Ciclo 2009-1

Temario A
MÉTODOS NUMÉRICOS - MA104
Examen Parcial
Ciclo 2009-1
Profesores
Secciones
Duración
: Elizabeth Arias, Raúl Acosta
: B401, B403, C501
: 170 minutos.
 No se permite el uso de libros o apuntes de clase.
 Las preguntas 1 a 10 deben ser respondidas en la tabla que se encuentra en la última
hoja del cuadernillo. Las respuestas se marcan en la tabla que aparece en el
cuadernillo, colocando una (x) en la casilla correspondiente a la alternativa que
usted estime que es cierta. Cualquier marca o señal que usted haga fuera de esta
tabla no será tomada en consideración. Cada pregunta posee una y solo una
alternativa que la responde correctamente.
 Las preguntas 11, 12 y 13 debe responderlas con claridad pues en ellas se
calificará no solo la respuesta dada sino el procedimiento seguido y las
explicaciones correspondientes.
PREGUNTAS DE SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS
(Cada pregunta vale 1 punto. Responda en la tabla que se halla en el cuadernillo)
1. En las siguientes etapas de solución de un problema se producen errores
inherentes:
A
B
C
D
E
El cálculo de una cota del error absoluto para los datos.
Medición de los datos necesarios para la solución.
El redondeo que se realiza a los datos aproximados.
Las equivocaciones que ocurren durante el ingreso de datos.
El truncamiento que se produce al hallar el modelo computacional.
2
Se sabe que en el siguiente número aproximado los dígitos subrayados son
exactos: 0,0014020162. Entonces el número de cifras exactas y el número de
cifras decimales exactas son respectivamente:
A
B
C
D
E
5 y 7.
8 y 5.
8 y 7.
5 y 5.
7 y 4.
3. Empleando sólo la regla de Lagrange en la ecuación x 5  8x 2  27x  3  0 ,
tenemos que todas las raíces positivas son menores que:
A 27
B 3
C 9
D 4
E
28
Monterrico, 20 de Mayo de 2009
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4
En el método de Bisección, considerando que la función f (x) tiene una sola raíz
en el intervalo [a, b], y que en la n-sima iteración tenemos la raíz aproximada xn,
entonces el error absoluto máximo para dicha aproximación es:
ab
2n
ba
B Em ( xn )  n .
4
ba
C Em ( xn )  n
2
x x
D Em ( xn )  n n n1 .
2
E Em ( xn )  xn  xn1 .
A Em ( xn ) 
5. Dado el sistema Ax = b, en donde A es una matriz cuadrada de orden n, para que
el método de Seidel converja hacia la solución
A
B
C
D
E
Es necesario que cond(A) sea menor que 10.
Es necesario y suficiente que sea β < 1.
Es necesario que sea β < .
Es necesario que la diagonal de A sea predominante.
Es suficiente que sea  < 1
6. En un sistema lineal de diagonal predominante se requiere hallar una estimación
inicial de la solución de tal forma que empleando el método de Jacobi y
suponiendo  = 0,6 se obtenga la solución con cuatro cifras decimales exactas con
un máximo de 20 iteraciones. Entonces
A
B
C
D
E
0,8 < Em(x(0)) < 1,4
0,6 < Em(x(0)) < 0,8
1,4 < Em(x(0)) < 1,8
1,8 < Em(x(0)) < 2,0
0,4 < Em(x(0)) < 0,6
7 Al aplicar el método de Seidel en un sistema lineal predominante con β = 0,7 se
tiene que Em(x(3)) < 0,06, entonces se cumple:
A
B
C
D
E
|| x(5) – x(4) || < 0,049
|| x(5) – x(4) || < 0,042
|| x(5) – x(4) || < 0,0294
|| x(5) – x(4) || < 0,0882
|| x(5) – x(4) || < 0,0126
Monterrico, 20 de Mayo de 2009
2
8. Se desea hallar un polinomio interpolador para los puntos (x1, y1), (x2, y2),
(x3, y3) y (x4, y4). El polinomio resultante tendrá grado:
A
B
C
D
E
4
4 o mas
3 o mas
3 o menos
3
9. El método de interpolación de Newton
A Es un método para interpolar en un valor fijo de x, pero no permite hallar un
polinomio de interpolación.
B Es un método iterativo en el cual cada polinomio interpolador se halla a partir de
otro de menor grado.
C Es superior al método de interpolación de Lagrange, porque brinda resultados más
exactos.
D Es un método iterativo de interpolación con convergencia cuadrática, por lo cual
el error tiende rápidamente hacia cero.
E Todas las otras alternativas son falsas.
10. Un spline cúbico es
A Una función formada por tramos, cada uno de los cuales es un polinomio cúbico
continuo.
B Una función continua con primera y segunda derivadas continuas y con segunda
derivada cero en x0 y en xn.
C Una función continua y dos veces derivable, definida por tramos, cada uno de los
cuales es un polinomio de grado tres o menos.
D Un polinomio de grado menor o igual que tres que pasa por cuatro puntos del
plano y que es continuo y derivable.
E Un polinomio interpolador de tercer grado cuya segunda derivada vale cero en
ambos extremos del dominio.
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PREGUNTAS DE DESARROLLO
11. Una bola esférica de cristal viene envasada en una caja cúbica cuyas aristas son 2
cm mayores que el diámetro de la bola. El espacio entre la bola y la caja está
ocupado con 1200 cm3 de aserrín. Calcule, con cuatro cifras decimales exactas, el
diámetro de la bola.
(3 puntos)
12. Se sabe que una partícula se mueve en una trayectoria rectilínea y su posición en
el instante t se describe con una ecuación del tipo: x(t) = at3 + bt2 + ct + d. En el
instante t = 2,5 s la partícula pasó por la posición x = 4 con velocidad 3 m/s. Dos
segundos después, pasó por x = 6 con velocidad –3 m/s. ¿Qué posición y qué
velocidad tenía la partícula en el instante t = 5?
(3 puntos)
13. Se requiere resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con error menor
que 0,0001. Escriba un algoritmo en seudo código que permita obtener la solución
mediante el método de Seidel.
3xi –1 + 10 xi – 4xi +1 = 25 + 3 i
i = 1, 2, 3, …, 1000
donde x0 = x1001 = 0
(4 puntos)
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