E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2 Aproximación

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Ejercicios Tema 2
Aproximación e interpolación
Curso 2005/06
1. Queremos aproximar el valor1 de sin(0.1)
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p4 (0.1)
(b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se
produce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p4 (0.1).
(c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que proporciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales.
2. Consideramos la función sin(x).
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple.
(b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en el
intervalo [−2, 2].
(c) Construye la expresión del error absoluto
e4 (x) = |R4 (x)| = |sin(x) − p4 (x)|
y represéntala en [−2, 2]. A partir del gráfico, determina una cota
superior de error absoluto.
(d) Construye la función de error relativo
r4 (x) =
sin(x) − p4 (x)
sin(x)
represéntala en [−1, 1]. A partir del gráfico, determina una cota
superior de error relativo.
3. Consideramos la función cos(x),
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6.
(b) Determina una cota superior del error absoluto que se comente
cuando aproximamos cos(x) mediante el p6 (x) en el intervalo
[0, π4 ].
1
En los sucesivo, los ángulos están en radianes
1
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
2
4. Queremos aproximar e0.5 .
(a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5.
(b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativo
que se produce cuando aproximamos e0.5 mediante p5 (0.5). Verifica los resultados comparando los valores que se obtienen con la
calculador o Maple.
5. Consideramos la función ex .
(a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usando
Maple.
(b) Representa conjuntamente la función ex y los polinomios obtenidos
en el intervalo [0, 1].
(c) Construye las función de error absoluto
ej (x) = |Rj (x)| = |exp(x) − pj (x)| ,
j = 3, 4, 5
y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada
caso, una cota superior de error absoluto.
(d) Construye las función de error relativo
exp(x) − pj
,
exp(x)
rj (x) =
j = 3, 4, 5
represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada
caso, una cota superior de error relativo.
(e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [−2, 2] ¿Sigue
siendo bueno el comportamiento de los polinomios como aproximantes de ex ?
6. Consideramos la siguiente tabla de datos
x
y
0
−1
1
1
2
3
(a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el polinomio interpolador de la tabla
(b) Escribe la matriz de Vandermonde correspondiente
(c) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador
(d) Verifica los resultados con Maple
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
3
7. Consideremos la tabla de datos
x
y
x0
y0
x1
y1
x2
y2
Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x)
queda determinado por la siguiente expresión
x2 p(x)
x20 y0
x21 y1
x22 y2
1 x
1 x0
1 x1
1 x2
=0
(a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla
x
y
0
−1
1
1
2
3
(b) Resuelve el apartado (b) con Maple
8. Consideramos la siguiente tabla de datos
x
y
0
0
1
1
2
3
−1
0
(a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 que
interpole los valores de la tabla
(b) ¿Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de la
tabla? ¿Y de grado 4?
(c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple
9. Calcula los polinomios de grado 2 que para x = 1 y x = −1 toman el
valor 1.
10. Aproxima2 log(4)
(a) Mediante interpolación lineal a partir de los valores
log(3) = 0. 47712 12,
log(5) = 0. 69897 00
(b) Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartado
anterior y, además, log(4.5) = 0.6532125
2
log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que
1
d
log(x) =
dx
x ln(10)
donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
4
(c) Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo.
(d) Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que proporciona la calculadora. Calcula el error absoluto y relativo correspondientes a cada caso y verifica la corrección de las cotas superiores de error.
11. Consideramos la siguiente tabla de datos
x
y
−2
1
−1
4
0
11
1
16
2
a
(a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros puntos de la tabla
(b) ¿Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola los
cinco puntos coincida con el del apartado anterior?
(c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primeros
puntos de la tabla.
(d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que interpolan los valores de la tabla.
12. Consideramos las siguientes tablas de datos
x
y
0
1
1
−2
2
−3
x
y
0
1
1
−2
2
−3
−1
6
(a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas.
(b) ¿Qué relación hay entre ellos? ¿A qué se debe esta relación?
(c) Calcula los polinomios con Maple.
13. Consideramos la siguiente tabla de datos
x
y
1
4.75
2
4
3
5.25
5
19.75
6
36
Calcula valores aproximados para f (3.5) usando polinomios de Newton
de orden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados.
14. Para una función f (x), conocemos los siguientes valores
x
f (x)
1
0
2
2
4
12
5
21
6
32
(a) ¿Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f (3.5) mediante interpolación cuadrática?
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
5
(b) Aproxima f (3) mediante interpolación cuadrática usando una
elección de nodos distinta a la del apartado anterior.
(c) Aproxima f (3) usando el polinomio interpolador de grado máximo.
15. Consideramos la integral
1
2
e−x dx
v=
0
2
Es bien sabido que la función f (x) = e−x no tiene primitivas que
puedan expresarse como combinación sencilla de funciones elementales.
Para aproximar el valor de la integral, podemos construir un polinomio
interpolador y calcular su integral
(a) Calcula el polinomio p2 (x) que interpola a f (x) en los nodos
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.
(b) Construye con Maple una representación conjunta de f (x) y p2 (x)
(c) Calcula el valor
1
p2 (x) dx
v̄ =
0
(d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el error absoluto que se produce cuando aproximamos v mediante la
integral del polinomio interpolador.
(e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repartidos en el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5
nodos igualmente espaciados en [a, b], hacemos
xj = a + jh,
j = 0, 1, 2, 3, 4.
h=
b−a
4
En nuestro caso es, h = 0.25 y resulta
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1
16. Consideramos los valores
x
y
y
0
1
1
1
2
−1
(a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el polinomio de grado ≤ 3 que interpola los valores de la tabla
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
6
(b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomio
cumple las condiciones exigidas
17. Calcula el interpolador de Hermite de la tabla
x
y
y
0
1
0
1
3
−1
usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido toma
los valores adecuados.
18. Consideramos los valores
x
y
y
x0
y0
y0
x1
y1
y1
puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tabla
anterior queda determinado por la expresión
1 x x2 x3 p(x)
1 x0 x20 x30
y0
2
0 1 2x0 3x0 y0
1 x1 x21 x31
y1
0 1 2x1 3x21 y1
=0
Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermite
para la tabla
x 0 1
y 1 2
y
1 −1
19. Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y la velocidad
(en m/s) en los instantes t = 4s y t = 5s. Estima el valor de la posición
y la velocidad para t = 4.5s
t
e(t)
v(t)
4.
40
1
5.
65
−1
20. Demuestra que el máximo absoluto de la función
h(x) = (x − x0 )2 (x − x1 )2
sobre el intervalo [x0 , x1 ] se produce en
xM =
x0 + x1
2
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
7
y que el valor del máximo es
M = max h(x) =
x∈[x0 ,x1 ]
(x1 − x0 )4
16
21. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola la función sin(x)
en x0 = 0 y x1 = π/4.
(b) Aproxima el valor de sin(0.5), calcula una cota superior de error
absoluto.
(c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x ∈
[0, π/4].
22. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola la función ex en
los nodos x0 = 0 y x1 = 0.5.
(b) Aproxima el valor de e0.25 , calcula una cota superior de error absoluto.
(c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas para
cualquier x ∈ [0, 0.5].
23. Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos
Tiempo (s)
Posición (m)
Velocidad (m/s)
0
0
1
2
8
1.5
3
34
3
4
67
1.5
5
115
−1
6
146
0
(a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorrida
en la forma

0≤t<2
 p1 (t)
p2 (t)
2≤t<4
e(t) =

4≤t≤6
p3 (t)
donde pj (t) es el polinomio de Hermite que interpola la tabla en
los extremos del intervalo correspondiente.
(b) Calcula el error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos la posición y la velocidad en t = 3 y t = 5 usando e(t).
Soluciones
3
1. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 es p4 = x − x6 . Valor aproximado
p4 (0.1) = 0.0998333333.
(b) Cota superior de error absoluto
|R4 (0.1)| ≤
f (5) (ξ)
0.15
(0.1)5 ≤
= 0.8 33333×10−7
5!
5!
(ξ entre 0 y 0.1).
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
8
Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproximación. Cota superior de error relativo
δ
|R4 (0.1)|
= 0.8 34724 2073 × 10−6 .
|p4 (0.1)|
Tenemos 6 dígitos significativos.
(c) Error absoluto
e = |sin(0.1) − p4 (0.1)| = 0.833135 × 10−7
Error relativo
r=
|sin(0.1) − p4 (0.1)|
= 0.834525 × 10−6 .
sin(0.1)
Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas de
error obtenidas.
2. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 se construye con las órdenes
> s4:=series(sin(x),x,5);
p4:=convert(s4,polynom);
(b) La representación conjunta de sin(x) y p4 (x) puede hacerse con
> plot([sin(x),p4],x=-2..2);
(c) La definición de e4 (x) y su representación puede hacerse con las
órdenes
> e4:=abs(sin(x)-p4);
plot(e4,x=-2..2);
Una cota gráfica de error es e4 (x) ≤ 0.25
(d) Una cota gráfica de error relativo es δ 4 (x) ≤ 0.0097
3. (a) Polinomio de McLaurin
p6 (x) = 1 −
x6
x2 x4
+
−
2
24 720
(b) Cota de error en [0, π/4]
e6 (x) = |R6 (x)| ≤
sin (π/4) π
7!
4
7
= 0.2 586 × 10−4
Cota mejorada. En el caso de f (x) = cos(x) se cumple
f (7) (0) = sin(0) = 0
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
9
y, por lo tanto,
p6 (x) = p7 (x)
Podemos tomar la cota de error
e6 (x) = |cos(x) − p6 (x)| = |cos(x) − p7 (x)|
cos(t) 8
f (8) (t) 8
x =
x
8!
8!
= |R7 (x)| =
(π/4)8
= 0.3 591 × 10−6
8!
≤
El polinomio de McLaurin de orden 6 para cos(x) proporciona 5 decimales exactos en el intervalo [0, π4 ].
4. (a) Polinomio de McLaurin
1
1
1
1 5
p5 (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 +
x
2
6
24
120
Valor de la aproximación
p5 (0.5) = 1. 64869 792
(b) Cotas de error
e5 (0.5) = |R5 (0.5)| =
e0.5
f (6) (t)
(0.5)6 ≤
(0.5)6
6!
6!
usamos la aproximación obtenida y tomamos
e0.5
1.7
1.7
(0.5)6 = 0.3 689 × 10−4
6!
Tenemos 4 decimales exactos, el valor de la aproximación es
e5 (0.5) ≤
e0.5 = 1. 6487
La cota de error relativo es
r5 (0.5) ≤
e0.5
6!
(0.5)6
(0.5)6
= 2. 1701 × 10−5
=
e0.5
6!
Tenemos 5 dígitos significativos.
Los errores exactos son: error absoluto
e5 (0.5) = e0.5 − p5 (0.5) = 0. 23354 × 10−4
Error relativo
r5 (x) =
e0.5 − p5 (0.5)
= 1. 4165 × 10−5
e0.5
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
10
5. Cotas de error estimadas gráficamente en el intervalo [0, 1]
cota en (x)
cota rn (x)
n=3
0.06
0.019
n=4
0.01
0.0037
n=5
0.0017
0.00063
6. (a) El polinomio interpolador es de la forma
p2 (x) = a0 + a1 x + a2 x2
el sistema es

 a0 = −1
a + a1 + a2 = 1
 0
a0 + 2a1 + 4a2 = 3
(1)
(b) La matriz de Vandermonde de las abscisas x0 , x1 , x2 es


1 x0 x20
V (x0 , x1 , x2 ) =  1 x1 x21 
1 x2 x22
En nuestro caso, se obtiene


1 0 0
V (x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2) =  1 1 1 
1 2 4
Observa que la matriz de Vandermonde es la matriz de coeficientes del
sistema de ecuaciones (1) que determina el polinomio interpolador.
(c) El sistema tiene solución
a0 = −1,
a2 = 0,
a1 = 2
El polinomio es
p2 (x) = 2x − 1
(d) Puedes construir el interpolador con las órdenes

> xx:=[0,1,2];

yy:=[-1,1,3];
p2:=interp(xx,yy,t)
obtendrás como resultado un polinomio en la variable t. La orden para
obtener el polinomio con la variable x es
> p2:=interp(xx,yy,x)
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
11
7. (a)
x x2 p(x)
0 0 −1
1 1
1
2 4
3
1
1
1
1
=0
calculando el determinante, resulta
−2 + 4x − 2p(x) = 0
y despejando
p(x) = −1 + 2x
(b) Solución con Maple
Cargamos la librería de álgebra lineal lianlg
> with(linalg);
Construimos la matriz
> m:=matrix([[1,x,x^2,p],[1,0,0,-1],[1,1,1,1],[1,2,4,3]]);
Calculamos el determinante
> d:=det(m);
Resolvemos en p
> solve(d=0,p);
8. (a) Si calculamos las diferencias divididas, resulta
x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
x3 = −1
f [x0 ] = 0
f [x1 ] = 1
f [x2 ] = 3
f [x3 ] = 0
f [x0 , x1 ] = 1
f [x1 , x2 ] = 2
f [x2 , x3 ] = 1
f [x0 , x1 , x2 ]=
f [x1 , x2 , x3 ]=
1
2
1
2
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] = 0
El polinomio interpolador es
p2 (x) = x +
1
x (x − 1)
2
si operamos (no es necesario) obtenemos
1
1
p2 (x) = x + x2
2
2
(b) No hay ningún polinomio de grado 3 que pase por los cuatro puntos,
los puntos están sobre una parábola. Hay infinitos polinomios de grado
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
12
4 que interpolan los puntos de la tabla.
(c) Las órdenes son

> xx:=[0,1,2,-1];

yy:=[0,1,3,0];
p2:=interp(xx,yy,x);
9. Interpolamos con los datos, donde hemos añadido un nodo y le hemos
dado el valor arbitrario a
x
y
1
1
−1
1
0
a
Diferencias
x0 = 1
x1 = −1
x2 = 0
f [x0 ] = 1
f [x1 ] = 1
f [x2 ] = a
f [x0 , x1 ] = 0
f [x1 , x2 ] = a − 1
f [x0 , x1 , x2 ]=
a−1
−1
=1−a
Interpolador
p2 (x) = 1 + (1 − a)(x − 1)(x + 1)
= (1 − a) x2 + a
10. (a) Interpolación lineal p1 (4) = 0.5880456
(b) Interpolación cuadrática p2 (4) = 0.6009852
(c) Cotas error interpolación lineal
e1 (4) ≤ 0.2413 × 10−1 ,
r1 (4) ≤ 4.103 × 10−2
Cotas error interpolación cuadrática
e2 (4) ≤ 0.268 × 10−2 ,
r2 (4) ≤ 4.461 × 10−3
(d) Errores interpolación lineal
e1 (4) = 0.14014 × 10−1 ,
r1 (4) = 2.328 × 10−2
Errores interpolación cuadrática
e2 (4) = 0.10748 × 10−2 ,
r2 (4) = 1.785 × 10−3
11. (a) En forma de Newton
p3 (x) = 1 + 3 (x + 2) + 2 (x + 2) (x + 1) − (x + 2) (x + 1) x
si operamos (no es imprescindible), resulta
p3 (x) = 11 + 7x − x2 − x3
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
13
(b) Debe cumplirse a = p3 (2) ⇒ a = 13
(c) Podemos obtener el interpolador con las siguientes órdenes

> xx:=[-2,-1,0,1];

yy:=[1,4,11,16];
p3:=interp(xx,yy,x);
(d) Añadimos un punto con una nodo x4 que no esté en la tabla, por
ejemplo, x4 = 2 y un valor arbitrario y4 = a

> xx:=[-2,-1,0,1,2];

yy:=[1,4,11,16,a];
p4:=interp(xx,yy,x);
12. (a) Para la primera tabla, obtenemos las diferencias
x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
f [x0 ] = 1
f [x1 ] = −2
f [x2 ] = −3
f [x0 , x1 ] = −3
f [x1 , x2 ] = −1
f [x0 , x1 , x2 ]= 1
el interpolador es
p2 (x) = 1 − 3x + x (x − 1)
= 1 − 4x + x2
Si añadimos x3 = −1 y f [x3 ] = 6 y completamos la tabla de diferencias,
resulta
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] = 0
por lo tanto
p3 (x) = p2 (x)
(b) Los polinomios son iguales, esto se debe a que el polinomio p2 (x)
pasa por el punto adicional (x4 , y4 ).
(c) Ordenes Maple

> xx:=[0,1,2];

yy:=[1,-2,-3];
p2:=interp(xx,yy,x);
13. Debemos tomar, en cada caso, los nodos que mejor encajan el valor
x = 3.5.
— Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5
— Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2
— Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
14
— Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1
Si construimos la tabla de diferencias con ese orden de nodos, resulta
f [x0 ] = 5.25,
f [x0 , x1 ] = 7.25,
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] = 0.25,
f [x0 , x1 , x2 ] = 2
f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] = 0
Los resultados son
— Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5
p1 (x) = 5.25 + 7.25 (x − 3)
p1 (3.5) = 5.25 + 7.25 (3.5 − 3) = 8.875
— Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2
p2 (x) = p1 (x) + 2 (x − 3) (x − 5)
p2 (3.5) = p1 (3.5) + 2 (3.5 − 3) (3.5 − 5) = 7.375
— Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6
p3 (x) = p2 (x) + 0.25 (x − 3) (x − 5) (x − 2)
p3 (3.5) = p2 (3.5) + 2.25 (3.5 − 3) (3.5 − 5) (3.5 − 2) = 7.09375
— Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1. Como
f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] = 0
p4 (x) = p3 (x),
p4 (3.5) = p3 (3.5)
14. (a) Los dos primeros nodo son x0 = 2 y x1 = 4. Como tercer nodo,
podemos tomar x2 = 1, o bien, x2 = 5 pues
d(3, 1) = d(3, 5) = 2
En este primer apartado, tomamos x0 = 2, x1 = 4, x2 = 1
x0 = 2
x1 = 4
x2 = 1
f [x0 ] = 2
f [x1 ] = 12
f [x2 ] = 0
f [x0 , x1 ] = 5
f [x1 , x2 ] = 4
f [x0 , x1 , x2 ]= 1
p2 (x) = 2 + 5 (x − 2) + (x − 2) (x − 4)
p2 (3) = 2 + 5 − 1 = 6
Si operamos es
p2 (x) = x2 − x
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
15
(b) Con la elección de nodos x0 = 2, x1 = 4, x̄2 = 5, resulta
x0 = 2
x1 = 4
x̄2 = 5
f [x0 ] = 2
f [x1 ] = 12
f [x̄2 ] = 21
f [x0 , x1 ] = 5
f [x1 , x̄2 ] = 9
p̄2 (x) = 2 + 5 (x − 2) +
p̄2 (3) = 2 + 5 −
f [x0 , x1 , x̄2 ]=
4
3
4
(x − 2) (x − 4)
3
17
4
=
= 5. 6667
3
3
Si operamos, resulta
p̄2 (x) =
4
8
− 3x + x2
3
3
(c) Si tomamos los nodos
x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6
y formamos la tabla de diferencias, resulta
f [x0 ] = 0,
f [x0 , x1 ] = 2,
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] =
1
,
12
f [x0 , x1 , x2 ] = 1
f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] = −
1
30
resulta
p4 (x) = 2 (x − 1) + (x − 1) (x − 2) +
1
(x − 1) (x − 2) (x − 4)
12
1
(x − 1) (x − 2) (x − 4) (x − 5)
30
4
1
−
= 5.7
p4 (3) = 4 + 2 −
12 30
−
2
15. (a) Usamos la función f (x) = e−x para calcular los valores
x
y
0
1
0.5
0.77880
1
0.36788
La tabla de diferencias es
x0 = 0
x1 = 0.5
x2 = 1
f [x0 ] = 1
f [x1 ] = 0.77880
f [x2 ] = 0.36788
f [x0 , x1 ] = −0. 44240
f [x1 , x2 ] = −0. 82184
f [x0 , x1 , x2 ]= −0. 37944
Interpolador
p2 (x) = 1 − 0. 44240 x − 0. 37944 x (x − 0.5)
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
16
(b) La representación conjunta se puede construir como sigue

> f:=x->exp(-x^2);

xx:=[0,0.5,1];


yy:=map(f,xx);


yy:=map(evalf,yy);


p2:=interp(xx,yy,x);
plot([f(x),p2],x=0..1,colour=[black,red]);
La orden yy:=map(evalf,yy); aplica evalf sobre la lista de valores y
la guarda con el mismo nombre. La opción colour=[black,red]asigna
ordenadamente colores a las gráficas.
(c) Para integrar, escribimos el polinomio en la forma
p2 (x) = 1 − 0. 25268 x − 0. 37944 x2
1
v̄ =
p2 (x)dx = 1 −
0
0. 25268 0. 37944
−
= 0. 74718
2
3
2
(d) Si tenemos definida f (x) = e−x como función con la orden
> f:=x->exp(-x^2);
calculamos la integral con
> v:=int(f(x),x=0..1);
vf:=evalf(v);
El resultado es
vf := 0.74682
Error
1
e2 =
0
1
2
e−x dx −
0
p2 (x)dx = |0.74682 − 0. 74718| = 0.000 36
(e) Con los nodos
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1
se obtiene el interpolador
p4 (x) = 0.0416063 x4 + 0.4882003 x3 − 1.1845557 x2 + 0.0226286 x + 1
la aproximación con p4 (x) es
1
v̄4 =
p4 (x)dx = 0. 7468337
0
1
e4 =
0
1
2
e−x dx −
0
p4 (x)dx = |0. 7468241 − 0. 7468337| = 0.9 6×10−5
Tenemos 4 decimales exactos.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
17
16. Es un polinomio de grado ≤ 3
H3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
la derivada es
H3 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2
Condiciones de interpolación



a0 = 1
a0 = 1
H3 (0) = 1









H3 (0) = 1
a1 = 1
a1 = 1
⇒
⇒
H3 (1) = 2
a0 + a1 + a2 + a3 = 2
a + a3 = 0







 2

H3 (1) = −1
a1 + 2a2 + 3a3 = −1
2a2 + 3a3 = −2
Obtenemos

a0



a1
a


 2
a3
El polinomio es
=1
=1
=2
= −2
H3 (x) = 1 + x + 2x2 − 2x3
17. La tabla de diferencias divididas es, inicialmente
x0
x0
x1
x1
=0
=0
=1
=1
f [x0 ] = 1
f [x0 ] = 1
f [x1 ] = 3
f [x1 ] = 3
f [x0 , x0 ] = 0
f [x0 , x1 ] =
f [x1 , x1 ] = −1
f [x0 , x0 , x1 ]
f [x0 , x1 , x1 ]
f [x0 , x0 , x1 , x1 ]
de donde obtenemos
x0
x0
x1
x1
=0
=0
=1
=1
f [x0 ] = 1
f [x0 ] = 1
f [x1 ] = 3
f [x1 ] = 3
f [x0 , x0 ] = 0
f [x0 , x1 ] = 2
f [x1 , x1 ] = −1
f [x0 , x0 , x1 ]= 2
f [x0 , x1 , x1 ] = −3
El polinomio de Hermite es
H3 (x) = 1 + 0 x + 2 x2 − 5x2 (x − 1)
= 1 + 7x2 − 5x3
18. Obtenemos el determinante
1
1
0
1
0
x x2 x3 p(x)
0 0 0
1
1 0 0
1
1 1 1
2
1 2 3 −1
=0
f [x0 , x0 , x1 , x1 ] = −5
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
18
como se trata de un determinante de orden 5, es preferible operar con
las filas y columnas para simplificarlo
(1a − 2a )
(4a − 2a )
0
1
0
0
0
x x2 x3 p(x) − 1
0 0 0
1
1 0 0
1
1 1 1
1
1 2 3
−1
=0
Desarrollamos por la primera fila, y obtenemos.
x x2 x3 p(x) − 1
1 0 0
1
1 1 1
1
1 2 3
−1
=0
Operamos ahora por columnas, restando la primera a la cuarta columna
x x2 x3 p(x) − 1 − x
1 0 0
0
1 1 1
0
1 2 3
−2
=0
desarrollamos por 2a fila
x2 x3 p(x) − 1 − x
1 1
0
2 3
−2
=0
restamos la primera columna a la segunda
x2 x3 − x2 p(x) − 1 − x
1
0
0
2
1
−2
=0
y desarrollamos por 2a fila
x3 − x2 p(x) − 1 − x
1
−2
=0
finalmente
−2x3 + 2x2 − p(x) + 1 + x = 0
de donde obtenemos
p(x) = −2x3 + 2x2 + 1 + x
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
19
19. La tabla de diferencias divididas es
t0
t0
t1
t1
=4
=4
=5
=5
f [t0 ] = 40
f [t0 ] = 40
f [t1 ] = 65
f [t1 ] = 65
f [t0 , t0 ] = 1
f [t0 , t1 ] = 25
f [t1 , t1 ] = −1
f [t0 , t0 , t1 ]= 24
f [t0 , t1 , t1 ] = −26
f [t0 , t0 , t1 , t1 ] = −50
Polinomio interpolador
H3 (t) = 40 + (t − 4) + 24 (t − 4)2 − 50 (t − 4)2 (t − 5)
Estimación de la posición
H3 (4.5) = 52. 75
e(4.5)
Derivada
H3 (t) = (t − 4) + 48 (t − 4) − 100 (t − 4) (t − 5) − 50 (t − 4)2
Estimación de la velocidad
v(4.5)
H3 (4.5) = 37. 5
20. La función objetivo es
h(x) = (x − x0 )2 (x − x1 )2
Queremos obtener el máximo absoluto sobre [x0 , x1 ]. Se trata de un
problema de extremos absolutos sobre intervalos cerrados. Observemos que h(x) es continua en todo R. Los posibles extremos se pueden
producir en x = x0 , x = x1 y en los puntos críticos interiores.
h (x) = 2 (x − x0 ) (x − x1 )2 + 2 (x − x0 )2 (x − x1 )
= 2 (x − x0 ) (x − x1 ) (x − x1 + x − x0 )
= 2 (x − x0 ) (x − x1 ) (2x − x1 − x0 )
El único punto crítico interior es
xc =
x1 + x0
2
El valor en xc es
h(xc ) =
=
x1 + x0
− x0
2
x1 − x0
2
2
2
x1 + x0
− x1
2
x0 − x1
2
2
2
(x1 − x0 )4
16
Como h(x0 ) = h(x1 ) = 0 y h(xc ) > 0, h(x) toma el máximo absoluto
sobre [x0 , x1 ] en xc .
=
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
20
21. Tenemos
f (x) = sin x,
f (x) = cos x
La tabla de valores es
x
y
y
x0 = 0
0
1
x1 = 0. 78539 82
0. 70710 68
0. 70710 68
la tabla inicial de diferencias es
x0
x0
x1
x1
=0
=0
= 0. 78539 82
= 0. 78539 82
f [x0 ] = 0
f [x0 ] = 0
f [x1 ] = 0. 70710 68
f [x1 ] = 0. 70710 68
f [x0 , x0 ] = 1
f [x0 , x1 ] =
f [x1 , x1 ] = 0. 70710 68
de donde obtenemos
f [x0 ] = 0,
f [x0 , x0 ] = 1,
f [x0 , x0 , x1 ] = −0.1269212,
f [x0 , x0 , x1 , x1 ] = − 0.1516184
El interpolador es
H3 (x) = x − 0.1269212 x2 − 0.1516184 x2 (x − 0. 78539 82)
= x − 0.007 8404 x2 − 0.15161 84 x3
(b) Aproximación de sin(0.5)
H3 (0.5) = 0. 47908 76
Cota superior de error
e3 (0.5) =
≤
f (4) (t)
π
(0.5 − 0)2 0.5 −
4!
4
2
,
t ∈ 0,
sin( π4 )
(0.5)2 (−0. 28539 82)2 = 0.0005 9995
24
tenemos 2 decimales exactos. El error exacto es
e3 (0.5) = |sin(0.5) − H3 (0.5)| = 0.000 33793 4
(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, π4 ].
e3 (x) =
≤
π
4
f (4) (t)
(x − x0 )2 (x − x1 )2 ,
4!
sin t
(x − x0 )2 (x − x1 )2
24
t ∈ 0,
π
4
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
21
según el ejercicio anterior se cumple
(x − x0 )2 (x − x1 )2 ≤
entonces
(x1 − x0 )4
16
4
sin π4 π4
= 0.7007 × 10−3
24
16
tenemos 2 decimales exactos en todo el intervalo.
e3 (x) ≤
22. Tenemos
f (x) = ex ,
f (x) = ex
La tabla de valores es
x
y
y
x0 = 0
1
1
x1 = 0. 5
1. 64872 1
1. 64872 1
la tabla inicial de diferencias es
x0
x0
x1
x1
=0
=0
= 0.5
= 0.5
f [x0 ] = 1
f [x0 ] = 1
f [x1 ] = 1. 64872 1
f [x1 ] = 1. 64872 1
f [x0 , x0 ] = 1
f [x0 , x1 ] =
f [x1 , x1 ] = 1. 64872 1
de donde obtenemos
f [x0 ] = 1,
f [x0 , x0 ] = 1,
f [x0 , x0 , x1 ] = 0.5948851,
f [x0 , x0 , x1 , x1 ] = 0.2153448
El interpolador es
H3 (x) = 1 + x + 0.5948851 x2 + 0.2153448 x2 (x − 0.5)
= 1 + x + 0. 48721 27x2 + 0. 21534 48x3
(b) Aproximación de e0.25
H3 (0.25) = 1. 2838156
Cota superior de error
e3 (0.25) =
≤
f (4) (t)
(0.25 − 0)2 (0.25 − 0.5)2 ,
4!
t ∈ (0, 0.5)
e0.5
(0.25)2 (0.25)2 = 0.2 6834 × 10−3
24
Ejercicios: Aproximación e Interpolación
22
tenemos 3 decimales exactos. El error exacto es
e3 (0.25) = e0.25 − H3 (0.25) = 0.20986 × 10−3
(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, 0.5].
e3 (x) =
≤
f (4) (t)
(x − x0 )2 (x − x1 )2 ,
4!
t ∈ (0, 0.5)
e0.5 (0.5)4
= 0.2 683 × 10−3
24 16
Obtenemos 3 decimales exactos en todo el intervalo.