CUADERNO DE PRÁCTICAS

EJERCICIOS PROPUESTOS
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Profesora: Rocío Marco Crespo
1
Ejercicios tema 2: Distribuciones de Frecuencias
1. Sobre un grupo de amigos se ha tomado la edad de cada individuo expresada en años. Estas
son:
18, 20, 22, 19, 18, 20, 18, 19, 21, 20
20, 21, 18, 20, 21, 19, 20, 21, 18, 20
¿Qué tamaño tiene la población y cuál es la variable estudiada? ¿Cuál es el peso relativo del
colectivo con 20 años?. ¿Y el de 20 o menores de 20 años? ¿Qué edades tienen el 60% del
colectivo de mayor edad? Diga en cada pregunta a qué tipo de frecuencia recurre para
responder.
2. En una muestra de 100 viviendas de determinado distrito de Madrid se ha tomado la
superficie construida en m², disponiéndose de la siguiente distribución de frecuencias
agrupada en intervalos. Se pide:
a.- Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
b.- Nº de viviendas con mas de 80 m²
c.- Porcentaje de viviendas con mas de 70 m² y menos de 100 m²
d.- Porcentaje de viviendas con superficie inferior o igual a 90 m²
Li-1 - Li
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 100
100 - 120
ni
20
25
15
25
15
3. El Departamento de personal realiza una investigación sobre los salarios (expresados en
euros) que perciben semanalmente los trabajadores. Se pide:
a.- Histograma y polígono de frecuencias
b.- Qué porcentaje de trabajadores ganan mas de 180 euros a la semana
c.- Qué porcentaje de trabajadores ganan como máximo 175 euros a la semana.
Li-1 - Li
120 - 140
140 -160
160 - 180
180 - 200
ni
10
14
21
15
Ejercicios tema 3: Medidas que caracterizan una distribución de
frecuencias
1. Sea la siguiente distribución del número de horas diarias de estudio que dedican una
población de alumnos.
a.- calcular las medidas de posición centrales sobre dicha distribución
b.- ¿qué nº de horas dedica el 30% de la población menos estudiosa?
c.- ¿qué nº de horas dedica la cuarta parte de alumnos mas estudiosos?
2
xi
1
2
3
4
5
ni
5
15
20
8
2
2. Sea la siguiente distribución de edades en una determinada población,
a.- calcular las medidas de posición centrales sobre dicha distribución
b.- ¿hasta que edad una persona se encuentra en el 10% de población mas joven?
Li-1 - Li
ni
0-4
4 - 10
10 - 20
20 - 40
40 - 70
20
100
180
260
240
3. Una empresa agrícola tiene cinco fincas dedicadas al cultivo de trigo. Se dispone de la
producción y rendimiento por hectárea de cada una. ¿Cuál será el rendimiento medio por
hectárea?
Finca
A
B
C
D
E
Produc (Kg)
Rendto.(kg/Ha)
2.500
3.000
4.000
6.000
7.000
10
20
25
15
14
4. Una persona realiza el trayecto Madrid-Barcelona a 120 km./h. y regresa a 80 km/h.
Calcular la velocidad media del recorrido total.
5. Los porcentajes de participación trimestral de alumnos en actividades extraescolares
durante los dos últimos años fueron los siguientes. ¿Cuál es el porcentaje de participación
medio?
1º 2º 3º -
2002
8,00%
12,00%
18,00%
1º 2º 3º -
2003
27,00%
40,50%
60,75%
6. Una empresa tiene su sede en un edificio de tres plantas. Dispone de 10 teléfonos en la 1ª
planta, 15 en la 2ª y 13 en la 3ª. El gasto medio por teléfono al mes es de 43,48 euros.
Calcular:
a.- el gasto medio de la 3ª planta, sabiendo que en la 1ª ha sido de 23 euros y de 60 euros
en la 2ª.
b.- el gasto total de teléfono al mes en la 3ª planta.
3
7. Se dispone de las peticiones de precios en la última subasta de Letras del Tesoro a 1 año.
Calcular el precio medio de petición utilizando las propiedades de la media (cálculo
abreviado)
Precio
5.455
5.505
5.510
5.535
5.540
LTº (miles)
3
20
72
123
84
8. Hallar el valor de la Mediana para la siguiente distribución unitaria:
Xi = [1, 3, 6, 8, 12, 15]
9. Hallar el valor de la Mediana para la siguiente distribución:
xi
1
3
5
7
9
ni
1
2
7
6
4
10. El consumo eléctrico diario en una determinada ciudad arroja los siguientes datos: desde
las 12 de la noche hasta las 6 de la mañana supone el 10%; a las 8 este valor aumenta hasta el
20%; llega al 60% a las 2 de la tarde y al 85% a las 8 de la noche.
a.- ¿a qué hora del día el consumo es máximo?
b.- ¿cuántas horas al día son necesarias para obtener un consumo del 65%?
c.- ¿a qué hora se alcanzaría el "mediodía" del consumo diario?
11. Un grupo de alumnos ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas e Historia.
Determine, calculando las medidas de dispersión que conozca, para cual asignatura resulta ser
un grupo más homogéneo.
Xi
2
3
4
5
6
7
8
Matemáticas
fi
10%
15%
20%
30%
10%
10%
5%
Historia
Yj
1
2
3
4
5
6
7
8
fj
5%
4%
6%
15%
50%
15%
3%
2%
12. El volumen de ventas de la empresa química QUIMICASA en 2001 fue de 7,51 millones
de euros, mientras que la media del sector fue de 6,61 millones y la varianza de 86,55
millones. En el caso de otra empresa, CONSERVASA, las ventas fueron de 8,71 millones de
euros, siendo la media y varianza del sector conservero 7,24 y 117,8 millones
4
respectivamente. ¿Cuál de estas dos empresas está mejor situada en cuanto a su volumen de
ventas? Razone su respuesta.
13. En una muestra de 70 familias se ha presentado la siguiente distribución de frecuencias en
la variable número de hijos por familia.
a.- represente gráficamente el polígono de frecuencias simples
b.- calcule los coeficientes de asimetría de Pearson y Fisher
c.- calcule del coeficiente de Curtosis
nº hijos
0
1
2
3
4
5
nº familias
10
26
19
11
3
1
14. El número de habitantes de 45 municipios de una provincia española se distribuía en 2001
de la siguiente forma. Calcúlese:
a.- media aritmética, mediana y moda de la distribución de habitantes
b.- desviación típica y coeficiente de variación de Pearson
c.- asimetría y curtosis de la variable
Nº habitantes
0 - 1000
1000 - 2000
2000 - 3000
3000 - 4000
4000 - 6000
nº municipios
7
11
14
8
5
15. Se cuenta con la distribución salarial de los 40 empleados de una empresa. Calcular el
Índice de Gini. ¿Qué porcentaje de empleados percibe el 50% de los salarios?
Salario
15 - 25
25 - 35
35 - 45
45 - 55
ni
20
10
5
5
16. ¿Cuál sería el Índice de Gini para una variable Y , tal que Y = k X?
17. En dos países determinados, los presupuestos estatales (millones de euros) se distribuyen
de la siguiente forma.
a.- ¿en qué país el reparto es mas equitativo entre los distintos ministerios?
b.- ¿qué presupuesto debería presentar el Ministerio de Educación del país B para que en
ambos países hubiese el mismo grado de concentración?
Defensa
Sanidad
Educación
Obras Públicas
País A
10
30
40
20
País B
12
32
45
38
5
18. Como objetivo de política económica se pretende aumentar el grado de equiparación
salarial entre los trabajadores. Para ello se estudia optar por:
a.- una subida proporcional al sueldo actual para todos los asalariados
b.- un aumento en una misma cantidad fija para todos los asalariados
¿Cuál de las dos alternativas escogería para lograr el objetivo político?
Ejercicios tema 4: Distribuciones Bidimensionales
1. Sobre una muestra de 100 alumnos se ha medido las siguientes características:
X = asignación mensual
Y = gasto mensual actividades culturales
Calcular:
a.- las medias y varianzas marginales de X e Y
b.- ¿son independientes la asignación mensual y el gasto cultural?. Calcular la covarianza de
ambas variables.
X\Y
90
150
300
30
5
5
12
60
15
20
8
90
10
5
20
2. En la siguiente tabla de correlación, calcular la covarianza y estudiar la dependencia de las
variables X e Y.
X\Y
-1
0
1
1
0
1
0
2
1
0
1
3
0
1
0
3. Dada la siguiente tabla de correlación, hallar la covarianza y estudiar la dependencia entre
las variables.
X\Y
100
200
5
8
2
10
4
6
4. Dada la siguiente distribución bidimensional, calcular la media y varianza de la
distribución de Y condicionada a X = 5.
X\Y
3
4
5
6
1
11
16
8
1
2
5
6
6
2
3
1
6
4
3
4
0
0
2
1
5. Se conocen varias empresas de reducido tamaño dedicadas al trasporte y reparto de
mercancías y correo. Éstas trabajan con dos tipos de vehículos: camiones y furgonetas. Siendo
6
X = nº de camiones, e Y = nº de furgonetas, estudiar si el número de camiones es
independiente del número de furgonetas sobre la muestra de 20 empresas sobre la que se
dispone información.
Xi
1
2
1
2
Yj
2
2
3
3
nij
3
2
9
6
6. Se conocen los siguientes momentos de una distribución bidimensional.
a 10 =
m 20 =
m 30 =
m 40 =
X
216,2410
232,8746
-947,5103
99.692,5100
a 01 =
m 02 =
m 03 =
m 04 =
Y
653,7230
2.095,8714
-25.582,7780
8.075.093,300
a.- ¿se podría afirmar que la variable Y se obtiene a partir de X mediante algún cambio de
origen y/o escala?
b.- valor de los momentos m10 y m01
c .- ¿cómo serán los coeficientes g1 y g2 en ambas variables?
7. Dadas las transformaciones lineales siguientes, estudiar la covarianza entre las dos nuevas
variables X´e Y´
X´ = a1+ b1 X
Y´ = a2 + b2 Y
Ejercicios tema 5: Regresión y Correlación simple
1. Tenemos la producción total y el volumen de exportación (miles de euros) de un
determinado sector productivo. Si se estima que la producción en el 2002 va a ser de 640.000
euros y que las condiciones de mercado no van a variar ¿cuál será el volumen previsible de
exportaciones para este año?
Producción
400
420
440
480
500
1996
1997
1998
1999
2000
Exportación
80
80
90
92
98
2. Sobre los siguientes datos, hallar la recta de regresión lineal ajustando un modelo
exponencial del tipo y = a·bx
xi
1
1
2
3
3
yj
120
90
85
60
85
7
3. Un partido político se plantea el problema de hasta qué punto le puede compensar
incrementar el gasto publicitario en la próxima campaña electoral a la vista de los resultados
obtenidos en las últimas cinco elecciones. La comisión electoral estudia un presupuesto de
750.000 euros.
a.- nº de diputados elegidos según este presupuesto, con la hipótesis de que no ha variado la
imagen del partido en los últimos años
b.- ¿con qué confianza se puede esperar este resultado?
c.- ¿cuál sería el porcentaje de causas diferentes a la publicidad que influiría en el nº de
diputados elegidos?
Gasto
150.000
175.000
325.000
400.000
500.000
Nº diputados
3
4
4
6
8
4. Se dispone de el consumo de productos congelados (Y) y la renta familiar mensual (X) en
una muestra de 5 hogares. Estudiar su tipología y aplicar si es viable una regresión lineal.
[Nota: relación hiperbólica entre X e Y]
Renta
20
25
35
40
45
Consumo
100
150
180
200
210
5. Se sabe que el coeficiente de correlación lineal entre dos variables X e Y es 0,6.
Conociéndose además los siguientes datos, hallar las rectas de regresión de Y/X y de X/Y.
x = 10
S x = 1,5
y = 20
Sy = 2
6. Calcular la desviación típica de la variable residual (o error típico de estimación) para las
dos regresiones anteriores.
7. Pruébese la consistencia de los resultados obtenidos al ajustar la recta de regresión
+bx
S xy = 4
S
2
ry
= 0,4
y=a
S x2 = 5
S y2 = 4
8. Demuéstrese que siendo Y* el valor estimado obtenido en la recta de regresión Y = a + b
X, se verifica que el coeficiente de correlación lineal entre X e Y es el mismo que entre Y e
Y*.
9. De las estadísticas de tiempos de vuelo (X) y consumo de combustible (Y) de una Cía.
aérea se han obtenido los datos correspondientes a 24 trayectos distintos realizados por un
8
DC-9. Ajustar un modelo lineal del tipo Y = a + b X, donde X = tiempo empleado en horas e
Y = consumo combustible en miles de litros. Conociéndose los estadísticos siguientes,
calcular:
a.- parámetros de la recta de regresión
b.- descomposición de la varianza de Y
c.- coeficiente de correlación lineal
d.- consumo total estimado para un programa de 100 vuelos de 1/2 hora. Fiabilidad de la
previsión.
∑y
j
= 219 .719
j
∑x
i
∑y
2
j
= 2396 .504
i
= 31 .47
∑x
∑∑ x y
i
i
j
2
i
j
= 349 .486
j
= 51 .075
i
10. Justifique las razones por las cuales debe rechazarse o aceptarse que las rectas de
regresión siguientes sean las rectas de regresión mínimo cuadráticas de Y/X y X/Y de una
misma serie de observaciones:
Y/X : Y = 1 + 2 X
X/Y : X = 10 + 5 Y
11. Sabiendo que r = 0,8 ; Sx = 4 ; la media de y es 3 ; y la recta X/Y es
determinar la recta de regresión de Y/X.
x = 0,2·y ,
12. Pruébese la consistencia de los datos obtenidos al ajustar la recta de regresión Y/X : Y = a
S xy = 20
S 2x = 10
+ bX
x=4
y=8
a=3
Ejercicios tema 6: Regresión y Correlación múltiple
1. Se considera el gasto de carne (Y) una función lineal de la renta total familiar (X1) y del
tamaño de la familia (X2). Calcúlese:
a.- los coeficientes de regresión mínimo cuadráticos
b.- descomposición de la varianza total
c.- fiabilidad del ajuste realizado
d.- coeficientes de correlación lineal simples
Yi
2
4
8
12
9
X 1i
10
15
20
25
30
X 2i
3
2
3
5
2
2. Dado el hiperplano de regresión Y = bo + b1 X1 + b2 X2 + b3 X3, donde X3 es dos
veces X1, comentar si son determinables los coeficientes de regresión (bi), justificando los
resultados.
9
3. Dado el hiperplano de regresión Y = bo + b1 X1 + b2 X2 , cuál será el valor de la varianza
residual si se conoce que:
a.- X1 y X2 tienen correlación nula,
b.- Y = 3 X1
4. Se tienen los siguientes datos tomados sobre 8 observaciones referentes a la demanda de
cierto bien (Y), dado su precio (X1) y la renta del demandante (X2):
∑y
j
= 32
j
∑x
1i
y j = 61
∑y
2
j
= 164
j
∑ x = 16 ∑ x x = 57 ∑ x = 44
∑j x2i = 24 ∑ x2i y j = 106 ∑j x22 = 84
1j
1i
2
1
2i
j
j
a.- hallar el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas
b.- determínese, comentando el resultado, el plano de regresión
c.- descomposición de la varianza y nivel de explicación de la demanda del bien
5. Dos grupos de alumnos presentan sendas regresiones estimadas a partir de la misma
distribución p-dimensional de frecuencias (variables: X1, X2, Y, Z). ¿Considera consistentes
los resultados que han obtenido ambos grupos?
Grupo A: Z = 4,5 + 3,9 X2 + 5,7 X1 + 0,9 Y con R = 0,7 (coefte. de correlación lineal)
Grupo B: Y = 3,1 + 0,3 X1 - 0,2 X2
con R² = 1 (coefte. de determinación lineal)
6. Discuta la siguiente afirmación: "En una regresión lineal múltiple, si las varianzas debida a
la regresión y la residual son iguales, el coeficiente de determinación lineal múltiple será
mayor a 0,5"
7. De los resultados del primer parcial de cierta asignatura se tomaron las siguientes
observaciones en 5 estudiantes: la nota obtenida en el examen (Y) junto con el nº de horas
semanales de estudio (X1) y el nº de libros sobre la materia leídos durante el parcial (X2):
a.- qué puntuación esperaría usted obtener si estudió una media de 10 horas a la semana y
leyó 10 libros
b.- ¿confía mucho en su previsión de nota?
c.- descomposición de la varianza
Yi
2
4
6
7
10
X 1i
4
5
10
11
15
X 2i
2
3
6
8
10
8. Conocidos los siguientes datos, ajustar el plano de regresión de Y sobre X1 y X2 . Halle la
descomposición de la varianza total, coeficiente de determinación y coeficientes de
correlación lineal simples. Comente el resultado.
Yi
X 1i
X 2i
10
3
4
8
5
5
1
2
3
4
5
8
9
16
9
8
Ejercicios tema 7: Números Índices
1. Una empresa fabrica tres tipos de productos: A, B y C. La estadística de producción (miles
de unidades producidas) y precios (pesetas por unidad) es la siguiente. Calcular los siguientes
índices cuánticos:
a.- Los índices de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher para cada año, tomando como
base o referencia el año anterior.
b.- Los índices de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher para 2001 tomando como base
100% el año 1998
1998
1999
2000
2001
Producto A
Precio
Cantidad
100
20
110
25
120
25
130
30
Producto B
Precio
Cantidad
60
10
60
8
60
8
50
6
Producto C
Precio
Cantidad
200
20
250
20
300
20
300
30
2. En una empresa se dispone de la estadística de personal empleado (cientos) y salario medio
mensual (euros) según categoría del trabajador en el año 1999. Calcular los índices salariales
de Laspeyres que resultarían para 2002 tomando como base 100% el año 99 en los supuestos:
a.- Una mejora anual del 5% mas un incremento fijo de 30 euros en cada paga (hay 15 pagas
al año)
b.- Con mejoras anuales de 1.000 euros para cada empleado
Categoría
A
B
C
D
E
Empleados
1
3
10
20
66
Salario medio mensual
1.800
1.650
1.500
1.100
900
3. De la publicación "Contabilidad Nacional de España. Base 1990" (INE) se han tomado los
datos siguientes: origen del PIB por ramas de actividad, en millones de euros. Calcúlese, para
las magnitudes de los cuadros, los índices de precios implícitos con base 100% en 1990.
Calcular el índice de precios del PIB en el año 2000 con base 100% en 1990.
PIB
1. Agrario
2. Industrial
3. Construcción
4. Servicios
EN PRECIOS CORRIENTES
1998
1999
2000
6.449
6.239
7.350
27.604
31.187
35.388
7.717
7.987
9.183
51.224
59.452
68.720
EN PRECIOS CONSTANTES
1998
1999
2000
5.935
5.842
5.752
26.802
27.538
27.202
6.976
7.699
7.903
50.014
51.849
53.123
11
4. Dadas las tres series siguientes del índice de precios industriales de un país (IPRI), unificar
los datos en una única serie con base 100% en 1995.
Año
1985
1986
1987
1988
1989
1990
Índice
1985=100%
100%
104%
107%
112%
113%
122%
Año
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Índice
1990=100%
100%
104%
105%
108%
114%
121%
Año
1995
1996
1997
1998
1999
Índice
1995=100%
100%
107%
112%
120%
125%
5. Se dispone para el año 1998 de las cifras de Valor Añadido Bruto (millones de unidades
monetarias de 1998) y de Población Ocupada (miles de personas) de una determinada
provincia:
1. Agrario
2. Industrial
3. Construcción
4. Servicios
V.A.B.
32
120
29
262
Pobl. Ocupada
40
55
18
108
Conociendo los índices de producción y los índices de población ocupada de cada sector
(base 100%=1998) para los siguientes años, calcular:
a.- Índice de producción (Laspeyres) global, para cada año, en base 1998
b.- Índice de Población ocupada global, para cada año, en base 1998
c.- Índice de productividad media, para cada año, en base 1998
1. Agrario
2. Industrial
3. Construcción
4. Servicios
Ind. Prod.
110%
101%
95%
102%
1999
Ind. Pobl.Ocup.
96%
97%
87%
99%
Ind. Prod.
111%
103%
96%
104%
2000
Ind. Pobl.Ocup.
94%
94%
83%
101%
Ind. Prod.
106%
106%
101%
115%
2001
Ind. Pobl.Ocup.
85%
96%
89%
107%
6. Dado un sistema de índices de precios al consumo de un país con base 1992= 100%, se
tiene la información estadística relativa a un conjunto de artículos. Calcular:
a.- los IPC globales de este conjunto de artículos para los años 1999, 2000 y 2001
b.- incremento relativo de los precios en 2000 y 2001
c.- tasa media anual de crecimiento de los precios en el periodo 1999-01 y en el periodo
1992-2001
Artículo
a
b
c
d
e
W i (%)
50%
14%
9%
10%
17%
1999
110%
105%
108%
104%
106%
INDICES
SIMPLES (%)
2000
112%
105%
110%
108%
107%
2001
120%
110%
114%
110%
110%
7. Se dispone de la distribución sectorial del PIB a precios de mercado (millones de euros
corrientes) y del Índice de precios de Paasche en el año actual en relación al año cero.
Calcular el PIB sectorial a precios del año base, así como el deflactor implícito del PIB
correspondiente al año 1.
12
Sector
1. Agrario
2. Industrial
3. Construcción
4. Servicios
PIB pm (año 1)
3.000
10.000
2.000
15.000
Pp 0
120%
130%
140%
125%
8. El valor relativo de un bien en 2000 con base 1993 es 104% y con base 1997 es 130%.
¿Cuál será su valor relativo de 1997 con base 1993?
9. Una empresa de venta de artículos alimenticios ha obtenido los siguientes beneficios (miles
de euros). Conociendo la evolución del IPC con base 100% en 1997, calcular la serie de
beneficios de la empresa a precios constantes del año 2001.
año
1997
1998
1999
2000
2001
Beneficios
20
25
27,5
32,5
40
IPC base 1997
100%
120%
150%
160%
190%
10. Una fábrica produce tres modelos de relojes, de los que se dispone del precio de venta, el
coste de producción por unidad, y el nº de unidades vendidas (miles) en 2000 y 2001.
Calcular el índice cuántico de Paasche y Laspeyres sobre las ventas, con base 100% en 2000.
[Nota: al disponer de precio de venta y coste de producción, la ponderación se realiza por
valor añadido en la etapa productiva].
Modelo
A
B
C
Pr. venta
8
10
12
2000
Coste
3
4,5
5,5
Ventas
18
25
20
Pr.venta
8,5
11
14
2001
Coste
3
5
6
Ventas
18,5
27
22
Ejercicios tema 8: Series Temporales
1. Se dispone de los datos trimestrales del número de automóviles vendidos (miles de
unidades) en un país, entre 1998 y 2000. Analizar la serie temporal y predecir las ventas del
año 2002.
Trimestre \ Año
1
2
3
4
1998
20
30
15
35
1999
22
33
16
40
2000
25
36
17
44
2001
29
40
17
50
13