Capítulo 4-1. El problema de la interpolación. Polinomio

TEMA 4: INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
Capítulo 4-1. El problema de la interpolación. Polinomio interpolador de
Lagrange
4.1.1. El problema de la Interpolación.
Sea f una función continua en [a, b] de la que se conoce el valor que toma en n+1 puntos
distintos (nodos):
x
x0
x1
...
xn
y
y0
y1
...
yn
Se trata de calcular el valor aproximado de f en cualquier otro punto.
Si no se dispone de más información acerca de f, se busca una función, P, de un conjunto de
funciones, que en cada punto xi tome el valor yi, (i = 0, . . . , n).
El conjunto de funciones que se toma es el conjunto de polinomios de grado ≤ n (dados n+1
nodos), porque:
1. Los polinomios aproximan de manera uniforme a las funciones continuas (dada una
función cualquiera, definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio “tan
próximo” a la función como se desee).
2. La derivada y la primitiva de un polinomio son fáciles de determinar y también son
polinomios.
Los polinomios de Taylor concentran toda la información en un solo punto x0 (lo que limita
su uso al caso de aproximaciones en puntos cercanos a x0). Normalmente resulta más
conveniente usar métodos que incluyan información en diversos puntos como es el caso de la
interpolación.
4.1.2. El polinomio interpolador de Lagrange
Teorema: Dados x0, x1, . . . , xn números reales distintos entre sí, y valores arbitrarios y0, y1,
. . . , yn, existe un único polinomio P(x) de grado menor o igual que n tal que P(xi) = yi (i = 0,
. . . , n).
A dicho polinomio P(x) se le llama polinomio interpolador de Lagrange.
Nota: Es fácil probar la existencia y unicidad de solución viendo que la matriz de los
coeficientes del sistema lineal de n ecuaciones con n+1 incógnitas (los coeficientes del
polinomio interpolador) tiene determinante no nulo, por ser un determinante de
Vandermonde.
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Aunque existe uno y sólo un polinomio de interpolación de grado menor o igual que n
asociado a los datos de partida, dicho polinomio puede expresarse de maneras distintas y se
llega a él a través de distintos algoritmos, lo que se traduce en polinomios de interpolación
con nombres diversos.
Construcción del polinomio interpolador de Lagrange grado1:
Se busca un polinomio de primer grado que interpole los valores de f en dos puntos:
(x0, y0 = f(x0)) y (x1, y1 = f(x1))
Es el polinomio de grado uno (recta) que pasa por los dos puntos distintos (x0, y0) y (x1, y1).
Primero se definen las funciones:
L0 (x) =
x − x1
x 0 − x1
y el polinomio P1(x) = L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1) = .
L1 ( x ) =
x − x0
x1 − x 0
x − x0
x − x1
f(x0) +
f(x1)
x0 − x1
x1 − x0
Como L0(x0) = 1, L0(x1) = 0, L1(x0) = 0 y L1(x1) = 1, se tiene que:
P1 (x0) = 1·f(x0) + 0·f(x1) = f(x0) y P1 (x1) = 0·f(x0) + 1·f(x1) = f(x1).
Así, P1(x) = L0(x) f(x0) + L1(x)f(x1) es la única función lineal que pasa por (x0, y0) y (x1, y1).
Construcción del polinomio interpolador de Lagrange grado n:
Generalizamos ahora y construimos un polinomio de grado máximo n que pasa por los n+1
puntos (x0, y0) y (x1, y1)., . . . , (xn, yn).
Para cada k = 0, 1, . . . , n se construye la función L,k (x) verificando:
0
Lk ( xi ) = 
1
si i ≠ k
si i = k
Para satisfacer ambas condiciones, ha de ser:
Lk ( x) =
( x − x0 )( x − x1 )...( x − x k −1 )( x − x k +1 )...( x − xn )
( xk − x0 )( xk − x1 )...( xk − x k −1 )( xk − x k +1 )...( xk − xn )
Ya puede escribirse el polinomio interpolador utilizando estas funciones Lk(x).
Teorema: Si x0, x1, . . . , xn son n+1 números distintos entre sí y si f es una función de la que
se conocen sus valores en dichos números, entonces el polinomio interpolador de Lagrange
viene dado por la expresión:
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n
P ( x) = L0 ( x) f ( x0 ) + ... + Ln ( x) f ( xn ) = ∑ Lk ( x) f ( xk )
k =0
donde, para cada k = 0, . . . , n, es Lk ( x) =
( x − xi )
i = 0,i ≠ k ( xk − xi )
n
∏
Nota: El polinomio interpolador de Lagrange tiene más importancia teórica que práctica pues
es relativamente costoso de evaluar y ha de recalcularse completamente para añadir otro punto
más a la interpolación.
Calculamos una cota del error cometido al aproximar una función mediante el polinomio
interpolador de Lagrange.
4.1.3. Error de interpolación
Si P(x) interpola la función f(x) en los puntos distintos entre sí x0, x1, . . . , xn de un intervalo
[a, b] y f es una función de clase Cn+1([a, b]), entonces, para cada x en [a, b] existe un
número de c(x) en (a, b) tal que
f ( x ) = P( x ) +
f n +1) (c ( x ))
( x − x 0 )( x − x1 )...(x − x n )
(n + 1)!
Nota : Si la derivada de orden n+1 es una función acotada en [a, b], entonces:
| f n +1) ( x ) |≤ M ⇒| f ( x ) − P( x ) |≤
M
(b − a ) n +1
(n + 1)!
Y así puede acotarse el error cometido en la aproximación f(x) ≈ P(x).
Para disminuir el error puede acortarse la amplitud del intervalo (a, b) o bien aumentar el
número de puntos. Aunque, hay que tener cuidado pues, si los datos tienen errores (humanos,
de redondeo u experimentales), la exactitud disminuye al aumentar n.
Capítulo 4_2. Fórmula de las diferencias divididas de Newton.
4.2.1
Diferencias divididas
Los métodos de diferencias divididas sirven para generar sucesivamente aproximaciones
polinómicas de grado cada vez mayor. Se definen de forma inductiva:
Sean (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn) los puntos de interpolación, con abscisas distintas entre sí.
¾ La diferencia dividida de orden cero de f con respecto a xi es: f [xi]=f(xi)
¾ La diferencia dividida de orden 1 de f respecto a xi y xi +1 es:
f ( x i +1 ) − f ( x i )
f [ x i , x i +1 ] =
x i +1 − x i
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¾ La diferencia dividida de orden 2 de f respecto a xi , xi +1 y xi +2 es:
f [ x i +1 , x i + 2 ] − f [ x i , x i +1 ]
f [ x i , x i +1 , x i + 2 ] =
x i+2 − x i
¾ La k-ésima diferencia dividida de f relativa a xi , xi +1 , … , xi +k viene dada por:
f [ x i +1 ,..., x i + k ] − f [ x i ,..., x i + k −1 ]
f [ x i , x i +1 ,..., x i + k ] =
x i+k − x i
4.2.2
Fórmula de diferencias divididas interpolante de Newton
Sea Pn(x) el polinomio interpolador de Lagrange que coincide con la función f en los
números distintos x0, x1, . . . , xn. Pn(x) puede expresarse en la forma:
Pn(x) = a0 + a1 (x-x0) + a2 (x-x0) (x-x1) + . . . + an (x-x0) (x-x1) . . . (x-xn-1),
Siendo las constantes a0, a1, . . . , an:
¾ a0 = Pn(x0) = f(x0) = f [x0]
¾ f(x1) = Pn(x1) = f(x0) + a1(x1-x0) ⇒ a1 =
f ( x1 ) − f ( x0 )
= f [ x0 , x1 ]
x1 − x0
... En general:
¾ ak = f [ x0 ,..., xk ] =
f [ x1 ,..., xk ] − f [ x0 ,..., xk −1 ]
xk − x0
para k = 0, . . . , n.
Con esta notación podemos expresar el polinomio interpolador:
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x-x0) + f [x0, x1, x2] (x-x0)(x-x1) + . . . + f [x0, x1, . . . , xn](x-x0)(x-x1) . . .
n
(x-xn-1) = f [ x0 ] + ∑ f [ x0 , x1 ,..., xk ]( x − x0 )( x − x1 )...( x − xk −1 )
k =1
Esta ecuación recibe el nombre de fórmula de diferencias divididas interpolante de Newton.
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4.2.3
Forma práctica de disposición de los cálculos:
x
f(x)
x0
f [x0]
Dif. Divididas de orden1
f [ x0 , x1 ] =
x1
Dif. Divididas de orden 2
f [ x1 ] − f [ x0 ]
x1 − x0
f [ x 0 , x1 , x 2 ] =
f [x1]
f [ x 2 ] − f [ x1 ]
f [ x1 , x 2 ] =
x 2 − x1
x2
f [ x1 , x 2 , x 3 ] =
f [x2]
f [x 2 , x 3 ] =
x3
Dif. Divididas de orden 3
f [ x1 , x 2 ] − f [ x 0 , x1 ]
x2 − x0
f [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ] =
f [ x1 , x 2 , x 3 ] − f [ x 0 , x1 , x 2 ]
x3 − x0
f [ x 2 , x 3 ] − f [ x1 , x 2 ]
x 3 − x1
f [x 3 ] − f [x 2 ]
x3 − x 2
f [x3]
Capítulo 4_3: Polinomios oscilantes. Interpolación de Hermite.
4.3.1
Polinomios oscilantes
Puede ajustarse un polinomio no sólo a valores funcionales, sino también a valores de sus
derivadas.
Los polinomios de Taylor, Lagrange y Hermite son casos particulares de polinomios
oscilantes.
Definición
Sean x0, x1, . . . , xn , n+1 números distintos de un intervalo [a,b] y m0, . . . , mn, enteros no
negativos. Sea f una función de clase Cm([a,b]) con m = máx(m0, . . . , mn). El polinomio
oscilante que aproxima la función f es el polinomio de menor grado que coincide con f y con
sus derivadas de orden menor o igual que mi en cada xi.
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Es decir: P j) ( x i ) = f j) ( x i ) , ∀i = 0,..., n; j = 0,..., mi .
El grado del polinomio será menor o igual que ∑ i =o mi + n
n
Casos particulares:
¾ El polinomio de Taylor de grado m es el polinomio oscilante en el caso n = 0, m0 = m
¾ El polinomio de Lagrange se corresponde con
¾ El polinomio de Hermite se obtiene para
4.3.2
mi = 0, i = 0, . . . , n.
mi = 1, i = 0, . . . , n.
Polinomio de interpolación de Hermite
Sean x0, x1, . . . , xn , n+1 números distintos de un intervalo [a,b] y sea f una función de clase
C1([a,b]) . Entonces, existe un único polinomio de grado a lo sumo 2n+1, y se denota
H2n+1(x), tal que:
H2n+1 (xi) = f(xi),
H’2n+1 (xi) = f ’(xi),
i = 0, . . . , n.
H2n+1 (x) es el polinomio de Hermite de grado 2n+1.
Error de interpolación con el polinomio de Hermite:
Si f es de clase C2n+2([a, b]) entonces para cada x de [a, b] se verifica que:
( x − x0 ) 2 ...( x − xn ) 2 2 n + 2)
f ( x) − H 2 n +1 ( x) =
f
(c )
(2n + 2)!
para algún c del intervalo (a, b).
Comentarios:
1.- Dados n+1 nodos distintos, el polinomio de Hermite es a lo sumo de grado 2n+1 ya que se
imponen 2n+1 condiciones (dos para cada nodo).
2.- El polinomio de Hermite coincide con f en los puntos x0, . . . , xn; además, como su
primera derivada en esos puntos coincide con la primera derivada de f en ellos, las tangentes
al polinomio en esos puntos son las mismas que las de la función, y el polinomio tendrá
entonces la misma “forma” que la función f en los puntos (xi, f(xi)).
4.3.3
Cálculo del polinomio de interpolación de Hermite
Dados x0, x1, . . . , xn, junto con los valores de f y f ’ en esos números, se define una nueva
sucesión z0, z1, . . . , z2n de la siguiente forma:
z2i = z2i+1 = xi para cada i = 0,. . ., n;
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y se construye la tabla de diferencias divididas para los zi.
Como z2i = z2i+1 = xi para cada i, no podemos definir f [z2i, z2i+1] a partir de la fórmula de
diferencias divididas (se anularía el denominador); por ello, se toma:
f [z2i, z2i+1] = f ’ (z2i) = f ’(xi).
Y el resto de las diferencias divididas se calculan de la forma habitual.
La disposición de los cálculos es similar a la utilizada anteriormente:
Z
f(z)
Dif. divididas de orden1
Z0 = x0
f [z0] = f(x0)
Dif. divididas de orden 2 . . .
f [z0, z1] = f ’ (x0)
Z1= x0
f [z1] = f(x0)
f [z0, z1, z2]
f [z1, z2] = f [x0, x1]
Z2 = x1
f [z2] = f(x1)
f [z1, z2, z3]
f [z2, z3] = f ’ (x1)
Z3 = x1
...
f [z3] = f(x1)
...
f [z2, z3, z4]
f [z3, z4] = f [x1, x2]
Z4 = x2
...
f [z4] = f(x2)
...
...
...
...
2 n +1
H 2 n +1 ( x ) = f [ z 0 ] + ∑ f [ z 0 ,..., z k ]( x − z 0 )( x − z1 )...( x − z k −1 ).
k =1
Capítulo 4_4: Interpolación polinómica segmentaria. Splines cúbicos.
4.4.1 Planteamiento del problema y definiciones
La interpolación polinómica ordinaria presenta inconvenientes cuando hay muchos nodos o si
la función a interpolar dista mucho de ser un polinomio. El aumento del grado del polinomio
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producido al introducir nuevos puntos en la interpolación, lejos de proporcionar más
precisión, normalmente provoca oscilaciones mayores.
La interpolación polinómica segmentaria, spline, evita estos inconvenientes limitando el
grado del polinomio. Consiste en dividir el intervalo en una serie de subintervalos y en cada
subintervalo utilizar un polinomio diferente de aproximación. Las condiciones de
interpolación se satisfacen entonces localmente.
Definición
Dados n+1 puntos (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn) tales que x0 < x1 < . . .< xn (nodos), un spline
de grado k es una función S (x) cuya gráfica pase por estos puntos de forma que:
a) en cada intervalo [xi-1, xi], S es un polinomio de grado ≤ k,
b) S tiene derivada de orden k-1 continua en [x0, xn], es decir, S es de clase Ck-1([x0, xn]).
Por consiguiente S es un polinomio continuo a trozos de grado a lo sumo k, que tiene
derivadas continuas hasta el orden k-1.
Spline de grado k = 0:
Los splines de grado cero son funciones constantes a trozos. Una forma explícita de presentar
un spline de grado cero es la siguiente:
c 0
c

S( x ) =  1
...
c n −1
x0
x1
x2
x ∈ [x 0 , x 1 ]
x ∈ [x 1 , x 2 ]
x ∈ [x n −1 , x n ]
x4
x3
Spline de grado k = 1:
Los splines de grado uno son funciones lineales a trozos que se unen de manera continua:
S 0 (x ) = a 0 x + b 0
S (x ) = a x + b

1
1
S( x ) =  1
...

S n −1 (x ) = a n −1 x + b n −1
x ∈ [x 0 , x 1 ]
x ∈ [x 1 , x 2 ]
x ∈ [x n −1 , x n ]
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Por ser continua, los polinomios que la conforman se coinciden en los nodos, es decir,
ai xi+1 + bi = ai+1 xi+1 + bi+1, i = 0, 1, …, n-1
x0
x1
x2
x3
x4
Spline de grado k:
En general, los splines de grado k son polinomios de grado menor o igual que k que se unen
de manera continua ellos y sus derivadas hasta el orden k-1.
4.4.2 Splines cúbicos
Los splines más utilizados son los splines cúbicos. Son polinomios de grado menor o igual
que tres que se unen de manera continua ellos y sus derivadas de primero y segundo orden.
Dada la tabla de valores
x
x0
x1
...
xn
y
y0
y1
...
yn
se trata de construir un spline cúbico para interpolar la tabla. Para ello hay que hallar los
coeficientes del polinomio cúbico de cada subintervalo determinando simultáneamente los
coeficientes en todos los subintervalos.
Si el spline viene expresado por:
 S0 ( x ) = a03 x 3 + a02 x 2 + a01 x + a00

...

 S ( x ) = a x3 + a x 2 + a x + a
i −1 3
i −1 2
i −1 1
i −1 0
 i −1
S ( x) = 
3
2
 Si ( x ) = ai 3 x + ai 2 x + ai1 x + ai 0

...

 Sn −1 ( x ) = an −1 3 x3 + an −1 2 x 2 + an −1 1 x + an −1 0
x ∈ [ x0 , x1 ]
x ∈ [ xi −1 , xi ]
x ∈ [ xi , xi +1 ]
x ∈ [ xn −1 , xn ]
¿Cuántas incógnitas hay que determinar y cuántas condiciones han de verificarse?
Son cuatro coeficientes en cada subintervalo, luego, 4n incógnitas en total.
Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto x i , luego:
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Si −1 (x i ) = y i
y Si (x i ) = y i , i = 1, 2, …, n-1
esto hace que S sea continua y da lugar a 2(n-1) = 2n-2 condiciones.
Por otra parte, S 0 (x 0 ) = y 0
y
S n −1 (x n ) = y n , son 2 condiciones más.
La función derivada S’ también ha de ser continua, luego:
S 'i −1 (x i ) = S 'i (x i ) , i = 1, 2, …, n-1
Análogamente se obtienen otras n-1 condiciones imponiendo que la derivada segunda S’’ sea
también continua.
Por tanto, se han de verificar: (2n - 2) + 2 + 2 (n-1) = 4n-2 condiciones.
Es decir, imponiendo las condiciones de un spline cúbico, se obtiene un sistema de 4n-2
ecuaciones con 4n incógnitas. Se necesitan, por tanto, dos condiciones adicionales para que
los coeficientes estén unívocamente determinados.
Para construir un spline cúbico interpolante a la función f en los nodos x0 < x1 < . . .< xn,
conviene expresar los polinomios cúbicos de la forma:
Sj(x) = aj + bj(x-xj) + cj(x- xj)2 + dj(x- xj)3
j = 0, 1, 2, . . . , n-1,
ya que de esta forma el sistema de ecuaciones que resulta de imponer las condiciones de la
definición es más fácil de resolver.
4.4.3 Tipos de splines cúbicos
Condiciones adicionales de distinto tipo dan lugar a diferentes variedades de splines:
1) Spline “no nodo”: resulta al imponer la condición de que los polinomios en los dos
primeros intervalos sean iguales, S0 (x ) = S1 (x ) , y que los dos últimos también,
S n − 2 (x ) = S n −1 (x ) . Esto es equivalente a exigir que el spline tenga tercera derivada en
los nodos segundo y penúltimo.
2) Spline cúbico amarrado o de frontera sujeta o completo:
Cuando se conoce el valor de la derivada primera en los extremos o, al menos, una
aproximación de los mismos:
S ' (x 0 ) = f ' (x 0 ) , S ' (x n ) = f ' (x n )
Al abarcar más información acerca de la función, en general, se logran aproximaciones
mejores.
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3) Spline cúbico natural o de frontera libre:
Cuando se conocen las derivadas segundas en los puntos inicial y final, o bien, se toman:
S ' ' (x 0 ) = S' ' (x n ) = 0 .
Nos da el resultado más “suave” posible, en el sentido de curvatura mínima. Hacia los
extremos del intervalo de interpolación, la curva se convierte en una recta.
4) Un caso particular del spline natural: cuando se calculan las derivadas segundas en
los extremos interpolando el valor que toman en los dos nodos más próximos, es decir,
haciendo:
 h 
h
S’’(x0) = 1 + 0 S' ' (x1 ) − 0 S' ' (x 2 )
h1 
h1


h
S’’(xn) = 1 + n −1
 h n −2

h
S' ' (x n −1 ) − n −1 S' ' (x n − 2 )
h n −2

siendo h i = x i +1 − x i la amplitud de cada subintervalo.
4.4.4 Cálculo de splines cúbicos con MatLab
Sean x e y los vectores que contienen respectivamente las abscisas y las ordenadas de los
puntos a interpolar.
1) Spline “no nodo”:
ps = spline (x, y) (genera un registro llamado polinomio segmentario que, entre otros
campos, consta de uno que contiene los coeficientes de todos los polinomios del spline
en una matriz de dimensiones n x 4, ps.coefs).
La evaluación del spline en puntos concretos se efectúa con ppval, que es el análogo
de polyval para polinomios: ppval (spline (x, y), xi).
Si sólo interesan los valores que tome el spline en ciertos puntos xi, se utiliza la misma
función en la forma: yi = spline (x, y, xi).
La función mkpp forma el polinomio segmentario a partir de los nodos y de la matriz
de coeficientes, para poder aplicar ppval, por ejemplo. Su sintaxis es: ps = mkpp(x, s),
siendo s la matriz que contiene los coeficientes del spline.
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2) Spline “completo”:
Se calcula con la misma función que se utiliza para el spline “no nodo”, añadiendo al
vector “y” dos valores, uno al principio y otro al final, que son los valores de la
derivada primera del spline en los puntos inicial y final, a=S’(x0) y b=S’(xn),
respectivamente. Sintaxis: spline (x, [a y b]).
3) El cálculo de los coeficientes del spline cúbico natural, se realiza en dos pasos:
3.1.- Primero se resuelve un sistema tridiagonal de n-1 ecuaciones con n-1 incógnitas,
que son las derivadas segundas del spline en los nodos, S’’(xi) = ri,, i = 1, …, n-1.
 h 0 + h1

 3
 h1
 6

 0

 ...
 0


 0

h1
6
h1 + h 2
3
h2
6
...
h2
6
h2 + h3
3
...
h3
6
...
0
0
0
0
0
0
...
0
0
...
0
...
0
0
...
h n −3
6
0
0
...
h n −3 + h n − 2
3
h n −2
6
siendo h i = x i +1 − x i , e i =


h



 e1 − e 0 − 0 r0 

6


0
e 2 − e1
 r1  

 


−
r
e
e
3
2
0
 2  = 

 ...  
...

...
 



e n − 2 − e n −3
h n −2
 rn −1  


6
 e − e − h n −1 r 
n −1
n −2
n
h n − 2 + h n −1 
6



3

0
y i +1 − y i
, i = 0, …, n-1.
x i +1 − x i
3.2.- A continuación se hallan los coeficientes del spline a partir de las derivadas
segundas en los nodos.
3
2
Llamando S i (x ) = a i (x − x i ) + b i (x − x i ) + c i (x − x i ) + d i , x ∈ [x i , x i +1 ] ,
i = 0, …, n-1, se verifica que:
ai =
r
ri +1 − ri
y − yi  ri +1 ri 
, b i = i , c i = i +1
−
+ h i , d i = y i .
hi
6h i
2
 6 3
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Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA
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TEMA 4: INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
4) Para el caso particular del spline natural con S’’(x0) y S’’(xn) calculadas tal como se
indica en el punto 4) de más arriba, Matlab dispone de la función “interp1”, con la
sintaxis: yi = interp1 (x, y, xi, ‘spline’).
Capítulo 4_5: Otras funciones de Matlab para interpolación polinómica unidimensional.
Sean x e y los vectores que contienen respectivamente las abscisas y las ordenadas de los
puntos a interpolar.
1) polyfit (x, y, n), polinomio de interpolación de grado n que se ajusta a n+1 nodos
dados.
2) yi = interp1 (x, y, xi), para interpolación con un spline lineal (aplica interpolación
lineal con un polinomio de grado 1 en cada subintervalo).
3) yi = interp1 (x, y, xi, ‘linear’), es otra forma de escribir la función anterior.
4) Más en general, yi = interp1 (x, y, xi, ‘método’), realiza interpolación mediante el
método elegido: nearest, linear, cubic, v5cubic, spline (tipo 4, caso particular de spline
natural) o pchip.
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