (01) juego de pesas (seis unidades de 100 g c/u)
Un (01) hilo o cuerda de 20 cm de longitud.
Una (01) balanza Ohaus, 2.100 kg, ( 1/10 g de precisión)
Un (01) transportador circular, 360º, 1/360º
Una (01) pizarra acrílica.
Dos (02) plumones para pizarra acrílica (rojo y azul).
Una (01) regla de 100 cm.
Fundamento teórico
3.1 Equilibrio Mecánico.- Un cuerpo se encuentra en Equilibrio
Mecánico, cuando se halla en estado de reposo o realizando un
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), con respecto a un
observador fijo en tierra (Sistema de Referencia Inercial). Luego,
si un cuerpo esta en reposo, entonces se encuentra en
Equilibrio Estático y si se mueve con MRU estará en Equilibrio
Cinético.
107
Manual de Laboratorio de Física General
3.2 Primera Ley de Newton.- Si un cuerpo esta en equilibrio la
suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el
(Fuerza Neta) debe ser cero. Por tanto la suma de las
componentes en cada dirección de coordenadas de las fuerzas
debe ser cero.
3.3 Segunda Ley de Newton.- Como consecuencia de la
segunda ley de Newton podemos decir que la resultante de las
Fuerzas (Fuerza Neta) que actúan sobre un cuerpo es igual a su
masa por aceleración. Por tanto, la suma de las componentes
en cada dirección coordenadas de las fuerzas es igual a la masa
por la correspondiente componente de la aceleración.
3.4 Cuando un cuerpo esta en movimiento circular (MCU), esta
acelerando y la Fuerza Neta sobre el no es cero.
3.5 Primera Condición de Equilibrio.- Para que un cuerpo se
encuentre en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan
sobre el debe ser cero. Es decir:
∑
G
G
G
Fi = F R = 0
(1)
i
∑F
X
G
=0
y
∑
G
FY = 0
(2)
Nota: Sí, sobre un cuerpo, actúan tres fuerzas y estas definen
su equilibrio, estas deben ser concurrentes:
108
Manual de Laboratorio de Física General
F3
α
β
O
θ
F2
F1
Figura Nº 1: Fuerzas externas actuando sobre un cuerpo rígido
Haciendo el Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre
el cuerpo:
109
Manual de Laboratorio de Física General
Y
F2
F1
θ
β
O
α
X
F3
Figura Nº 2: Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)
de las Fuerzas actuando sobre el cuerpo
Método Analítico:
1)
Podemos aplicar las ecuaciones (2) para demostrar la primera
condición de equilibrio. Aquí debemos descomponer
cartesianamente los vectores fuerzas.
En el caso general, cuando actuando más de tres fuerzas
podemos aplicar el método del polígono cerrado
2)
También podemos aplicar el Teorema de Lamy para demostrar
la primera condición de equilibrio.
F1
F
F
= 2 = 3
senα senβ senθ
110
(3)
Manual de Laboratorio de Física General
Método Grafico:
3)
Como la resultante del sistema de Fuerzas es Cero, graficando
las Fuerzas se debe formar un triangulo vectorial cerrado.
Se recomienda este método especialmente si dos de las fuerzas
forman un ángulo de 90°.
F2
α – 90º
F1
β – 90º
F3
Figura Nº 3: Triangulo Vectorial cerrado
4.
Procedimiento.4.1 En esta ocasión, usted empleara un par de dinamómetros
circulares, para
consideraciones:
-
lo
cual
debe
tener
las
siguientes
Debe calibrar a cero los dinamómetros. (Ver la Figura Nº 4)
111
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 4: Calibración a cero de los Dinamómetros
-
Para tener una lectura correcta la aguja roja indicadora
debe hacer un ángulo de 90º con la cuerda de donde
pende las masas. (Ver la Figura Nº 5)
112
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 5: Lectura correcta con el Dinamómetro
4.2 Instale el equipo como se muestra en la Figura Nº 6.
4.3 Agregando masas en el extremo de la cuerda consiga el
equilibrio del punto O (intersección de las cuerdas) (Ver la Figura
Nº 6).
4.4 Determine el valor de la masa m , con la balanza, calcule su
peso (F3) usando la formula F = mg (donde: g = 9,8 m / s 2 ) y
anótelos en la Tabla N° 1.
113
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 1: Datos experimentales para la primera condición de equilibrio
Casos
Masa ( g )
m
Fuerza ( N )
F1
F2
Ángulos ( º )
F3
α
β
θ
Caso I
Caso II
Caso III
4.5 Mida con el Dinamómetro las tensiones de las cuerdas (fuerzas:
F1 y F2 ) y anótelos en la Tabla N° 1.
4.6 Usando el transportador mida los ángulos α , β y θ ; Anotelos
valores en la Tabla Nº 1.
114
Manual de Laboratorio de Física General
O
Figura Nº 6: Sistema experimental para la Primera condición de equilibrio
4.7 Para el caso II y el caso III, varíe los valores de la masa m. y/o la
posición de los dinamómetros. Repita los pasos desde 4.4 hasta
4.6.
115
Manual de Laboratorio de Física General
5.
Cuestionario
Para los casos I II y III, responda las siguientes preguntas:
5.1 Teniendo en cuenta el dispositivo experimental, haga el
diagrama de cuerpo libre del punto O donde se unen las tres
cuerdas (Figura N° 2 y Figura N° 6 ).
5.2 Compruebe analíticamente con el método de descomposición
cartesiana si se cumple o no, la primera condición de equilibrio
(ver ecuación (2)).
5.3 Compruebe analíticamente con el Teorema de Lamy si se
cumple o no, la primera condición de equilibrio (ver ecuación
(3)).
5.4 Teniendo en cuenta el modulo, dirección y sentido de las
fuerzas, verifique gráficamente si se cumple o no, la primera
condición de equilibrio. Use papel milimetrado y una escala
adecuada (ver Figura Nº 3).
5.5 Represente cada una de las fuerzas que actúan sobre la barra
en notación vectorial (regístrelos en la Tabla N° 2).
5.6 De los tres métodos para demostrar la Primera Condición de
Equilibrio, ¿cuál cree usted que es más confiable?, explique y
fundamente su respuesta.
5.7 ¿Cuáles son las posibles fuentes de error en este experimento?
5.8 ¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional?
116
Manual de Laboratorio de Física General
TABLA N° 2: Notación Vectorial de las Fuerzas
Fuerzas ( N )
G
F1
G
F2
G
F3
Fuerzas ( N )
G
F1
G
F2
G
F3
Fuerzas ( N )
G
F1
G
F2
G
F3
6.
7.
CASO I
Notación vectorial
CASO II
Notación vectorial
CASO III
Notación vectorial
Observaciones.6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Conclusiones.7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
117
Manual de Laboratorio de Física General
8.
Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3
9.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Referencias bibliográficas.9.1 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc
Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 2, Pág. 9 - 16.
9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.4,
Pág. 71 - 72.
9.3 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R.
A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998,
México DF, México, Cap. 5, pág. 120 -125.
" El término Equilibrio implica ya sea que el objeto este en reposo o que su centro de masa se mueva con
velocidad constante."
Sir Isaac Newton, Francés
118
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 7: Lanzón monolítico en 3D de la Cultura Chavín - Perú, es un ejemplo de
equilibrio estable.
119
Manual de Laboratorio de Física General
ESTÁTICA
Segunda condición de equilibrio
Práctica de Laboratorio Nº 09
Tópicos relacionados
Fuerzas, relaciones trigonométricas, análisis vectorial, poleas, Peso, Primera
Ley de Newton, Segunda Ley de Newton, Primera Condición de Equilibrio.
1.
Objetivos
1.1. Comprobar experimental, grafica y analíticamente, la segunda
condición de equilibrio.
1.2. Medir y representar gráficamente fuerzas, a partir del dispositivo
experimental que se proporcionara.
2.
Equipos y materiales
-
3.
Un (01) módulo para estática Elwe ( dos dinamómetros de 5 N).
Un (01) juego de pesas (seis unidades de 100 g c/u)
Un (01) hilo o cuerda de 20 cm de longitud.
Una (01) balanza Ohaus, 2.100 kg, ( 1/10 g de precisión)
Un (01) transportador circular, 360º, 1/360º
Una (01) pizarra acrílica.
Dos (02) plumones para pizarra acrílica (rojo y azul).
Una (01) regla de 100 cm.
Una (01) barra (regla) de 54.5 cm con agujeros.
Fundamento teórico
3.1 Cuerpo Rígido.- Se llama cuerpo rígido a la porción de materia
cuyos pares de partículas no tienen movimientos relativos unas
con respecto a otras, aun estando sometidas a la acción de
fuerzas. [3].
121
Manual de Laboratorio de Física General
3.2 Primera Ley de Newton.- Si un cuerpo esta en equilibrio la
suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el
(Fuerza Neta) debe ser cero. Por tanto la suma de las
componentes en cada dirección de coordenadas de las fuerzas
debe ser cero.
3.3 Segunda Ley de Newton.- Como consecuencia de la
segunda ley de Newton podemos decir que la resultante de las
Fuerzas (Fuerza Neta) que actúan sobre un cuerpo es igual a su
masa por aceleración. Por tanto, la suma de las componentes
en cada dirección coordenadas de las fuerzas es igual a la masa
por la correspondiente componente de la aceleración.
3.4 Primera Condición de Equilibrio.- Para que un cuerpo se
encuentre en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan
sobre el debe ser cero. Es decir:
∑
G
G
G
Fi = F R = 0
(1)
i
∑F
X
G
=0
y
∑
G
FY = 0
(2)
3.5 Cuando un cuerpo esta en movimiento circular (MCU), esta
acelerando y la Fuerza Neta sobre el no es cero.
3.6 Momento o Torque de una Fuerza.-
Consideremos un
cuerpo rígido (Figura Nº 1) que puede girar alrededor de un eje que
G
pasa por el punto “O”. Si aplicamos una fuerza F sobre el punto “A”
situado a una distancia “R” con respecto a “O”, la experiencia nos
indica que el cuerpo tiene la posibilidad de girar. La cantidad que
describe este hecho se denomina “momento” o ”torque” de una
fuerza y es una magnitud vectorial.
122
Manual de Laboratorio de Física General
θ
A
B
θ
d
G
F
G
r
O
Figura Nº 1: Fuerza externa actuando sobre un cuerpo rígido
G
El momento o torque de la fuerza F respecto al punto “O” se define
como:
G
G G
τ = r×F
(3)
En la Figura Nº 1, d= OB es la distancia perpendicular del punto “O” a
la línea de acción de la fuerza y se conoce como brazo de palanca de
G
la fuerza F .
Cuando una fuerza hace girar o trata de hacer girar al cuerpo en
sentido horario el momento producido se considera negativo y si el
giro es antihorario se considera de signo positivo. Para hallar el torque
total o resultante se sumara algebraicamente el torque producido por
cada una de las fuerzas.
G G
∑τ i = ∑ ri × Fi
G
i
(4)
i
Aplicando el análisis vectorial a la ecuación (3) tenemos:
G G
τ = r F senθ
G
de la Figura Nº 1 observamos en el triangulo rectángulo AOB:
123
(5)
Manual de Laboratorio de Física General
G
d = r senθ
(6)
resultando la ecuación escalar para el Momento de una fuerza:
G
F
0
M = F.d ,
donde:
F⊥d
y
(7)
G
M =τ
G
F
0
3.7 Segunda Condición de Equilibrio.-
Para que un cuerpo se
encuentre en equilibrio rotacional es necesario que la suma de los
momentos o torques, producidos por todas las fuerzas que actúan
sobre él sea cero.
G G G
∑τ i = ∑ ri × Fi = 0
G
i
(8)
i
o en forma escalar:
∑M
G
Fi
0
= Fi .d i = 0 ,
(9)
i
4.
Procedimiento
4.1 En esta ocasión también, usted empleara un par de
dinamómetros circulares, para lo cual debe tener las siguientes
consideraciones:
-
4.2
Debe calibrar a cero los dinamómetros. (Ver la Figura Nº 4
del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio)
Para tener una lectura correcta la aguja roja indicadora
debe hacer un ángulo de 90º con la cuerda de donde
pende las masas. (Ver la Figura Nº 5 del Laboratorio:
Primera Condición de Equilibrio)
Instale el equipo como se muestra en la Figura Nº 2, de manera
que se encuentre en equilibrio. Considere que el equilibrio se ha
alcanzado cuando al producir un pequeño desplazamiento a
cualquiera de las pesas y luego soltarlo se observa que vuelve
124
Manual de Laboratorio de Física General
inmediatamente a su posición original (de lo contrario variar la
cantidad de masas hasta lograr el equilibrio)
m
Figura Nº 2: Sistema experimental para la segunda condición de equilibrio
F2
F1
D
α
C
B
A
β
θ
θ
F4 = Wbarra
F3
Figura Nº 3: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre la barra
4.3 Usando el transportador mida los ángulos α , β y θ y anótelos
en la Tabla N° 1 (Observe la Figura Nº 3).
125
Manual de Laboratorio de Física General
4.4 Determine el valor de la masa m , con la balanza, calcule su
peso (F3) usando la formula F = mg (donde: g = 9,8 m / s 2 ),
haga lo mismo con la masa barra mbarra y anótelos en la Tabla
Nº 1.
4.5 Mida con el Dinamómetro las tensiones de las cuerdas (fuerzas:
F1 y F2 ) y anótelos en la Tabla N° 1.
4.6 Para el caso II y el caso III, varíe los valores de la masa m. y/o la
posición de los dinamómetros. Repita los pasos desde 4.2 hasta
4.5.
Tabla N° 1: Datos experimentales para la primera condición de
equilibrio
Masa ( g )
Fuerza ( N )
Distancias ( cm )
Casos
m
mbarra
F1
F2
F3
Fbarra
AB
AD
Ángulos ( º )
α
β
Caso I
Caso II
Caso III
5.
Cuestionario
Para los casos I II y III, responda las siguientes preguntas:
5.1 Teniendo en cuenta el dispositivo experimental, haga el
diagrama de cuerpo libre con las fuerzas aplicadas sobre la
barra ( Figura N° 3 ).
5.2 Compruebe analíticamente con el método de descomposición
cartesiana si se cumple o no, la primera condición de equilibrio
(ver ecuación (2) del Laboratorio: Primera Condición de
Equilibrio).
126
θ
Manual de Laboratorio de Física General
5.3 Compruebe analíticamente con el Teorema de Lamy si se
cumple o no, la primera condición de equilibrio (ver ecuación (3)
del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio).
5.4 Teniendo en cuenta el modulo, dirección y sentido de las
fuerzas, verifique gráficamente si se cumple o no, la primera
condición de equilibrio. Use papel milimetrado y una escala
adecuada (ver Figura Nº 3 del Laboratorio: Primera Condición de
Equilibrio).
5.5 Represente cada una de las fuerzas que actúan sobre la barra
en notación vectorial (regístrelos en la Tabla N° 2).
5.6 Compruebe analíticamente si se cumple o no, la segunda
condición de equilibrio, para ello tome momentos respecto del
punto A (ver ecuación (9)).
5.7 Cuales son las posibles fuentes de error en este experimento?
5.8 Como aplicaría este tema en su carrera profesional?
127
Manual de Laboratorio de Física General
TABLA N° 2: Notación Vectorial de las Fuerzas
CASO I
Fuerzas ( N )
G
F1
G
F2
G
F3
Notación vectorial
CASO II
Fuerzas ( N )
G
F1
G
F2
G
F3
Notación vectorial
CASO III
Fuerzas ( N )
G
F1
G
F2
G
F3
6.
Notación vectorial
Observaciones.6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
128
Manual de Laboratorio de Física General
7.
8.
Conclusiones.7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3
9.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Referencias bibliográficas.9.1 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc
Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 3, Pág. 17 - 26.
9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.4,
Pág. 72 - 74.
9.3 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young,
R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998,
México DF, México, Cap. 5, pág. 120 -125.
" Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas."
ALBERT EINSTEIN
129
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 4: El levantador de pesas tiene que elevar las pesas de modo que el torque
resultante sobre el mismo sea cero, en todo momento. De lo contrario se generaría un
torque que produciría el desequilibrio del sistema, produciéndose un giro.
130
Manual de Laboratorio de Física General
ESTÁTICA
Centro de gravedad de figuras planas
Práctica de Laboratorio Nº 10
Tópicos relacionados
Análisis vectorial, Sólido Rígido, Equilibrio, Fuerzas, Peso, Torque y Momento,
Centro de Masa, Figuras Planas
1.
Objetivos
1.1 Determinar el centro de gravedad de figuras planas indicadas
por el docente, entre ellas un triángulo, cuadrado, forma “T” y
forma “U”.
1.2 Aplicar las condiciones de Equilibrio a figuras planas indicadas
por el docente, entre ellas un triángulo, cuadrado, forma “T” y
forma “U”.
2.
Equipos y materiales
−
−
−
−
−
−
−
3.
Un (01) soporte universal
Una (01) plomada
Una (01) regla de 100 cm
Una (01) nuez de sujeción
Un (01) Pin o Chinche
Tres (03) muestras de figuras planas (“U”, “T”, “L”)
Tres (03) hojas de papel milimetrado (según la cantidad de
figuras).
Fundamento teórico
Se llama centro de gravedad de un cuerpo al punto de aplicación del
peso absoluto. Se entiende por peso absoluto de un cuerpo a la
resultante de las acciones de la gravedad sobre todos los puntos
materiales que constituyen dicho cuerpo.
131
Manual de Laboratorio de Física General
Las “n” partículas del cuerpo son atraídos por la gravedad terrestre
por lo tanto existen tantas fuerzas paralelas hacia abajo como
partículas tenga el cuerpo llamados pesos (Wi). La resultante de estas
fuerzas debe estar en algún punto, puede estar situado fuera de
cuerpo como en el caso de un aro, o en el centro de un cuadro
rectangular (ver Anexo D).
Podemos calcular el centro de gravedad analíticamente a partir de la
gráfica mostrada (ver Figura Nº 1). Por simplicidad, para analizar el
centro de gravedad tomaremos solo dos partículas que generalizando
serán validas para “n” partículas.
Recordando que la ecuación escalar para los Momentos de una
fuerza esta dado por:
G
F
0
donde:
palanca)
M = F.d ,
F⊥d
(F=Fuerza
(1)
y d= distancia brazo de
Podemos observar (ver Figura Nº 1) que la sumatoria de los
momentos producidos por W1 y W2 respecto al punto 0 deberá ser
igual al momento producido por W respecto al mismo punto, es decir:
Figura Nº 1: Centro de gravedad de una figura plana
132
Manual de Laboratorio de Física General
M 0W = M 0W1 + M 0W1
(2)
W1 ⋅ x1 + W2 ⋅ x 2 = W ⋅ x
(3)
De donde:
W1x1 + W2 x 2
= x
W
x=
ó
W1x1 + W2 x 2
W1 + W2
(4)
con (W = W1 + W2)
Sabiendo que W = m.g y considerando que la masa (m) esta dada
por m = ρ .V , que la densidad (ρ) es constante, que el volumen (V)
puede expresarse en términos del espesor (e) y del Área (A) como
V = e. A . Entonces el peso esta dado por:
W = ρ .e. A.g
(5)
Reemplazando W respectivamente en la ecuación (4) tenemos:
x=
A1 .x1 + A2 .x 2
A1 + A2
Análogamente obtendremos: W1 ⋅ y1
(6)
+ W2 ⋅ y 2 = W ⋅ y
(7)
De donde:
W1 y1 + W2 y 2
= y
W
W y + W2 y 2
y= 1 1
W1 + W2
133
ó
(8)
Manual de Laboratorio de Física General
Reemplazando W respectivamente en la ecuación (4) tenemos:
y=
A1 . y1 + A2 . y 2
A1 + A2
(9)
De lo dicho anteriormente el centro de gravedad debe estar en el
punto (x,y). Si el cuerpo en experimentación es homogéneo podemos
dividir en la cantidad de áreas que se quiera y cada una de ellas
deberá ser proporcional a su peso y por lo tanto para calcular
analíticamente el centro de gravedad de figuras planas de áreas
calculables simplemente debemos tener las áreas y los centros de
gravedades parciales de cada área.
x=
A1x1 + A2 x 2
A1 + A2
y=
A1y1 + A2 y2
A1 + A2
y
(10)
El centro de gravedad debe estar en el punto ( x , y ). Se debe tener
presente que la posición del centro de gravedad no se altera si el
cuerpo no varía de forma; tampoco si cambia de lugar, esto para
cuerpos rígidos.
4.
Procedimiento
METODO EXPERIMENTAL:
4.1 Instalar el equipo tal como se observa en el Figura Nº 2.
4.2 Suspenda la figura geométrica de un agujero con el pin fijando
sobre la nuez que esta sujeta al soporto universal (debe cuidar
que la plomada quede en la cara visible de la figura).
4.3 Marque un punto (P1) con el lapicero en la parte superior por
donde pasa la cuerda de la plomada y continuación señale otro
punto (P2) en el extremo inferior de la figura por donde pasa la
plomada.
134
Manual de Laboratorio de Física General
4.4 Suspenda de otro agujero para obtener otro par de puntos (P3) y
(P4).
4.5 Repita el paso anterior y obtendremos otro par de puntos (P5) y
(P6).
Pin
Figura Nº 2: Sistema Experimental para hallar el centro de gravedad de una
figura plana
4.6 Repita los pasos 4.2 al 4.5 para otras figuras según las
indicaciones del profesor.
4.7 Trace los ejes X,Y en papel milimetrado y dibuje dentro de este
sistema la figura con la cual experimento ( debe ser del mismo
tamaño ) y trace los segmentos P1P2 , P3P4. y P5P6
4.8 Repita el paso anterior para las otras figuras, una en cada papel
milimetrado.
4.9 ¿Qué significa experimentalmente la intersección de estos
segmentos?
4.10 Indique las coordenadas del punto de intersección para cada
figura.
135
Manual de Laboratorio de Física General
METODO ANALITICO:
4.11Calcule analíticamente el centro de gravedad (x,y) de todas las
figuras experimentadas y luego ubíquelos en la hoja milimetrada
(use lapiceros de colores para distinguir trazos ).
SUGERENCIA: Para la determinación analítica de una figura
geométrica se puede dividir la figura en varios rectángulos o
triángulos según sea el caso o la necesidad.
Figura Nº 3: Figuras Planas y método para hallar su centro de gravedad
136
Manual de Laboratorio de Física General
Ejemplo. Si la figura estudiada fuera la letra T (ver Figura Nº 4) se
divide en dos rectángulos y se calcula el centro de gravedad (ver
Anexo D) mediante el siguiente cuadro:
Tabla N° 1: Datos experimentales para el Centro de Gravedad de la letra T
Figuras
x
y
A
A1 . x
A1 . y
I
X1
Y1
A1
A1 . x1
A1 . y 1
II
x2
y2
A2
A2 . x2
A2 . y 2
Ai
Ai . xi
Ai . yi
el centro de gravedad está en ( x , y )
x=
∑ A ⋅x
∑A
i
i
i
i
,
i
y=
∑ A ⋅y
∑A
i
i
i
i
i
Figura Nº 4: Centro de Gravedad de una Figura Plana (letra T)
137
(11)
Manual de Laboratorio de Física General
4.12Según sus resultados analíticos y experimentales complete el
siguiente cuadro:
Tabla N° 2: Datos experimentales para la primera condición de equilibrio
Errores Relativos Porcentuales
(%)
Resultado
Figura Nº
Experimental
( xexp , yexp )
Analítico
( xref , yref )
x
y
I
II
III
5.
Cuestionario
5.1
¿La posición del centro de gravedad de una persona cambia cuando
esta de pie respecto a cuando esta sentada?. Explique.
5.2
¿Cómo determinaría el centro de gravedad de una persona? Explique.
5.3
¿Cuál de los métodos es el más confiable; experimental o analítico?
Fundamente.
5.4
Determine analíticamente el centro de gravedad de la figura mostrada
(Figura Nº 5). (Tome las medidas con una regla a escala normal).
138
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 5: Figura Plana Compuesta
5.5
Cuales son las posibles fuentes de error en este experimento?
5.6 Como aplicaría este tema en su carrera profesional?
6.
Observaciones.6.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
139
Manual de Laboratorio de Física General
7.
8.
Conclusiones.7.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7.3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3
9.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Referencias bibliográficas.9.1 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.4,
Pág. 68 - 71.
“ La gravedad es un misterio del cuerpo, inventado para ocultar los defectos del espíritu. “
Francois, Duque De La Rochefoucauld
140
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 6: La estatua de bronce de Felipe IV de Madrid tiene la cola del caballo maciza y el
resto hueco, al objeto de que el centro de gravedad quede desplazado hacia la cola,
posibilitando así el equilibrio del conjunto. Imagínese algunas estatuas de Lima tienen el
mismo principio.
141
Manual de Laboratorio de Física General
TRABAJO
Trabajo en un Plano Inclinado
Práctica de Laboratorio Nº 11
Tópicos Relacionados
Trabajo, Fricción, Fuerzas, Coeficiente de Rozamiento, Energía, Conservación de la
Energía
1.
OBJETIVOS
1.1
1.2
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
-
3.
Determinar experimentalmente el trabajo mecánico en un plano
inclinado.
Comprobar que el trabajo es una magnitud escalar.
Un (01) dinamómetro, 1.5 N
Un (01) plano de metal (plano inclinado)
Una (01) nuez simple
Una (01) barra de soporte de 50 cm
Una (01) barra de soporte de 25 cm
Una (01) regla metálica de 100 cm
Dos (02) pesas
Dos (02) bases para soporte
Dos poleas de 50 mm de diámetro
FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza F y este experimenta un
desplazamiento Δs, se dice que la fuerza a realizado trabajo sobre el
cuerpo; definimos este trabajo mediante la expresión.
ΔW = F ⋅ Δs
(1)
este trabajo elemental puede ser positivo o negativo dependiendo de las
direcciones de F y del desplazamiento Δs (ver Figura Nº 1)
143
Manual de Laboratorio de Física General
Movimiento
θ
A
Δs
Figura Nº 1: Acción de una Fuerza sobre un cuerpo
4.
PROCEDIMIENTO
4.1
Instale el equipo como se indica en la Figura Nº 2
4.2
Use el dinamómetro para medir la fuerza debido al peso F1 de la
polea doble.
4.3
Anote sus datos en la Tabla Nº 1
4.4
Adjuntar los pesos. ¿Cuánto es ahora F1?
4.5
Mida una distancia S2 = 30 cm desde la parte inferior del plano
inclinado y marcar en el lugar apropiado con el marcador universal.
Figura Nº 2: Sistema experimental del Trabajo sobre un Plano Inclinado
144
Manual de Laboratorio de Física General
4.6
Poner la altura del riel en S1 = 10 cm, donde S2 = 30 cm
4.7
Posicionar la polea doble (sin pesos anexados) en la parte inferior del
riel. Punto A de la Figura N° 3.
4.8
¿Que fuerza atractiva (jalar) F2 es requerida para mover la polea doble
desde A hasta B?
4.9
Poner el dinamómetro tal que este paralelo al plano inclinado.
4.10 Anotar el valor de F2 en la Tabla Nº 1.
4.11 Repetir el mismo experimento con pesos anexados.
S2
C
S1
A
Figura Nº 3: Relación de longitudes
4.12 Determinar el valor de F2.
4.13 Poner la altura del riel a S1 = 20 cm donde S2 = 30 cm, y repetir los
pasos 4.7 y 4.11.
145
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla Nº 1: Datos Experimentales
S2 = 30 cm
S1
Carga
F1
F2
W1
W2
Poleas
Poleas + Pesos
Poleas
Poleas + Pesos
5.
6.
CUESTIONARIO
5.1
Haga el diagrama de cuerpo libre del cuerpo en estudio de la Figura
Nº 2.
5.2
Como varia el trabajo si la fuerza F2 se duplica?
5.3
Si un cuerpo cae libremente, ¿se efectuara trabajo?
5.4
¿Se cumple el teorema del Trabajo - Energía?
5.5
De cinco ejemplos sobre realización de trabajo de la vida cotidiana.
5.6
Investigar sobre las Fuerzas Conservativas y No Conservativas.
5.7
Con los materiales que se tiene en este experimento, ¿de que otra
disposición se podrá demostrar el trabajo realizado por un cuerpo?
5.8
como aplicaría este tema en su carrera profesional?
OBSERVACIONES.6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 146
Manual de Laboratorio de Física General
7.
CONCLUSIONES.7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8.
SUGERENCIAS.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
9.1
Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley
Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.8.
9.2
Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y
Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington,
Delaware, EEUU, Cap.13, Cap.14.
" El éxito no se logra sólo con cualidades especiales. es sobre todo un trabajo de constancia, de método y
de organización."
J. P. Sergent
147
Manual de Laboratorio de Física General
Figura Nº 4: El salmón Chum, subiendo una escalera en el río McNeil en Alaska. ¿por que
son construidas escaleras como esta alrededor de las represas?. ¿Acaso las escaleras
reduce la cantidad de trabajo que debe hacer el pescado para pasar la represa?
(Imágenes de Daniel J. Cox / Tony Stone)
148
Manual de Laboratorio de Física General
ANEXO Nº 1
GRAFICAS Y ANÁLISIS DE FUNCIONES
MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS.Existen dentro de los métodos de mínimos cuadrados varias formas de calcular la
ecuación que mejor se ajusta a un conjunto de datos experimentales, como por
ejemplo:
-
Aproximación por rectas que pasan por el origen
Aproximación por rectas que no necesariamente pasan por el origen
Aproximación por polinomios de grado m
Aproximación por familias arbitrarias de funciones
Mínimos cuadrados ponderados
Nosotros estudiaremos el siguiente:
Aproximación por polinomios de grado m:
Calculemos ahora la mejor aproximación de un conjunto de valores experimentales
(x1 , y1 ), (x 2 , y 2 ),..., (x N , y N ) por un polinomio de grado m. Podemos expresar la
relación entre ambas magnitudes de la siguiente forma:
y = am x m + am −1 x m −1 + ... + a1 x + a0
en donde los a j j = 0,1,..., m son los coeficientes del polinomio, o sea, los valores
que deseamos hallar.
Procedamos de la misma manera que en los casos anteriores.
149
Manual de Laboratorio de Física General
y
y = a m x m + a m −1 x m −1 + ... + a1 x + a0
ε i = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ... + a 1 x + a 0 − y i
yi
xi
x
Figura Nº 1: Dispersión de datos
Ahora, la distancia de cada punto del gráfico al polinomio tendrá la expresión
ε i = a m xi m + a m −1 xi m −1 + ... + a1 xi + a 0 − y i . Nuevamente calculemos la suma de
las distancias de cada punto del gráfico al polinomio elevada al cuadrado, que nos
da una idea de cuan cerca esta el polinomio de los datos experimentales. La misma
estará dada por la siguiente expresión:
N
N
(
E = ∑ ε i =∑ am xi + am−1 xi
i =1
2
i =1
m
m −1
+ ... + a1 xi + a0 − yi
)
2
Observemos que la desviación cuadrática de los puntos respecto al polinomio es
una función del polinomio, cada polinomio (o sea cada conjunto de coeficientes
a j j = 0,1,..., m ) genera distancias de cada punto a dicho polinomio y por ende un
valor de su suma al cuadrado. Lo que deseamos obtener es del polinomio (o sea el
conjunto de coeficientes a j j = 0,1,..., m ) que minimice dicha función, o sea,
obtener el polinomio de grado m que, en cierto sentido, esté más cerca de los
puntos experimentales.
En los casos anteriores, cuando teníamos rectas pasan por el origen, la función E
dependía de una sola variable, a, y encontrar el valor que la minimizaba fue una
tarea sencilla; luego, para rectas generales la función E dependía de dos variables,
a y b, y encontrar los valores que la minimizaba fue un poco más complicado. En
este caso general, la función E depende de m+1 variables a j j = 0,1,..., m y
debemos encontrar el conjunto de valores que la minimizan. El trabajo actual es un
poco más complicado, aunque es una simple generalización del procedimiento
anterior al caso de m+1 variables. Para lograr dicho objetivo, debemos imponer la
siguiente condición de extremo:
150
Manual de Laboratorio de Física General
⎧ ∂ E (a m , a m −1 ,..., a1 , a0 )
=0
⎪
∂a0
⎪
⎪ ∂ E (a m , a m −1 ,..., a1 , a0 )
=0
⎪
∂
a
⎨
1
⎪:
⎪
⎪ ∂ E (a m , a m −1 ,..., a1 , a0 )
=0
⎪
∂
a
⎩
m
Calculando dichas derivadas parciales de la expresión de E como función las m+1
variables a j j = 0,1,..., m , obtenemos:
(
)
(
)
(
)
(
)
0=
N
∂E
m
m −1
= 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i
∂a 0
i =1
0=
N
∂E
m
m −1
= 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ( xi )
∂a1
i =1
:
0=
n
∂E
m
m −1
j
= 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ( xi )
∂a j
i =1
:
0=
n
∂E
m
m −1
m
= 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ( xi )
∂a m
i =1
Dichas ecuaciones pueden ser rescritas de la siguiente manera:
N
N
i =1
i =1
N
∑ yi = a n ∑ xi + an−1 ⋅ ∑ xi
i =1
i
= a m ∑ xi
i
m −1
i =1
N
N
∑y x
m
m +1
i =1
N
N
N
i =1
i =1
+ ... + a1 ⋅ ∑ xi + a 0 ∑1
N
N
+ a m −1 ∑ xi + ... + a1 ∑ xi + a 0 ∑ xi
m
i =1
2
i =1
i =1
:
N
N
∑ y i x i = a m ∑ xi
j
i =1
m+ j
i =1
N
+ a m −1 ∑ xi
m −1+ j
i =1
N
+ ... + a1 ∑ xi
1+ j
i =1
N
+ a 0 ∑ xi
j
i =1
:
N
N
∑ y i xi = a m ∑ xi
i =1
m
i =1
m+ j
N
+ a m −1 ∑ xi
m −1+ m
i =1
151
N
+ ... + a1 ∑ xi
i =1
1+ m
N
+ a 0 ∑ xi
i =1
m
Manual de Laboratorio de Física General
O, para ganar claridad pueden ser escritas en forma matricial de la siguiente
manera.
⎡ N 0
⎢ ∑ xi
⎢ i =N1
⎢ x1
i
⎢∑
i =1
⎢ N 2
⎢ ∑ xi
⎢ i =1
⎢ #
⎢N m
⎢∑ xi
⎣ i =1
N
∑ xi
i =1
N
∑x
i
∑x
i
i =1
N
i =1
∑ xi
i =1
n
2
∑x
∑x
i
∑x
i
i =1
N
3
i =1
#
N
i =1
N
1
∑x
m +1
"
3
"
4
"
#
N
i
2
i =1
⎤
⎡ N
0 ⎤
⎥
⎢ ∑ y i xi ⎥
i =1
⎥ ⎡ a 0 ⎤ ⎢ i =N1
⎥
N
m +1 ⎥
1 ⎥
⎢
⎢
⎥
xi
y i xi
∑
⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ∑
⎥
i =1
i =1
N
N
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⊗
a
2
m+ 2
2
xi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∑ y i x i ⎥
∑
⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ i =1
⎥
i =1
⎥
# ⎥ ⎢a ⎥ ⎢
#
⎣ m⎦ ⎢ N
N
⎥
m⎥
2m
xi ⎥
∑
⎢∑ y i x i ⎥
i =1
⎦
⎣ i =1
⎦
N
∑ xi
%
m+2
i
"
m
Por lo tanto, la solución del sistema es
⎡ N 0
⎢ ∑ xi
⎢ i =N1
⎡ a0 ⎤
⎢ x1
⎢a ⎥
i
⎢∑
⎢ 1⎥
i =1
⎢ a 2 ⎥ = Inv ⎢ N 2
⎢ ∑ xi
⎢ ⎥
⎢ i =1
⎢ # ⎥
⎢ #
⎢⎣a m ⎥⎦
⎢N m
⎢∑ xi
⎣ i =1
N
∑ xi
i =1
N
∑x
i
∑x
i
i =1
N
i =1
2
3
#
N
∑x
i =1
1
m +1
i
N
∑ xi
i =1
n
∑x
i
∑x
i
i =1
N
i =1
"
3
"
4
"
#
N
∑x
i =1
2
%
m+ 2
i
"
⎤ ⎡ N
0 ⎤
⎥ ⎢ ∑ y i xi ⎥
i =1
⎥
⎥ ⎢ i =N1
N
m +1 ⎥
1 ⎥
⎢
xi
y i xi
∑
⎥
⎥ ⎢∑
i =1
i =1
N
N
⎥
⎢
⎥
⊗
m+ 2
2
⎢
⎥
x
y
x
∑ i i ⎥⎥
∑
i
⎥ ⎢ i =1
i =1
⎥
# ⎥ ⎢
#
N
⎢N
m⎥
2m ⎥
xi ⎥ ⎢∑ y i x i ⎥
∑
i =1
⎦
⎦ ⎣ i =1
N
∑ xi
m
En donde Inv [A] significa la matriz inversa de A. En conclusión hemos encontrado el
conjunto de coeficientes a j j = 0,1,..., m del polinomio de grado m de la forma
y = a m x m + a m −1 x m −1 + ... + a1 x + a 0
que mejor aproxima los datos
experimentales. Llegamos a la conclusión los coeficientes del polinomio de que
minimiza la suma de las distancias al cuadrado de los valores experimentales al
polinomio (el polinomio que en cierto modo más se aproxima a los valores
experimentales) tienen las expresiones anteriormente calculadas.
Recta de Mínimo Cuadrática
La recta de mínimo cuadrática que ajusta el conjunto de puntos (x1 , y1), (x2 , y2), . . .,
(xN , yN) tiene por ecuación;
y = a 0 + a1 x
152
Manual de Laboratorio de Física General
Ahora, la dispersión en cada punto tendrá la expresión ε i = a0 + a1 x1 − y i .
Nuevamente calculemos la suma de las distancias de cada punto del gráfico al
polinomio elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca esta recta de los
datos experimentales. La misma estará dada por la siguiente expresión:
E = ∑ ε i =∑ (a0 + a1 x1 − y i )
N
N
2
i =1
2
i =1
Imponiendo la siguiente condición:
⎧ ∂ E (a1 , a0 )
=0
⎪
∂a 0
⎪
⎨
⎪ ∂ E (a1 , a0 ) = 0
⎪⎩
∂a1
Operando las derivadas, respectivamente:
0=
N
∂E
= 2 ∑ (a1 xi + a0 − yi )
∂a0
i =1
0=
N
∂E
= 2∑ (a1 xi + a0 − yi )( xi )
∂a1
i =1
Obtenemos las siguientes ecuaciones llamadas” ecuaciones normales” para ajustar
datos a una ecuación lineal:
N
N
i =1
i =1
∑ yi = a1 ∑ xi + a0 N
N
N
i =1
i =1
N
∑ yi xi = a1 ∑ xi + a0 ∑ xi
2
i =1
También podemos obtener los coeficientes de la ecuación lineal de las siguientes
ecuaciones de recurrencias:
a0 =
∑x ∑ y − ∑x ∑x y
N ∑x − (∑x )
2
i
i
2
i
i
a1 =
i
N ∑ ( xi yi ) −
N
153
i i
2
∑x
2
i
−
∑x ∑y
(∑ x )
i
i
2
i
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICAS DE FUNCIONES
Función Constante
Función Lineal
Función Cuadrática
Función Inversa
154
Manual de Laboratorio de Física General
Función Polinómica de grado 3
Función Polinómica de grado 4
Laboratorio N°1
Función Homógrafa
Función Seno
155
Manual de Laboratorio de Física General
Función Exponencial
Función Logarítmica
Función Coseno
"Una gráfica puede decir más que mil palabras."
ANONIMO
156
Manual de Laboratorio de Física General
MODELO Nº 1 : PAPEL MILIMETRADO
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
157
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Manual de Laboratorio de Física General
MODELO Nº 2 : PAPEL SEMILOGARITMICO
( 10 X 4 )
10000
1000
100
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
158
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Manual de Laboratorio de Física General
MODELO Nº 3 : PAPEL SEMILOGARITMICO
( 10 X 3 )
1000
100
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
159
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Manual de Laboratorio de Física General
MODELO Nº 4 : PAPEL LOGARITMICO
(3X3)
1000
100
10
1
1
10
100
160
1000
Manual de Laboratorio de Física General
COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN LINEAL
Tabla Nº 1: Datos que describen una Función Lineal
Nº
X
Y
1
0.5
5.5
2
1.1
7.3
3
2.3
10.9
4
3.0
13.0
5
3.9
15.7
6
5.0
19.0
7
6.1
22.3
8
7.0
25.0
9
7.9
27.7
10
8.5
29.5
GRAFICA Nº 1 :
Datos de la Tabla Nº 1 en papel milimetrado
35
30
25
Y
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
X
Ecuación:
Y =3X+4
Observar las distorsiones que hacen los papeles.
161
6
7
8
9
10
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 2 :
Datos de la Tabla Nº 1 e n pape l
Se milogaritmico
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
GRAFICA Nº 3 :
Datos de la Tabla Nº 1 e n pape l Logaritmico
10
X
100
Y
Y
100
10
1
0
0.1
1
X
162
10
Manual de Laboratorio de Física General
COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN EXPONENCIALDECRECIENTE
GRAFICA Nº 4 :
Datos de la Tabla Nº 2 e n pape l milime trado
Tabla Nº 2: Datos que
describen una Función
100
Exponencial - Decreciente
90
Nº
X
Y
1
0.2
90.48
2
1.1
57.69
3
2.2
33.29
4
3.3
19.20
5
4.1
12.87
6
5.0
8.21
7
6.3
4.29
20
8
7.2
2.73
10
9
8.0
1.83
0
10
9.1
1.06
80
70
Y
60
50
40
30
0
1
2
3
4
5
X
Ecuación:
Y = 100 exp ( - 0.5 X )
Observar las distorsiones que hacen los papeles.
163
6
7
8
9
10
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 5 :
Datos de la Tabla Nº 2 e n pape l
Se milogaritmico
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
GRAFICA Nº 6 :
Datos de la Tabla Nº 2 e n pape l Logaritmico
X
100
Y
Y
100
10
1
0
0.1
1
X
164
10
Manual de Laboratorio de Física General
COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN EXPONENCIALCRECIENTE
GRAFICA Nº 7 :
Datos de la Tabla Nº 3 e n pape l milime trado
Tabla Nº 3: Datos que
describen una Función
100
90
x
80
p
70
o
60
n
50
X
Y
1
0.2
1.64
2
1.1
2.46
3
2.2
4.04
4
3.3
6.62
5
4.1
9.49
e
6
5.0
14.23
n
7
6.3
25.55
c
8
7.2
38.30
i
9
8.0
54.90
a
10
9.1
90.06
l
Y
E
Nº
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
X
-Creciente
Ecuación:
Y = 1.5 exp ( 0.45 X )
Observar las distorsiones que hacen los papeles.
165
6
7
8
9
10
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 8 :
Datos de la Tabla Nº 3 e n pape l
Se milogaritmico
10
GRAFICA Nº 9 :
Datos de la Tabla Nº 3 e n pape l Logaritmico
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
X
Y
Y
100
10
1
0
0.1
1
X
166
10
Manual de Laboratorio de Física General
COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN POTENCIAL
Tabla Nº 4: Datos que
GRAFICA Nº 10 :
Datos de la Tabla Nº 4 e n pape l milime trado
describen una Función
Potencial
900
800
Nº
X
Y
1
4.3
1.10
2
5.1
2.07
600
3
6.0
3.79
500
4
7.5
8.64
5
9.9
24.14
6
12.4
55.54
7
15.3
120.87
200
8
19.7
307.96
100
9
22.8
528.85
0
10
25.5
800.14
Y
700
400
300
0
5
10
15
X
Ecuación:
Y = 0.005 X3.7
Observar las distorsiones que hacen los papeles.
167
20
25
30
Manual de Laboratorio de Física General
GRAFICA Nº 11 :
Datos de la Tabla Nº 4 e n pape l
Se milogaritmico
1000
Y
100
10
1
5
10
15
20
25
30
GRAFICA Nº 12 :
Datos de la Tabla Nº 4 e n pape l Logaritmico
X
1000
100
Y
0
10
1
1
10
X
168
100
Manual de Laboratorio de Física General
ANEXO N° 2
MEDICIONES, CÁLCULO DE ERRORES Y SU PROPAGACION
REDONDEO DE DATOS EXPERIMENTALES
El resultado de redondear un número que resultó de efectuar una medición o
hacer un cálculo tal como 54,7 se hará al número entero más próximo que es
55, porque 54,7 está más próximo de 55 que de 54.
Análogamente si tenemos el número 56,3526 redondeando al número decimal
que tenga 2 decimales será 56,35; en este caso 56,3526 está más próximo a
56,35 que de 56,36.
En el caso de hacer redondeo del número 85,565 a un número que contenga
centésimas, este número se encuentra a la mitad entre 85,56 y 85,57. Se
acostumbra en tales casos redondear al número par más próximo que precede
al 5, así se debería tener 85,566 el cual aplicando el redondeo tendremos
85,57.
Otros ejemplos: 253,975 redondea al centésimo a 253,98, un ejemplo que
deberíamos tener en cuenta es el caso de la velocidad de la luz, siendo el
número experimental 299 7925 km/s el cual se redondea a 300 000 km/s.
Esta operación práctica es útil, especialmente al minimizar la acumulación de
errores de redondeo, cuando abarca un número grande de operaciones de
calculo.
Nota: Nuestro grupo de practica hará su redondeo al: __________
169
Manual de Laboratorio de Física General
CIFRAS O DIGITOS SIGNIFICATIVOS
Únicamente son significativos los dígitos de una cantidad numérica que son
el resultado de mediciones reales o cálculos a partir de mediciones reales.
Por ejemplo para la cantidad (0.0000176 °C) solo son significativos el 1, el
7 y el 6. Los ceros (en este caso) sólo sirven para localizar el punto decimal.
El cero puede en otros casos ser significativo (si es el resultado de
mediciones reales), como por ejemplo, 98.0).
Usando el método de expresión exponencial (Potencias de 10), eliminará
cualquier problema de cuando son significativos los ceros.
Si tenemos 4800000 ton, y no sabemos que ceros tomar como
significativos, entonces nos vamos al reporte de error. Éste nos dice que la
medición fue hecha con límite de error de ±10.000 ton, y así vemos que el
primero de los ceros es significativo y el resto no. Se puede evitar cualquier
dificultad escribiendo la cantidad como 4,80 x 106 ton.
De concluimos que todos los dígitos frente a una potencia de 10 serán
significativos.
Al sumar, no se conservan más decimales que los que tenga el número con
menos decimales. Esto se puede ver en la adición (29.32 + 0.01853 +
2.033), el resultado de la suma será (29.32 + 0.018 + 2.03 = 31.37).
En el caso de la multiplicación o división, el resultado tendrá esencialmente
el mismo número de cifras significativas que el término que tenga menos.
Por ejemplo (103.4 x 0.99 = 102), donde las cifras significativas las hemos
indicado en negrita.
Ejemplo:
0,153
⇒
Tiene 3 cifras significativas
0,0547
⇒
Tiene 3 cifras significativas
170
Manual de Laboratorio de Física General
0,6009
307,000
⇒
Tiene 4 cifras significativas
⇒
Tiene 6 cifras significativas
CALCULOS CON NUMEROS APROXIMADOS:
Recuerde que cuando se efectúen operaciones de cálculo de producto,
división, radicación, etc. El resultado de la operación matemática, sólo debe
contener una cantidad de cifras significativas igual al del número de la
operación que tenga la menor cantidad de cifras significativas.
Por ejemplo:
Calculando el producto (1,46) x (3,5) = 5,11
Calculando la raíz cuadrada
62,8 = 8,234
entonces debe ser
5,1
entonces será 8,23
Evaluando el producto 2,45 x 3,6757 x 1,675 = 15,0842 entonces será 15,1
FÓRMA GENÉRICA PARA EVALUAR EL ERROR:
Si la fórmula para evaluar una cantidad física depende de varias variables
escrita en la siguiente. Expresión:
F = F (x, y, z)
Además sabemos que la forma correcta de expresar una medición ya sea
directa o indirecta es de la forma:
F = F0 ± ΔF
Entonces podemos calcular el error de la siguiente manera:
Calculo del error en Primera Aproximación: para hallar la variación de F, se
usará matemáticamente la “regla de la cadena”, es decir:
ΔF =
∂F
∂F
∂F
Δx +
Δy +
Δz
∂x
∂y
∂z
171
Manual de Laboratorio de Física General
Donde:
∂F
,
∂x
∂F
∂y
y
∂F
∂z
son las derivadas parciales de la función F,
evaluadas en las variables que son consideradas “constantes” cuando
hacemos la derivación correspondiente.
Evaluando el cociente ΔF/F0 donde F0 = F ( x0 , y0 , z0 )
Luego se tendrá:
ΔF ∂F Δx ∂F Δy ∂F Δz
=
+
+
F0
∂x F0 ∂y F0 ∂z F0
Caso especial si F = F(xn, y, z)
ΔF
∂F Δx
∂F Δy
∂F Δz
=n
+
+
Fo
∂x Fo
∂y Fo
∂z Fo
Calculo del error en Segunda Aproximación: para hallar la variación de F, se
usará matemáticamente la siguiente formula:
(ΔF)2 =
( ΔF )
Donde:
∂F
,
∂x
∂F
∂F
∂F
Δx +
Δy +
Δz
∂y
∂x
∂z
2
⎛ ∂F ⎞
2
2
2
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂F ⎞
=⎜
⎟ ( Δy ) + ⎜
⎟ ( Δx ) + ⎜
⎟ ( Δz )
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂z ⎠
⎝ ∂y ⎠
2
2
∂F
∂y
y
∂F
∂z
2
son las derivadas parciales de la función F,
evaluadas en las variables que son consideradas “constantes” cuando
hacemos la derivación correspondiente.
USANDO LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR (para cálculos en segunda
aproximación)
- Si el Tipo de cálculo es una adición o sustracción tal como
x = p+q+r
172
Manual de Laboratorio de Física General
σ x = σ 2p + σ q2 + σ r2
La desviación estándar de x es:
x=
- Si el tipo de cálculo es un producto y cociente
pq
r
La desviación estándar de x es:
⎛
σp
⎜
⎝
p0
σ x = x0 ⎜ (
)2 + (
σq
q0
)2 + (
⎞
)2 ⎟
r0 ⎟⎠
σr
- Si el tipo de cálculo es elevar a una potencia
x = py
⎛ σp
⎝ p0
σ x = x0 ⎜⎜ y
La desviación estándar es:
⎞
⎟⎟
⎠
Nota: p, q, r son variables experimentales de mediciones directas cuyas
desviaciones estándar son σp , σq , σr respectivamente, e
constante.
y es una
"Un sólo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos. El darse cuenta de este hecho señaló
un avance indudable en la investigación científica."
EINSTEIN e INFELD
173
Manual de Laboratorio de Física General
ANEXO N° 3
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
1.
OBJETIVOS
1.1 Estudiar el MRUV de un objeto en un plano inclinado
1.2 Determinar a partir de él el valor de la aceleración de gravedad.
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
−
−
−
−
−
3.
Un (01) Carro Dinámico
Un (01) Riel de Metal
Un (01) Sensor de movimiento Marca Vernier
Un (01) Computador PC con interfaz LabPro Vernier
Una (01) Regla graduada (100 cm)
FUNDAMENTO TEÓRICO
El carro se desliza por el plano inclinado por la acción de la fuerza de
gravedad (Figura Nº 1). La aceleración debida a la gravedad apunta
en dirección de la vertical hacia abajo, como muestra la Figura Nº 2.
La componente de la gravedad en la dirección del plano inclinado es
gxsenθ. Si los efectos debidos a roce son despreciables, gxsenθ es la
aceleración a que está sometido el carro. Por lo cual el carro se
moverá con un movimiento uniformemente acelerado.
Figura Nº 1: plano inclinado con carro dinámico.
175
Manual de Laboratorio de Física General
Para medir la aceleración, el carro parte desde el reposo y el sensor
de movimiento detectará su movimiento. El programa Logger Pro 3
registra y muestra el movimiento del carro.
Al graficar la posición vs el tiempo se deberá obtener una curva
cuadrática, graficando la velocidad vs el tiempo se obtendrá una línea
recta, por último de la aceleración medida versus senθ, se debe
obtener una recta, cuya pendiente es precisamente la aceleración de
gravedad g.
gxsenθ
g
θ
Figura Nº 2: aceleración debida a la gravedad y sus componentes.
Se puede calcular el seno del ángulo basado en la altura y longitud
del riel.
4.
MONTAJE EXPERIMENTAL:
1.
Monte el riel y el sensor de movimiento, de acuerdo como
muestra la Figura Nº 3.
Observación: El rango de medición del sensor de movimiento es
0.15 m – 6 m, no coloque ningún objeto a medir a distancias
menores de 0.15 m.
2.
Ajuste la inclinación adecuada del sensor de movimiento de tal
forma que el carro dinámico se encuentre en el cono de
detección del mencionado sensor.
3.
Levante un extremo del riel, de modo que quede a 10 cm por
sobre la superficie de la mesa de trabajo.
4.
Encienda primero la interfase y luego conecte la interfase
LabPro al computador (usando el puerto serie o el USB).
5.
Conecte el sensor de movimiento (Sensor digital) a la interfase.
176
Manual de Laboratorio de Física General
Sensor de
movimiento
Carro
dinámico
Riel
θ
Figura Nº 3: montaje experimental.
5.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
1.
Ponga en ejecución el programa Logger Pro 3. Instale el sensor
de movimiento y abra las gráficas de v vs t y x vs t presionando
la columna de posición o velocidad en la tabla y luego el menú
Insertar -> Gráfica (además tendrá que configurar el tiempo de
toma de datos y la velocidad de muestreo) o abra el archivo
02carro.CMBL (en el cual ya todo esto fue hecho)
Observación: Los sensores son automáticamente identificados
por la interfase al conectarse al canal respectivo, si esto no
ocurre existen dos posibilidades o el sensor es muy antiguo o
tiene algún desperfecto.
2.
para iniciar la recolección de datos. Suelte el carro
Presione
desde la parte superior del riel, de tal forma que el sensor de
movimiento detecte el carro dinámico. Una vez que el carro
dinámico se haya movido una distancia prudente presione
para terminar con el registro de datos.
3.
Si es necesario presione
para obtener una mejor escala del
gráfico o presione Ctrl+J para reescalar automáticamente. Para
obtener la aceleración, seleccione la región a analizar en la
grafica de v vs t, y presione el botón
para realizar un ajuste
lineal. Interprete el significado físico de la pendiente de esta
gráfica.
177
Manual de Laboratorio de Física General
4.
Repita el procedimiento anterior tres veces para el mismo
ángulo de inclinación.
5.
Ajuste la altura del extremo superior del riel, disminuyéndola en
un centímetro y mida nuevamente la aceleración tres veces.
6.
Repita todo el procedimiento anterior para un total de 6
ángulos, disminuyendo la inclinación del riel en un centímetro
cada vez.
7.
Anote sus resultados en una tabla como la siguiente:
Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilíneo
uniformemente Acelerado (MRUA)
Alturas
5 cm
6 cm
7 cm
8 cm
9 cm
10 cm
a1
a2
a3
<a>
senθ
Largo del riel: ___________ cm
Análisis de Datos
Parte 1
1.
Use la información de la altura y largo del riel para calcular el
valor senθ para cada caso.
2.
Calcule la aceleración promedio para cada ángulo.
3.
Finalmente realice un gráfico aceleración vs senθ. Trace la
mejor recta posible a través de los puntos y determine la
pendiente de esa recta. Interprete físicamente el resultado
obtenido.
4.
Compare la diferencia porcentual entre el valor obtenido por
usted. y el valor aceptado de g=980 cm/s². Discuta la precisión
de su resultado.
178
Manual de Laboratorio de Física General
Parte 2
1.
Para el último caso analizado (h=10 cm), seleccione la región a
analizar de la gráfica x vs t, presione
para hacer un ajuste
de curvas. Seleccione un ajuste cuadrático y pruebe el ajuste.
¿Por qué el ajuste tiene que ser cuadrático?
2.
6.
Interprete el significado físico de cada parámetro de la función
cuadrática.
CUESTIONARIO:
1.
Si se aumentara la masa del carro al doble, agregando masa
sobre éste, ¿se modificaría el resultado obtenido? Discuta y
haga el experimento para un caso particular.
2.
Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los
datos de la distancia d y t , y encuentre d = f (t ) (cálculos a
mano y calculadora).
3.
¿Cuál es el porcentaje de diferencia entre el valor medido para
g?
4.
¿Que puede decir del software Logger Pro en la aplicación de
este laboratorio?
5.
¿como aplicaría este tema en su carrera profesional?
"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos
le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta
ahora han pasado inadvertido."
GALILEO GALILEI
179
Manual de Laboratorio de Física General
ANEXO N° 4
FUERZA CENTRIPETA
1.
OBJETIVOS
1.1 Analizar el movimiento circular uniforme
1.2 Determinar el periodo de un cuerpo en movimiento circular
1.3 Cuantificar la fuerza centrípeta que actúa sobre una masa
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3.
Un (01) Tubo de plástico de 25 cm de longitud
Tres (03) tapones de caucho con orificios y su seguro
Una (01 )cuerda de 1,5 metros
Veinte (20) arandelas metálicas de 7,5 gr aproximadamente
cada una
Una (01) Pinza caimán
Una (01) porta arandela y un clip
Una (01) Balanza Marca Ohaus
Un (01) cronómetro
Una (01) cinta métrica de 2 m
Dos (02) hojas de papel milimetrado
Una (01) calculadora científica personal
FUNDAMENTO TEÓRICO
El movimiento circular a velocidad constante es un movimiento
acelerado, aunque la magnitud de la velocidad permanece constante, la
dirección del vector de velocidad cambia continuamente. Por la
Segunda Ley de Newton sabemos que se requiere una fuerza para
mantener esta aceleración.
De la observación del movimiento de ciertos objetos que tienen este
tipo de movimiento circular, surge una serie de interrogantes:
181
Manual de Laboratorio de Física General
¿Cuál es la relación entre esta fuerza y la velocidad del objeto, su masa
y el radio del círculo?
Para responder a estas preguntas, se utilizará el aparato sencillo que se
muestra en la figura N° 1, el cual nos permitirá medir la fuerza mientras
se observa el movimiento. Cuando se hace girar el tubo de plástico en
un pequeño círculo sobre nuestra cabeza, el tapón de caucho gira sobre
un círculo horizontal, así mismo al final de la cuerda que pasa a través
del tubo, está asegurada a varias arandelas metálicas que cuelgan
abajo en un porta-arandelas.
También observamos que la fuerza de la gravedad que actúa sobre las
arandelas a lo largo de la cuerda, suministra la fuerza horizontal
necesaria para mantener el movimiento circular del tapón. Esta fuerza
horizontal se llama FUERZA CENTRIPETA.
M
R
Plano
horizontal
Tubo de
plástico
Pinza
Caimán
m
Figura Nº 1: Movimiento Circular Uniforme.
182
Arandelas
con su porta
Manual de Laboratorio de Física General
En nuestro experimento evaluaremos esta fuerza dada por la relación
Fc = M ac, donde M es la masa del tapón y ac es la aceleración
centrípeta dada por la expresión:
ac =
v2
R
donde v es la rapidez o magnitud de la velocidad constante y R es el
radio de la trayectoria circular.
También sabemos que la aceleración centrípeta es:
ac = ϖ2 R = 4 π2 f2 R
donde ϖ es la frecuencia angular y f es la frecuencia de giro del tapón,
en consecuencia la fuerza centrípeta se expresará como:
Fc = 4 π2 M f2 R
4.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
A. Ensayo previo
Con solo una arandela colocada en el porta-arandelas para evitar que
se salga el tapón, haga girar este sobre su cabeza, sujete con la otra
mano al mismo tiempo la cuerda en la parte inferior del tubo, responda
a las primeras interrogantes:
¿Tiene usted que aumentar la tensión sobre la cuerda cuando aumenta
la rapidez del tapón?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------¿Qué pasa si suelta la cuerda?:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
183
Manual de Laboratorio de Física General
B. Investigación Cuantitativa
Fuerza dependiente de la velocidad, manteniendo constantes la masa
M y el radio R:
1.
2.
Pase suficiente cuerda por el tubo de manera que el tapón de
masa M, pueda girar en un círculo con radio aproximado de R =
____ cm (NOTA: Cada mesa de trabajo debe tener su propio radio
de giro, a partir de 20 cm, 30 cm, 40 cm etc. y medido desde el
extremo del tubo hasta aproximadamente el centro de gravedad
del tapón). Coloque una pinza caimán, justamente debajo del tubo
para que sirva como marca para usted, observe en todo momento
esta marca, y mantenga constante el radio R de giro al rotar el
tapón. Coloque 4 arandelas en el porta-arandelas al final de la
cuerda tal como se muestra en la figura N° 1.
Para hallar la rapidez de giro del tapón, haga que su compañero
tome el tiempo con el cronómetro, mientras usted hace girar el
tapón, y cuente 10 revoluciones. Midiendo el tiempo y el número
de revoluciones; calcule la frecuencia y el periodo, y anote los
datos en la Tabla N° 1.
TABLA Nº 1
Fuerza dependiente de la velocidad: R = ____ cm; M = ______ g
Nº
1
Aran Peso Revolu
dela
(N) ciones
s
4
10
2
8
10
3
12
10
4
16
10
5
20
10
Tiempo (s)
t1
t2
t3
t4
t5
t
(s)
Frecue. Período
f (s-1)
T (s)
El valor de la frecuencia f es igual al número de revoluciones (10,
20 o 50) dividido entre el tiempo t, es decir:
f=
número de revoluciones
Tiempo (s)
184
Manual de Laboratorio de Física General
También se sabe que
1
T
Donde T es el periodo (anote sus resultados en la tabla N° 1).
f=
3.
Repita 5 veces más el proceso de medición del tiempo, y calcule
el valor promedio, para determinar la frecuencia y el periodo,
anote sus resultados en la misma tabla.
4.
Repita el procedimiento1, 2, y 3 para el número de arandelas
sugeridas en la tabla N° 1, tenga presente los valores constantes
que se están utilizando.
5.
Haga un gráfico del peso de las arandelas en función del periodo
del movimiento del tapón ¿Puede usted imaginar una forma más
conveniente para representar gráficamente sus datos?
6.
Ensaye un gráfico con la frecuencia en lugar del periodo.
7.
Ensaye con f2 ¿Cómo depende la fuerza centrípeta de la
frecuencia, cuando la masa y el radio se mantienen constantes?.
Observaciones: Hacer las gráficas en papel milimetrado.
Fuerza dependiente de la masa giratoria:
8.
Adicionar un tapón de caucho en el extremo de la cuerda, y haga
girar las masas, manteniendo el radio de giro constante. ¿Qué
esperaría usted encontrar?. ¿En que se basa su predicción?
9.
Repita el procedimiento del 1 al 7 y anote sus resultados en la
tabla N° 2.
185
Manual de Laboratorio de Física General
TABLA Nº 2
Fuerza dependiente de la velocidad: R = ____ cm; M = ______ g
Nº
1
Aran Peso Revolu
dela (N) ciones
s
4
10
2
8
10
3
12
10
4
16
10
5
20
10
Tiempo (s)
t1
t2
t3
t4
t5
t
(s)
Frecue. Período
f (s-1)
T (s)
10. Repita el procedimiento N° 9, agregando una tercera masa (tapón
de caucho), repitiendo el procedimiento N° 8 y anote sus
resultados en la tabla N° 3.
TABLA Nº 3
Fuerza dependiente de la velocidad: R = ____ cm; M = ______ g
Nº
1
Aran Peso Revolu
dela (N) ciones
s
4
10
2
8
10
3
12
10
4
16
10
5
20
10
Tiempo (s)
t1
t2
t3
t4
t5
t
(s)
Frecue. Período
f (s-1)
T (s)
Fuerza dependiente del radio de giro:
10. Es más difícil investigar experimentalmente la dependencia entre
la fuerza centrípeta y el radio cuando se mantienen constantes la
frecuencia y la masa.
11. Puede usted sugerir una forma de efectuar esto?
Observación: Haga los cálculos con la aplicación del software Logger
Pro
186
Manual de Laboratorio de Física General
5.
CUESTIONARIO:
1.
Si usted hizo un gráfico del peso de arandelas en función de la
frecuencia, ¿Qué concluye de la dependencia en la fuerza
centrípeta y la frecuencia? ¿Son directas o inversamente
proporcionales?
2.
Respecto al gráfico del peso de arandelas y la frecuencia al
cuadrado. ¿Qué concluye usted en cuanto a la relación entre
estas?
3.
¿Qué representa la pendiente del gráfico obtenido?
4.
¿Cuantitativamente, el cociente de esta pendiente y el producto 4
π2 R M (donde R es el radio del giro y M la masa del tapón de
caucho usado), hacia que valor tiene su tendencia?.
5.
Quizás usted notó que la parte de la cuerda del tubo al tapón de
caucho no permanecía exactamente horizontal. La fuerza
gravitacional tiraba el tapón hacia abajo. Hacer un diagrama
vectorial donde se muestre este efecto.
6.
De acuerdo a la situación anterior, usted puede ver que el efecto
de la fuerza gravitatoria ejercida sobre el tapón no cambia la
relación entre la fuerza centrípeta (medida según el peso de
arandelas), la longitud de la cuerda entre el tubo y el tapón y la
frecuencia de revolución?. Haga un análisis vectorial y
matemático para responder a esta afirmación.
7.
¿Qué consideraciones deberá tener para poder establecer la
relación entre la fuerza centrípeta y la masa del objeto en
movimiento?
8.
¿Qué consideraciones deberá tener para poder establecer la
relación entre la fuerza centrípeta y el radio de giro?
9.
De 5 ejemplos de cuerpos que describen un movimiento circular.
10. ¿como aplicaría este tema en su carrera profesional?
"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos
le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta
ahora han pasado inadvertido."
GALILEO GALILEI
187
Manual de Laboratorio de Física General
ANEXO N° 5
FUERZA NORMAL Y A LO LARGO DE UN PLANO INCLINADO
1.
OBJETIVOS
1.1 Medir el valor de una fuerza en determinadas situaciones y
relacionarlos con otros parámetros.
G
1.2 Demostrar que la relación entre una fuerza F2 dirigida hacia
G
abajo paralela a una pendiente, está relacionada a su peso F1 ,
como la altura del plano inclinado lo está a su longitud.
1.3 Utilizar notaciones vectoriales para encontrar las relaciones
entre estas magnitudes.
G
G
1.4 Medir la fuerza F2 a lo largo del plano y la fuerza F3 normal al
plano de un cuerpo en un plano inclinado en función del ángulo
de la inclinación.
G
G
1.5 Comparar las fuerzas medidas F2 y F3 con las fuerzas
G
calculadas con la ayuda de la aceleración de la gravedad g .
2.
EQUIPOS Y MATERIALES
-
-
3.
Un (01) pin, 5.5 g
Un (01) Riel de metal de 100 cm
Un (01) soporte universal
Un (01) bloque escalonado
Un (01) dinamómetro, 1.5 N
Un (01) dinamómetro, 3.0 N
Una (01) regla metálica de 100 cm
Dos (02) masas ranuradas, 100 g
Dos (02) masas ranuradas, 50 g
Una (01) balanza, 610g, de 0.1 g de sensibilidad
FUNDAMENTO TEÓRICO
Designaremos ”el cambio con respecto al tiempo del momentum de una
partícula con el nombre de fuerza”.
189
Manual de Laboratorio de Física General
La fuerza es un concepto matemático el cual es igual a la derivada con
respecto al tiempo del momentum de una partícula dada, cuyo valor
depende a su vez de su interacción con otras partículas. De aquí que
podemos considerar a la fuerza como la expresión de una interacción
Si la partícula es libre, su momentum será constante
G
p = cte.
y la fuerza
G
G
se definiría como F = dp dt = 0 . Por lo tanto concluimos que sobre una
partícula libre no actúan fuerzas.
Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo el cual se encuentra sobre un
plano inclinado, debemos descomponer dicha fuerza en una componente
paralela y en otra perpendicular al sentido de su movimiento. Esta técnica
se llama diagrama de cuerpo libre y es de mucha utilidad en Física para la
solución de diversos problemas de mecánica
En el presente experimento ubicaremos y mediremos dichas componentes,
también, investigaremos los diferentes casos cuando el plano es inclinado
correspondiente a diferentes ángulos
Plano Inclinado: El movimiento de un cuerpo en un plano inclinado
G
puede ser descrito fácilmente cuando la fuerza ejercida por el peso F1
(masa * gravedad) en el cuerpo se descompone vectorialmente en
G
G
F3 normal (o
una fuerza F2 paralela al plano y una fuerza
perpendicular al plano).
G
G
G
Figura Nº 1: Descomposición del peso F1 entre la fuerza F2 y la fuerza F3
(A lo largo y Normal al plano inclinado, respectivamente)
190
Manual de Laboratorio de Física General
La fuerza paralela actúa paralela al plano, y la fuerza normal actúa
perpendicular al plano (véase Figura Nº 1). Para valores absolutos de
las fuerzas, podemos decir:
F2 = F1 ⋅ senα
(1)
F3 = F1 ⋅ cos α
(2)
y
G
G
El experimento verifica esta solución. Aquí, las dos fuerzas F2 y F3 se
miden para varios ángulos inclinación α usando dinamómetros de
precisión. Podemos variar el ángulo de inclinación α moviendo la
altura S1 = 5 cm para varias distancias S 2 entre el pivote del plano
inclinado y el punto de soporte (véase Figura Nº 1). Podemos,
entonces afirmar que:
senα =
S1
S2
(3)
y
⎛S ⎞
1− ⎜ 1 ⎟
⎝ S2 ⎠
cos α =
2
(4)
(1) y (3) nos dan la fuerza a lo largo del plano:
F2 = F1 ⋅
S1
S2
(5)
y (2) y (4) nos dan la fuerza normal al plano:
F3 = F1 ⋅
191
⎛S ⎞
1− ⎜ 1 ⎟
⎝ S2 ⎠
2
(6)
Manual de Laboratorio de Física General
4.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
1.
Arme el sistema experimental como indica la Figura Nº 2:
Figura Nº 2: Relación entre distancias y fuerzas en un plano inclinado
Donde : S1: Altura; S2: Longitud de la Rampa; F1: Peso del carro;
F2: Componente de F1; FZ: Fuerza Registrada por el Dinamómetro
2.
Relación entre la masa y el peso:
2.1 Mida la masa del carrito con el pin que se le suministró en
el laboratorio con ayuda de una balanza de precisión.
2.2 Aumente la masa del carrito en 10 g y repita el paso
anterior hasta llenar la columna de masas.
2.3 Calcule el peso del carrito con sus respectivas masas y
llene la Tabla N° 1 (multiplicar por el valor de la gravedad).
2.4 Con ayuda de los dinamómetros mida el valor de la fuerza
del carrito para los diferentes casos y compárelas en la
Tabla N° 1.
2.5 Calcule el error relativo y porcentual de sus valores.
192
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 1: Valor del Peso del Carrito con Pin = 0.9 N
i
Masa i
(kg)
1
90.5
2
100.5
3
110.5
4
120.5
5
130.5
6
140.5
3.
Peso i
calculado
(N)
Peso i
Peso i
(dinamom. (dinamom.
1.5 N)
3.0 N)
ΔW %
(1er
Caso)
ΔW %
(2do
Caso)
Fuerza actuando Sobre un Plano Inclinado:
3.1 Arme el dispositivo de la Figura Nº 2.
3.2 Mida la longitud del plano inclinado.
G
3.3 Determine la fuerza debida al peso F1 ejercida por el
carro.
3.4 Coloque el carro sobre el plano inclinado y sosténgalo con
el dinamómetro por uno de sus extremos (ver Figura Nº 2).
3.5 Aumente la masa del carro con las pesas de 50 g y llene la
Tabla Nº 2.
3.6 Calcule la razón entre las alturas S1 y las longitudes S 2
del plano inclinado en cada caso. Ingrese sus resultados
en la Tabla Nº 2.
3.7 Calcule la razón entre las fuerzas F2 y con respecto a las
fuerzas F1 en cada caso. Ingrese también sus resultados
en la Tabla Nº 1
193
Manual de Laboratorio de Física General
Tabla N° 2: Relación de alturas y Fuerzas
Longitud del plano inclinado: S 2 = 40 cm
Fuerza
debido al
peso F1
4
Altura S1
Componente F2
paralela a la
pendiente
S1
S2
F2
F1
CUESTIONARIO:
S1
F
y de 2 .
S2
F1
1.
Compare los resultados de
2.
3.
Formule una ecuación que describa la fuerza F2 .
Que podría afirmar de la ecuación formulada del (1) al (6), ¿ Se
cumplen?
Que valores máximos podrían tomar las componentes de las
fuerzas.
Explique cinco (05) ejemplos de aplicaciones de este
experimento en la vida diaria.
¿como aplicaría este tema en su carrera profesional?
4.
5.
6.
" El éxito no se logra sólo con cualidades especiales. es sobre todo un trabajo de constancia, de método y de
organización."
J. P. Sergent
194
Manual de Laboratorio de Física General
APENDICE A: FORMULARIO
DERIVADAS
1.
(a = cte.)
y = a ⎯⎯
⎯→
y ′ = 0.
2.
y = a ⋅ x n ⎯⎯→
y ′ = n ⋅ a ⋅ x n -1 .
3.
y = ( f ) n ⎯⎯⎯→
y ′ = n ⋅ ( f ) n −1 ⋅ f ′.
4.
y = L(x) ⎯⎯⎯→
5.
y = L( f ) ⎯⎯⎯→
6.
y = log a ( x) ⎯
⎯→
7.
y = log a ( f ) ⎯⎯→
1
y′ = .
x
f′
y′ = .
f
1
y ′ = ⋅ log a (e).
x
f′
y ′ = ⋅ log a (e).
f
8.
y = a x ⎯⎯⎯→
y ′ = a x ⋅ L(a ).
9.
y = a f ⎯⎯⎯→
y ′ = f ′ ⋅ a f ⋅ L(a).
10.
y = e x ⎯⎯⎯→
y′ = e x .
11.
y = e f ⎯⎯⎯→
y′ = f ′ ⋅ e f .
12.
y = n f ⎯⎯⎯→
y′ =
13.
y = f ⋅ g ⎯⎯
⎯→
y′ = f ′ ⋅ g + g ′ ⋅ f .
14.
y=
15.
y = senx ⎯⎯
⎯→
f
⎯⎯⎯→
g
y′ =
f′
n ⋅ n ( f ) n −1
f ′ ⋅ g − g′ ⋅ f
.
g2
y ′ = cos x.
195
.
Manual de Laboratorio de Física General
16.
y = sen( f ) ⎯⎯→
y ′ = f ′ ⋅ cos( f ).
17.
y = sen n ( f ) ⎯
⎯→
y′ = n ⋅ sen n − 1 ( f ) ⋅ f ′ ⋅ cos( f ).
18.
y = cosx ⎯⎯→
y ′ = − senx.
19.
y = cos( f ) ⎯⎯→
y ′ = -f ′ ⋅ sen( f ).
20.
y = cos n ( f ) ⎯⎯→
y′ = − n ⋅ cos n −1 ( f ) ⋅ f ′ ⋅ sen( f ).
21.
y = tgx ⎯⎯
⎯→
22.
y = tg ( f ) ⎯⎯→
⎯
23.
y = tg n ( f ) ⎯⎯→
24.
y = cot gx ⎯⎯→
25.
y = cot g ( f ) ⎯
⎯→
26.
y = cot g n ( f ) →
1
= 1 + tg 2 x.
2
cos x
f′
y′ =
= f ′ ⋅ [1 + tg 2 ( f )].
2
cos ( f )
f′
.
y ′ = n ⋅ tg n −1 ( f ) ⋅
cos 2 ( f )
−1
y′ =
= −(1 + cot g 2 x ). .
2
sen x
− f′
y′ =
.
sen 2 ( f )
f′
.
y′ = −n ⋅ cot g n −1 ( f ) ⋅
sen 2 ( f )
27.
y = sec x ⎯⎯→
y ′ = sec x ⋅ tgx.
28.
y = sec( f ) ⎯⎯→
y ′ = f ′ ⋅ sec( f ) ⋅ tg ( f ).
29.
y = cos ecx ⎯⎯→
y ′ = − cos ecx ⋅ cot gx.
30.
y = cos ec( f ) →
y′ = − f ′ ⋅ cos ec( f ) ⋅ cot g ( f ).
31.
y = arcsenx →
y′ =
y′ =
196
1
1− x2
.
Manual de Laboratorio de Física General
32.
y = arcsen( f ) →
33.
y = arccos x →
34.
y = arccos( f ) →
35.
y = arctgx ⎯
⎯→
36.
y = arctg ( f ) ⎯
⎯→
37.
y = arc cot gx →
38.
y = arc cot g ( f ) →
39.
y = arc sec x →
40.
y = arc sec( f ) →
41.
y = arccosecx→
42.
y = arccos ec( f ) →
y′ =
f′
.
1− ( f )
−1
.
y′ =
1− x2
− f′
.
y′ =
2
1− ( f )
1
y′ =
.
1+ x2
f′
.
y′ =
2
1+ ( f )
−1
.
y′ =
1+ x2
− f′
y′ =
.
2
1+ ( f )
1
.
y′ =
x ⋅ x2 −1
f′
y′ =
.
2
f ⋅ ( f ) −1
−1
y′ =
.
x ⋅ x2 −1
− f′
y′ =
.
2
f ⋅ ( f ) −1
197
2
Manual de Laboratorio de Física General
43. Derivación logarítmica:-
y =(f )
g
1º) Tomar L (logaritmos neperianos) en ambos
miembros: Ly = g ⋅ Lf .
2º) Derivar en ambos miembros:
y′
f′
= g ′ ⋅ Lf + g ⋅ .
y
f
3º) Despejar y ′ de la expresión anterior:
f′⎞
⎛
y ′ = ⎜ g ′ ⋅ Lf + g ⋅ ⎟ ⋅ (f )g .
f ⎠
⎝
INTEGRALES
1.-
∫ adx = a ∫ dx = ax + C .
2.-
∫
3.-
n
∫ [f (x )] f ′ (x )dx
x n dx =
x n +1
+ C,
n +1
=
si
[f (x )]n + 1
n +1
n ≠ − 1.
+ C,
si
si
a > 0,
n ≠ − 1.
f ′(x )
dx = L [f (x )] + C .
f (x )
4.-
∫
5.-
∫e
x
6.-
∫e
f (x )
dx = e x + C.
f ′(x )dx = e f ( x ) + C .
a f (x )
a f ( x ) f ′ (x )dx =
+ C,
La
7.-
∫
8.-
∫ senxdx
9.-
∫ sen [f (x )]f ′(x )dx
= − cos x + C.
= − cos [f (x )] + C .
198
a ≠ 1.
Manual de Laboratorio de Física General
10.-
∫ cos
11.-
∫ cos [f (x )]f ′(x )dx = sen [f (x )] + C.
12.-
∫ cos [f (x )] dx
13.-
∫ sen [f (x )] dx
14.-
∫
15.-
∫
xdx = sen x + C .
f ′ (x )
2
f ′ (x )
2
f ′ (x )
1 − [f (x )]
2
− f ′ (x
1 −
)
[f (x )]2
f ′(x )
16.-
∫ 1 + [f (x )]
17.-
∫ tgxdx
18.-
∫ cot gxdx
2
= tg [f (x )] + C .
= − cot g [f (x )] + C .
dx = arcsen
[f (x )] + C .
dx = arccos
[f (x )] +
C.
dx = arctg [f (x )] + C.
= − L (cos x ) + C .
= L (senx
) + C.
∫
⎧ L (sec x + tgx ) + C .
⎪
x
π⎞
sec xdx = ⎨ ⎛
L tg
+ ⎟ + C.
⎪⎩ ⎜⎝
2
4⎠
20.-
∫
⎧ L (cos ecx − cot gx ) + C .
⎪
x⎞
cos ecxdx = ⎨
⎛
L ⎜ tg ⎟ + C .
⎪⎩
2⎠
⎝
21.-
∫ sec
2
22.-
∫ cos
ec
23.-
∫ sec
xtgxdx
19.-
xdx = tgx + C.
2
xdx = − cot gx + C .
= sec x + C .
199
Manual de Laboratorio de Física General
24.-
∫ cos
25.-
∫ cos
26.-
∫ sen
27.-
∫ [f (x )]
28.-
= − cos ecx + C .
ecx cot gxdx
senx
2
dx = sec x + C .
x
cos x
dx = − cos ecx + C .
2
x
f ′ (x )dx
2
− a
= L ⎡ f (x ) +
⎢⎣
[f (x )]2
− a
2
2
= L ⎡ f (x ) +
⎢⎣
[f (x )]2
+ a
2
2
f ′ (x )dx
∫ [f (x )]
2
+ a
dx
29.-
∫x
30.-
∫ f (x ) [f (x )]
31.-
∫x
x2 −1
2
x2 −1
⎤ + C.
⎥⎦
= arc sec x + C .
f ′ (x )dx
− dx
⎤ + C.
⎥⎦
− a
2
= arccos
1
f (x )
arc sec
+ C.
a
a
=
ecx + C .
32.-
∫
a
2
− [f (x
)]2 dx
=
f (x
)
a
2
− [f (x
2
)]2
+
a 2 arcsen
2
f (x
a
)
+ C.
33.-
∫ [f (x )]
2
− a
2
+ a
2
dx =
f (x
) [f (x )]2
− a
2
2
a 2 L ⎡ f (x ) +
⎢⎣
−
[f (x )]2
− a
2
+ a
2
2
⎤
⎥⎦
+ C.
34.-
∫ [f (x )]
2
dx
=
f (x
) [f (x )]2
2
+ a
2
+
a
2
L ⎡ f (x
⎢⎣
)+
[f (x )]2
2
“No se sale adelante celebrando éxitos sino superando fracasos.”
Orison S. Marden
200
⎤
⎥⎦
+ C.
Manual de Laboratorio de Física General
GEOMETRIA DEL ESPACIO
CUBO
D ... diagonal del cubo
d .... diagonal de 1 cara
a .... arista del cubo
V en m3 → Cap = V × 1.000
V en dm3 → Cap = V
V en cm 3 → Cap = V ÷ 1.000
D
d=a× 2
D=a× 3
Ab = a 2
AL = 4 × a 2
AT = 6 × a 2
V = a3
d
Pb triáng. equilátero = l × 3
D2 = a 2 + d2
2 = 1,41
3 = 1,73
Pb cuadrado = l × 4
Pb =
Ab =
Ab hexágono =
3× l 2× 3
2
Pb = 2 π × R
Ab = π × R2
AL = Pb × h
AT = AL + 2 Ab
V = Ab × h
PIRÁMIDE
h
R
CONO
g .... generatriz del cono
h .... altura del cono
R ... radio de la base
depende del polígono de la base
depende del polígono de la base
Pb × Ap
2
AT = AL + Ab
Ab × h
V=
a h
Ap
3
Ap .. apotema de la pirámide
ap
h ..... altura de la pirámide
r
ap ... apotema de la base
a ..... arista de la pirámide
Ap 2 = h 2 + ap 2
r ..... radio de la base
a 2 = h2 + r2
AL =
Pb = 2 π × R
Ab = π × R 2
Pb × g
AL =
2
AT = AL + Ab
Ab × h
V=
3
201
4
Ab cuadrado = l
CILINDRO
h
l2 × 3
2
Pb hexágono = l × 6
PRISMA
Pb = depende del polígono de la base
Ab = depende del polígono de la base
AL = Pb × h
AT = AL + 2 Ab
V = Ab × h
Ab triáng. equilátero =
h
g
R
g2 = h2 + R 2
Manual de Laboratorio de Física General
ESFERA
π = 3,14
r
d
R
R
Cia máx = 2 π × R
R2
Co máx = π × R 2
A = 4 π × R2
Cia menor = 2 π × r
V=
Co menor = π × r 2
= r2 +
d2
4 π× R
3
ap cuadrado =
2
3
l×
ap hexágono =
r cuadrado =
3
2
l
r hexágono = l
202
6
l
r triáng.equilátero =
d .... distancia entre las Cias
R ... radio de Cia máx ó de la Esfera
r .... radio de cualquier Cia menor
l×
ap triáng.equilátero =
2
l
3
3
Manual de Laboratorio de Física General
APENDICE B: PREFIJOS Y UNIDADES
PREFIJOS
Múltiplos y submúltiplos decimales
Factor
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Prefijo
Exa
Penta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hecto
Deca
Símbolo
E
P
T
G
M
k
h
da
Factor
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
Prefijo
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
Símbolo
d
c
m
u
n
p
f
a
UNIDADES
Unidades SI básicas
Magnitud
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad de corriente eléctrica
Temperatura termodinámica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Nombre
Símbolo
metro
kilogramo
segundo
ampere
kelvin
mol
candela
M
kg
s
A
K
mol
cd
Unidad de longitud
El metro (m) es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la
luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Unidad de masa
El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional
del kilogramo
Unidad de tiempo
El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
203
Manual de Laboratorio de Física General
Unidad de intensidad de
corriente eléctrica
Unidad de temperatura
termodinámica
Unidad de cantidad de
Sustancia
Unidad de
luminosa
intensidad
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de
longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una
distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2.10-7 newton por metro de longitud.
El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la
fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto
triple del agua.
Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo
T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius
(símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15
K por definición.
El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas
entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de
carbono -12.
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u
otras partículas o grupos especificados de tales partículas.
La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de
una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia
540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es
1/683 watt por estereorradián.
Unidades SI suplementarias
Magnitud
Nombre
Símbolo
Expresión en unidades SI
básicas
Ángulo plano
Radián
rad
mm-1= 1
Ángulo sólido
Estereorradián
sr
m2m-2= 1
Unidad de ángulo plano
El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios
de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo,
interceptan un arco de longitud igual a la del radio.
Unidad de ángulo sólido
El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice
en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha
esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio
de la esfera.
204
Manual de Laboratorio de Física General
Unidades SI derivadas
Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades
básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de
productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor
numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir
de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un
símbolo particular.
Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien
nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras
unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de
ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan
las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con
preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se
prefiere el newton metro al joule.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y
suplementarias
Magnitud
Superficie
Volumen
Velocidad
Aceleración
Número de ondas
Masa en volumen
Velocidad angular
Aceleración angular
Nombre
metro cuadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo cuadrado
metro a la potencia menos uno
kilogramo por metro cúbico
radián por segundo
radián por segundo cuadrado
Símbolo
m2
m3
m/s
m/s2
m-1
kg/m3
rad/s
rad/s2
Unidad de velocidad
Un metro por segundo (m/s o m s-1) es la velocidad de un cuerpo
que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro
en 1 segundo
Unidad de aceleración
Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s-2) es la aceleración
de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado,
cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.
Unidad de número de ondas
Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas
de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a
1 metro.
205
Manual de Laboratorio de Física General
Unidad de velocidad angular
Un radian por segundo (rad/s o rad s-1) es la velocidad de un
cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo,
gira en 1 segundo, 1 radián.
Unidad de aceleración angular
Un radian por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s-2) es la
aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación
uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad
angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.
Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales
Magnitud
Nombre
Símbolo
Expresión en otras Expresión en unidades
unidades SI
SI básicas
Frecuencia
Hertz
Hz
s-1
Fuerza
Presión
Energía, trabajo, cantidad de
calor
Potencia
Cantidad de electricidad
carga eléctrica
Potencial eléctrico fuerza
electromotriz
Resistencia eléctrica
Capacidad eléctrica
Flujo magnético
Inducción magnética
Inductancia
newton
pascal
N
Pa
N m-2
m kg s-2
m-1 kg s-2
Joule
J
Nm
m2 kg s-2
Watt
W
J s-1
m2 kg s-3
Coulomb
C
Volt
V
W A-1
m2 kg s-3 A-1
Ω
F
Wb
T
H
V A-1
C V-1
Vs
Wb m2
Wb A-1
m2 kg s-3 A-2
m-2 kg-1 s4 A2
m2 kg s-2 A-1
kg s-2 A1
m2 kg s-2 A-2
Ohm
Farad
Weber
Tesla
Henry
sA
Unidad de frecuencia
Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo
es 1 segundo.
Unidad de fuerza
Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una
masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por
segundo cuadrado.
Unidad de presión
Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una
superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta
superficie una fuerza total de 1 newton.
Unidad de energía, trabajo,
cantidad de calor
Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo
punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.
206
Manual de Laboratorio de Física General
Unidad de potencia, flujo
radiante
Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía
igual a 1 joule por segundo.
Unidad de cantidad de
electricidad, carga eléctrica
Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1
segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.
Unidad
de
eléctrico,
electromotriz
Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos
puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad
constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es
igual a 1 watt.
potencial
fuerza
Unidad
eléctrica
de
resistencia
Unidad
eléctrica
de
capacidad
Un ohm (Ω) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un
conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt
aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una
corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz
en el conductor.
Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus
armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt,
cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.
Unidad de flujo magnético
Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de
una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si
se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.
Unidad
de
magnética
Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida
normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través
de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.
inducción
Unidad de inductancia
Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que
se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente
eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un
ampere por segundo.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen
nombres especiales
Magnitud
Viscosidad dinámica
Entropía
Capacidad térmica másica
Conductividad térmica
Intensidad del campo eléctrico
Nombre
pascal segundo
joule por kelvin
joule por kilogramo kelvin
watt por metro kelvin
volt por metro
207
Símbolo
Pa s
J/K
J(kg K)
W(m K)
V/m
Expresión en unidades
SI básicas
m-1 kg s-1
m2 kg s-2 K-1
m2 s-2 K-1
m kg s-3 K-1
m kg s-3 A-1
Manual de Laboratorio de Física General
Unidad de
dinámica
viscosidad
Un pascal segundo (Pa s) es la viscosidad dinámica de un fluido
homogéneo, en el cual el movimiento rectilíneo y uniforme de una
superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1
newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo
entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.
Unidad de entropía
Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que
recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica
constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna
transformación irreversible.
Unidad de capacidad
térmica másica
Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg K) es la capacidad térmica másica
de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte
de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura
termodinámica de 1 kelvin.
Unidad
de
conductividad térmica
Un watt por metro kelvin (W m/K) es la conductividad térmica de un
cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1
kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1
metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.
Unidad de intensidad del
campo eléctrico
Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce
una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de
electricidad de 1 coulomb.
Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son
múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades
Magnitud
Nombre
Ángulo plano
Vuelta
Grado
minuto de ángulo
segundo de ángulo
Minuto
Hora
Día
Tiempo
208
Símbolo
Relación
º
'
"
min
h
d
1 vuelta= 2 π rad
(π/180) rad
(π /10800) rad
(π /648000) rad
60 s
3600 s
86400 s
Manual de Laboratorio de Física General
Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en
unidades SI se ha obtenido experimentalmente
Magnitud
Masa
Energía
Nombre
unidad de masa atómica
Electronvolt
Símbolo
Valor en unidades SI
u
eV
1,6605402 10-27 kg
1,60217733 10-19 J
“Hablamos de matar el tiempo como si no fuera el tiempo el que nos mata a nosotros.”
Alphonse Allais
209
Manual de Laboratorio de Física General
APENDICE C: CONSTANTES FISICAS
CONSTANTES FÍSICAS CON ALTA DEFINICIÓN DECIMAL Y ALGUNAS
EQUIVALENCIAS
R = 8.314 m3 Pa/ mol K
= 0.08314 litro bar / mol K
= 0.08206 litro atm / mol K
= 62.36 litro mmHg / mol K
CONSTANTE DE LOS GASES (R)
= 0.7302 ft3 atm / lb-mol ºR
= 10.73 ft3 psia / lb-mol ºR
= 8.314 J / mol K
= 1.987 cal / mol K
= 1.987 BTU / lb-mol ºR
ACELERACIÓN NORMAL DE LA
GRAVEDAD
g = 9.80665 (m / s2)
= 1.27094 E8 (m / h2)
= 32.174 (ft / s2)
= 4.16975 E8 (ft / h2)
FACTOR DE CONVERSIÓN DE
LA LEY DE NEWTON (gc)
gc = 9.80665 (kg m / kgf s2) = 32.174 (lb ft / lbf s2)
EQUIVALENTE MECÁNICO DE
CALOR
J = 4.1840 J / cal = 0.23901 cal / J
= 426.63 kgf m / cal
= 777.67 lbf ft / BTU
NÚMERO DE AVOGRADO
NA = 6.023 E23 moléculas / mol-g
CONSTANTE DE BOLTZMANN
K = 1.3805 E-16 erg / molec K
CONSTANTE DE PLANCK
h = 6.6242 E-27 erg s
CONSTANTE DE FARADAY
F = 96520 coulomb / equiv-g
CONSTANTE DE RADIACIÓN DE
STEFAN-BOLTZMANN
4.878 E-8 (kcal / h m2 K) = 0.1712 E-8 (BTU / h ft2 ºR)
211
Manual de Laboratorio de Física General
CARGA DEL ELECTRÓN
e = 1.602 E-19 coul
VELOCIDAD DE LA LUZ
c = 2.99793 E-10 cm / s
VOLUMEN MOLAR EN C.N.
V = 22.415 m3 / mol-kg
CERO ABSOLUTO DE
TEMPERATURA
-273.16 ºC = -459.69 ºF
CONSTANTES FÍSICAS MAS USADAS
de permitividad:
de Planck:
de proporcionalidad:
solar
g = 9,8 [m/s2]
e = -1,60×10-19 [C]
k = 1,38×10-23 [J/°K]
G = 6,67×10-11 [N-m2/kg2]
μ0 = 4π×10-7 [H/m]
= 1,26×10-6 [H/m]
ε0 = 8,85×10-12 [F/m]
h = 6,63×10-34 [J-s]
K = 9×109 [N-m2/C2]
= 1340 [W/m2]
Constante universal de los gases ideales:
R = 0,082 [atm-A/mol-°K]
Aceleración de gravedad (valor promedio):
Carga del electrón:
Constante de Boltzmann:
Constante de gravitación universal:
Constante de permeabilidad:
Constante
Constante
Constante
Constante
Densidad del aire seco a 0°C y 1 [atm]
Densidad máxima del agua ( a 3,98°C y 1 [atm] )
Densidad media de la Tierra
= 1,98 [cal/mol-°K]
= 8,32 [J/mol-°K]
= 1,293 [kg/m3]
= 1 [g/ml]
= 5522 [kg/m3]
= 5,522 [kg/A]
Equivalente mecánico del calor:
J = 4,19 [J/cal]
Longitud de onda del electrón según Compton:
λe = 2,43×10-12 [m]
Masa de la Tierra
= 5,983×1024 [kg]
Masa del electrón en reposo:
me = 9,11×10-31 [kg]
Masa del neutrón en reposo:
mn = 1,67×10-27 [kg]
Masa del protón en reposo:
mp = 1,67×10-27 [kg]
Momento del dipolo magnético terrestre
= 6,4×1021 [A-m2]
Momento magnético del electrón
= 9,28×10-32 [J-m2/Wb]
Número de Avogadro:
No = 6,02×1023 [mol-1]
Punto de congelación del agua
= 273,15 [°K]
212
Manual de Laboratorio de Física General
Punto de ebullición del agua
= 373,15 [°K]
Punto triple del agua
= 273,16 [°K]
Radio de la primera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno:
a0 = 5,29×10-11 [m]
Radio ecuatorial de la Tierra
= 6,378×106 [m]
Radio polar de la Tierra
= 6,357×106 [m]
Radio promedio de la Tierra
= 6,371×106 [m]
Relación masa-energía
= 8,99×1016 [m2/s2]
Velocidad angular media de rotación de la Tierra
= 7,29×10-5 [s-1]
Velocidad de la luz en el vacío:
c = 3,00×108 [m/s]
Velocidad del sonido en el aire seco a 0 [°C] y 1 [atm] = 331,4 [m/s]
Velocidad orbital media de la Tierra
= 29.770 [m/s]
Volumen de la Tierra
= 1,087×1021 [m3]
Volumen patrón de los gases ideales a 0 [°C] y 1 [atm] = 0,0224 [m3]
= 22,4 [A]
“La esperanza es el sueño de un hombre despierto.”
Aristóteles
213
Manual de Laboratorio de Física General
APENDICE D: DATOS GRAFICOS
CENTRO DE GRAVEDAD DE ALGUNAS FIGURAS
G
Octoedro
Cubo
G
G
Cilindro
Aro
215
Manual de Laboratorio de Física General
G
G
Lámina Plana Triangular
Esfera
G
h
G
h/4
Lámina Plana Rectangular
Cono
El centro de gravedad de sólidos simétricos coincide con su centro de simetría
216
Manual de Laboratorio de Física General
FIGURAS DE EQUIPOS DE LABORATORIO
217
Manual de Laboratorio de Física General
INSTALACIÓN DEL CARRIL
INSTALACIÓN DEL GIROSCOPIO
218
Manual de Laboratorio de Física General
FIGURAS DE SENSORES E INTERFACE DE LABORATORIO
219
Manual de Laboratorio de Física General
220
Manual de Laboratorio de Física General
221
Manual de Laboratorio de Física General
“El ignorante afirma, el sabio duda y reflexiona.”
Aristóteles
222
Manual de Laboratorio de Física General
APENDICE E: USO DEL SOFTWARE LOGGER PRO
(En una experiencia de laboratorio)
INTERFASE LABPRO
Instalación Física:
1.
2.
3.
4.
La interfase requiere de una fuente de alimentación a 6 VDC o 4 pilas
tipo AA.
Una conexión a la PC mediante el puerto USB o el puerto Serie (una vez
instalada, la interfase es reconocida automáticamentepor el Logger Pro)
Sensores analógicos (lado izquierdo de la interfase – máximo 4), y/o
Sensores digitales (lado derecho de la interfase – máximo 2)
223
Manual de Laboratorio de Física General
PROCEDIMIENTO:
PRIMERO: Instalar y Conectar el (los) sensor (es) + interfase + Pc, para que el
software reconozca automáticamente los equipos instalados.
SEGUNDO: En el Escritorio del monitor del computador haga Click en el icono
. Luego, podrá observar en la pantalla la
Logger Pro 3.4.2 Español
presentación del software y automáticamente la tabla de datos (variables a
tomar).
TOMA DE DATOS
TERCERO: Se inicia la toma de datos haciendo Click en
finalizar la toma de datos hacer Click en
, luego para
.
La toma de datos se realizará de forma automática por el sensor, llevando la
información a la computadora; donde la tabla de datos será llenada y estos
datos serán graficados inmediatamente, lo cual se podrá visualizar en la
pantalla en tiempo real.
CUARTO: Si no se observa la grafica cómodamente, haga Click sobre ella y
luego pulse las teclas Control + J al mismo tiempo, esta acción permite ampliar
(auto escala) la grafica para su mejor observación.
QUINTO: Si desea conservar los datos adquiridos y realizar otra toma de datos,
ubicar el puntero del Mouse sobre: Experimento Æ Almacenar la última
serie., luego, haga Click sobre el.
Sugerencia: Los datos se guardaran no se borraran.
PROCESANDO LOS DATOS
SEXTO: Identificar la grafica (función) obtenida por el software, luego hacer el
ajuste curvas (no se preocupe! el software lo hará por usted). Con el puntero
del Mouse sobre la curva (grafica) seleccionar el área de interés a analizar;
224
Manual de Laboratorio de Física General
haciendo Click en una extremo del área seleccionada y arrastrando sin dejar de
presionar el botón izquierdo del Mouse hacia el extremo opuesto, de esta
manera quedara sombreada el área seleccionada. Luego, dirigirse al menú
principal (textual o de gráficos) y luego haga Click sobre la sentencia o icono de
AJUSTE LINEAL
si fuera el caso que sea una función lineal, o dirigirse a
AJUSTE DE CURVAS
función.
, si la curva fuera una función polinomial u otra
Ejemplo Nº 1: Si el área seleccionada contuviese una curva descrita por una
función cuadrática, entonces procederemos de la siguiente manera en este
orden:
225
Manual de Laboratorio de Física General
226
Manual de Laboratorio de Física General
Ejemplo Nº 2: Demostración de datos
Seleccione la región de interés
Muestra de Graficas y Tablas
227
Manual de Laboratorio de Física General
USO DEL SENSOR DE MOVIMIENTO
Y FORMA DE TRABAJAR EN EL ALBORATORIO DE FISICA
“Que la comida sea tu alimento y el alimento tu medicina.”
Hipócrates
228
Manual de Laboratorio de Física General
APENDICE F: GLOSARIO
Ciencia; es un conjunto de conocimientos ordenados, sistematizados con una
metodología propia.
Colisión; encuentro entre dos partículas subatómicas incluyendo los fotones.
Compresión; esta fuerza aparece en el interior de los cuerpos, cuando fuerzas
exteriores tratan de comprimirlo.
Desplazamiento; sentido vectorial que define la posición final de un móvil
respecto a su origen o punto de partida.
Diagrama de Cuerpo Libre; (DCL) es el dibujo aislado de uno de los cuerpos
de un sistema, en el cual se grafican todas las fuerzas externas aplicadas sobre
él.
Dinámica; parte de la Mecánica de Sólidos que estudia el movimiento teniendo
en cuenta las causas que lo producen.
Electrón voltio; eV, unidad de energía equivalente a la energía ganada por un
electrón al pasar por una diferencia de potencial, V.
Emisión termoiónica; emisión de electrones a partir de una superficie caliente.
Energía; es la capacidad que tiene un cuerpo para poder realizar trabajo, esta
medida en joulio, [J].
Espectro electromagnético; continuo de energía, fotones x, gamma y los
otros tipos de radiación no ionizante.
Espacio recorrido; es la longitud de la trayectoria que describe un móvil.
Estática; estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo,
sobre el cual actúan fuerzas o cuplas, o cuplas y fuerzas a la vez, quede en
equilibrio.
Excitación; la adición de energía al sistema, transfiriendo energía del estado
base a un estado excitado.
Física; ciencia cuyo objetivo es estudiar los componentes de la materia y sus
interacciones mutuas. En función de estas interacciones el científico explica las
propiedades de la materia en conjunto, así como los otros fenómenos que
observamos en la naturaleza.
Fotón; cuanto de energía electromagnética.
229
Manual de Laboratorio de Física General
Frecuencia; (f) es el tiempo empleado por un móvil en dar una vuelta completa
sobre una trayectoria circular.
Fricción; se llama rozamiento o fricción a aquella fuerza que aparece en la
superficie de contacto de dos cuerpos diferentes en movimiento relativo,
oponiéndose siempre a dicho movimiento.
Fuerza; magnitud física que viene a ser el resultado de la interacción entre las
diferentes formas de movimiento de la materia. Se tiene: fuerza gravitacionales,
fuerzas electromagnéticas, fuerzas mecánicas, fuerzas nucleares, etc.
Gravedad; (g) es la atracción que la tierra ejerce sobre los demás cuerpos.
También se le llama "aceleración gravitatoria terrestre". Ella determina el peso
de los cuerpos..
Interacción; fenómeno, por el cual puede o no existir variación en la dirección
y/o cambios en la energía de las partículas.
Ion; partícula con carga eléctrica.
Ionización; quitar un electrón de un átomo.
Isóbaros; átomos que tienen el mismo número de nucleones, pero distinto
número de protones y neutrones.
Isótonos; átomos con el mismo número de neutrones.
Isótopos; átomos con el mismo número de protones.
Isotrópico; con la misma intensidad en todas direcciones.
Ley de La Inercia; una partícula libre se mueve siempre con velocidad
constante, o (lo que es lo mismo) sin aceleración.
Longitud de onda; distancia entre puntos similares de una onda senoidal;
longitud de un ciclo.
Masa; magnitud física escalar que mide la cantidad de materia que posee un
cuerpo, esta dada en kilogramos, [kg].
Materia; cualquier cosa que ocupa un lugar y tiene forma y tamaño.
Medir; es comparar una magnitud con otra de su misma especie asumida en
forma arbitraria como unidad.
Monoenergético; fotón de una sola energía.
230
Manual de Laboratorio de Física General
Móvil; cuerpo o partícula que se mueve.
Movimiento Circular; es aquel movimiento cuya trayectoria es una
circunferencia.
Movimiento Relativo; cuando las características físicas de las partículas (tales
como velocidad, aceleración, trayectoria, etc.), se refieren a ejes móviles o son
medidos desde sistemas coordenados en movimiento.
Nucleón; protón o neutrón.
Periodo; (T) es el tiempo empleado por un móvil en una vuelta completa sobre
una trayectoria circula.
Peso; es la fuerza con la que la tierra atrae a un cuerpo. Es una magnitud
vectorial como toda fuerza, y su dirección es vertical dirigida hacia el centro de
la tierra.
Radiación; energía emitida y transferida a través de la materia.
Radiación electromagnética; radiación x o gamma y algunas radiaciones no
ionizantes.
Radiactividad; propiedad de ciertos núcleos de emitir partículas o fotones (x o
gamma) espontáneamente.
Sistema Internacional (SI); En la X Conferencia de Pesas y Medidas (1954) se
establecieron las unidades y magnitudes fundamentales de SI. Este sistema fue
complementado en la XIV Conferencia, (realizado en Francia en 1971). Dicho
sistema también es conocido como sistema "GIORGI".
Tensión; es aquella fuerza interna que aparece en el interior de los cuerpos
flexibles (cuerdas, cables) o barras (en este caso se denomina "tracción"),
tratando de evitar su posible estiramiento. Actúan a lo largo de estos cuerpos
manteniendo constante su valor, excepto en los puntos donde haya contacto
con otros cuerpos.
Trayectoria; línea que resulta de unir todas las posiciones sucesivas ocupadas
por un móvil durante su movimiento.
Vector; segmento de recta orientado (comúnmente llamado flecha), que sirve
para representar las magnitudes vectoriales.
Velocidad; es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la rapidez con que el
móvil cambia de posición.
"La que llamamos "casualidad" no es más qua la ignorancia de las causas físicas."
LEIBNITZ
231
Manual de Laboratorio de Física General
MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES
* Carátula
* Resumen
Conciso, coherente, mencionar resultados importantes
* Índice o contenido
* Introducción
Marco referencial de la importancia del trabajo
Breve descripción de los capítulos del trabajo o puntos más importantes del
trabajo
* Teoría del Tema
Fundamento detallado en que se basa el trabajo
* Parte Experimental o Cálculos
ƒ Experimental
- Descripción experimental del trabajo
- Descripción del Equipo:
Marca,
principales, Calibración de los equipos.
- Mediciones o Toma de datos
Modelos,
ƒ Cálculos
- Modelos Físico - matemáticos
- Métodos numéricos utilizados
- Metodología del procesamiento de los cálculos
* Análisis y Discusión de Resultados
- Limitaciones encontradas en los modelos, teorías, etc.
- Comparación de resultados con otros de referencia
- Errores
233
Características
Manual de Laboratorio de Física General
* Resultados
Resultados en tablas y gráficos con descripción sucinta pero muy consistente
* Conclusiones
Conclusiones básicamente de los resultados del trabajo
* Sugerencias y Observaciones
Referidas al trabajo para mejoras futuras
* Bibliografía
Bien escrita
Ejemplo:
[1] DAHL, R.E., YOSHIKAWA, H.H., Neutron spectra calculations for radiation
damage studies, Nucl. Sci. Eng. 17 (1963) 389-403.
* Apéndices o Anexos
Temas especiales que complementan el trabajo y no es conveniente ubicarlo
dentro del contenido principal del trabajo. Ejemplo: Modelos teóricos
especiales, listado de programas de cálculo, etc.
“Cuando asumí el cargo, sólo los físicos energéticos había oído hablar de la World Wide Web. Ahora hasta
mi gato tiene su propia página.”
Bill Clinton
234
Manual de Laboratorio de Física General
REGLAMENTO INTERNO
LABORATORIO DE FISICA
DE LOS USUARIOS
Son usuarios del Laboratorio de Física:
¾
¾
¾
Todo el personal directivo y docente de todas las facultades.
Toda persona que tenga la debida autorización del Vicerrectorado Académico.
Alumnos del área de Ingeniería.
DE LOS SERVICIOS
El Laboratorio de Física ofrece los siguientes servicios a los usuarios:
¾
¾
¾
¾
Préstamo de equipos y materiales a usar en el laboratorio para el desarrollo de
prácticas, proyectos e investigaciones que tengan que ver con la carrera del
usuario.
Préstamo de material bibliográfico (Hojas técnicas, catálogos) para consulta dentro
del laboratorio.
Orientación a todos los usuarios en cuanto a la utilización de los recursos del
laboratorio.
Asesoría y orientación en los cursos de Física.
DE LOS REQUISITOS PARA UTILIZAR EL LABORATORIO DE FISICA
Los usuarios del Laboratorio de Física deben de cumplir con los siguientes requisitos
para poder hacer uso de los recursos:
¾
¾
¾
¾
Los estudiantes deben tener su carné actualizado.
Presentar el carné y la ficha de solicitud al encargado del laboratorio; el carné le
será devuelto cuando se haga la devolución del equipo en buen estado.
El uso del carné es personal e intransferible; el mal uso que se haga de éste es
responsabilidad única del usuario.
En caso de recuperación de laboratorio, gestionar con anticipación dicha
recuperación vía escuela académica.
DEL COMPORTAMIENTO DENTRO DEL LABORATORIO
Dentro del laboratorio se deben guardar las siguientes normas de comportamiento:
¾
¾
¾
No se permite el ingreso de comestibles o bebidas al laboratorio.
Está terminantemente prohibido realizar prácticas ajenas a la carrera a la cual
pertenece el usuario.
El laboratorio tiene asignados horarios de prácticas para algunas asignaturas;
cuando éstas se estén efectuando se prohibe el ingreso de estudiantes que no
pertenezcan a estos grupos. (los horarios serán publicados en cartelera y deberán
ser respetados).
235
Manual de Laboratorio de Física General
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
La hora de entrada tiene una tolerancia máxima de cinco (05) minutos, después
de eso el alumno perderá la práctica de laboratorio.
No interrumpir mientras el profesor este dictando su clase de laboratorio.
El alumno debe anotarse en la lista de asistencia del Laboratorio de Física para sus
archivos.
Cada mesa de trabajo tendrá un máximo de cuatro (04) alumnos que formaran un
grupo de trabajo.
Se prohibe estar paseando de mesa en mesa, si se requiere realizar alguna
consulta, tendrá que levantar la mano y esperar que el profesor lo atienda.
Deberá respetar las prácticas realizadas en los ambientes junto al laboratorio.
Deberá guardar cordura y respeto hacia el profesor y sus compañeros. Las parejas
evitaran mostrarse en el laboratorio de Física.
OBS: Para el desarrollo de las experiencias de laboratorio, la asistencia a las
prácticas es condición necesaria para aprobar la asignatura.
DE LOS PRESTAMOS DE EQUIPOS DE LABORATORIO Y MATERIALES
¾
¾
¾
En el formato de préstamo deben ir registrados todos los nombres de las personas
que integran el grupo de trabajo; además, los equipos, materiales, hojas técnicas
que se deseen utilizar. La solicitud de préstamo debe ir acompañada del carné del
responsable de mesa.
Una vez le sean entregados los equipos al usuario, éste es responsable de ellos;
por tal razón, se recomienda verificar su estado y notificar al encargado si existe
alguna falla antes de iniciar su práctica. Cuando no esté seguro del manejo de un
equipo, solicite ayuda a su profesor o al encargado del laboratorio; también puede
consultar los manuales de usuario de los equipos que se encuentran en el
laboratorio.
Los manuales de diseño y catálogos no podrán retirarse para consulta fuera del
laboratorio y deben ser entregados antes de terminar la hora asignada.
RECOMENDACION: Para el buen éxito de sus trabajos en el laboratorio es importante
el buen manejo que usted haga de los equipos, manuales y componentes; el buen trato
de éstos alarga su vida útil.
DE LAS SANCIONES
Serán causales de sanción para el usuario del laboratorio las siguientes:
¾
¾
¾
Daño o deterioro de elementos o equipos de laboratorio.
Comportamiento que aténte contra las normas establecidas en el reglamento del
laboratorio.
Extravío o pérdida definitiva de elementos que le sean prestados.
Art. 1. El usuario que sin previa autorización retire material del laboratorio (manuales o
elementos) perderá el derecho a usar el laboratorio durante una semana si los
elementos son devueltos el mismo día; por cada día de retraso, recibirá una semana
sin servicios de cualquier tipo en el laboratorio.
Art. 2. Las personas que por mal manejo o descuido dañen total o parcialmente un
equipo (instrumento de laboratorio) deberán reponerlo con uno de las mismas
características en un período no mayor a un mes o, en su defecto, pagará el costo de
reparación. Adicionalmente, se le sancionara adecuadamente.
236
Manual de Laboratorio de Física General
Art. 3. El material y equipo prestado en forma excepcional deberá ser devuelto en el
plazo fijado. El incumplimiento a esta norma será sancionado con una amonestación
por escrito, con copia a la facultad que pertenece y a Vice Presidencia Académica,
además se le suspenderá del servicio de préstamo por un período prefijado.
Art. 4. Toda persona que viole las normas de comportamiento dentro del Laboratorio
de Física tendrá una sanción disciplinaria y le será suspendido el servicio por un
período indeterminado.
Art. 5. A la persona que intencionalmente maltrate y malogre un equipo o material de
laboratorio se le suspenderá todos los servicios de laboratorio por un período de un
mes.
DE LOS PAZ Y SALVOS
El Laboratorio de Física retendrá las fichas para matrícula o certificados de graduación
a todas las personas que tengan deudas con el laboratorio al final del semestre
académico.
Este reglamento empezará a regir a partir de su fecha de expedición: Febrero del
2001
ADVERTENCIA: Al hacer uso de cualquier equipo o implemento del Laboratorio,
el usuario declara haber leído, entendido y aceptado el presente reglamento antes
de hacer uso del (de los) mismo(s).
LABORATORIO DE FÍSICA
237