Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. - amp-cal-isa

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la
siguiente forma:
an (x)y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a0 (x)y(x) = g(x)
donde an (x), an−1 (x), . . . , a0 (x) y g(x) son funciones que sólo dependen de la variable independiente x .
Si en la ecuación anterior la función g(x) = 0 decimos que la ecuación es homogénea. En
caso contario se dice que la ecuación es completa.
Las ecuaciones diferenciales lineales poseen una propiedad básica que facilita enormemente
la construcción de técnicas para su resolución, como nos muestra el siguiente teorema.
Teorema 1 Solución General de la ecuación lineal completa
Si yP (x) es una solución particular de la ecuación lineal completa
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a0 (x)y = g(x)
e yH (x) es la solución general de ecuación homogénea asociada
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a0 (x)y = 0
entonces
y(x) = yH (x) + yP (x)
es la solución general de la ecuación completa.
El teorema anterior nos dice que podemos dividir el proceso de resolución de una ecuación
lineal completa en dos tareas: determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada
y encontrar una solución particular de la ecuación completa.
1.
Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
a(x)y 0 + b(x)y = g(x)
.
Solución general de la homogénea:
Las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden a(x)y 0 + b(x)y = 0 son siempre ecuaciones de variables separables, cuya resolución ya ha sido estudiada en el tema anterior.
Solución particular de la completa:
Para hallar una solución particular de la completa se puede seguir el método de variación
de la constante que consiste en buscar la solución particular de la completa de la misma forma
que la solución general de la homogénea, pero reemplazando la constante por una función. En
concreto:
Método de variación de la constante:
1
(1o ) Supongamos que yH = yH (x; c) es la solución general de la ecuación homogénea asociada a(x)y 0 + b(x)y = 0. Entonces, reemplazamos la constante c por una función c(x) y
buscamos una solución particular de la ecuación completa de esa forma:
Si yH = yH (x; c) =⇒ Buscamos yP = yH (x; c(x))
(2o ) Determinamos c0 (x) sustituyendo yP = yH (x; c(x)) y su derivada en la ecuación completa.
(3o ) Integramos para obtener c(x) y la sustituimos en yP .
Ejemplo 1 Hallar la solución particular de la ecuación diferencial
dy 3y
+
+ 2 = 3x que pasa
dx
x
por el punto (1, 1).
Solución general de la homogénea:
Z
Z
dy
−3
dy 3y
dy
−3y
+
= 0;
=
;
=
dx; ln y = −3 ln x + c1 ;
dx
x
dx
x
y
x
ln y = ln(x−3 ) + c1 ; yH = cx−3 .
Solución particular de la completa:
Buscamos una solución de la forma y = c(x)x−3 ası́ que imponemos que verifique la ecuación
completa:
3
c0 (x)x−3 − 3c(x)x−4 + c(x)x−3 + 2 = 3x;
x
c0 (x) 3c(x) 3c(x)
−
+
+ 2 = 3x;
x3
x4
x4
0
c (x)
3x5 x4
0
4
3
=
3x
−
2;
c
(x)
=
3x
−
2x
;
c(x)
=
− .
x3
5
2
5
x4
3x2 x
3x
1
−
− .
Por lo tanto yP =
· 3 =
5
2
x
5
2
Solución general de la completa:
c
3x2 x
+
−
x3
5
2
Solución particular de la completa que pasa por el punto (1, 1):
9
3 1
Como y(1) = 1 =⇒ 1 = c + − =⇒ c = .
5 2
10
3x2 x
9
+
− .
Por lo tanto, la solución buscada es: y(x) =
10x3
5
2
y(x) = yH + yP =
Ejemplo 2 ESCRIBIR EJEMPLO
2.
Ecuaciones lineales de segundo orden.
Son de la forma
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y(x) = g(x)
.
En virtud del Teorema 1, la solución general de la ecuacion anterior se obtiene como suma
de la solución general de la homogénea y una solución particular de la completa.
Para hallar la solución general de la ecuación homogénea necesitamos el concepto de Sistema
Fundamental de Soluciones.
Se llama Sistema Fundamental de Soluciones (SF) de la ecuación homogénea
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0
a cualquier par de soluciones de la misma, y1 (x) e y2 (x), que no son múltiplos la una de la otra.
Ejemplo 3 ESCRIBIR EJEMPLO
El siguiente resultado nos muestra cómo encontrar la solución general de una ecuación lineal
de segundo orden homogénea a partir de un sistema fundamental de soluciones.
Teorema 2 Si {y1 (x), y2 (x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0
entonces la solución general de dicha ecuación es
yH (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
donde C1 , C2 son constantes arbitrarias.
Por tanto, resolver una ecuación homogénea de segundo orden se reduce a encontrar un
sistema fundamental de soluciones de la misma. En general, puede ser difı́cil encontrar un
sistema fundamental de soluciones de una ecuación arbitraria, pero en el caso particular de las
ecuaciones de coeficientes constantes esta tarea resulta sencilla.
Ejemplo 4 ESCRIBIR EJEMPLO RELACIONADO CON EL EJEMPLO ANTERIOR
2.1.
Ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes.
Una ecuación lineal de segundo orden de coeficientes constantes es una ecuación de la forma
ay 00 + by 0 + cy = g(x)
con a, b, c ∈ R.
Solución general de la homogénea:
Se llama ecuación caracterı́stica de la ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes
constantes
ay 00 + by 0 + cy = 0
a la ecuación
az 2 + bz + c = 0
que se obtiene reemplazando y por z 0 = 1, y 0 por z 1 = z e y 00 por z 2 .
Ejemplo 5 EJEMPLO
Teorema 3 Sean m1 y m2 las dos raı́ces en C de la ecuación caracterı́stica az 2 + bz + c = 0
de la EDO homogénea ay 00 + by 0 + cy = 0. Entonces:
Caso 1: m1 , m2 ∈ R:
a) Si m1 6= m2 =⇒ {em1 x , em2 x } es un SF de la EDO homogénea.
b) Si m1 = m2 = m =⇒ {emx , xemx } es un SF de la EDO homogénea.
Caso 2: m1 , m2 ∈ C \ R:
Entonces, {eαx cos(βx), eαx sen(βx)} es un SF de la EDO homogénea, siendo m1 = α + βi
y m2 = α − βi.
Como consecuencia de los Teoremas 2 y 3, obtenemos el siguiente corolario que nos proporciona la forma de encontrar la solución general de la ecuación homogénea de segundo orden de
coeficientes constantes.
Corolario 1 Sean m1 y m2 las dos raı́ces en C de la ecuación caracterı́stica az 2 + bz + c = 0
de la EDO ay 00 + by 0 + cy = 0.
Entonces, la solución general, yH (x), de dicha ecuación es:
(a) Si m1 6= m2 ∈ R =⇒ yH (x) = C1 em1 x + C2 em2 x
(b) Si m1 = m2 = m ∈ R =⇒ yH (x) = C1 emx + C2 xemx
(c) Si m1 , m2 ∈ C \ R con m1 = α + iβ y m2 = α − iβ =⇒ yH (x) = C1 eαx cos(βx) +
C2 eαx sen(βx)
siendo en todos los casos C1 y C2 constantes arbitrarias.
Ejemplo 6 VARIOS EJEMPLOS
Solución particular de la completa:
Para encontrar una solución particular de la ecuación lineal completa ay 00 + by 0 + cy = g(x)
utilizaremos el Método de los coeficientes indeterminados que consiste en buscar dicha solución
de la misma forma que tenga la función g(x), pero con unos coeficientes que habremos de
determinar.
Método de los coeficientes indeterminados.
Denotemos por yP a la solución particular de la ecuación ay 00 + by 0 + cy = g(x) que queremos
determinar. Entonces:
Si g(x) = Pn (x) (polinomio de grado n), entonces buscamos yP = An xn + An1 xn−1 + · · · +
A0 .
Si g(x) = emx , entonces buscamos yP = Aemx .
Si g(x) = sen (rx) o bien g(x) = cos (rx), entonces buscamos yP = A cos (rx)+B sen (rx).
En el caso en que g(x) sea el producto de dos funciones de los tipos anteriores, procederemos
a buscar yP del siguiente modo:
Si g(x) = emx sen (rx) o bien g(x) = emx cos (rx), entonces buscamos yP = emx (A cos (rx)+
B sen (rx)).
Si g(x) = Pn (x)emx , entonces buscamos yP = (An xn + An1 xn−1 + · · · + A0 )emx
Si g(x) = p(x) sen (rx) o bien g(x) = p(x) cos (rx), entonces buscamos yP = (An xn + · · · +
A0 ) cos (rx) + (Bn xn + · · · + B0 ) sen (rx).
Si tras aplicar el método anterior, la solucion particular encontrada yP resulta ser a su
vez solución de la ecuación homogénea asociada, entonces la solución general de la ecuación
completa ay 00 + by 0 + cy = g(x) es y(x) = yH (x) + xk yP (x), siendo yH (x) la solución general de
la ecuación homogénea y k el menor número natural que hace que xk yP ya no sea solución de
la ecuación homogénea asociada.